2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗市第一中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗市第一中学高二下学期3月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列2,5,2A.第9项 B.第10项 C.第13项 D.第12项2.用数学归纳法证明1n+1+1n+2+⋯+13n≥A.13k+1+13k+2+13k+3 B.3.已知数列an满足3an−2an−1=an+1A.202331 B.202333 C.2023634.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+⋯+12A.2k−1项 B.2k项 C.k项 5.一组数据如下表所示：x1234yeeee已知变量y关于x的回归方程为y=ebx+0.5，若x=5，则预测A.e5 B.e112 C.e6.某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序相邻，那么不同的发言顺序有(

)A.168种 B.240种 C.264种 D.336种7.已知数列an的通项公式为an=n−22n−15，前n项的和为Sn，则SA.6 B.7 C.8 D.98.设an是等比数列，且a1<①数列an具有单调性；

②数列an有最小值为③前n项和Sn有最小值

④前n项和Sn有最大值A.0 B.1 C.2 D.3二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.四位小伙伴在玩一个“幸运大挑战”小游戏，有一枚幸运星在他们四个人之间随机进行传递，游戏规定：每个人得到幸运星之后随机传递给另外三个人中的任意一个人，这样就完成了一次传递．若游戏开始时幸运星在甲手上，记完成n(n≥2,n∈N +)次传递后幸运星仍在甲手上的所有可能传递方案种数为anA.a3=9 B.a4=21 C.10.已知数列an满足a1=2，an+1=an+2nA.an的通项公式为an=n2−n+2

B.bn存在周期性

C.当n11.如图，在平面直角坐标系xOy中，点B1,B2,B3,⋅⋅⋅,Bn均在x轴正半轴上，点C1,C2,C3,⋅⋅⋅,Cn均在y轴正半轴上.已知OA.第10个倒L形的面积为121B.长方形OBnDnCn的面积为nn+12n+16

C.点D112.设O为坐标原点，直线y=−3x−1过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，且与C交于M，N两点，若直线A.p=4 B.MN=163

C.以MN为直径的圆与l相切 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知各项为正数的数列an是等比数列，且其前n项和为Sn，若S2=6，S4=3014.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段(13,23)，记为第一次操作：再将剩下的两个区间[0,13]，[23,1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：⋯，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于18212024，则操作的次数15.已知函数fx=xlnx−a2x2−x16.已知数列an满足an+1+2an=6n+5.且a1=3，若四、解答题：本题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)已知数列an是公差不为0的等差数列，a4=5，且a1，(1)求数列an(2)设bn=ancosπ18.(本小题12分)如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，(1)证明EF//平面A1(2)求直线B1C与平面A19.(本小题12分)设an是各项都为正数的递增数列，已知a1=1，且an满足关系式(1)证明：数列a(2)令bn=−1n4an20.(本小题12分)近期，流感在某小学肆意传播.流感病毒主要在学生之间传染，低年龄段(一、二年级)的学生感染情况相对较多.病毒进入人体后存在潜伏期，潜伏期指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，传染给其他同学的可能性越高.学校对300个感染流感病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计得出潜伏期的平均数为2，方差0.92，若把超过年龄/人数长潜伏期非长潜伏期低年龄段(一、二年级)40100高年龄段(三∼六年级)30130(1)是否有95%的把握认为“长潜伏期”与年级有关？(2)假设潜伏期X服从正态分布Nμ,σ2，其中μ近似样本平均数X，(i)学校现在对有流感症状学生的密切接触者一律要求隔离5天，请用概率知识解释其合理性．(ii)以题目中的样本估计概率，设800个病例中恰有kk∈N∗个属于“长潜伏期”的概率是Pk，当(附：χ2=P0.100.050.010α2.7063.8416.635若ξ−Nμ,σ2，则Pμ−σ<ξ≤μ+σ=0.6826参考数据：70752254≈3.13，80752254≈3.5821.(本小题14分)设函数fx(1)若x=3是f(x)的极值点，求a的值，并求f(x)的单调区间；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)≥1，求a的取值范围．22.(本小题14分)已知数列an满足a(1)求an(2)在an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为dn，求数列1dn(3)若不等式Tn>−1nm−2对任意的n∈参考答案1.C

