2024-2025学年下学期初中数学七年级第八章B卷

第八章B卷

选择题（共io小题）

1.（2024秋•重庆期末）估计3的结果应在（）

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间

2.（2024秋•北仑区期末）已知”是整数，且n〈V7U<n+l,则"的值是（）

A.8B.9C.10D.11

3.（2024秋•正定县期末）下列说法正确的是（）

A.（-2）2的平方根是-2B.-3是-9的负的平方根

C.付的立方根是2D.履是有理数

4.（2024秋•丰泽区期末）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（）

——।——>—►

-3-2-10

A.-V3B.-V6C.V3D.V6

5.（2024秋•天府新区期末）在1,0,-1,一百四个实数中，小于-1的实数是（）

A.1B.0C.-1D.-V3

6.（2024秋•嵩县期末）在实数—百，—旧，0.6,与，0,N，0.101001000100001中，无理数有（）

个.

A.2B.3C.4D.5

7.（2024秋•常州期末）如图，根据尺规作图痕迹，点/在数轴上表示的数是（）

A.V7-1B.V7C.V7+1D.5

8.（2024秋•平谷区期末）如图，若数轴上的点A,B,C,D表示数-1,1,2,3,则表示数3—位的点

应在（）

ABCD

—।-------i---------1--------*-------；-------

-2-10123

A.A,。之间B.B,C之间C.C,。之间D.O,B之间

9.（2024秋•邺州区期末）实数a、b在数轴上表示的点位置如图所示，则下列代数式中最大的是（)

ab

___I.I■■।1A

-2-1012

A.a+bB.a-bC.-a-bD.-a-（-Z?）

10.（2024秋•江北区期末）下列说法不正确的是（）

A.两点之间线段最短

B.在实数范围内，任何数都有平方根

C.两点确定一条直线

D.互为相反数的两个数相加得0

填空题（共5小题）

11.（2024秋•城关区期末）若尤是他的算术平方根，则尤=.

12.（2024秋•邦州区期末）-事的相反数是,25的平方根是,-8的立方

根是.

13.（2024秋•梁溪区校级期末）请写出一个比旧小的无理数：.

14.（2024秋•李沧区期末）如图，正方形OBCD的面积为3,OA=OB,则数轴上点A对应的数

是.

15.（2024秋•青山区期末）已知a,6互为相反数，c,d互为倒数，机的倒数等于它本身，则=-cd+根

的立方根为.

三.解答题（共8小题）

16.（2024秋•西山区校级期末）计算：（一1）2。25+孤一02义5+（兀-3.14）°+（3T.

17.（2024秋•西山区校级期末）我们知道，鱼是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分.即

企的整数部分是1,小数部分是鱼-1,请回答以下问题：

（1）若a是"U的整数部分，b是4U的小数部分.则°=,b=.

1

（2）若7+m=久+丫，其中x是整数，且求-------的值.

y-x+11

18.（2024秋•榕城区期末）已知〃是最大的负整数，d的相反数是它本身，依=1,匕|=5,且人与c乘积

小于0,/?+c>0,请回答问题.

（1）请直接写出。、b、c的值：a=,b=,c=,d=.

(2)计算aX6-c+d的值.

(3)若x是。的算术平方根的小数部分，求2x+6的值.

19.(2024秋•灵武市期末)已知V7的整数部分是a,-3是b的一个平方根.

(1)求a+6的平方根；

(2)比较大小：4^+b2V3(填或“=

20.(2024秋•哈尔滨期末)定义:若无理数四的被开方数(N为正整数)满足〃2<N<(»+1)2(其中a

为正整数)，则称无理数，方的“共同体区间”为(%〃+1).例如：因为12<3<22,所以旧的“共同

体区间”为(1,2).请回答下列问题：

(1)我的“共同体区间”为；

(2)若整数x,y满足关系式：|2•一6|+万*=0求+1)的“共同体区间”.

21.(2024秋•仁寿县期末)计算：V25+|1-V2|+7=8+(-1)2024.

22.(2024秋•介休市期中)如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64.

图1图2

(1)求出这个魔方的棱长；

(2)图1中阴影部分是一个正方形ABCD,求出阴影部分的面积和边长；

(3)把正方形ABC。放到数轴上，如图2,使点A与-1重合，请直接写出点。在数轴上所表示的数.

