2024-2025学年下学期初中数学八年级第十六章B卷

第十六章B卷

选择题（共10小题）

1.（2024秋•栾城区期末）下列运算中，正确的是（）

A.J（—2）2=-2B.V72=+7

C.-V52=-5D.-7（-3）2=3

2.（2024秋•龙岗区期末）下列计算中，正确的是（）

A.V2+V3=V5B.3V2-V2=3C.V12+V3=4D.V12XV3=6

3.（2024秋•通州区期末）下列各式正确的是（）

A.J（-1）2=-1B.（-V2）2=-2

C.V4=±2D.±V64=±8

4.（2024秋•简阳市期末）下列运算正确的是（）

A.V3+V6=V9B.5V3-V3=5C.V124-V3=4D.V2xV3=V6

5.（2024秋•成都期末）无理数遍的倒数是（）

1B--f―V67—

A.-C.—D.—V6

66

6.（2024秋•大庆期末）下列各式计算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.2A/6X3A/6=6A/6

C.4V5-3V5=V5D.泥+2=V3

7.（2024秋•泉港区期末）下列计算中，正确的是（）

A.V3+V2=V5B.3A/2-V2=3C.V?xb=2百D.V6V3=2

8.（2024秋•长沙期末）下列计算正确的是（）

A.B.

C.V5+V6=VT1D.（x-y）2=/-/

9.（2024秋•揭西县期末）下列计算正确的是（）

A.=V2B.V2+V3=V5

C.V6-4-V2=3D.（2V3）2=12

10.（2024秋•黔江区期末）若实数也，〃在数轴上的位置如图所示，则代数式+切2一加一用的化简

结果为（）

□-----------------1-----------------

nm0

A.-2mB.2nC.2mD.-2n

二.填空题（共5小题）

11.（2024秋•成都期末）已知x=2V3-1,则代数式x?+2x+2的值为

12.（2024秋•西山区校级期末）式子员与有意义的条件是

V24-V8/-0

13.(2024秋•莱西市期末)计算：一+(V3)=____________________

V2

14.（2024秋•金凤区校级期末）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图

中阴影部分面积为

15.（2024秋•金牛区期末）已知x=a-Ly=V2+1,则代数式N+V+xy的值等于.

三.解答题（共8小题）

16.（2024秋•正定县期末）已知a,b,机都是实数，若a+b=2,则称a与6是关于1的“平衡数”.

（1）5—/与是关于1的“平衡数”；

（2）若⑺+V3）（l-V3）=-2,判断⑺+百）与（3-百）是不是关于1的“平衡数”.

17.（2024秋•青山区期末）先化简，再求值：（a+西）（a-V5）-（y/3-a）2,其中°=2百—1.

18.（2024秋•桥西区期末）计算：

（1）V12+V2-V8；

（2）（2V3-I）2-（V5+2）（75-2）.

19.（2024秋•顺义区期末）阅读下面材料：

我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：小云=＞6菖="+类似的

V7-V6（V7-V6）（V7+V6）

把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：V7-V6=（"-噜）（＜+佝=.分子有理化可以用

来比较某些二次根式的大小，例如：比较夕-巡和区-巡的大小，可以先将它们分子有理化如下：

V7—V6=历:彳，V6—V5=/一,因为VY+巡＞遍+巡，所以夕-6.

V7+V6V6+V5

请根据上述材料，解决下列问题:

（1）把下列各式分子有理化：

@V3—y/2-；®V5—V3=

(2)比较旧-"1和亚一3的大小，并说明理由；

(3)将式子SE-分子有理化为,该式子的最大值

为.

20.(2024秋•惠来县期末)综合与实践

【问题情境】我们知道两个数的和为2,这两个数的平均数为1,按照这样简单的数学知识，我们给出

一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若。+6=2,则。与6的平均数是1,我们称

a与b是关于1的平衡数.例如，3与-1是关于1的平衡数.