2.B

3.A

4.B

5.C

6.C

7.B

8.A

9.BD

10.AC

11.ABC

12.BC

13.2

14.5

15.0,116.−2027

17.解：(1)设数列an公差为d，由题意可知a32=∴5−d2=5−3d5+3d∴a(2)b当n为偶数时，n+1为奇数，则cosn+1π2当n=2k+1,k∈N时，cosn+1当k为偶数时，cosn+1π2=cos设数列bn的前n项和为S则S2025=−2+0+4+0−6+0+⋯+0−2022+0+2024+0−2026=2×2024

18.解：(1)证明：

在三棱柱ABC−A1B1C1中，连接ED，

由E,D分别为BC,AB的中点，而AC//A1C1且AC=A1C1，

又F为A1C1的中点，

因此四边形A1DEF是平行四边形，

则EF//A1D，

而A1D⊂所以EF//平面A1

(2)在三棱柱ABC−A1B1C1中，

侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，

令AB=2

，取A1D1中点D1，连接DD1由正▵ABC，得CD⊥AB，

显然直线DD以点D为原点，直线DD1,DA,DC则D(0,0,0),AB1C=(−2,1,3),DA1=(2,1,0)则n⋅DA1=2x+y=0n⋅DC=3z=0,

于是sin θ=|cos ⟨B所以直线B1C与平面A1

19.解：(1)由an是各项都为正数的递增数列，得a而(an+1+an因此an+1−(2)由(1)知an=则bnb2n−1所以T=1

20.解：(1)由题意χ2所以有95%的把握认为“长潜伏期”与年级有关；(2)(i)由题意，潜伏期X∼N(2,0.9P(2−3×0.9≤X≤2+3×0.9)=0.9974，所以P(X>4.7)=1−0.9974=0.0026，即潜伏期5天或以上的概率约为0.0026，非常的小，所以隔离5天后，一般不会再传染，即隔离5天是合理的；(ii)由题意，1个人属于长潜伏期的概率为70300所以Pk设k=n时P(k)最大，则C解得185.9≤n≤186.9，又n∈N∗，所以n=186，所以k=186时P(k)取得最大值．

21.解：(1)f′(x)=2x−(a+2)+af′(3)=4−2a3=0此时f′(x)=2(x−3)(x−1)令f′(x)>0，有0<x<1或x>3，令f′(x)<0，有1<x<3，所以x=3是f(x)的极值点，a=6满足题意，所以f(x)的单调递增区间是(0,1),(3,+∞)，单调递减区间是(1,3)．(2)由(1)知f′(x)=(2x−a)(x−1)当a2=1即a=2时，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a2>1即a>2时，由f′(x)>0得0<x<1或由f′(x)<0得1<x<a故f(x)的单调递增区间为(0,1)和a2,+∞，单调递减区间为当0<a2<1即0<a<2时，由f′(x)>0得0<x<由f′(x)<0得a2故f(x)的单调递增区间为0,a2和1,+∞，单调递减区间为当a2≤0即a≤0时，由f′(x)>0得x>1，f′(x)<0得故f(x)的单调递增区间为1,+∞，单调递减区间为0,1．综上，当a=2时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，无递减区间，当a>2时，f(x)的单调递增区间为(0,1)和a2,+∞，单调递减区间为当0<a<2时，f(x)的单调递增区间为0,a2和1,+∞，单调递减区间为当a≤0时，f(x)的单调递增区间为1,+∞，单调递减区间为0,1．(3)由题意f(x)≥1⇔f(x当a≤0时，令f′(x)>0，有x>1，令f′(x)<0，有0<x<1，所以f(x)在(0,