2024沪科版七年级数学下册专项练习：实数（压轴题综合测试卷）

6.3实数（压轴题综合测试卷）

学校:姓名：班级：考号：

题号一二三总分

得分

评卷人得分

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（3分）（23-24八年级下•山东荷泽•阶段练习）已知3机-1和-2爪-2是某正数。的平方根，则。的值是

（）

A.3B.64C.3或一：D.64或旅

2.（3分）（23-24七年级下•福建福州•期中）若爪=6n（小〃是正整数），且10<而<12,则与实数低

的最大值最接近的数是（）

A.3B.4C.5D.6

3.（3分M24-25七年级上•浙江宁波・期中）对于实数a、6,定义min{a,6}的含义为：当a<b时,min{a,b}=a：

当a>b时，min{a,b]=b,如：min{l,—2}=—2.已知min{-a}=a,min{-\/40,b}=—\/40,且a和

6为两个连续整数，贝U4a+6b的立方根值为（）

A.3B.-2C.-3D.-4

4.（3分）（23-24七年级下•湖北武汉•阶段练习）已知衣一100）2+（798-xf=200,y=Vm+24+

Vm-1+V1-m,y-%的平方根是（）

A.±V3B.±2C.±V5D.±V6

5.（3分）（2023九年级下•山东枣庄•专题练习）设鱼的整数部分是a,小数部分是6,豆的整数部分是c,

小数部分是d,若m=ad-be,则下列结论正确的是（）

A.—2<m<—1B.—1<m<0C.0<m<1D.1<m<2

6.（3分）（24-25八年级上•全国•期中）设S]=1+*+蠢,S2=1+蠢+专,S3=1+专+专，…,Sn=1+

*+（二）,则++…的值为（）

A.上B.叵C.24兰D.23史

2552524

7.（3分）（23-24七年级下•湖北武汉•期中）若用田表示任意正实数的整数部分，例如：[2,5]=2,[2]=2,

[V2]=1,则式子—[遮]+[V4]-[V5]+•••+[V2022]-[V2023]+[同方]的值为（）（式子中的

“-”依次相间）

A.22B.-22C.23D.—23

8.（3分）（24-25七年级上•重庆万州•阶段练习）下表记录了一些数的平方：

X1717.117.217.317.417.517.617.717.817.918

X2289292.41295.84299.29302.76306.25309.76313.29316.84320.41324

下列结论：①V302.76=17.4；②24-丽的整数部分为7；③30976的平方根是±176；④一定有4个整

数的算术平方根在17.4〜17.5之间.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.（3分）（23-24七年级下•安徽合肥・期中）对于任意实数x,y均能写成其整数部分区与小数部分{行的和，

即x=[灯+{久},其中田称为尤的整数部分，表示不超过x的最大整数，{行称为x的小数部分.如7.12=

[7.12]+{7.12]=7+0.12,[7.12]=7,{7.12]=0.12,则下列结论正确的有（）

@[V15]=3；

②若x=8+=2+贝!j{x}xy=-1；

③若㈤=4,[y]=2则[x+y]所有可能的值为6和7；

®[x+y]<[x]+[y].

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.（3分）（23-24八年级上.福建泉州•期中）如图是用4个相同的长方形与1个正方形镶嵌而成的正方形图

案.已知该图案的总面积为机，小正方形的面积为小若用x、y表示长方形的两边长（光〉y）,请观察图

案，指出下列关系式：①x+y=yG4、②2y=4一低、③xy="二？、④若x=2y,则m=3n.这四个

4

A.1个B.2个C.3个D.4个

评卷人得分

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）

11.（3分）（23-24七年级下•湖北荆州•期中）在下列五个数中：①限;②俘;③弊@；@VZ25；⑤俘嫖，

71002V10000

介于鱼及旧之间的无理数有.（填序号）

12.（3分）（24-25七年级上•重庆万州•阶段练习）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：后-

Vb^—J（a—b—c）2+g+c[=.

______iii1A

ab0c

13.（3分）（23-24八年级上•四川内江•阶段练习）已知|5—3al+（b+2尸+5=3a—J（c—5）b,贝|c—

2b=.