23.(2024秋•奉化区校级期中)阅读下列材料：

在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这

两个数的算术平方根的积存在什么关系？小诚和小乐分别用自己的方法进行了验证：

小诚：-4x25=V100=10而=2,V25=5,

/.V4xV25=2x5=10,即-4x25=V4xV25.

小乐：(—4义25)2=4x25,(〃x底/=(2x5)2=100=4x25,这就说明，-4x25与福义底

都是4X25的算术平方根，而4义25的算术平方根只有一个，所以7¥3与=〃义后.

回答以下问题：

(1)结合材料直接写出当a20,620时，倔和迎之间存在怎样的关系？

(2)运用以上结论，计算：

(2X/9X49；

(W121x441；

(3)解决实际问题：已知一个长方形的长为阿，宽为VIU,求这个长方形的面积.

第八章B卷

参考答案与试题解析

题号12345678910

答案CACBDABDDB

选择题（共10小题）

1.（2024秋•重庆期末）估计Vl^+3的结果应在（）

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间

【考点】估算无理数的大小.

【专题】实数；符号意识.

【答案】C

【分析】先估算g的大小，再根据不等式的基本性质估算旧+3的大小即可.

【解答】W：V4<V18<5,

.\4+3<V18+3<5+3,

.•.7<V18+3<8,

.,.同+3应在7和8之间，

故选：C.

【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小.

2.（2024秋•北仑区期末）已知”是整数，且九<行〈几+1,则“的值是（）

A.8B.9C.10D.11

【考点】估算无理数的大小.

【专题】实数；符号意识.

【答案】A

【分析】先估算行的大小，然后求出w的值即可.

【解答】解：n<V70<n+1,

:・〃=8,

故选：A.

【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小.

3.（2024秋•正定县期末）下列说法正确的是（）

A.(-2)2的平方根是-2B.-3是-9的负的平方根

C.闹的立方根是2D.6五是有理数

【考点】实数.

【专题】实数；符号意识.

【答案】C

【分析】A.先根据乘方意义化简数，再根据平方根的定义求出其平方根，然后判断即可；

B.先判断-3是哪个数的负的平方根，然后判断即可；

C.先把二次根式化简，再求出它的立方根，然后判断即可；

D.先把二次根式化简，再根据无理数的定义进行判断即可.

【解答】解：A.•••(-2)2=4,(-2)2的平方根是±2,.•.此选项的说法错误，故此选项不符合题意；

氏：-3是9的负的平方根，，此选项的说法错误，故此选项不符合题意；

C.VV64=8,属的立方根是2,...此选项的说法正确，故此选项符合题意；

O.•••g=28是无理数，,此选项的说法错误，故此选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题主要考查了实数，解题关键是熟练掌握平方根与立方根的定义.

4.(2024秋•丰泽区期末)如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是()

—*-0-*——1——1—►

-3-2-10

A.-V3B.-V6C.V3D.V6

【考点】估算无理数的大小；实数与数轴.

【专题】实数；运算能力.

【答案】B

【分析】观察数轴可知：手掌遮挡住的点表示的数是大于-3且小于-2,然后分别估算各个选项中无

理数的大小，再进行判断即可.

【解答】解：观察数轴可知：手掌遮挡住的点表示的数是大于-3且小于-2,

A.V1<V3<2,.\-2<-V3<-1,此选项不符合题意；

8.<遍<3,3V—伤〈一2,...此选项符合题意；

C.百V2,...此选项不符合题意；

D.：2<遍<3,.•.此选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小.

5.（2024秋•天府新区期末）在1,0,-1,一g四个实数中，小于-1的实数是（）

A.1B.0C.-1D.-V3

【考点】实数大小比较；算术平方根.

【专题】实数；符号意识.

【答案】D

【分析】先利用绝对值比较-1，-8的大小，然后比较这四个实数的大小，从而得到答案即可.

【解答】解：1|=1,|一百|=8,1<V3<2,

—1>—V3>

.•.-V3<-1<0<1,

•••小于-1的实数是一百，

故选：D.

【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握利用比较绝对值大小比较负数的大小.

