2025高考数学综合测试 第五章：平面向量与解三角形（模块综合调研卷）教师版

第五章：平面向量与解三角形（模块综合调研卷）

（19题新高考新结构）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.已知向量值与在能作为平面向量的一组基底，若"注与（左+1）»+3共线"eR）,则左的值是（）

A—14-V5R—1±^/5r-1—V5N1+A/5

2222

【答案】B

【分析】引入参数彳，由平面向量基本定理建立方程组即可求解.

【详解】若联+应与（左+1））+3共线，贝IJ设Z+届=2［优+1）万+可"R+1K+亦，

因为向量万与B能作为平面向量的一组基底，

所以［：一：化十0,所以r+”i=o,解得左=一1士囱.

\k=X2

故选：B.

2.设A/IBC的内角A,B,。的对边分别为b,c,已知。=9,b=8,c=5,则。的外接圆的面积为

()

225125123113

A.---兀B.——71C.-----71D.——71

111166

【答案】A

【分析】由余弦定理先求出cosC,结合同角平方关系求出sin。，再由正弦定理求出外接圆半径为E,即可

得解.

【详解】因为Q=9,b=8,c=5,

a2+Z?2-c281+64-25_5

所以cos。=

2ab2x9x86

所以sinC=Vl-cos2C=，

6

设“BC的外接圆半径为H,

R=c_5_15V11225

则2sinCVH11，则"5C的外接圆的面积S=兀斤=石-兀.

亍

故选：A.

3.已知单位向量方，B满足伍-孙，=；,则2—23与B的夹角为()

7T7T2兀

A.—B.-C.—D.

633

【答案】D

【分析】根据题意结合数量积的运算律可得展B=进而可得归-2H=6,(12斗才=彳，结合夹角

公式分析求解.

【详解】由题意可知：向=’|=1,

/j-*rr。一1

因为){(j—b\,ci=a?-a,b=1—a,b=解得展

2

r2rrrr

贝I」(z〃r一2bX)=a2-4〃•6+4b2=3,即归_2'=6,

rrrrr

a-2bx]-b=ar-b-2b23

2

/rA「_3

/rrrxQ-26卜6

可得cos(a—2b,b)=-ry--r.ip.=

、'"26bV3xl~2~

/rrr、r_

且《-26,6)e[0,兀],所以3-2*与3的夹角为不.

故选：D.

4.在“8C中，AB=2,BC=近，N8/C=120。，D是BC边一点、,是/A4c的角平分线，贝U/D=

()

A.1B.1C.2D.V3

【答案】A

【分析】由余弦定理得到“C=l,由正弦定理和3C=4得3。=地，求出cos448C=亚，进而得到

314

sinZABC=叵,在△/四中，由正弦定理得到答案.

14

【详解】在力5C中，由余弦定理得cos/84C=留土处二£

2ABAC

即4+"2-7」,解得/。=1或一3（舍去）,

4AC2

ARBD

在△4BD中,由正弦定理得;^

sinZBAD

ATCD

在△4C。中,由正弦定理得EF

sinZCAD

其中4。5+4。。=180。，ABAD=ACAD=60°,

所以sinZADB=sinZADC，sinABAD=sin/.CAD，

ABBD_

~AC~~CD~~i

又BC=S,所以BD=^~,

3

AB2+BC2-AC2__4+7-1_577

在中,由余弦定理得cosZABC=

2ABBC_2><2><近一k

a

故sin/48C=

14

ADBD

在△曲中，由正弦定理得

sinZBAD

2A/7

-o-7

即A半D=T=-,解得

V21V33

IT~2

故选：A

5.在中，内角A,B,C所对的边分别为。也c.已知（36-。乂〃+H-q2）=2a6ccosC.则tanA=

（）

A.V2B.2V2C.百D.2A/3

【答案】B

【分析】先利用余弦定理，然后利用正弦定理化简即可.