14.（3分）（2024七年级上•全国・专题练习）任何实数a,可用⑷表示不超过a的最大整数，如⑷=4,[百]=1,

现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1,只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，

最大的是.

第一次,_第二次「第三次「

727[V72]t[V8]=2-[V2]=1

15.（3分）（23-24七年级下.广西南宁・期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数双因＜20）

的运算程序如图所示，若输出的y值为应时，则输入的实数尤可取的负整数值是.

/输入H7A计算|L21M金算数平方根^输出y/

评卷人得分

三、解答题（本大题共8小题，满分55分）

16.（8分）（24-25七年级上•山东淄博・期末）计算:

(1)V25+^^64+7(-2)2-|V3-2|；

(2)-12024+(-2)3X--

(3)(%-2)2=9；

(4)8(x+l)3—27=0.

17.（6分）（24-25七年级上•浙江杭州•期中）已知正数x的两个平方根分别是3a-1和a+5,近的整数部分

为6,机和w互为相反数，p和q互为倒数.

（1）求a和b值.

（2）求等一pq+x的值.

18.（6分）（23-24八年级上.全国・单元测试）如图，在数轴上点。、B、C所表示的数分别为0,1,V3,点B到

点C的距离与点。到点力的距离相等，设点4所表示的实数为x.

------------O1---------B-1-------C-1--->

o1JT

（1）求出实数久的值

（2）求k—V3|+\x+1|的值.

19.（6分）（24-25八年级上•四川甘孜•期中）大家知道应是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此鱼的

小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用近-1来表示/的小数部分，因为迎的整数部分是1,将这

个数减去其整数部分，差就是其小数部分.请解答：

（1）旧的整数部分是，小数部分是;

（2）如果花的小数部分为°,后的整数部分为6,求a+b-有的值；

（3）已知：10+8=尤+外其中x是整数部分，y是小数部分，求孙的值.

20.（6分）（24-25八年级上•山西临汾•阶段练习）先阅读材料，再回答问题:

/P=g=1

Vl3+23==3

Vl3+23+33==6

“3+23+33+43=/1Q2=10

（1）请根据以上规律写出第七个等式；

（2）根据以上规律，若一个等式的最右边的值是55,请写出这个等式；

（3）根据以上规律，写出第〃个等式.（用含有〃的式子表示，〃为整数，且九之1）

21.（6分）（23-24七年级下•全国・单元测试）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有

理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若%+yy[m=0,其中%,y为有

理数，Vm是无理数，则%=0,y=0.

证明：•・・％+ySS=0，x为有理数，

•••yy/m是有理数.

y为有理数，而是无理数，

y=0.

・•・x+OVm=0.

•,・%=0.

（1）若x+V2y=V2（l-V2）,其中x,y为有理数，则x=y=_；

（2）若x+yy[m=a+by[m,其中x,y,a,b为有理数，y/m是无理数，求证：x=a,y=b；

（3）已知后的整数部分为a,小数部分为b,x,y为有理数，a,b,%,y满足17y+V17y+

V17（y-2V17X）=2ay/17+by/17,求％,y的值.

22.（8分）（23-24七年级下•福建福州•期中）单项式“次”可表示边长为〃的正方形的面积，这就是数学中的

数形结合思想的体现.康康由此探究鱼的近似值，以下是他的探究过程：

面积为2的正方形边长为鱼，可知/>1,因此设a=1+厂，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个

正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形=/+2xr+l,另一方面S正方形=2,则V+2xr

+1=2,由于r2较小故略去，得2r+B2,则r=0.5,即鱼切.5

（1）仿照康康上述的方法，探究近的近似值.（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；

（2）继续仿照上述方法，在（1）中得到的旧的近似值的基础上，再探究一次，使求得的近的近似值更加

准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；

（3）综合上述具体探究，已知非负整数"，m,b,若"<VF<“+1,且》=/+机，试用含相和”式子表

示VF的估算值.

23.（9分）（23-24七年级下•湖南长沙•阶段练习）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数

T：m<T<n,（其中6为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数7的“麓外区间”

为（m,n）,如1<鱼<2,所以鱼的麓外区间为（1,2）.

