福建省三明市永沙田一中三校2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题

福建省三明市永沙田一中三校2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题考试时间：90分钟 总分：150分 年级/班级：高一一、选择题（每题5分，共30分）要求：从四个选项中选出正确答案。1.已知函数f(x)=x^3-3x，则f(x)的图像在x轴上有一个零点，且该零点的值为：A.0B.1C.-1D.22.若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=27，则该数列的公差d为：A.2B.3C.4D.53.已知函数f(x)=2x^2-3x+1，若f(x)在区间[1,2]上的最大值为M，最小值为m，则M-m的值为：A.1B.2C.3D.44.在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,1)，则线段AB的中点坐标为：A.(1,2)B.(1,3)C.(2,1)D.(2,2)5.已知函数f(x)=log2(x+1)，若f(x)在区间[0,1]上的值域为A，则A的取值范围为：A.(0,1)B.[0,1)C.(0,2)D.[0,2)6.若等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，且b1+b2+b3=27，b4+b5+b6=243，则该数列的首项b1为：A.1B.3C.9D.27二、填空题（每题5分，共30分）要求：直接填写答案。1.若函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值为M，则M=________。2.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1+a2+a3=12，a4+a5+a6=36，则该数列的公差d=________。3.若函数f(x)=log3(x+1)在区间[0,1]上的值域为A，则A=________。4.在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,1)，则线段AB的中点坐标为________。5.若等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，且b1+b2+b3=27，b4+b5+b6=243，则该数列的首项b1=________。6.若函数f(x)=x^3-3x在区间[-1,2]上的最大值为M，最小值为m，则M-m=________。三、解答题（每题10分，共40分）要求：解答下列各题，解题过程要完整。1.已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x-1，求函数f(x)的极值点和拐点坐标。2.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1+a2+a3+a4=20，a5+a6+a7=42，求该数列的首项a1和公差d。3.求函数f(x)=e^x-x^2在区间[0,2]上的最大值和最小值。4.在直角坐标系中，已知点A(2,3)和点B(-1,1)，求线段AB的长度。四、证明题（每题10分，共20分）要求：证明下列各题，证明过程要完整。1.证明：对于任意实数x，有(x+1)^2≥x^2+2x+1。2.证明：等差数列{an}的任意两项之和的平方等于这两项乘积的两倍加上这两项之和的平方。五、计算题（每题10分，共20分）要求：计算下列各题，计算过程要完整。1.计算定积分∫(x^2-4x+3)dx，并求出其值。2.计算不定积分∫(e^x/x^2)dx，并求出其原函数。六、应用题（每题10分，共20分）要求：解答下列各题，解题过程要完整。1.一辆汽车以60km/h的速度行驶，在行驶了10分钟后，速度突然降低到40km/h，再行驶了5分钟后，速度再次降低到30km/h。求这辆汽车在这15分钟内行驶的总路程。2.一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，已知长方体的体积V和表面积S，求长方体的长、宽、高的关系式。本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析：f(x)=x^3-3x，令f(x)=0，得x(x^2-3)=0，解得x=0或x=±√3。由于x=±√3不在区间[1,3]内，故x=0是唯一零点，即f(x)在x轴上的零点为1。2.C解析：等差数列的性质是相邻两项之差相等，即d=a2-a1=a3-a2。由题意得3a1+3d=9，3a1+9d=27，解得d=4。3.A解析：f(x)=2x^2-3x+1，求导得f'(x)=4x-3。令f'(x)=0，得x=3/4。由于f(1)=-1，f(2)=1，故在区间[1,2]上，f(x)的最大值为1，最小值为-1，所以M-m=1-(-1)=2。4.A解析：中点坐标公式为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，代入A(2,3)和B(-1,1)得中点坐标为(1,2)。5.A解析：f(x)=log2(x+1)，当x=0时，f(x)=log2(1)=0；当x=1时，f(x)=log2(2)=1。故f(x)在区间[0,1]上的值域为(0,1)。6.B解析：等比数列的性质是相邻两项之比为常数，即q=b2/b1=b3/b2。由题意得b1+b1q+b1q^2=27，b1q^3+b1q^4+b1q^5=243，解得q=3，故b1=3。二、填空题1.M=3解析：f(x)=x^2-4x+3，在区间[1,3]上，f(x)的最大值出现在端点x=3时，此时f(3)=3^2-4*3+3=3。2.d=4解析：由等差数列的性质可知，d=a2-a1=a3-a2。由题意得3a1+3d=12，3a1+9d=36，解得d=4。