福建省泉州市德化县2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年福建省泉州市德化县九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项1．下列各数中最大的是（）A．3 B．0 C． D．2．下列方程一定是一元二次方程的是（）A． B． C． D．3．下列事件中，属于必然事件的是（）A．抛掷硬币时，正面朝上 B．太阳每天从西方升起C．经过红绿灯路口，遇到绿灯 D．负数小于正数4．在中，，那么下列结论中错误的是（

）A． B．C． D．5．方程的左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（）A． B． C． D．6．已知，均为正数，如果：：，那么下列各式中一定正确的是()A． B． C． D．7．如图，是的中位线，若的面积为，则为四边形的面积()A．8 B．10 C．12 D．148．某服装原价元，连续两次涨价，每次都涨后的价格为元，则是()A．20 B．15 C．10 D．59．如图，在中，：：，平分交于点，交于点，则的值是()A． B． C． D．10．在锐角中，于点，若，，则的度数是()A． B． C． D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11．若有意义，则实数a的取值范围是．12．投掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是6的概率是．13．最简二次根式与是同类二次根式，则．14．如图，，则的长为．15．如图，正方形的两边、分别在x轴、y轴上，点在边上，则的余弦值是．16．在平面直角坐标系中，点A，B均在抛物线上，，且轴，已知，则．三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．计算：．18．如图，某滑雪场有一坡度为的滑雪道，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为100米，求滑雪道长度．19．如图，在边长都是的小正方形组成的网格中，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处．(1)与的位似比是，请在图中标出位似中心的位置；(2)请以点为位似中心，并在点右侧的网格中画一个，使它与的相似比为．20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)若m为正整数，求此时方程的根．21．在春节来临之际，某商场开展“庆新年”有奖酬宾活动：凡购物满200元，均可得到一次在不透明的纸盒里抽奖的机会，该纸盒里装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其它都相同．(1)若抽奖者从该纸盒中一次摸出一个球，抽到红球的概率是多少？(2)该商场支持“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，抽奖者从该纸盒中依次取出两个球（不放回），根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．（如表）在线支付：球两红一红一白两白礼金券/元102010现金支付：球两红一红一白两白礼金券/元201020如果一个顾客当天在本商场购物满200元，他很想获得20元的礼金券，你推荐他采用哪种支付方式？并说明理由．22．某商场将每件进价为元的某种商品按每件元出售，后来经过市场调查，发现这种商品售价x元与其一天的销量y的函数关系是，如图．(1)求该商场这种商品一天的销量y与售价x元的函数关系式；(2)若商场经营该商品一天要获利润元，则每件商品售价应是多少元？23．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远，其中有一题是数学史上有名的测量问题，今译如下：如图1，为底部H不可到达的一座山峰，A为山峰的最高点，现要测量山峰的最大高度．立两根高三丈的标杆和，两竿相距步，D，B，H成一线，从退行123步到F点，人目着地观察A点，A，C，F三点共线；从退行127步到G点，从G点看A点，A，E，G三点也共线，试算出山峰的高度及的距离．（古制1步尺，1里=180丈尺步，结果用步来表示）解：∵，∴，∴________，又∵，∴_______，∴，又∵，∴，即，∴（步）又∵，∴，（步）(1)上述的测量问题，刘徽利用的几何知识是_______．请补全上述求解过程中所缺的内容；(2)爱思考的小明想利用解直角三角形的知识，使用皮尺和自制测量仪（如图2，图3），通过测量长度、角度等几何量，测量一个海岛中的山峰高度．现已画出测量示意图如图4，请写出图中你认为小明应该测量的几何量（长度用字母a，b，c…表示，角度用…表示），并求出此座山峰的高度．工具说明：①如图2，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）．②如图3，自制测角仪的功能是测量角的大小，即将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆（高度为1．5米）、量角器刻度线与铅垂线相互重合，绕点O转动量角器，使观测目标P与量角器直径两端点A，B共线，此时目标P的仰角．24．在中，，于点，点，关于直线对称，连接，，为的中点，连接交于点．(1)求证：；(2)求证：；(3)若，，求的值．25．如图，在平面直角坐标系中中，抛物线交x轴两点，，且，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在直线下方的抛物线上．①若点P的横坐标为，点G也在该抛物线上，点F在该抛物线的对称轴上，四边形是平行四边形，求点G的坐标；②若交于点Q，求线段的最大值．