入2+32

222

【详解】，因为cos/=,nb+c-a=2bcCosA

2bc

又因为（36-c2?+c2-叫=2abecosC

得（36-c）2bccosA=2abccosC

整理得（3b-c）cosA=acosC

由正弦定理可得3sinBcos4一sinCcos/=sin/cosC

得3sinBcosZ=sinCcos/+sin/cosC

得3sinBcos/=sin（/+C）=sinB,因为sinBwO

所以cos/=—

3

所以tan/=®LJi°s~=2立

cosAcosA

故选:B

6.在中，角/、B、C所对的边为a、b、c若耳■=则且，则28C的形状是（）

ctanC

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角、切化弦，再结合二倍角公式求解即得.

sin5

【详解】在。中，由t=处"及正弦定理得州爱=诞/，而sin/>0,sin3>0,

c2tanCsin-CsmC

cosC

整理得sin5cos8=sinCeosC,即sin25=sin2C,而0<5<兀,0<。<兀,

JT

则0<23<2兀,0<2C<2TT,因此2B=2C或28+2C=兀，即B=C或3+C=—,

2

所以08C是等腰三角形或直角三角形.

故选：C

7.已知胸忑为单位向量，且附一5+7,则电司+g2a的最小值为（）

A.2B.2A/3C.4D.6

【答案】B

［分析］由忸-5可=7,得花=_|■，可得,得=5由|21_同+归_2甘卜恒一斗忸一咋忖_2$卜2

当等号成立时可得最小值.

【详解】/瓦C为单位向量，有同=忖=同=1,得求=庐=*=1，

由|33-5可=7,得（34-5可=9片-30GZ+25/=49,

有。.6=—：,所以比b=9,

23

B—可二5一=yla-2a-b+b^=V5，

|i|=|c|=1,b9c=c9bf有归_2d=忸_己卜

则|21_曰+归_23=|23_可+|2ft-c|>?万_2$卜24",

当且仅当2万-，与2B-,方向相反时”=〃成立，

如取2=(1,0),3=-｝三,,=｝券时，可使，=〃成立.

\77

所以伽_回+/_2aL=2瓦

故选：B.

【点睛】关键点点睛：

本题关键点是由已知条件得归-2@|=忸-3,这样就能得到|2@-4+归-23=侬-小忸-咋恒-2修.

7

8.已知也15。的内角45。的对边分别为。也。，且cosZ=7.〃■为力3。内部的一点，且

O

aMA+bMB+cMC=Q^^AM=xAB+yACf贝1」工+》的最大值为()

4551

A.-B.—C.—D."

5462

【答案】A

【分析】把已知等式中标，流向量用刀，就，刀？表示后可求得x，N,由余弦定理得a,6,c的关系，求出

士的最值，再由不等式性质得结论.

【详解】VaMA+bMB+cMC=

：.aAM=bMB+cMC=b（AB-~AM）+c（AC-AM），

----►h---►c——

・•・AM=-----------AB+------------AC,又万7=+y就,

a+b+ca+b+c

b+c1

cx+y=

广a+b+c

a+b+ca+b+c—+1

b+c

715

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2--bc=（b+c）2-一be,

44

由鹏与支(当且仅当』时取等号)，得八…2-呆了=曾，

1

.a1—4

••------2一,:一+"厂5，即％+》的最大值是

b+c4-+1

4

故选：A.

【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值.解题关键是由平面向量基本定

理把用。,6,C表示出来.

二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分)

9.已知向量Z，B的夹角为方，且同=1,忖=2,贝IJ()

A.(«-6)!«B.归+可=近

C.|25+^|=|25|D.0在后的方向上的投影向量为日3

【答案】AB

【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量的垂直和投影向量的运算性质，对各个选项逐一判定即可.

［详解］a-fc=|a||fc|cos-1=lx2x-^-=l,^a-b^-a=|a|--a-fe=1-1=0,故A正确；

|a+&|=同，W+2a-Z?=l+4+2=7,所以忖+可=屿，故B正确；

恒+92=4同2+归『+433=4+4+4=12,所以忸+可=28，

又因为忸卜4,所以"+B卜国，故C错误；

a-bb1

日在不上的投影向量为国,同=/r，故D错误；

故选：AB.

10.在锐角△45C中，内角4,B,。的对边分别为〃，b,c,且c=2asin5,则()

A.45边上的IWJ为万

11

B.-----1----为-定值

tanAtanB

sinC

C.的最小值为2

cosAcosB

D.若tanC=3,则/+/=生何必

5

【答案】ABD

【分析】对A,根据45边上的高为asinB求解即可；对B,由正弦定理结合三角恒等变换化简即可；对C,

由正弦定理结合三角恒等变换化简，结合B中一L+—匚=2,再根据基本不等式求解即可；对D,根据

tanAtanB

三角形内角关系，结合两角和差的正切公式与正弦定理判断即可.