【思考尝试】

(1)4与是关于1的平衡数；5•-鱼与是关于1的平衡数;

【实践探究】

(2)相与“是关于1的平衡数，同时，m+3与2〃-1也是关于1的平衡数，求相与"的值；

【拓展延伸】

(3)若(6+百)(1一百)=-5+3百，试判断爪+百与5-旧是否是关于1的平衡数，并说明理由.

21.(2024秋•即墨区期末)在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题:

10，一

已知a=2+6求2/-8〃+1的值.

他们是这样解答的:

12-V3

2+V3—(2+V3)(2-V3)—2—A/S,

CL—2=-V3,

(。-2)2=3即a2-4(2+4=3,

••u,~4〃=:一1,

2q2-8〃+1=2(“2-4〃)+1=2X(-1)+1=-1.

请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题:

1

(1)-7=~F=______________________；

v3+v2

八》11111

(2)化间：—f=+—p~尸+-7=~~尸+…+,---~~

V2+1V3+V2V4+V3V120+V119V121+V120

⑶若"再£求2a4-8a3-8a+4的值.

1

22.(2024秋•成华区期末)小明同学在解决问题“己知a=求2a2-8o+l的值”时，他是这样解答

2+店

的:

,・・。=表=(2+右左问=2一百，..・遮=2—a'.・.储)2=Q—a)2'."2=4°-1.

-8〃+1=2(4。-1)-8。+1=8。-2-8。+1=-1.

请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题:

++++；

(1)化间：^/2+173+V2V4+V3V2025+V2024

1

(2)已知X=求2?-8?+3x+7的值.

V2-11

23.(2024秋•清远期末)如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16c«?的大正方

形纸片.

(1)小方形纸片的边长为cm；

(2)在(1)的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为。，小数部分为6,求a+2b-4混的

值；

(3)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片。的长宽之比为2：

b且面积为12c〃，？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由.

第十六章B卷

参考答案与试题解析

题号12345678910

答案CDDDCCCBDA

选择题（共10小题）

1.（2024秋•栾城区期末）下列运算中，正确的是（）

A.J（-2）2=-2B.V72=+7

C.————5D._d（—3）2——3

【考点】二次根式的性质与化简.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】C

【分析】根据二次根式的性质标=|a|进行计算即可求解.

【解答】解：A选项：J曰*=|一2|=2,故A选项错误；

B选项：V72=|7|=7,故8选项错误；

C选项：一府=—15|=-5,故C选项正确；

D选项：_J（-3）2=—|—3|=—3,故。选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质值=⑷是解题的关键.

2.（2024秋•龙岗区期末）下列计算中，正确的是（）

A.V2+V3=V5B.3V2-V2=3C.V12+V3=4D.V12XV3=6

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】D

【分析】根据二次根式的混合运算法则逐项判断即可.

【解答】解：鱼与声不是同类项，不能进一步计算，

故A选项不正确，不符合题意；

3V2-V2=2企，

故B选项不正确，不符合题意；

V12+V3=2V3+V3=3V3,

故C选项不正确，不符合题意；

V12xV3=V36=6,

故。选项正确，符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

3.（2024秋•通州区期末）下列各式正确的是（）

A.J（—l）2=-1B.（-V2）2=-2

C.V4=±2D.±V64=±8

【考点】二次根式的乘除法；平方根；二次根式的性质与化简.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】D

【分析】A、B选项根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可；

C、。选项根据平方根和算术平方根的定义进行计算，然后判断即可.

【解答】解：A..••，『*=1，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

8.•；（_立）2=2,.♦.此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

C.：〃=2,...此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

•.•±V^=±8,.•.此选项的计算正确，故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和平方根与算术

平方根的定义.

4.（2024秋•简阳市期末）下列运算正确的是（）

A.V3+V6=V9B.5A/3-V3=5C.V124-V3=4D.V2xV3=V6

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】D

【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；

根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对D选项进行判断.