（1）无理数-近的“麓外区间”是；

（2）若其中一个无理数的“麓外区间”为（爪，n）且满足0<根+低<12,其中。匚乃是关于尤，y的二元

一次方程租％-ny=C的一组正整数解，求C值.

（3）实数x,y,加满足关系式：J2%+3y—zn+,3%+4y—27n=+y—2023+J2023—%—y,求

TH的算术平方根的“麓外区间”.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（3分）（23-24八年级下•山东荷泽•阶段练习）已知3爪-1和-2m-2是某正数。的平方根，则a的值是

（）

A.3B.64C.3或一1D.64或||

【思路点拨】

3爪-1与-2n1-2相等或者互为相反数，分别求出山的值，再求出37n-1的值，最后求出a的值.

【解题过程】

解：I.当3m—1和—2m—2相等时，3zn—1=-2zn—2,

解得：m=-

ry8

3m—1=——,

5

64

・•・a=—；

25

IL当3zn—1和—2m—2互为相反数时，3m-1+（-2血—2）=0,解得：m=3,

3m—1=8,

・•・a=64；

综上所述：。的值是64或黑

故选：D.

2.（3分）（23-24七年级下•福建福州•期中）若m=6九（小〃是正整数），且10<<12,则与实数伤

的最大值最接近的数是（）

A.3B.4C.5D.6

【思路点拨】

本题考查算术平方根，无理数的估算，根据小的取值范围确定"的取值，再根据机、71为整数，确定n的最大

值，再估算即可.解题的关键是掌握算术平方根的意义是正确估算的前提.

【解题过程】

解：10<y/m<12,

100<m<144,

50m,Q4

,•—<—<24,

36

Vm=6n,贝!JTI=—

6

即又<n<24,

3

又几是正整数，

•••几的最大值为23,

•••25比16更接近23,

・•・迎的最大值比较接近后，即比较接近5,

故选：C.

3.（3分）（24-25七年级上•浙江宁波•期中）对于实数a、6,定义min{a,6}的含义为：当a<b时,min{a,b}=a；

当a>6时，min{a,b}=b,如：min{l,—2]=—2.已知min{—"U,a}=a,min{—\/40,b]=—\/40,且a和

b为两个连续整数，贝|4a+66的立方根值为（）

A.3B.-2C.-3D.-4

【思路点拨】

本题考查新定义下的实数运算、无理数的估算，求一个数的立方根；根据新定义求出a,b的范围，进而求

得小。值，然后再代入求出4a+66的值，再求立方根即可.

【解题过程】

解：min{-V40,a}=a,min{—V40,b]=—V40

a<—V40<b

XV-V49<-V40<-V36,即一7〈一同〈一6

：a和b为两个连续整数，

.,.a=—7,b=—6

4a+6b——28-36=-64

V—64=—4

.•.4a+66的立方根值为一4,

故选：D.

4.（3分）（23-24七年级下•湖北武汉.阶段练习）已知衣一（00）2+（迎8-1=200,y=Vm+24+

Vm-1+V1-m,y-x的平方根是（）

A.±V3B.±2C.±V5D.±V6

【思路点拨】

本题考查了算术平方根的非负性以及有意义的条件、求一个数的平方根，先因为—100）2+

（V98-x）=200,得出xW98,%-100<0,即可化简得=100-％+98-久=200,算出刀的值，因为

y='Jm+24+Vm—1+V1—m,得m=1,求出m的值、y的值，代入y—x,即可作答.

【解题过程】

解：*/J（x-100）2+"98一X）=200,

'.X<98,x—100<0,

则原式=io。-X+98-X=200,

解得久=一1，

Vy=7m+24+7m—1+—m,

m-1>0,1—m>0,

'.m=1,

则y=VI+24+Vl^l+Vl^l=V25=5,

".y—x=5—（—1）=6,

则y—x的平方根为±乃，

故选：D.