6.（2024秋•嵩县期末）在实数—遮，—旧，0.6,竿，0,皿，0.101001000100001中，无理数有（）

个.

A.2B.3C.4D.5

【考点】无理数；算术平方根；立方根.

【专题】实数；数感.

【答案】A

【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数，无限不循环小数为无理数，分为

正无理数和负无理数.根据无理数的意义即可解答.

【解答】解：-碧=-小

在实数一回_碧,0.6,争0,0.101001000100001中，无理数有—V5,口，共2个.

故选：A.

【点评】本题考查了无理数，算术平方根以及立方根，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键.

7.（2024秋•常州期末）如图，根据尺规作图痕迹，点M在数轴上表示的数是（）

A.V7-1B.V7C.V7+1D.5

【考点】实数与数轴.

【专题】实数；运算能力.

【答案】B

【分析】先观察图形可知点8表示的数是-3,点C表示的数是0,点。表示的数是1,根据两点间的

距离公式求出BC,BD,通过作图痕迹可知AB=BD,AC^CM,再利用勾股定理求出AC,从而得到

CM,进而求出答案即可.

【解答】解：如图所示：

点8表示的数是-3,点C表示的数是0,点。表示的数是1,

：.BC^0-(-3)=0+3=3,BD=AB=1-(-3)=1+3=4,

在RtAABC中，由勾股定理得：AC=ylAB2-BC2=V42-32=V7,

由作图痕迹可知：AC=CM=V7,

:点C表示的数是0,

...点E表示的数是V7,

故选：B.

【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式和勾股定理.

8.(2024秋•平谷区期末)如图，若数轴上的点A,B,C,D表示数-1,1,2,3,则表示数3—位的点

应在()

-2-10123

A.A,。之间B.B,C之间C.C,D之间D.O,B之间

【考点】估算无理数的大小；实数与数轴.

【专题】实数；数感.

【答案】D

【分析】运用算术平方根知识进行估算、求解.

【解答】V2<V7<3,

/.-3<-V7<-2,

.\0<3-V7<l,

表示数3-V7的点应在O,B之间，

故选：D.

【点评】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用该知识.

9.（2024秋•邺州区期末）实数°、6在数轴上表示的点位置如图所示，则下列代数式中最大的是（）

ab

-2-1012

A.a+bB.a~bC.~a~bD.-a-（-b）

【考点】实数大小比较；实数与数轴.

【专题】实数；运算能力.

【答案】D

【分析】一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，根据图示，可得：a<0<b,\b\<

⑷且据此判断即可.

【解答】解：从小到大排列：a-b<a+b<-a-b<-a-（-6）,

最大的数是：-a-（-6）,

故选：D.

【点评】本题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征，熟练掌握以上知识点是关键.

10.（2024秋•江北区期末）下列说法不正确的是（）

A.两点之间线段最短

B.在实数范围内，任何数都有平方根

C.两点确定一条直线

D.互为相反数的两个数相加得0

【考点】实数的性质；直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；平方根.

【专题】推理填空题；推理能力.

【答案】B

【分析】根据负数没有平方根即可得答案.

【解答】解：负数没有平方根，故8错误，此外A,C,。正确；

故选：B.

【点评】本题主要考查了平方根，直线和线段的性质，解题关键是负数没有平方根.

二.填空题（共5小题）

11.（2024秋•城关区期末）若x是府的算术平方根，则尤=3.

【考点】算术平方根.

【专题】实数；运算能力.

【答案】3.

【分析】先化简历=9,再求解9的算术平方根即可.

【解答】解：：历=9,

尤是9的算术平方根，

；.x=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查的是算术平方根的含义，熟练的求解一个数的算术平方根是解本题的关键.

A4

12.（2024秋•堇B州区期末）-凸的相反数是25的平方根是±5,-8的立方根是-2.

53

【考点】实数的性质；平方根；立方根.

【专题】实数；运算能力.

4

【答案】-；±5；-2.

【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得第一空答案；对于两个实数。、b,若满足

那么。就叫做6的平方根，若满足/=从那么。就叫做b的立方根，据此求解即可.

【解答】解：—抛相反数是—（—$=$

25的平方根是±5；-8的立方根是-2；

4

故答案为：-：+5；-2.