【详解】对A,边上的高为asin8,由题意asinB=g,故A正确;

2

对B,由正弦定理c=2asin8即sinC=sin(4+8)=2sin/sin5,

故sinAcosB+cos/sinB=2sin/sinB，

又锐角ABC,故您0+丝1=2,即，+上=2,故B正确;

smBsmAtanAtan5

「sinCsin(4+8)sin4cos5-Fcos^sin5,八

C,--------------=——---------=------------------------------=tan4tan5,

cos4cos3cos4cos3cos4cos5

又---1——--=2,故tanA+tanB=—(tanA+tanB)(----1--------

tanAtanB2ItanAtanB

1f_tanBtan4、1C_ianB―tanA_tan5tan4

=-2+-------+------->-2+2J------x-------=2,当且仅当

21tanAtanB)21'tanAtanB,tan4tan8

jrjr

即tan/=tan5=l时取等号，此时Z=5=—,C=—,与锐角矛盾，故C错误;

42

对D,tanC=tan[兀一(/+5)]=—tan(/+B)=3,

tanA+tanB八511c口口,_,

a即rt-----------=-3,又------F-------=2,即tanA+tanB=2tanAtanB,

1-tanAtanBtanAtanB

2tanAtanB"以力,口，__

故-----------=-3，角牟得tanAtan5=3,故tanA+tanB=6.

1-tanAtanB

则tan力(6—tan")=3,即tan2Z-6tan/+3=0,解得tanZ=3±V^.

故tan/=3+V^,tanB=3-&，或tan/=3-V^,tanB=3+46.

不妨设tan/=3+痛，tanB=3-a,

sin5=

则

a久3-拓3Jo-

土后,2415+6^6.2D15-6#sin4sinx

故smA=---------产，sinB=---------产，20

16+6V616-6V6

故sin?Z+sin?B=勺何sin及inB,由正弦定理4+/=4y^-ab，故D正确.

55

故选：ABD

11."奔驰定理〃因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形

四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知Af是内一'点，4BMC,

AAMC,△力也的面积分别为臬，邑，S「^SA-MA+SB-MB+SC-MC=Q.以下命题正确的有（）

A.若S/=1:1:1,则A/■为△4V7C的重心

B.若M为AASC的内心，则.疝+ZC・砺+45.庆=0

C.若/A4C=45。，AABC=60°,M为“3C的外心，则邑：:Sc=G：2：1

D.若〃■为AZ8C的垂心，3MA+4MB+5MC=Q^贝＜1cos//Affi=-"

6

【答案】ABD

【分析】A选项，MA+MB+MC=0,作出辅助线，得到A,M,。三点共线，同理可得M为AA8C的重

心；B选项，设内切圆半径为厂，将面积公式代入得到8c.疝+/。砺+48.标=0;C选项，设外接圆

半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到邑：Sy与。=3:4:5,作出辅助

线，由面积关系得到线段比，设〃。=加，MF=n,ME=St,表示出ZM,BM,MC,结合三角函数得

到加="〃，m=^Lt,进而求出余弦值；

33

【详解】对A选项，因为用：品：k=1:1:1,所以疝+砺+标=0，

取3c的中点。，则赤+标=过万，所以2诟=-疝，

故A,M,D三点共线，且|儿闻=2|MD|,

同理，取48中点£,ZC中点尸，可得3,M,厂三点共线，C,M,E三点共线，

所以M为AA8C的重心，A正确；

对B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为,，

则J=：8C-r,SB=^AC-r,Sc=^AB-r,

I,»I"»I'.