5.（3分）（2023九年级下•山东枣庄•专题练习）设班的整数部分是a,小数部分是b,it的整数部分是c,

小数部分是d,若m=ad-be,则下列结论正确的是（）

A.—2<m<—1B.—1<m<0C.0<m<1D.1<m<2

【思路点拨】

本题考查了无理数整数部分的有关计算，无理数的大小估算，实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算法

则及无理数的估算是解题的关键.先求无理数应和n的整数部分和小数部分，得出a,b,c,d的值，然后

代入m=ad-be中计算，求得zn=n-3鱼，再进行实数的估算得出答案.

【解题过程】

解：•••金的整数部分是。，小数部分是b,

a=1,b=V2—1,

•••IT的整数部分是C,小数部分是d,

•••c=3,d=ir—3,

m=ad-he=1x（Ti—3）—（V2—l）x3=ir—3—3V2+3=n—3A/2,

•••n«3.14,3V2«3x1.414=4.23,

m=n-3V2«3.14-4.23=-1.09,

—2<m<—1.

故选A.

6.（3分）（24-25八年级上全国.期中）设品=1+1+套，$2=1+圭+,S3=1+翥+Sn=l+

专+（二广，则J司+J扁+…+J跖的值为（）

A.—B.—C.24—D.23—

2552524

【思路点拨】

本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律.

【解题过程】

解：由题意得：A/^1=+1+7=|=1+1—

42

痘=/111Z=1-

++=F---,

、zq49623

医=小+旨,=ii=:1+工—工，

34

医=小+卜+0=葛=

45

一,

••图-Jl+nz+（n+i）z-=1+i———,

nn+1

•••7^1+------7^24

1111

=1+1--+14----+-…+1+———

1

=24+1--

故选：c.

7.(3分)(23-24七年级下•湖北武汉•期中)若用田表示任意正实数的整数部分，例如：[2.5]=2,[2]=2,

[V2]=1,则式子[/]一[遍]+[V4]-[V5]+-+[V2022]-[V2023]+[同的值为()(式子中的

“-”依次相间)

A.22B.-22C.23D.-23

【思路点拨】

本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键.利用题干中

的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论.

【解题过程】

解：•••I2=1,22=4,

••・鱼与百之间共有2个数，

v22=4,32=9,

•••必与展之间共有(2x2+1)个数，

v32=9,42=16,

①与旧之间共有(3x2+1)个数，

…，

2

•••44=1936,452=2025,

内费与同方之间共有(2X44+1)个数，

[V2]-[V3]+[V4]-[V5]+■■■+[V2022]-[V2023]+[V2024]

=(1-1)+(2-24-2-2+2)+(-3+3—3+―・+3—3,)+…+(44-44+-+44)

5个27个389个44

=0+2—3+4—5+…+44

=2+1+1+-+1

21个1

=23.

故选C.

8.(3分)(24-25七年级上•重庆万州•阶段练习)下表记录了一些数的平方：

1717.117.217.317.417.517.617.717.817.918

X2289292.41295.84299.29302.76306.25309.76313.29316.84320.41324

下列结论：①4302.76=17.4；②24-所的整数部分为7；③30976的平方根是±176；④一定有4个整

数的算术平方根在17.4〜17.5之间.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【思路点拨】

本题考查的是平方根与算术平方根的含义，无理数的整数部分的含义，结合表格信息，根据平方根与算术

平方根，整数部分的含义逐一分析即可.

【解题过程】

解：V17.42=302.76,

.W302.76=17.4,故①正确；

•/17.32=299.29,,299,29<V300<4302.76

/.17.3<V300<17.4,

；.17<V300<18,

：.6<24-V300<7,

24-百面的整数部分为6,故②错误；

：17.62=309.76,

.1.1762=30976,

,（±176）2=30976,

...30976的平方根是±176,故③正确；

：17.42=302.76,17.52=306.25,

/.303,304,305,306的算术平方根在17.4〜17.5之间.故④正确；

综上：正确的有①③④.

故选：C

9.（3分）（23-24七年级下•安徽合肥・期中）对于任意实数x,y均能写成其整数部分区与小数部分｛%｝的和，

即久=[灯+｛久｝,其中田称为x的整数部分，表示不超过x的最大整数，｛久｝称为光的小数部分.如7.12=

[7.12]+｛7.12]=7+0,12,[7.12]=7,｛7.12｝=0.12,则下列结论正确的有（）

①M亏|=3；

②若％=8+逐,丫=2+4，贝Kx｝xy=-1；

③若田=4,[y]=2则氏+y]所有可能的值为6和7；

®[x+y]<[x]+[y].

