2024-2025学年广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校高一下学期第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2−3i1−2iA.8+i B.−4+i C.8−7i D.−4−7i2.已知向量a=(λ+1,3)，b=(2,3)，若a与a+b共线，则实数A.−2 B.−1 C.1 D.23.已知等边▵ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，若DF=3EF，则AF=A.12AB+34AC B.14.已知向量a,b，则“a=b”是“aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在△ABC中，D是BC上一点，满足BD=3DC，M是AD的中点，若BM=λBA+μA.54 B.1 C.78 6.已知在直角▵ABC中，角A､B､C所对边分别为a､b､c，若B=90∘且满足a=2，c=1,BM⊥AC，且点M在AC上，则BAA.63 B.23 C.7.欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数z=eiθ=cosθ+isinθ(i是虚数单位).已知复数z1A.−5π12 B.−π12 C.8.已知平面向量a，b满足a−b=1，a+b=7，且b在a上的投影向量为3A.π6 B.π3 C.2π3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1=2+i，z2=2i−A.z2的虚部为1 B.z1z2为纯虚数

C.z10.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2−A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形11.如图，某旅游部门计划在湖中心Q处建一游览亭，打造一条三角形DEQ游览路线．已知AB,BC是湖岸上的两条甬路，∠ABC=120∘,BD=0.3km,BE=0.5km,∠DQE=60∘(观光亭Q视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计)A.DE=0.7km B.当∠DEQ=45∘时，DQ=7620km

C.▵DEQ面积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a和向量b的夹角为30°，a=2，b=3，则a⋅13.已知i是虚数单位，复数z=i+i2+i3+⋅⋅⋅+14.在▵ABC中，AB⋅(2AC+BC)=0，sinC=1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB=2e1(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若BF=3e1−ke216.(本小题15分)已知|a|=4,|b(1)求|a(2)求向量a在向量a+b17.(本小题15分△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知sin2A−si(1)求角A的大小；(2)若a=23，求△ABC18.(本小题17分)养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，AO，OB为直线岸线，OA=2千米，OB=3千米，∠AOB=π3，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB⌢，过弧AB⌢上一点P按线段PA和(1)求岸线上点A与点B之间的直线距离；(2)如果线段PA上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段PB上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记∠PAB=θ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？19.(本小题17分)对于给定的正整数n，记集合Rn={α|α=(x1,x2,x3,⋯,xn),xj∈R,j=1,2,3,⋯,n}，其中元素α称为一个n维向量，特别地，0=(0,0,⋯,0)称为零向量.设k∈R，α=(a1(1)判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．①α=(1,1)，②α=(1,1,1)，β=(2,2,2)(2)已知α，β，γ线性无关，判断α+β，β+(3)已知m(m≥2)个向量α1，α2，…，αm①如果存在等式k1α1+k2α2+⋯+②如果两个等式k1α1+k2α2+⋯+参考答案1.D

2.C

3.A

4.A

5.C

6.B

7.B

8.A

9.BCD

10.BCD

11.ACD

12.3

13.214.12715.解：(1)由已知，得BD=因为AB=2e1又AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)由(1)，知BD=e1且BF//BD，可设所以3e1−k又e1，e2是两个不共线的向量，所以3−λ=0k−4λ=0

16.解：(1)由(2a−3b)⋅(2a则4×42−3×所以|a(2)由(1)知，a⋅(向量a在向量a+b上的投影向量为所以向量a在向量a+b上的投影向量的模为

17.解：(1)因为sin所以a2−b所以cosA=因为A∈0,π，所以(2)因为AB→⋅AC→=−2由(1)知b2+又a=23，所以(b+c)所以△ABC的周长为a+b+c=2所以△ABC的周长为2

18.解：(1)在▵AOB中，由余弦定理，得AB=即岸线上点A与点B之间的直线距离为7

(2)在▵PAB中，7则PA=7设两段网箱获得的经济总收益为y

万元，则y=2PA+4PB==因为θ∈0,π3，所以所以两段网箱获得的经济总收益最高接近4

19.解：(1)对于①，设x1则可得x1+x2=0x对于②设y1则可得y1+2y2+5可取y1=−2,y2=1(2)设a1则(a因为向量α，β，γ线性无关，所以a1+a3=0解得a1所以向量α+β，β+(3)①