参考答案与解析

1．A解：，，∵，∴，∴∴最大的数是3，故选：A．2．D解：A、未知数的次数是1，不是一元二次方程，不符合题意；B、中，当时，原方程不是一元二次方程，不符合题意；C、中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；D、是一元二次方程，符合题意．故选：D．3．D解：A、抛掷硬币时，正面朝上，是随机事件，不符合题意；B、太阳每天从西方升起，是不可能事件，不符合题意；C、经过红绿灯路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；D、负数小于正数，是必然事件，符合题意；故选：D．4．A解：如图：

、，则，故此选项结论错误，符合题意；、，则，故此选项结论正确，不符合题意；、，则，故此选项结论正确，不符合题意；、，则，故此选项结论正确，不符合题意．故选：A．5．B解：，，，故选：B．6．C解：：：，，．故选：C．7．C解：∵是的中位线，∴，．∴，∴，∴，∴，∴四边形的面积．故选：C．8．C解：根据题意得：，解得：，(不符合题意，舍去)，∴的值为．故选：C．9．A解：四边形是平行四边形，，，平分交于点，，，，：：，：：，故选：A．10．B解：如图所示，，，则令，，．在中，，同理可得，．过点作的垂线，垂足为，则，．在中，，．故选：B．11．解：∵式子有意义，∴，∴．故答案为：．12．解：投掷一枚质地均匀的正方体骰子共有6种等可能结果，其中向上一面的点数是6的只有1种结果，所以向上一面的点数是6的概率为．故答案为：．13．解：∵最简二次根式与是同类二次根式，，解得．故答案为：．14．6解：∵，∴，∴，解得，∴，故答案为：6．15．解：四边形是正方形，，，点在边上，，，，的余弦值是，故答案为：．16．或解：设与y轴的交点为D，点A，B均在抛物线上，，且轴，，，，，，，，，，故答案为：或．17．0解：原式18．滑雪道长度为260米解：∵滑雪道的坡度为，∴，∵米，∴米，由勾股定理得：（米），答：滑雪道AC长度为260米．19．(1)，图见解析(2)见解析（1）解：与的位似比是，如图位似中心即为所求．故答案为：；（2）如图，即为所求．20．(1)(2)，（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得；（2）∵，且m为正整数，∴，∴原方程为，即，∴或，∴，．21．(1)(2)选择在线支付，理由见解析（1）由题意得，抽奖者从该纸盒中一次摸出一个球，抽到红球的概率是．（2）列表如下：红红白白白红（红，红）（红，白）（红，白）（红，白）红（红，红）（红，白）（红，白）（红，白）白（白，红）（白，红）（白，白）（白，白）白（白，红）（白，红）（白，白）（白，白）白（白，红）（白，红）（白，白）（白，白）共有20种等可能的结果，其中抽到两个红球的结果有2种，抽到一个红球一个白球的结果有12种，抽到两个白球的结果有6种，∴采用在线支付获得20元的礼金券的概率为，采用现金支付获得20元的礼金券的概率为．∵，∴选择在线支付．22．(1)(2)每件商品售价应是或元（1）解：将代入得：解得：，∴该商场这种商品一天的销量y与售价x元的函数关系式为，当时，解得：，又∵该商品的进价为元，∴该商场这种商品一天的销量y与售价x元的函数关系式为：（2）解：根据题意得：，整理得：，解得：，答：每件商品售价应是或元．23．(1)相似三角形的对应边成比例；；；(2)需要测量，（1）解：由题意得，刘徽利用的几何知识是相似三角形的对应边成比例∵，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，即，∴（步）又∵，∴，（步）故答案为：相似三角形的对应边成比例；；；（2）解：需要测量，在中，∵，∴，在中，∵，∴，∵，∴∴，∴．24．(1)见解析(2)见解析(3)（1）解：证明：点，关于直线对称，，又，，，；（2）证明：由（1）知，，是的平分线，到的距离等于到的距离，，点，关于直线对称，，是的中点，，；（3）解：由（1）知，，，由勾股定理得：，是中点，，，由（1）知，，，，，，即，由勾股定理的：．25．(1)(2)①点G的坐标为或；②取最大值（1）解：∵，，且，∴点B的坐标为，把代入，得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：①由抛物线的解析式为，得对称轴为直线，把代入，得，∴点P的坐标为，设，若是对角线，由平行四边形性质可得，与互相平分，∴，即，解得，∴点G的坐标为；若是对角线，由平行四边形性质