【解答】解：A.遮与避不能合并，所以A选项不符合题意；

B.5V3-V3=4V3,所以B选项不符合题意；

C.V12-V3=V12T3=V4=2,所以C选项不符合题意；

D.V2xV3=V2V3=V6,所以。选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则

幕是解决问题的关键.

5.（2024秋•成都期末）无理数遍的倒数是（）

1J6V61—

A.-B.—T-C.—D.—V6

666

【考点】分母有理化；倒数.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】C

【分析】先求出声的倒数，然后再把它分母有理化即可.

【解答】解：逐的倒数为："==­.

76（＜6）46

；.A、B、。选项不符合题意，C选项符合题意，

故选：C.

【点评】本题主要考查了互为倒数的定义和分母有理化，解题关键是熟练掌握互为倒数定义和如何把分

母有理化.

6.（2024秋•大庆期末）下列各式计算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.2^6X3V6=6V6

C.4V5-3V5=V5D.V64-2=V3

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】C

【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答.

【解答】解：A、/与百不能合并，故A不符合题意；

B、2乃X3旄=36,故B不符合题意；

C、4V5-3V5=V5,故C符合题意；

D、旄+2=孚，故。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

7.（2024秋•泉港区期末）下列计算中，正确的是（）

A.V3+V2=V5B.3V2-V2=3C.V4XV3=2V3D.n+百=2

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】C

【分析】直接根据二次根式的运算法则进行计算即可.

【解答】解：A.百与四不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意；

B.3V2-V2=（3-1）V2=2V2,故此选项错误，不符合题意；

C.V4XV3-2A/3,正确，符合题意；

D.V6-V3=V2,故此选项错误，不符合题意.

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键.

8.（2024秋•长沙期末）下列计算正确的是（）

A.x2,x3=x6B.彳6+/=彳4

C.V5+V6=VilD.（x-y）2=/-/

【考点】二次根式的加减法；同底数累的乘法；同底数塞的除法；完全平方公式.

【专题】整式；运算能力.

【答案】B

【分析】根据同底数幕运算、二次根式加减、完全平方公式逐一判断各选项，得到结果.

【解答】解：A.?-x3=?,原计算错误，该选项不符合题意；

B.X6-rX2=X4,计算正确，该选项符合题意；

c.V5+V6vn,原计算错误，该选项不符合题意；

D（尤-y）2=x2-Ixy+y1,原计算错误，该选项不符合题意，

故选：B.

【点评】本题考查了同底数嘉运算、二次根式加减、完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关

键.

9.（2024秋•揭西县期末）下列计算正确的是（）

A.=V2B.V2+V3=V5

C.V6-4-V2=3D.（2V3）2=12

【考点】二次根式的混合运算；分母有理化.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】D

【分析】根据二次根式的运算法则和分母有理化作答即可.

【解答】解：A、源式=萼下=号,计算错误，不符合题意;

V2XV2乙

B、夜与日不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；

6

-

C、原式=2-V3计算错误，不符合题意;

D、原式=2〜X（V3-）=12,计算正确，符合题意；

故选：D.

【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算和分母有理化，解题的关键是准确计算.

10.（2024秋•黔江区期末）若实数相，”在数轴上的位置如图所示，则代数式+切2一加一小的化简

结果为（）

-------1----------------------1----------------------

nm0

A.-2mB.2nC.2mD.-In

【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴.

【专题】实数；二次根式；运算能力.

【答案】A

【分析】根据数轴可知，n<0,m<0,\m\<\n\,再根据二次根式的性质及绝对值的性质即可解答.

【解答】解:由数轴可知，n<0,m<0,\m\<\n\,

+n）2—\m—n\

=\m+n\-\m-n\

=-（m+n）-（机-〃）

=-m-n-m+n

=-2m,

故选：A.

【点评】本题考查了数轴上点的位置关系，二次根式的性质，绝对值的性质，掌握二次根式的性质及绝

对值的性质是解题的关键.