A.1个B.2个C.3个D.4个

【思路点拨】

本题考查了实数的运算.根据田表示不超过x的最大整数，{灯称为》的小数部分，计算，再逐一判断即可.

【解题过程】

解：VV9<V15<V16,

，3<V15<4,

•••鹿]=3,①正确；

•/V4<V5<V9,

2<V5<3,

/.10<8+V5<11,

.\{x}=8+75-10=75-2,

•,•{%）xy=（V5-2）（2+V5）=1,②错误；

'/[x]<x<[x]+1,[y]<y<[y]+1,

[x]+[y]<x+y<[x]+1+[y]+1,

6<%+y<8,

6<[x+y]<8,

+所有可能的值为6和7,③正确；

若x=4.6,y=5.7,那么[x+y]=[4.6+4.7]=9,

[x]+[y]=[4.6]+[4.7]=4+4=8.

[x+y]>[x]+[y],故④不正确；

故选：B.

10.（3分）（23-24八年级上•福建泉州•期中）如图是用4个相同的长方形与1个正方形镶嵌而成的正方形图

案.已知该图案的总面积为相，小正方形的面积为若用x、y表示长方形的两边长（x〉y）,请观察图

案，指出下列关系式：①x+y=Sii、②2y='\/而一遍、③xy=攵3④若％=2y,则m=3n.这四个

结论中正确的有（）个

X

y

A.1个B.2个C.3个D.4个

【思路点拨】

根据该图案的总面积、正方形的面积公式即可判断①；根据小正方形的面积、正方形的面积公式可得返，

从而可得x—yW，再结合①即可判断②;根据四个长方形的面积等于两个正方形的面积之差即可判断③;

先将用含的式子表示出来，由此即可判断④.

【解题过程】

解：•.•该图案是正方形，且该图案的总面积为小，边长为x+y,

x+y=Vm,结论①正确；

•••小正方形的面积为n,边长为x-y,

■■■x—y—迎，

由x+y=得：x—Vm—y,

则—y—丫=迎，§P2y=Vm—y/n,结论②正确；

•••四个长方形的面积等于两个正方形的面积之差，

4xy=m—n,即xy=结论③正确；

由结论②可知，y=标;赤,

代入%-y=迎得：x=而;而,

若x=2y,则疝;赤=y/m—Vn,BPVm=3瓜,

•1.m=9n,结论④错误；

综上，这四个结论中正确的有3个，

故选：C.

评卷人得分

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）

H.（3分）（23-24七年级下•湖北荆州•期中）在下列五个数中：①后;②悟;③出等;④立至耳;⑤联I，

71002710000

介于企及班之间的无理数有.（填序号）

【思路点拨】

本题主要考查了无理数的定义、无理数的估算等知识，熟练掌握相关知识是解题关键.根据无理数的定义

和无理数估算方法，逐一分析判断即可.

【解题过程】

解：V2<2.5<3,

.-.V2<VZ5<V3,且虎豆是无理数；

•••立卢是或及旧的平均数，

二”也介于企及苗之间，且为无理数；

VVZ25=1.5,

而不是无理数；

..,23409_153

*[loooo-100J

府不是无理数.

综上所述，介于企及旧之间的无理数有生，雪.

故答案为：①③.

12.（3分）（24-25七年级上•重庆万州•阶段练习）已知数服b、c在数轴上的位置如图所示，化简：后-

Vb^—个（a—b—c）2+\b+c\=.

______iiii.

ab0c

【思路点拨】

本题考查算术平方根和立方根，整式的加减，数轴和绝对值的性质，根据数轴上点的位置判断各项的符号

并化简是解题的关键.

根据a、b、c在数轴上的位置可得，a<b<0<c,\b\<\c\,进而得到Q-b-cVO,ZJ+c>0,然后对

原式进行化简即可.