【点评】本题主要考查了求一个数的相反数，求一个数的平方根和立方根，熟练掌握以上知识点是关键.

13.（2024秋•梁溪区校级期末）请写出一个比百小的无理数：&（答案不唯一）.

【考点】实数大小比较；算术平方根；无理数.

【专题】实数；运算能力.

【答案】V2（答案不唯一）.

【分析】根据无理数的意义，特点作答即可，答案不是唯一的.

【解答】解：•••鱼是无理数，且&V百，

比旧小的无理数为企（答案不唯一），

故答案为：V2（答案不唯一）.

【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，无理数，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键.

14.（2024秋•李沧区期末）如图，正方形08。的面积为3,OA^OB,则数轴上点A对应的数是

【考点】实数与数轴；算术平方根.

【专题】实数；运算能力.

【答案】V3.

【分析】先根据已知条件，利用正方形面积公式，求出正方形边长。2,从而得到即可.

【解答】解：：正方形OBCO的面积为3,

：.OA^OB=V3,

...数轴上点A对应的数是百，

故答案为：V3.

【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握正方形的面积公式.

15.（2024秋•青山区期末）已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，机的倒数等于它本身，则笔-cd+巾

的立方根为0或g.

【考点】实数的性质.

【专题】实数；运算能力.

【答案】0或口.

【分析】根据题意得。+b=0,cd=l,根=±1,以整体的形式代入所求的代数式，进而求立方根即可求

解.

【解答】解：由条件可知a+b=0.cd=l,以机=±1.

a+b

m=l时r，———cd+m=0—1+1=0,

a+b,、,

所以一z--cd+m的乂方根是0；

TYlz

②m=-1时，———cd+m=O—1—1=—2,

所以上微-cd+?n的立方根为不工.

mz

综上所述，七号-cd+m的立方根是。或

故答案为：0或g.

【点评】此题考查立方根，代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键.

三.解答题（共8小题）

16.（2024秋•西山区校级期末）计算：（一1产。25+强一旧x亭+（兀-3.14）°+g）T.

【考点】实数的运算.

【专题】计算题；运算能力.

【答案】1.

【分析】先计算零指数累，负整数指数幕和乘方，再计算二次根式乘法，最后计算加减法即可得到答案.

【解答】解：（一1）2°25+V^-gx亨+（兀一3.14）°+8）-1.

F5

=-1+2—2V3X-2—F1+2

=-1+2-3+1+2

=1.

【点评】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式乘法运算，掌握实数的运算法则是解题的关键.

17.（2024秋•西山区校级期末）我们知道，鱼是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分.即

企的整数部分是1,小数部分是鱼-1,请回答以下问题：

（1）若。是的整数部分，b是Y1U的小数部分.则。=3,Z?=_V10-3_.

1

（2）若7+diU=;c+y,其中x是整数，且0<y<l,求-------的值.

•y-x+11

【考点】估算无理数的大小.

【专题】计算题；推理能力.

【答案】（1）3；V10-3；

Vio1

（2）——+-.

63

【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数同即可解答；

（2）估算7+VIU的值，确定x,y的值，再代入计算，分母有理化即可.

【解答】解：(1)VV9<VT0<V16,BP3<V10<4,

.•.m的整数部分为：3,即。=3,

...JTU的小数部分为：V10-3,即b=同一3,

故答案为：3；V10—3；

(2)V7+V10=x+y,其中x是整数，且0<y<l,而3V“UV4,

Ay=V10-3,

.,.7+VT0=X+V10-3,

...x=10,

.IllV10+2V101

"y-x+11~V10-3-10+11-V10-2-(V10-2)(V10+2)-6+3-

【点评】本题考查了平方根，算术平方根，估算无理数的大小，分母有理化，掌握估算无理数的大小是

解题的关键.

18.(2024秋•榕城区期末)已知。是最大的负整数，d的相反数是它本身，依=1,|c|=5,且6与c乘积

小于0,b+c>0,请回答问题.

(1)请直接写出a、b、c的值：a=-1,b=-1,c=5,d=0.

(2)计算aXb-c+d的值.

(3)若尤是c的算术平方根的小数部分，求2x+6的值.

【考点】实数的性质；估算无理数的大小；相反数；绝对值；有理数的加法；有理数的乘法；算术平方

根.