二.填空题（共5小题）

11.（2024秋•成都期末）已知x=2b一1,则代数式/+2x+2的值为13.

【考点】二次根式的化简求值.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】13.

【分析】先表示出X+1的值，再将代数式利用完全平方公式进行变形为（X+1）2+1,再将数值代入即可

求出结果.

【解答】解：：久=2b一1,

/.x+l=2-\/3.

X，2X+2

=（x+1）2+1

=（2V3）2+1

=13.

故答案为：13.

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是将代数式进行变形为（尤+1）2+1.

12.（2024秋•西山区校级期末）式子忑与有意义的条件是x>2

【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件.

【专题】分式；二次根式；运算能力.

【答案】x>2.

【分析】根据分式的分母不等于0,二次根式中被开方数为非负数，列出不等式求解即可.

【解答】解：,.”-2>0,

.'.x>2,

故答案为：x>2.

【点评】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，掌握分式和二次根式有意义的条

件是解题的关键.

—24—Vs/_0_

13.（2024秋•莱西市期末）计算：一（V3）=2V3-1.

【考点】二次根式的混合运算；零指数塞；分母有理化.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】2V3-1.

【分析】先化简二次根式、计算零指数幕，然后计算加减法.

V24-V8r-0

【解答】解：一后一+（W）

V2

2布-2鱼4

=^^+1

=2百-2+1

=2V3-1.

故答案为：2W一1.

【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，零指数幕，分母有理化，解题的关键是正确化简二次根

式.

14.（2024秋•金凤区校级期末）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图

中阴影部分面积为24

【考点】二次根式的应用.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】24.

【分析】利用二次根式化简求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，求出大正方形的面积，即

可得到阴影面积.

【解答】解：两个小正方形的边长分别为遮=2应和圆=3vL

大正方形的边长为2鱼+3V2=5V2,

大正方形的面积为（5a）2=50,

图中阴影部分面积为50-8-18=24.

故答案为：24.

【点评】此题考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的化简是解题的关键.

15.（2024秋•金牛区期末）已知力=应-1,y=V2+1,则代数式/+丫2+灯的值等于7.

【考点】二次根式的化简求值；分母有理化.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】7.

【分析】先求出无+y和孙的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出即可.

【解答】解：=—1,y=V2+1,

.,.无+y=V2-1+V2+1=2&,

孙=(V2-1)x(V2+1)=1.

.,./+、2+盯

=(x+j)~-xy

=(2V2)2-1

=7.

故答案为：7.

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.

三.解答题(共8小题)

16.(2024秋•正定县期末)已知a,b,优都是实数，若a+b=2,则称。与b是关于1的“平衡数”.

(1)5-&与—鱼-是关于1的“平衡数”；

(2)若(m+V3)(l-V3)=-2,判断⑺+竟)与(3-皆)是不是关于1的“平衡数”.

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】(1)V2-3；

(2)不是.

【分析】(1)根据平衡数的定义计算2-(5-V2)即可；

(2)先利用分母有理化计算出机=1,然后计算1+百+3-百的值，然后根据平衡数的定义进行判断.

【解答】解：(1)2-(5-V2)=/一3,

即5-夜与鱼-3是关于1的“平衡数”；

故答案为：V2—3；

(2)(m+V3)(1-V3)=-2,

.,.m+43=]=V3+L

解得1,

.,./77+V3+3-V3=1+V3+3-V3=4,

/.(m+8)与(3-遮)不是关于1的“平衡数”.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则

是解决问题的关键.

17.(2024秋•青山区期末)先化简，再求值：(a+逐)(a-岳)-(V3-a)2,其中a=2百-1.

【考点】二次根式的化简求值.

【专题】计算题；二次根式.

【答案】见试题解答内容

【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可化简二次根式，最后将。的值代入

计算可得.

【解答】解：原式=/-5-3-

=2y/3a-8.