所以一8C/-M4+—+—A87-WC=0,

222

即8。疝+ZC.砺+疝=6，B正确：

对c选项，若/以C=45。，ZABC=60°,M为“3C的外心，则a1C3=75°,

设的外接圆半径为H,故/5MC=2/A4C=90。，ZAMC=2ZABC=120°f

/AMB=2ZACB=150。,

2222

故邑=1及2$泊90。=1尺2,SB=-RsmnO°=—R,Sc=^7?sinl50°=1J?,

22B2424

所以SJSB：SC=2：®：1,C错误；

对D选项，若M为"8c的垂心，3MA+4MB+5MC=0>

则邑：SB：$c=3:4:5,

如图，ADIBC,CE1AB,BF±AC,相交于点M,

又见ABC=84+83+sc,

S3]

不」二高二了，即ZM:MD=3:1,

'△ABC124

S41

,△ABC1，3

Sc5

-^-=—,即〃E:"C=5:7,

'△ABC12

设MD=m,MF=n,ME=5t,则NM=3H,BM=2n,MC=1t,

nm

因为NC4D=NCB尸，sinACAD=——,sinZCBF=—

3m2n

A/6

所以〉六即m=----n，

3

%

%D正确;

贝!JcosN/儿/二cosg/BMD)=_

cos/BMD=—=———=—

2n2n6

故选:ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量

线性表示逐项判断.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.已知平面向量1=(1,加),6=(-2,1),c=(«,2),若b11C>则加+〃=.

【答案】-2

【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示得出参数计算即可.

【详解】因为G=(l,〃?),，=(一2,1)为,，，所以lx(-2)+lx加=0,机=2,

因为己=(〃,2),，=(-2,1)?/区，所以lx〃=2x(-2),〃=一4,

所以冽+〃=2-4=一2.

故答案为：-2.

13.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法〃三斜求积术〃，即在。中,

角/,B,C所对的边分别为a,b,c,则“BC的面积为S=⑷2TJ若

(a-b)sin/=优+c)(sinC-sin8),且^ABC的外接圆的半径为寺，则"BC面积的最大值为.

【答案】V3

【分析】先将(。-6,吊/=伍+0m出<7-$吊8)化简得。=2,再由均值不等式得仍44,最后代入面积共

公式即可得出答案.

【详解】因为一6)sin4=优+c)(sinC-sin5),

所以由正弦定理得(a-b”=(b+c)(c-b),

所以/+/一°2=帅,

所以由余弦定理得cosC=」，

lab2

而Ce(O,%),

所以C=g,

所以---=2R=2义2也,

sinC3

所以，二孚4-

由/+/一/=ab^a2+b2-4=ab>2ab-4,

所以ab<4,当且仅当〃=Z)=2时取等号，

；(ab)2-a2+b2-

所以S△小

2

故"BC面积的最大值为百.

故答案为：V3

14.已知/、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且|荔卜6,则方.就的最小值是

【答案】:一百

2

【分析】根据题意，由正弦定理可得sinC=由，然后分3=5兀-/与2=三-/讨论，再由平面向量数量积

的定义展开，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果.

【详解】由正弦定理可得，｝=上=2/，所以正=_匕=2,

sinCsinBsinCsinB

所以sinC=^，且Ce(O,7i),则C=1或未，

2兀

则3=—兀一/或3=——A,

33

当兀一4时，b=2sin5=2sin[g兀一4),

所以AB-AC=bccosZ=V3x2sin-TI-AXCOSA

=2x——cosA-\——sinAcos

22

=3cos24+6sin4cos4

3(l+cos2Z)百.c,

=--------------+——sin24

22

=Gsin12/+|J+g则2/+；e］；,g7i

当2Z+g=|■兀时，即/=[兀时，在.运1取得最小值I"-百;

当6=：-Z时，6=2sin5=2sin［三一Aj,

所以AB-AC=becos4=Gx2sin—4)xcosA

=2>/3x^-cosA--sinjeosA

122J

=3cos2A-Gsin/cosZ

3(l+cos24)百.一

=---------------------sin2/

22

:辞］。［,则2/一544看

则万•就无最值；

综上所述，万.%的最小值是。-行

故答案为：

2

四、解答题(本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分,

19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.在“8C中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,设向量成=仅sin4,抬sin4+JicosA),

71271

n=(cosA,cosA-sitU),f(^A)=ih-n,Ae

6'T

(1)求函数/(/)的最大值;

(2)若/'(/)=(),a=百，sin5+sinC=当，求”8C的面积.