【专题】实数；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据有理数的定义及运算法则，相反数及绝对值的定义即可求得答案；

(2)将(1)中数值代入计算即可；

(3)根据x是c的算术平方根的小数部分，c=5,得久=有-2,再代入2x+6计算即可.

【解答】解：(1)是最大的负整数，d的相反数是它本身，

••cz=-1,d=0,

"1=1,|c|=5,且6与c乘积小于0,b+c>0,

:.b=-1,c=5.

故答案为：-1,-1,5,0；

(2)由(1)得：a—-1,b--1,c—5,d—0,

aX6-c+d

=(-1)X(-1)-5+0

=1-5

=-4；

(3)••・尤是c的算术平方根的小数部分，c=5,

.\2<V5<3,

近的整数部分是2,

x=V5—2,

.•.2%+6=2x(V5-2)+6=2xV5-4+6=2V5+2.

【点评】本题考查了算术平方根，相反数，绝对值，代数式示值，估算无理数的大小，有理数的混合运

算，熟练掌握算术平方根，相反数，绝对值，代数式示值，估算无理数的大小，有理数的混合运算法则

是解题的关键.

19.(2024秋•灵武市期末)已知V7的整数部分是a,-3是6的一个平方根.

(1)求a+6的平方根；

(2)比较大小：VF+b<2V3(填“>”或“=

【考点】实数大小比较；估算无理数的大小；平方根.

【专题】实数；符号意识；运算能力.

【答案】(1)±VT1；

(2)<.

【分析】(1)先估算旧的大小，求出。，再根据平方根的定义求出6,从而求出a+6及其平方根；

(2)把(1)中所求a,b代入^再把2次根号外的数移到根号里面，然后通过比较被开发数的

大小进行比较即可.

【解答】解：(1)V2<V7<3,

的整数部分a=2,

：-3是。的一个平方根，

；.6=9,

“+6=2+9=11,

：.a+b的平方根是士VTT；

(2)由(1)可知：4a+b=VT1,2V3=V2x2X3=V12.

Vll<12,

.•.V1T<2V3,

.'.y/a+b<2y[3,

故答案为：<.

【点评】本题主要考查了实数的大小比较和无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数大小和

平方根的定义.

20.(2024秋•哈尔滨期末)定义：若无理数赤的被开方数(N为正整数)满足(W+1)2(其中〃

为正整数)，则称无理数逐的“共同体区间“为(“，”+1).例如：因为12<3<22,所以，的“共同

体区间”为(1,2).请回答下列问题：

(1)我的“共同体区间”为(2,3)；

(2)若整数x,y满足关系式：|2x—6|+万飞=0求+D的“共同体区间”.

【考点】实数；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根.

【专题】计算题；运算能力.

【答案】(1)(2,3)；

(2)(4,5).

【分析】(1)仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解；(2)先根据非负数的性质求出尤

和y值，再根据“共同体区间”的定义即可求解.

【解答】解:(1)V22<8<32,

倔的“共同体区间”为(2,3)；

故答案为;(2,3)；

(2)V|2x-6|=0,

.,.2x-6=0,y-5=0,

・・x=3,y=5,

1・+1)=,3•(5+1)=V18,

V42<18<52,

+1)的“共同体区间”为(4,5).

【点评】本题考查了实数，非负数的性质：绝对值与算术平方根，熟练掌握无理数的大小估算是关键..

21.(2024秋•仁寿县期末)计算：V25+|1-V2|+V^8+(-1)2024.

【考点】实数的运算.

【专题】实数；运算能力.

【答案】3+企.

【分析】先根据乘方的意义、平方根和立方根的定义，计算乘方和开方，再算加减即可.

【解答】解：原式=5+应一1+(-2)+1

=5+1-1—2+V2

=3+V2.

【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握乘方的意义、平方根和立方根的定义.

22.(2024秋•介休市期中)如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64.

图1图2

(1)求出这个魔方的棱长；

(2)图1中阴影部分是一个正方形ABCD求出阴影部分的面积和边长；

(3)把正方形ABC。放到数轴上，如图2,使点A与-1重合，请直接写出点。在数轴上所表示的数.

【考点】实数与数轴；立方根.