【解题过程】

解：根据a、b、c在数轴上的位置可得，a<b<0<c,\b\<\c\

ci-b—c<0,b+c>0

—J(a—b—c)2++c|

=-a—b—(—a+b+c)+b+c

=-CL—b+a—b—c+b+c

=­b.

故答案为：—b.

13.(3分)(23-24八年级上•四川内江•阶段练习)已知|5—3al+(b+2>+5=3a—J(c-5)b,贝！|c—

2b=.

【思路点拨】

本题主要考查了非负数的性质，先根据题意得到|5—3al+(6+2尸+J(c—5)b=3a—5,再由非负数的

性质3a—520,据此化简绝对值推出(b+2尸+J(c-5)6=0,贝肥+2=0,(c-5)6=0,求出b、c

的值即可得到答案.

【解题过程】

解：:|5—3al+(b+2¥+5=3a—J(c—5)6,

15—3al+(6+2尸+J(c-5)b=3a—5,

V|5-3a|>0,(6+2尸NO,J(c-5)bN。

15—3al+(b+2尸+J(c—5)b=3a—520,

3a-5+(b+2/+J(c—5)b=3a-5,

；.(6+2尸+J(c—5)6=0,

.,.(6+2)2=J(.5)b=0,

:•b+2=0,(c—5)b=0,

b=—2,c=5,

Ac-26=5-2x(-2)=9,

故答案为：9.

14.(3分)(2024七年级上•全国・专题练习)任何实数a,可用⑷表示不超过a的最大整数，如⑷=4,[V3]=1,

现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1,只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，

最大的是.

第一次,_第二次l第三次「

727[V72]t[V8]=2-[V2]=1

【思路点拨】

本题主要考查了新定义下的实数运算，根据算术平方根的意义得到[每可=15,[V256]=16,进而得到对

255只需进行3次操作后变成1,对256只需进行4次操作后变成1,据此可得答案.

【解题过程】

解：22=4,42=16,162=256,

[V256]=16,[V16]=4,[V4]=2,[V2]=1,

[V255]=15,[VT5]=3,[V3]=1,

...对255只需进行3次操作后变成1.

"[V256]=16,[V16]=4,[V4-]-2,[V2]=1,

...对256只需进行4次操作后变成1.

只需进行3次操作后变成1的所有正整数中，最大的正整数是255.

故答案为：255.

15.（3分）（23-24七年级下•广西南宁•期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数式因＜20）

的运算程序如图所示，若输出的y值为迎时，则输入的实数尤可取的负整数值是.

输出y/

【思路点拨】

本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键.

按照程序的运算步骤进行计算，即可解答.

【解题过程】

解：若1次运算输出的值是世时,

—2|=2,

x—2=±2,

解得：x=4或％=0；

若2次运算输出的值是鱼时,

・•・|%—2|=4,

•••%—2=±4,

解答：x=6或％=-2；

若3次运算输出的值是企时,

|x—2|=16,

x—2=±16,

解答：%=18或%=-14；

|%|<20,且无取负整数，

•1.x=-2或-14,

故答案为：-2或-14.

评卷人得分

三、解答题(本大题共8小题，满分55分)

16.(8分)(24-25七年级上•山东淄博・期末)计算：

(1)V25+V^64+V(-2)*12-|V3-2|；

(2)-l2024+(-2)34X-7^27X|-；

(3)0—2)2=%

(4)80+17-27=0.

【解题过程】

本题考查实数的混合运算，根据平方根和立方根的定义解方程:

(1)先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可；

(2)先进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可.

(1)根据平方根的定义解方程即可；

(2)根据立方根的定义解方程即可.

【解题过程】

⑴解：V25+7=64+7(-2)2-|V3-2|

=5+(—4)+2-(2—V3)

=3-2+V3

=1+V3；

11

=-1+(-8)x--(-3)x-

O3

=-1-1+1

=-1.

(3)解：(X—2)2=%

x—2=±3,

•\x=5或％=—1；

(4)解：8(%+1)3—27=0,

・・・8(%+1)3=27,

，(%+1)3=(,

・・%+1=一,

2

・1

2

17.(6分)(24-25七年级上•浙江杭州•期中)已知正数尤的两个平方根分别是3a-1和a+5,77的整数部分

为6,相和”互为相反数，p和g互为倒数.

