2024-2025学年北京市顺义区牛栏山一中板桥中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市顺义区牛栏山一中板桥中学高二（下）3月月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列3,5,A.第20项 B.第21项 C.第22项 D.第23项2.已知数列{an}是等差数列，a2=1，aA.7 B.8 C.9 D.103.函数f(x)=lnx−12x2A.(0,1] B.(−1,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞)4.数列{an}中，a3=2，a7=1A.0 B.12 C.23 5.函数f(x)=ex−x(e为自然对数的底数)在区间[−1,1]上的最小值是A.1+1e B.1 C.e+1 6.已知函数f(x)=x3−2ax2+aA.0或−1 B.−3或−1 C.−1 D.−37.在等比数列{an}中，已知a3=32，A.32 B.−12 C.32或6 8.若a=ln22,b=ln33,c=1e，则aA.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c9.函数f(x)=−2cosxex，x∈[−π,π]的图象大致为A.B.C.D.10.已知函数f(x)=lnx+x3−ax，当x∈(0,1)时f(x)≤0恒成立，则a的取值范围是A.a≤1 B.a≥1 C.a≤2 D.a≥2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知数列−2，a1，a2，−8成等差数列，−2，b1，b2，b3，−812.函数f(x)=lnx图像上一点到直线y=x的最短距离是______．13.若函数f(x)=x2+ax的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为y=mx+m(m∈R)，则实数14.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<x，且f(2)=1，则不等式f(x)<12x2−115.表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为ai,j，则a7,8=

，表中的数2021共出现234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=1，a2是a1和a4的等比中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{17.(本小题12分)

已知函数f(x)=13x3−4x+1．

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)求18.(本小题12分)

A，B，C三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知A闯关成功的概率是23，A，B，C三人闯关都成功的概率是16，A，B，C三人闯关都不成功的概率是112．

(1)求B，C两人各自闯关成功的概率；

(2)求A，B，C19.(本小题13分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB=3，AD=2，侧面PAD是等腰三角形，且PA=PD=2，侧面PAD⊥底面ABCD.(Ⅰ)求证：AP⊥平面PCD；

(Ⅱ)求侧面PBC与底面ABCD20.(本小题13分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=l(a>b>0)的离心率e=32，且圆x2+y2=2过椭圆C的上、下顶点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线1的斜率为12，且直线1与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为21.(本小题13分)

已知函数f(x)=x3−3ax2+3．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)是否存在正实数a，使得函数f(x)在区间[0,1]参考答案1.D

2.C

3.A

4.B

5.B

6.D

7.C

8.A

9.A

10.B

11.1212.213.1

14.(2,+∞)

15.57；12

16.解：(1)数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=1，a2是a1和a4的等比中项．

故a22=a1⋅a4，整理得(a1+d)2=a1(17.解：(1)由f(x)=13x3−4x+1得，f′(x)=x2−4，

∴f(0)=1，f′(0)=−4，

∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程y−1=−4(x−0)，即4x+y−1=0；

(2)令f′(x)>0可得x>2或x<−2，令f′(x)<0可得−2<x<2，

∴函数f(x)在[−1,1]上单调递减，18.解：(1)记A，B，C三人各自闯关成功分别为事件D，E，F，

三人闯关成功与否得相互独立，且满足P(D)=23P(D)P(E)P(F)=16[1−P(D)][1−P(E)][1−P(F)]=112，

则P(F)=12，P(E)=12，

所以B，C两人各自闯关成功的概率都是12．

(2)设A，B，19.(Ⅰ)证明：在△APD中，AD=2，PA=PD=2，

∴AD2=AP2+DP2，∴AP⊥DP，

又∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，

AD⊥CD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面APD，∴CD⊥AP，

∵CD∩DP=D，∴AP⊥平面PCD；

(Ⅱ)解：取AD的中点为M，连接PM，∵PA=PD，所以PM⊥AD，

又∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，

∴PM⊥平面ABCD，过点M作MG⊥BC，垂足为G，连接PG，

∴BC⊥平面PMG，∴∠PGM为侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，

在直角△PMG中，PM=12AD=1，MG=3，∴PG=20.解：(1)由题意可得b=2，e=ca=1−b2a2=32，

所以a2=8，

所以椭圆C的方程为：x28+y22=1；

(2)证明：设直线l的方程为x=2y+t，设P(x1,y1)，21.解：(1)由题意可得f′(x)=3x2−6ax，

当a=0时，f′(x)=3x2≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增；

当a<0时，2a<0，

令f′(x)=3x(x−2a)>0，解得x>0或x<2a，令f′(x)<0，解得2a<x<0，

所以f(x)在(−∞,2a)，(0,+∞)上单调递增，在(2a,0)上单调递减；

当a>0时，2a>0，

令f′(x)>0，解得x>2a或x<0，令f′(x)<0解得0<x<2a，

所以f(x)在(−∞,0)，(2a,+∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减．

(2)存在正实数a，使得函数f(x)在区间[0,1]上的最小值为−1．

由(1)知，当a>0时，函数f(x)在(