3.A=(0,1)解析：f(x)=log3(x+1)，当x=0时，f(x)=log3(1)=0；当x=1时，f(x)=log3(2)>0。故f(x)在区间[0,1]上的值域为(0,1)。4.(1,2)解析：中点坐标公式为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，代入A(2,3)和B(-1,1)得中点坐标为(1,2)。5.b1=3解析：等比数列的性质是相邻两项之比为常数，即q=b2/b1=b3/b2。由题意得b1+b1q+b1q^2=27，b1q^3+b1q^4+b1q^5=243，解得q=3，故b1=3。6.M-m=2解析：f(x)=x^3-3x，求导得f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，得x=±1。由于f(-1)=2，f(1)=-2，故在区间[-1,2]上，f(x)的最大值为2，最小值为-2，所以M-m=2-(-2)=4。三、解答题1.解析：f(x)=x^3-6x^2+9x-1，求导得f'(x)=3x^2-12x+9。令f'(x)=0，得x=1或x=3。当x=1时，f''(x)=6>0，故x=1是极小值点；当x=3时，f''(x)=-6<0，故x=3是极大值点。拐点坐标为(1,f(1))和(3,f(3))，即(1,-3)和(3,-8)。2.解析：由等差数列的性质可知，d=a2-a1=a3-a2。由题意得3a1+3d=20，3a1+9d=42，解得a1=2，d=2。3.解析：f(x)=e^x-x^2，求导得f'(x)=e^x-2x。令f'(x)=0，得x=ln2。由于f'(x)在x=ln2左侧为负，右侧为正，故x=ln2是f(x)在区间[0,2]上的最小值点。f(ln2)=2-2ln2，f(0)=1，f(2)=e^2-4。比较这三个值，得到f(x)在区间[0,2]上的最大值为e^2-4，最小值为2-2ln2。4.解析：由两点间的距离公式得|AB|=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]，代入A(2,3)和B(-1,1)得|AB|=√[(2-(-1))^2+(3-1)^2]=√[9+4]=√13。四、证明题1.解析：要证明(x+1)^2≥x^2+2x+1，只需证明(x+1)^2-(x^2+2x+1)≥0，即2x+1≥0。由于2x+1是关于x的一次函数，其值在x=-1/2时取得最小值0，因此对于任意实数x，都有2x+1≥0，从而证明了(x+1)^2≥x^2+2x+1。2.解析：设an+am=S，则有an+am=(a1+(n-1)d)+(a1+(m-1)d)=2a1+(n+m-2)d。将an+am的平方展开得S^2=(2a1+(n+m-2)d)^2。另一方面，an*am=(a1+(n-1)d)*(a1+(m-1)d)=a1^2+(n+m-2)a1d+(n-1)(m-1)d^2。将an*am乘以2并加上an+am的平方得2an*am+(an+am)^2=2a1^2+2(n+m-2)a1d+2(n-1)(m-1)d^2+2a1^2+2(n+m-2)a1d+(n+m-2)^2d^2。化简得2an*am+(an+am)^2=2a1^2+2(n+m-2)a1d+(n+m-2)^2d^2+2a1^2+2(n+m-2)a1d+(n+m-2)^2d^2=2(a1+(n+m-2)d)^2。由于an+am=S，所以2an*am+(an+am)^2=2S^2。因此，等差数列{an}的任意两项之和的平方等于这两项乘积的两倍加上这两项之和的平方。五、计算题（每题10分，共20分）要求：计算下列各题，计算过程要完整。1.计算定积分∫(x^2-4x+3)dx，并求出其值。2.计算不定积分∫(e^x/x^2)dx，并求出其原函数。本次试卷答案如下：五、计算题1.解析：首先对被积函数进行积分，∫(x^2-4x+3)dx=∫x^2dx-∫4xdx+∫3dx=(1/3)x^3-2x^2+3x+C，其中C为积分常数。然后计算定积分，将上限和下限代入原函数，得到∫(x^2-4x+3)dx=[(1/3)x^3-2x^2+3x]从0到x的值，即[(1/3)x^3-2x^2+3x]_0^x=(1/3)x^3-2x^2+3x-[(1/3)*0^3-2*0^2+3*0]=(1/3)x^3-2x^2+3x。2.解析：不定积分∫(e^x/x^2)dx可以通过分部积分法求解。设u=e^x，dv=1/x^2dx，则du=e^xdx，v=-1/x。根据分部积分法，∫udv=uv-∫vdu，得到∫(e^x/x^2)dx=-e^x/x-∫(-1/x*e^x)dx。再次使用分部积分法，设u=e^x，dv=-1/xdx，则du=e^xdx，v=ln|x|。得到∫(e^x/x^2)dx=-e^x/x+ln|x|*e^x-∫(ln|x|*e^x)dx。由于ln|x|*e^x的积分不易直接求解，所以这里需要使用积分技巧，例如通过泰勒展开或使用计算机辅助计算。最终结果为∫(e^x/x^2)dx=-e^x/x+ln|x|*e^x-(1/2)∫(e^x/x)dx。六、应用题（每题10分，共20分）要求：解答下列各题，解题过程要完整。1.一辆汽车以60km/h的速度行驶，在行驶了10分钟后，速度突然降低到40km/h，再行驶了5分钟后，速度再次降低到30km/h。求这辆汽车在这15分钟内行驶的总路程。2.一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，已知长方体的体积V和表面积S，求长方体的长、宽、高的关系式。本次试卷答案如下：六、应用题1.解析：首先将速度转换为相同的单位，10分钟=1/6小时，5分钟=1/12小时。汽车以60km/h的速度行驶10分钟，行驶距离为60km/h*1/6小时=10km。接着以40km/h的速度行驶5分钟，行驶距离为40km/h*1/12小时=10/3km。最后以30km/h的速度行驶剩余的时间，即行驶距离为30km/h*(1/6小时-1/12小时)=5/6km。总路程为10km+10/3km