2024-2025学年山东省青岛实验高级中学高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省青岛实验高级中学高二（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若(1+2x)3(x−2)4A.27 B.−27 C.54 D.−542.函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a,b∈R)A.3 B.−3 C.−3或3 D.03.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有(

)A.8种 B.14种 C.20种 D.116种4.若函数f(x)=x−5x−alnx在[1,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是A.[−25,25] B.(−∞,25.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c，设g(x)=e−x⋅f(x)，若函数A.a<b，b<c B.a>b，b>c C.ba>1，b=c D.b6.过点P(1,2)作曲线C：y=4x的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(

)A.2x+y−8=0 B.2x+y−4=0 C.2x+y−4=0 D.x+2y--4=07.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有(

)A.48种 B.36种 C.24种 D.20种8.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)为其导函数.当x>0时，xf′(x)+f(x)>0，且f(1)=0，则不等式f(x)>0的解集为(

)A.(−∞,−1)∪(1,+∞) B.(−∞,−1)∪(0,1)

C.(−1,0)∪(0,1) D.(−1,0)∪(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列函数的导数运算正确的是(

)A.(xex)′=ex+xex 10.已知函数f(x)=−x2lnx，则A.f(x)≤0恒成立 B.f(x)是(0,+∞)上的减函数

C.f(x)在x=e−12得到极大值12e 11.已知函数f(x)=x2−ax−lnx，下列命题正确的是A.若x=1是函数f(x)的极值点，则a=1

B.若f(x)在(1,+∞)上单调递增，则a≥1

C.若f(1)=2，则f(x)≥74恒成立

D.若(x−1)lnx≥f(x)在x∈[1,2]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(1+2x−x2)5展开式中含13.为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡行”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到A志愿队的方法有

种.(用数字作答)14.若函数f(x)=lnx，g(x)=13x3对任意的x1>x四、解答题：本题共3小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知(ax2+1x)n的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为−1．

(1)求n和a16.(本小题16分)

已知函数f(x)=x3−3kx+2，k∈R．

(1)若x=−2是函数f(x)的极值点，求k的值，并求其单调区间与极值；

(2)若函数f(x)在[0,2]上仅有217.(本小题16分)

已知函数f(x)=lnx−ax+a，g(x)=(x−1)ex−a−ax+1(a∈R)．

(1)若f(x)≤0，求a的值；

(2)当a∈(0,1]时，证明：参考答案1.B

2.B

3.B

4.B

5.D

6.A

7.B

8.A

9.ABD

10.CD

11.AD

12.−125

13.50

14.e215.解：(1)∵由条件可得2n=128(a+1)n=−1，

∴解得n=7a=−2．

(2)(2x−1x2)(ax2+1x)n=(2x−x−2)(−2x2+x−1)7．

16.解：(1)f′(x)=3x2−3k，∵x=−2是函数f(x)的极值点，

∴f′(−2)=12−3k=0，解得k=4，

∴f′(x)=3(x+2)(x−2)，

可知：x=−2是函数f(x)的极大值点，满足题意．∴k=4．

令f′(x)>0可得x>2或x<−2；令f′(x)<0可得−2<x<2，

∴f(x)的单调增区间为(−∞,−2)，(2,+∞)，单调减区间为(−2,2)．

f(x)的极大值为f(−2)=18，极小值为f(2)=−14．

(2)函数f(x)在[0,2]上仅有2个零点(0不是函数f(x)的零点)，

则令f(x)=x3−3kx+2=0，∴x2+2x=3k，

可转化为函数y=3k的图象与函数g(x)=x2+2x的图象有2个不同的交点，

g′(x)=2x−2x2=2(x−1)(x2+x+1)x2,x∈[0,2]，

∵x2+x+1=(x+12)2+34>0，∴x∈(0,1)时，17.解：(1)∵f(x)=lnx−ax+a≤0，f′(x)=1x−a=1−axx，

∴当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，

而f(1)=0，当x>1时，f(x)>f(1)=0，与题意不符；

当0<a<1时，由f′(x)>0可得x∈(0,1a)，f(x)在(0,1a)上单调递增，

此时f(1a)>f(1)=0，不符合题意；

当a=1时，由f′(x)>0可得x∈(0,1)，f(x)在(0,1)上单调递增，

由f′(x)<0可得x∈(1,+∞)，f(x)在(1,+∞)上单调递减，

对于任意的x∈(0,+∞)，f(x)≤f(1)=0恒成立，符合题意；

当a>1时，由f′(x)<0可得x∈(1a,+∞)，f(x)在(1a,+∞)上单调递减，

此时f(1a)>f(1)=0，不符合题意；

∴综合上述，a=1；

(2)证明：令ℎ(x)=g(x)−f(x)=(x−1)ex−a−lnx+1−a，(x>0)，

φ(x)=ℎ′(x)=xex−a−1x，x∈(0,+∞)，则φ′(x)=(1