Va=2V3-1,

，原式=2gx(2A/3-1)-8

=4-2V3.

【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和二次根式的

性质.

18.(2024秋•桥西区期末)计算:

(1)V12+V2-V8；

(2)(2A/3-I)2-(V5+2)(75-2).

【考点】二次根式的混合运算；平方差公式.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】(1)2V3-V2.

(2)12-4V3.

【分析】(1)先化简二次根式，再合并同类项即可.

(2)先根据完全平方公式、平方差公式去括号，再合并同类项即可.

【解答】解：(1)V12+V2-V8

=2V3+V2-2V2

=2V3-V2.

(2)(2V3-I)2-(V5+2)(75-2)

=12-4V3+1-(5-4)

=12-473+1-1

=12-4V3.

【点评】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

19.（2024秋•顺义区期末）阅读下面材料:

我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：V迷一（后病V7+（V内6同=g+加.类似的

("一通)"布)_

把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：H7+1分子有理化可以用

V7+V6V7+V6'

来比较某些二次根式的大小，例如：比较近-伤和历-病的大小，可以先将它们分子有理化如下:

V7-V6=r-^r-,V6—V5=-TJ—7=,因为近+巡>遍+巡，所以夕-6一遮.

V7+V6V6+V5

请根据上述材料，解决下列问题:

（1）把下列各式分子有理化:

12

@V3—V2=弓/；®V5—V3=/e

V3+V2V5+V3-

(2)比较g—"I和旧—3的大小，并说明理由;

2

（3）将式子-声71分子有理化为,该式子的最大值为

Vx+1+Vx-l

【考点】二次根式的混合运算；实数大小比较；平方差公式；分母有理化.

【专题】二次根式；运算能力.

1

【答案】m①两段;

(2)V13-VlT<ViT-3；

2

(3)=V2.

Vx+1+Vx—1；

【分析】（1）利用平方差公式把两个式子分子有理化;

(2)先分子有理化得到-VTT=f，711-3=^1—,然后利用Vn+VTT>V!T+3可得

V13+V11V11।3

到—3；

2

（3）先分子有理化得到V74I-=再根据二次根式有意义的条件得到无21,所

Jx+1+Jx-1

以X的最小值为1,然后计算S--SE的最大值.

【解答】解：（1）①旧—&=京后;

1

故答案为：西^

(V5-V3)(V5+V3)2

②遍一遍=

V5+V3V5+V3'

2

故答案为:

V5+V3?

(2)V13-VT1=，―2VT1—3=^—,

713+VllV11+3

因为g+VTT>VTi+3,

所以VH—VH<VH—3；

.________9

(3)Vx+1—y/x—1=,——一~；——一,

Vx+l+Vx-1

因为尤-INO且x+l2O,

解得尤Nl，

所以尤的最小值为1,

当x=l时，.---~~广三:的值最大，最大值为7-=J5，

Vx+l+Vx-1<2+0

即〃+1-7x-1的最大值为夜.

2.

故答案为：V2.

Vx+1+Vx-l

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则

和分母有理化是解决问题的关键.

20.(2024秋•惠来县期末)综合与实践

【问题情境】我们知道两个数的和为2,这两个数的平均数为1,按照这样简单的数学知识，我们给出

一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若。+6=2,则。与6的平均数是1,我们称

a与b是关于1的平衡数.例如，3与-1是关于1的平衡数.

【思考尝试】

(1)4与-2是关于1的平衡数；5-&与-3+9是关于1的平衡数；

【实践探究】

(2)机与〃是关于1的平衡数，同时，，"+3与2〃-1也是关于1的平衡数，求相与w的值；

【拓展延伸】

(3)若(6+百)(1一旧)=一5+3H，试判断爪+遍与5-百是否是关于1的平衡数，并说明理由.

【考点】二次根式的加减法.

【专题】计算题；新定义；二次根式；运算能力.

【答案】(1)-2,-3+V2；

(2)m=4,n=-2；

(3)不是，理由见解析.