C1)求a和b值.

(2)求等一pq+x的值.

【解题过程】

本题考查了平方根，整数部分的含义，相反数，倒数的含义，熟练掌握知识点是解题的关键.

(1)根据正数x的两个平方根分别是3a-1和a+5得到3a-1+a+5=0,求出a,根据V7的整数部分为

b,而2＜近＜3,可得b的值；

(2)根据相反数的定义，倒数的含义可得巾+n=0,pq=1,结合(1)求出x,再代入求值即可.

【解题过程】

(1)解：•正数x的两个平方根分别是3a-1和a+5,

**•3CL—l+a+5=0,

解得：a=-1,

•・•夕的整数部分为4而2＜近＜3,

b=2.

（2）解：和〃互为相反数，p和q互为倒数，

.'.m+n=0,pq=1,

'：a=-1,

♦.a+5—4,

".x=42=16,

------pq+x=0—1+16=15.

18.（6分）（23-24八年级上.全国.单元测试）如图，在数轴上点0、B、C所表示的数分别为0,1,百，点B到

点c的距离与点。到点a的距离相等，设点a所表示的实数为x.

OBC

--------1-------1-----1-->

014T

（1）求出实数X的值

（2）求|%-百|+忱+1|的值.

【解题过程】

本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，化简绝对值，利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

（1）先求出BC=V3—1,再根据题意可得|久|=73—1,则x=V3—1或x=1—V3；

（2）分x=1和尤=1-百两种情况，去绝对值求解即可.

【解题过程】

（1）解:B,C,表示的数分别为1,V3,

：.BC=yj3-l,

•.•点4表示的数为x,且点B到点C的距离与点。到点4的距离相等，

\x\=V3—1,

.,.x-V3-1或x=1—V3；

（2）解：当％=百一1时，

\x-V3|+|x+1|

=|V3-1-V3|+|V3-1+1|

=I-H+|V3|

=1+A/3;

当x=1-百时，

\x-V3|+I久+1|

=|1-V3-V3|+|1-V3+1|

=|1-2V3|+|2-V3|

=2V3-1+2-V3；

=V3+1；

综上，原式的值为百+1.

19.(6分)(24-25八年级上•四川甘孜•期中)大家知道鱼是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此鱼的

小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用a-1来表示/的小数部分，因为a的整数部分是1,将这

个数减去其整数部分，差就是其小数部分.请解答：

(1)内的整数部分是，小数部分是；

(2)如果麻的小数部分为mg的整数部分为6,求a+b-有的值；

(3)已知：10+百=龙+丫，其中尤是整数部分，y是小数部分，求xy的值.

【解题过程】

本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法.

(1)先用夹逼法估算VT7,即可解答；

(2)先用夹逼法估算隗和得出a和6的值，即可解答；

(3)先得出旧的取值范围，再得出10+百的取值范围，进而得出尤和y的值，即可解答.

【解题过程】

(1)解:V16<17<25,

.•.V16<V17<V25,即4<旧<5,

•..”7的整数部分是4,小数部分是“7-4；

故答案为：4,V17—4；

(2)解：•­-4<5<9,9<13<16,

•••V4<V5<炳，对<V13<V16,

2<V5<3,3<V13<4,

的小数部分为a,属的整数部分为b,

a=V5—2,b—3,

a+b—V5=V5—2+3—V5=1.

(3)解:VI<3<4,

A1<V3<V4,即1<2,

•••11<10+V3<12,

是整数部分，y是小数部分，

•••x=11,y=10+73-11=V3-1,

xy=11x(V3-1)=11V3-11.

20.(6分)(24-25八年级上•山西临汾•阶段练习)先阅读材料，再回答问题:

尸=斤=1

V13+23==3

V13+23+33==6

713+23+33+43=V1Q2=io

(1)请根据以上规律写出第七个等式；

(2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是55,请写出这个等式；

(3)根据以上规律，写出第〃个等式.(用含有w的式子表示，〃为整数，且n21)

【解题过程】

本题考查了实数的规律探究.根据题意推导出一般性规律是解题的关键.

