2024-2025学年广东省深圳市南方科技大学附中高一（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省深圳市南方科技大学附中高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法不正确的是(

)A.向量的模是一个非负实数

B.任何一个非零向量都可以平行移动

C.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同

D.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量2.已知向量a=(1,2)，b=(x,3)，若a⊥(a+A.−4 B.−11 C.11 D.43.已知sin2α=cos(π2+α)，α∈(πA.−3 B.−1 C.−4.如图，点O是△ABC的重心，点D是边BC上一点，且BC=4DC，OD=mABA.15

B.−14

C.−5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足①f(2)=0；②∀x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2A.(−∞,−2)∪(2,+∞) B.(−2,0)∪(0,2)

C.(−∞,−2)∪(0,2) D.(−2,0)∪(2,+∞)6.等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB=2，CD=1，∠DAB=π4，P为腰AD所在直线上任意一点，则PC⋅PBA.3 B.1 C.32 7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知ccosA−3csinA−b+a=0，则C=A.π6 B.π3 C.2π38.函数f(x)=cosωx−3sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是A.函数f(x)的图象关于点(7π12,0)中心对称

B.函数f(x)的单调增区间为[kπ−2π3,kπ−π6](k∈Z)

C.函数f(x)的图象可由y=2sinωx的图象向左平移5π6个单位长度得到

D.函数二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(x,1),b=(4,2)，则A.若a//b，则x=2

B.若a⊥b，则x=12

C.若x=3，则向量a与向量b的夹角的余弦值为7210

10.已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有(

)A.若sin2A=sin2B，则△ABC一定是等腰三角形

B.若sinA>sinB，则A>B

C.若△ABC是锐角三角形，则sinA>cosB

D.若0<tanA⋅tanB<1，则11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SA⋅A.若SA：SB：SC=1：1：1，则M为△ABC的重心

B.若M为△ABC的内心，则BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0

C.若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则tan∠BAC：三、填空题：本题共3小题，共15分。12.设向量a,b的夹角的余弦值为−13，|a|=2，|13.已知正数a，b满足a+b=5，则2a+1+114.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=4，C=2A，3a=2c，则cosA=

；a=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知sin2A=sinB⋅cosC+cosB⋅sinC．

(1)求角A的大小；

(2)若b=2c，△ABC的面积为16.(本小题15分)

已知a，b的夹角为60°，且|a|=1,|b|=2，设m=3a−b，n=ta+2b．

(1)若m⊥n，求实数t的取值；

(2)t=2时，求17.(本小题15分)

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且1−cos2Bsin2B=sinC+cosCsinC−cosC．

(1)求A的大小；

(2)设AD是BC边上的高，且18.(本小题17分)

在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a2−b2=bc．

(1)求证：A=2B；

(2)若b=1，求a边的范围；19.(本小题17分)

已知向量m=(sin2x,cos2x)，n=(32,12)，函数f(x)=m⋅n．

(1)求函数f(x)的解析式和单调递增区间；

(2)若a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，f(A)=1，b=2，a∈[12,52]，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；

(3)参考答案1.C

2.B

3.A

4.C

5.A

6.C

7.C

8.C

9.AC

10.BCD

11.ABC

12.23

13.3414.34

；4或15.解：(1)因为sin2A=sinB⋅cosC+cosB⋅sinC=sin(B+C)=sinA，

在△ABC中，2A+A=π，即A=π3；

(2)由(1)知，A=π3，

所以S△ABC=12bcsinA=12×2c216.解：∵a，b的夹角为60°，且|a|=1,|b|=2，

∴a⋅b=|a||b|cos60°=1×2×12=1．

(1)由m⊥n，得m⋅n=(3a−b)⋅(ta+2b)=3t|a|2+(6−t)a⋅b−2|b|2

=3t+6−t−8=0，解得t=1；

(2)t=217.解：(1)依题意得sinBcosB=sinC+cosCsinC−cosC，

所以sinBsinC−sinBcosC=cosBsinC+cosBcosC，所以sin(B+C)+cos(B+C)=0，

所以tan(B+C)=−1，即tanA=1，又因为0<A<π，所以A=π4；

(2)由S△ABC=12a×2=12bcsinπ4，所以a=24bc，18.解：(1)证明：因为a2=b2+c2−2bccosA=b2+bc，

所以c−b=2bcosA，

由正弦定理可得sinC−sinB=2sinBcosA，

又因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

代入可得sinAcosB−cosAsinB=sinB，

所以sin(A−B)=sinB，

因为0<A，B<π，

所以sinB>0，

所以0<A−B<π，

所以A−B=B或A−B+B=π，

所以A=2B或A=π(舍去)，

所以A=2B．

(2)因为△ABC为锐角三角形，A=2B，

所以C=π−3B，

因为0<B<π20<2B<π20<π−3B<π2，解得B∈(π6,π4)，

又b=1，

故a=bsinAsinB=2cosB∈(2,319.解：(1)由题意知f(x)=m⋅n=(sin2x,cos2x)⋅(32,12)=32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)，

令−π2+2kπ⩽2x+π6⩽π2+2kπ，解得：−π3+kπ⩽x⩽π6+kπ，

∴f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)．

(2)∵f(A)=sin(2A+π6)=1，∴2A+π6=π2+2kπ,k∈Z，

即A=π6+kπ,k∈Z，又∵A∈(0,π)，∴A=π6．

假设三角形存在，由正弦定理可得asinA=bsinB，∴sinB=bsinAa，

①a∈[12,1)时，sinB=1a>1，