【分析】(1)根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案;

(2)根据平衡数的概念得关于m和n的方程组，由此可得出答案；

(3)根据所给的等式，解出机的值，进而再代入判断即可.

【解答】解：(1)由题意得，4+(-2)=2,5-V2+(-3+V2)=2,

••-4与-2是关于1的平衡数，5-应与-3+a是关于1的平衡数；

故答案为：-2,-3+V2；

(2)m与n是关于1的平衡数，，"+3与2〃-1也是关于1的平衡数，

.(m+n=2

••tm+3+2九一1=2'

解得

<71=—2

(3)不是，

,?(rn+W)X(1-V3)=m-V3m+V3-3,

又,:(机+旧)X(1-V3)=-5+3V3,

tn—VSWI+A/3—3-—5+3^3>

-2+2A/3,

即m(1-V3)=-2(1-V3),

.,.m=-2,

(m+V3)+(5-V3)=(-2+V3)+(5-V3)=3,

/.(-2+V3)与(5-旧)不是关于1的平衡数.

【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类

二次根式的合并，难度一般.

21.(2024秋•即墨区期末)在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题:

1

已知a=2+6求2/-8〃+1的值.

他们是这样解答的:

12-V3

2+V3―(2+V3)(2-V3)-2-

•e•CL-2=-

(。-2)2=3即-4〃+4=3,

••ci~4。=-1,

2〃2-8〃+1=2(d-4〃)+1=2X(-1)+1=-1.

请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题:

(1)=—8-加―；

11111

(2)化简：京+吊标+京后+…+--------+---------・

V120+V119V121+V120,

3

(3)若a=遮12,求2/~8a-8〃+4的值.

【考点】二次根式的化简求值；平方差公式；分母有理化.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】(1)V3-V2；

(2)10；

(3)6.

【分析】(1)把分子分母都乘以W+a,然后利用平方差公式计算；

(2)先分母有理化，然后同类二次根式即可；

(3)先分母有理化得到a=V5+2,移项后平方得到/-4a=l,再把原式变形为2/(/-44)-8tz+4,

接着利用整体代入的方法计算得到原式=2/-8a+4,然后再录音同样方法计算即可.

1y/3—y/2/-/-

【解答】解：(1)^~^二不=5—6；

V3+V2(V3+V2)(V3-V2)

故答案为：V3—V2；

(2)原式=V2—1+V3-V2+V4-y/3+...+,121—V120

=7121-1

=11-1

=10；

-1

(3),•>ci=~——V5+2,

'.a-2=亚,

(〃-2)2=5,

n

・a・〃—4〃—1,

2d-8〃3-8〃+4

=2〃2-4〃)-8〃+4

=2a2-8。+4

=2(〃2-4")+4

=2X1+4

=6.

【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值.也考查了

分母有理化.

1

22.（2024秋•成华区期末）小明同学在解决问题“已知a=，求2/-8G+1的值”时，他是这样解答

2+V3

的:

2

.,・。=备=(2+右乙旷2-百，.•・遮=2—a'.・.(遮)2=(2—。产Aa=4a-1.

2/-8〃+1=2(4。-1)-8。+1—8。~2~8i+1—-1.

请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题:

++++；

(1)化间：^/2+173+V2V4+V3V2025+V2024

1

(2)已知X=求2?-8?+3x+7的值.

V2-11

【考点】二次根式的化简求值；平方差公式；分母有理化.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】⑴44；

（2）-3V2.

【分析】（1）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；

（2）先分母有理化得到x=/+l,再变形为尤-1=/，则两边平方可得f=2x+l,接着用x表示出

i=5x+2,则利用降次的方法得到原式=-3x+3,然后把x的值代入计算即可.

