2024-2025学年陕西省西安市西安八十三中高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安八十三中高二（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数y=3x−x3的极大值点是(

)A.(1,2) B.1 C.2 D.−12.设函数f(x)=sin(2x+2π3)，则曲线y=f(x)在A.2x+2y+3=0 B.x+2y−3=03.回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如55，696，3773等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8可以组成4位“回文数”的个数为(

)A.36个 B.56个 C.64个 D.84个4.已知函数f(x)=lnx2−x+ax在定义域上单调递增，则实数aA.(−∞,−2) B.(−∞,−2] C.(−2,+∞) D.[−2,+∞)5.当x≠0时，设函数f(x)存在导数f′(x)，且满足f(x)+xf′(x)=ex，若f(1)=0，则f(−1)=(

)A.1e−e B.−1e C.6.已知函数f(x)=(x+1)ex，f(x)=k有2个实数解，则k的取值范围是(

)A.(−∞,−1e2) B.(−1e7.若直线l与函数f(x)=ex−2(x>1)和g(x)=lnx的图象分别相切于点A，B，则|AB|=A.2 B.22 C.28.已知函数f(x)=ex+x，g(x)=lnx+x，若f(x1)=g(A.−e B.−1e C.−1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2x3−6x+1，则A.g(x)=f(x)−1为奇函数

B.f(x)的单调递增区间为(−1,1)

C.f(x)的极小值为−3

D.若关于x的方程f(x)−m=0恰有3个不等的实根，则m的取值范围为(−3,5)10.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)=(f′(x))′.若f″(x)≥0在D上恒成立，则称f(x)在D上是“下凸函数”.下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是(

)A.f(x)=x2−4x+3 B.g(x)=log1211.已知f(x)=x−x2π−sinxA.f(x)的零点个数为4 B.f(x)的极值点个数为3

C.若f(x1)=f(x2)，则x三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。12.函数y=12x13.乙巳蛇年，古城榆林燃动全国秧歌热潮，国内外共39支队伍汇聚榆林，舞动非遗年味.现有4名国际友人，每人从俄罗斯、保加利亚、榆林市直教育系统的三支秧歌队中选择观看一支，则不同的观看方式有______.(用数字作答)14.在边长为8×5cm的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为______cm3．15.已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是

．四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

已知函数f(x)=13x3+ax2+bx(a,b∈R)在x=−3处取得极大值为9．

(1)求a，b的值；17.(本小题14分)

已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N∗)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4−2a18.(本小题14分)

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式．

(Ⅱ)19.(本小题16分)

在四棱锥P−ABCD中，点E是棱PA上一点，BE⊥PD，PA=PB=PD，AB=AD=12CD=2，∠DAB=60°．

(1)证明：PD⊥平面PAB；

(2)若CD//AB20.(本小题16分)

已知函数f(x)=alnx+1x，其中a∈R．

(1)若函数f(x)的最小值为a2，求a的值；

(2)若存在0<x1<x2，且参考答案1.B

2.D

3.C

4.D

5.D

6.B

7.C

8.B

9.ACD

10.ABC

11.BCD

12.(0,1)

13.81

14.18

15.−316.解：(1)f′(x)=x2+2ax+b，

因为f(x)在x=−3处取得极大值为9，

则f′(−3)=0f(−3)=9，

即9−6a+b=0−9+9a−3b=9，解得a=1，b=−3，

经检验，上述结果满足题意，

(2)由(1)得f(x)=13x3+x2−3x，∴f′(x)=x2+2−3−(x+3)(x−1)，

令f′(x)<0，得−3<x<1；令f′(x)>0，得x<−3或x>1，

∴f(x)在[−3,3]上的单调递减区间是17.解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．

由已知b2+b3=12，得b1(q+q2)=12，而b1=2，

所以q2+q−6=0，

又因为q>0，解得q=2，

所以bn=2n．

由b3=a4−2a1，可得3d−a1=8①，

由S11=11b4，可得a1+5d=16②，

联立①②，解得a1=1，d=3，

由此可得an=3n−2．

所以{an}的通项公式为a18.解：(Ⅰ)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5．

再由C(0)=8，得k=40，

因此C(x)=403x+5．

而建造费用为C1(x)=6x，

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10)

(Ⅱ)f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f′(x)=0，即2400(3x+5)2=6．

解得x=5，x=−25319.(1)证明：取AB的中点F，连接FD，FP，BD，

因为PA=PB，AB=AD，∠DAB=60°，所以AB=AD=BD，

所以AB⊥PF，AB⊥FD，

又PF∩FD=F，所以AB⊥平面PFD，从而AB⊥PD，

因为BE⊥PD，AB⋂BE=B，所以PD⊥平面PAB．

(2)解：因为PD⊥平面PAB，所以PD⊥PB，PD⊥PA，又AB=AD=BD=2，

所以PA=PB=PD=2，

因为PA2+PB2=AB2，所以PB⊥PA，

以P为坐标原点，PA，PB，PD的方向分别为x，y，z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系P−xyz，

则A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,2)，

因为CD/​/AB，所以DC=2AB=(−22,22,0)，PD=(0,0,2)，

设平面PDC的一个法向量为m=(x,y,z)，

由m⋅DC=0m⋅PD=020.解：(1)函数定义域为{x|x>0}，

f′(x)=ax−1x2=ax−1x2，

若a≤0，则f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，无最小值，

若a>0，由f′(x)=0得x=1a，

所以在(0,1a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，

在(1a,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)的最小值，极小值为f(1a)=aln1a+a，

由aln1a+a=a2，得lna+a=1，

设g(a)=lna+a，则g′(a)=1a+1>0，

所以g(a)为(0,+∞)上的增函数，且g(1)=1，解得a=1，

综上所述，a=1．

(2)由f(x1)=f(x2)，得alnx1+1x1=alnx2+1x2，

即alnx2x1+1x2−