【专题】实数；整式.

【答案】⑴4；

(2)阴影部分的边长为2vL阴影部分的面积为8；

(3)-1-2V2.

【分析】(1)根据正方体的体积公式求出棱长即可；

(2)求出每个小正方体的棱长，再根据勾股定理求出即可；

(3)求出。的值，再代入化简即可.

【解答】解：(1)这个魔方的棱长为：V64=4;

(2)每个小正方体的棱长为：4+2=2；

阴影部分的边长为：8=历矛=2近，

阴影部分的面积为：C£>2=(2V2)2=8；

(3)根据(2)可知4。=2/，

:点A与-1重合，

.•.点D表示的数为-1-2V2.

【点评】本题考查了数轴、平方差公式、整式的化简等知识点，灵活运用知识点进行计算是解此题的关

键.

23.(2024秋•奉化区校级期中)阅读下列材料：

在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这

两个数的算术平方根的积存在什么关系？小诚和小乐分别用自己的方法进行了验证：

小诚：V4x25——-\/100——10而VZ=2,V25=5,

.\V4XV25=2X5=10,即-4x25=V4XV25.

小乐：(—4x25)2=4x25,(V4xV25)2=(2x5)2=100=4x25,这就说明，-4x25与〃

都是4X25的算术平方根，而4X25的算术平方根只有一个，所以7¥3^=〃义回.

回答以下问题：

(1)结合材料直接写出当620时，和之间存在怎样的关系？

(2)运用以上结论，计算：

(ZV9x49；

(W121X441；

(3)解决实际问题：已知一个长方形的长为俯，宽为VIU,求这个长方形的面积.

【考点】估算无理数的大小；实数的运算.

【专题】实数；数感.

【答案】(1)=Va-VF；(2)①21；②231；(3)20.

【分析】(1)由题意可得当aNO,时，y[ab=y/a-Vb；

(2)根据法则计算(W9x49=V9XV49;

(W121x441=V121xV441;

(3)由长方形的面积可知S=同x同=<40x10.

【解答】解：(1)当a20,6N0时，

y[ab=y[a-VF；

(2)(ZX/9x49=炳义V49=3x7=21；

(W121x441=V121xV441=11x21=231,

(3)根据题意得：长方形的面积为S=V40xV10=V40x10=V400=20.

【点评】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键.

考点卡片

1.相反数

(1)相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

(2)相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两

个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

(3)多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正.

(4)规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-如。的相反数是-7"+，?

的相反数是-(机+w),这时他+〃是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号.

2.绝对值

(1)概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.

③有理数的绝对值都是非负数.

(2)如果用字母。表示有理数，则数。绝对值要由字母。本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；

③当a是零时，a的绝对值是零.

即⑷={“(cz>0)0(a=0)-a(a<0)

3.非负数的性质：绝对值

在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项

都必须等于0.

4.有理数的加法

(1)有理数加法法则：

①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加.

②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数

的两个数相加得0.

③一个数同0相加，仍得这个数.

(在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0.从而确定用那一条

法则.在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”.)

(2)相关运算律

交换律：a+b—b+a-,结合律(。+6)+c—a+(6+c).

5.有理数的乘法

(1)有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

(2)任何数同零相乘，都得0.

(3)多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇

数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为0,积就为0.

(4)方法指引：

①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘.

②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单.

6.平方根

(1)定义：如果一个数的平方等于。，这个数就叫做。的平方根，也叫做a的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

(2)求一个数。的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数a的正的平方根表示为负的平方根表示为“-m

正数。的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作份.零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0；负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

7.算术平方根

(1)算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于。，即/=a,那么这个正数x叫做a的算

术平方根.记为伤.

(2)非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数.

(3)求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以

借助乘方运算来寻找.

8.非负数的性质：算术平方根

(1)非负数的性质：算术平方根具有非负性.

(2)利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出

不等式求解.非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题.

9.立方根

(1)定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说，如果/=a,

那么x叫做。的立方根.记作：VH.

(2)正数的立方根是正数，。的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

(3)求一个数。的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数.

注意：符号裔中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一

个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0；负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

10.无理数

(1)、定义：无限不循环小数叫做无理数.

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数.如圆周率、2的平方根

等.