【解答】解：（1）V2-1+V3-V2+V4-V3+...+V2025-V2024

=V2025-1

=45-1

=44；

(2)Vx=

•\x-1=V2,

(X-1)2=2,

即x2-2X+l=2,

.e.x2=2x+l,

(2x+l)=2X2+X=2(2X+1)+X=5X+2,

・•・原式=2(5x+2)-8(2x+l)+3x+7=-3x+3=-3(V2+1)+3=-3夜.

【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值，利用整体

代入的方法可简化计算.也考查了平方差公式和分母有理化.

23.(2024秋•清远期末)如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16c/的大正方

形纸片.

(1)小方形纸片的边长为2V2cm；

(2)在(1)的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为。，小数部分为6,求a+2b-4混的

值；

(3)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片。的长宽之比为2：

1,且面积为12cm2?若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由.

【考点】二次根式的化简求值；估算无理数的大小.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】(1)2V2；

(2)-2；

(3)不能，理由见解析.

【分析】(1)判断出小正方形面积为8可得结论；

(2)判断出a=l,b—2y/2-2,代入也是求解即可；

(3)设长方形纸片的长和宽分别是4xcm,3xcm,得到3尤,4x=24,求出尤的值，即可解决问题.

【解答】解：(1)•小正方形的面积为16+2=8(cm2),

小正方形的边长为2acm.

故答案为：2鱼；

(2)由题意a=2,b—142—2,

：.a+2b-4V2=2+2(2/—2)-4V2=2+4或-4-4V2=-2；

(3)不能，理由如下：

•••长方形长宽之比为2：1,

...设长方形的长和宽分别为xcm,

'.2x*x=12,

，12=6,

Vx>0,

••x~~,^6，

・・2x=2、/^,

V2<V6<3,

A2V6=V24>4.

・・・沿此大正方形纸片边的方向不能裁剪出符合要求的长方形.

【点评】本题考查算术平方根，正方形面积公式，关键是由题意求出长方形纸片的长和宽.

考点卡片

1.倒数

(1)倒数：乘积是1的两数互为倒数.

11

一般地，a-=1(a=0),就说。(a=0)的倒数是一.

aa

(2)方法指引：

①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”.正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要.倒

数是伴随着除法运算而产生的.

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而。没有倒数，这与相反数不同.

【规律方法】求相反数、倒数的方法

求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“-”即可

求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一

求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置

注意：。没有倒数.

2.平方根

(1)定义：如果一个数的平方等于。，这个数就叫做。的平方根，也叫做a的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

(2)求一个数。的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数。的正的平方根表示为W，负的平方根表示为“-迎”.

正数a的正的平方根，叫做。的算术平方根，记作份.零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0;负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

3.实数与数轴

(1)实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表

示的数，不是有理数，就是无理数.

(2)在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是

在数轴上这个数对应的点与原点的距离.

(3)利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原

点左侧，绝对值大的反而小.

4.实数大小比较

实数大小比较

(1)任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负

实数比大小，绝对值大的反而小.

(2)利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在

原点左侧，绝对值大的反而小.

5.估算无理数的大小

估算无理数大小要用逼近法.

思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值.

6.同底数塞的乘法

(1)同底数塞的乘法法则：同底数哥相乘，底数不变，指数相加.

/•a"=a，"+"(如“是正整数)

mnn

(2)推广：0,a・aP=a"+P(m,n,p都是正整数)

在应用同底数幕的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25,(/■)3与(/.)4,(x-y)2

与(x-y)3等；②。可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数

相加.

(3)概括整合：同底数幕的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在运用时要抓

住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数累.

7.同底数暴的除法

同底数赛的除法法则：底数不变，指数相减.

(a=0,如〃是正整数，，〃>〃)

①底数因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1,而不是0；

③应用同底数累除法的法则时，底数。可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什

么.

8.完全平方公式

(1)完全平方公式：(a±6)2=a1+2ab+b~.

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”.

(2)完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项

分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同.

(3)应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a,6可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和(或

差)的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方

公式.

9.平方差公式

(1)平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.

(a+6)(a-b)—a2-b2

(2)应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全