(1)由题意知，Vl3+23+33+43+53+63+73=V282=28；

(2)由1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55,可求当一个等式的最右边的值是55的等式;

(3)由题意可推导一般性规律为，第n个等式为U13+23+33+43+53+个+……+标=

J(l+2+3+4+……+n)2==也罗，然后作答即可.

【解题过程】

(1)解：vVI?==1,

Vl3+23=+2'=3,

Vl3+23+33=V62=J(1+2+33=6,

J13+23+33+43=V1Q2=“1+2+3+4尸=10,

・•・第七个等式为413+23+33+43+53+63+73=V282=28；

(2)解：71+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55,

・・・当一个等式的最右边的值是55,这个等式为“3+23+33+43+53+63+73+83+93+103=7552=

55；

(3)解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为VV+23+33+43+53+第+……+冲=

J(l+2+3+4+……+n)2=J吟邛=中，

第“个等式为V13+23+33+43+53+63+……+几3=="罗.

21.(6分)(23-24七年级下.全国.单元测试)根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有

理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若x+y4m=0,其中%,y为有

理数，Vm是无理数，贝!Jx=0,y=0.

证明：•.・％+八府=0,x为有理数，

•••yVm是有理数.

・•,y为有理数，标是无理数，

・•・y=0.

••・x+OVm=0.

•,•%=0.

(1)若x+V2y=V2(l-V2),其中x,y为有理数，贝！J%=_,y=_；

(2)若x+yy/m=a+byjm,其中x,y,a,b为有理数，y[m是无理数，求证：x=a,y=b；

(3)已知的整数部分为a，小数部分为b，x,y为有理数，a,b,x,y满足17y+V17y+

V17(y-2V17x)=2aV17+hV17,求X,y的值.

【解题过程】

本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容.

(1)将式子化为1+亦斤=0的形式，结合％,y为有理数，即可求解；

(2)将式子化为％+y亚=0的形式，结合％,y,a,b为有理数，即可证明；

(3)先根据无理数的估算求出a、b的值，再将所给的等式化简为17y-34%+2gy=17+4g,然后

根据题意列出方程即可求解.

【解题过程】

(1)解：%+V2y=V2(l-V2),

%+2+V2(y—1)=0,

,•,%,y为有理数，

•,•%+2=0,y—1=0,

x=—2,y=1,

故答案为：-2,1；

(2)证明：•・,x+yy[m=a+Z?Vm,

•••x—a+(y—b)y1m=0，

・・・％,y,a,b为有理数，

•••x-a,y—b都是有理数，

・,•x—a=0,y—b=0,

•••x=a,y=b；

（3）解：:4<V17<5,

••・旧的整数部分a=4,小数部分b=V17-4,

•••17y+V17y+T17（y-2V17x）=2aV17+Z）V17,

・••17y+V17y+V17（y-2717%）=8V17+V17（V17-4）,

•••17y-34%+2V17y=17+4^17,

•••x,y为有理数，

{fl7y—2y34=%4=1，7

解得：卜=3,

ly=2

1c

••・％=-,y=2.

217

22.（8分）（23-24七年级下•福建福州•期中）单项式“次”可表示边长为。的正方形的面积，这就是数学中的

数形结合思想的体现.康康由此探究鱼的近似值，以下是他的探究过程：

面积为2的正方形边长为VL可知鱼>1,因此设夜=1+厂，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个

正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形=/+2xr+l,另一方面S正方形=2,则/+2xr

+1=2,由于，较小故略去，得2r+l*2,则a0.5,即V^=1.5

（1）仿照康康上述的方法，探究旧的近似值.（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）;

(2)继续仿照上述方法，在(1)中得到的V7的近似值的基础上，再探究一次，使求得的V7的近似值更加

准确，精确到0.001(画出示意图，标明数据，并写出求解过程)；

(3)综合上述具体探究，已知非负整数“相，b,若且6="2+机，试用含相和”式子表

示声的估算值.

【解题过程】

(1)设b=2.6+r,面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为厂的正方形以及两个长方

形组成，根据图形建立等式即可得到答案；

(2