【答案】⑴G

(2)f

【分析】(1)由向量数量积的坐标运算得/(/),利用降幕公式和辅助角公式化简，利用正弦函数的性质求

最大值；

⑵/■(/)=()解得/由sinS+sinC=Y^J用正弦定理边化角得6+c=«，再结合余弦定理求得6c=1,

32

面积公式求AABC的面积.

【详解】(1)/(A)=m-fi=2sinAcosA+(V3sinA+V3cos^)(cosA-sinA)

=sin2A+A/3(COS2T4-sin2^)=sin2A+^3cos2A=2sinI2A+—

因为所以2/+2暂不

_o3J3|_33

所以当2/+g=乡，即/=?时，〃/)有最大值2xYLg；

33o2

(2)因为/(/)=0,所以25抽(24+1]=0,所以24+g=左兀,左cZ,

因为/£24,所以4=g，

633

上=」=，=立=2bc

由正弦定理sinBsinCsinZ6，所以sinB=],sinCu/,

~T

又因为sinB+sinC=,所以2+'=^^,得b+c=娓,

2222

由余弦定理有：a2=b2+c2-2bccosA,3=(b+c)2-3bc,所以弦=1,

所以S“Bc=sin"=；义lxq二£.

cos>4

16.记的内角/,B,C的对边分别为Q,b,c,已知----=l+sin/.

tan5

⑴若/=5,求C；

,asmB+bsmA

⑵求-------------的取值范围.

2bcos5

【答案】(1)。=三

(2)(0,1)

【分析】(1)先由题给条件求得/=6=9,进而求得c=f；

63

(2)先利用正弦定理和题给条件求得/=]-28和0<2<£,再构造函数>=2/一；,曰</<1,求得此函

数值域即为竺电竺如上1的取值范围

26cos8

【详解】(1)由4=8,—=l+sin^

tan5

可得cos，=1+sin/,则cos2Z=(1+sin/)sin/

tan/''

整理得2sin2/+sin/-1=0，解之得sin4=1或sin4=-1

2

又则4='，则5贝|JC=3^

2663

(2)A,8为AABC的内角，则l+sin4>0

则由笔=l+sin/,可得金>0,则48均为锐角

tanBtanB

cos2-4---si.n2—411-t+an一4

八cosAA?9?

tanB=----------=-------Y--------7^-=--------J

l+sin/(sin|+cos|)2l+tan1

又0<B<30<二一且〈色，则2=工一且，Q<B<

242442

则4=］一25,则sin4=sin-2“=cos28

因为“sin5=Z?sin%,

osinB+bsin42bsinA2bcos2B2cos2B-1__1

则----------=-------------=--------------=2cos--------

2bcosB2bcosB2bcosBcos8cos8

令/=COSB(0<B<£|,则*,<1

/rr\r—

又/⑺=2」在半,1单调递增，fA=0,/(1)=1

fI2J2

可得0<2":<1,则2cos8-9万的取值范围为(0,1),

l.〃sin5+6sin/

则-------------的取值范围为(0,1)

2bcos5

cosCcosA+cosB

17.在锐角中，内角48,C的对边分别为a,6,c,且满足:

acosB+bcosAa+b

(1)求角。的大小;

⑵若c=3,角A与角8的内角平分线相交于点。，求△48。面积的取值范围.

【答案】(吗

“中’孚］

【分析】(1)根据正弦边化角，并结合恒等变换得sin(C-N)=sin(8-C),再结合题意得2c=/+3,进而

根据内角和定理得答案；

(2)由题，结合(1)得设乙D/8=c,则乙48。=/-。，进而根据锐角三角形得二＜a＜：,

33124

在△力助中，由正弦定理得/。=2百sin］；-a),进而

S^ABD=；4D45sina=T><3><2Gsin[l—“sina=2手sin^我+弓）一考^,再根据三角函数性质求范围即

可.

cosCcosA+cosB

【详解】（1）解：因为

acosB+bcosAa+b

cosCcosA+cosBcosCcosCcos4+cos5

所以,即

sirUcosB+sinBcosAsin/+sin5sin(4+5)sinCsin4+sin8

所以sinCcosZ+sinCcosB=sin/cosC+sin5cosc,

所以sinCcosI-sin4cosc=sincosC-sinCeosS,即sin(C-T4)=sin{B-C),

因为在锐角力5C中，C-Ae,B-Ce

所以C—/二B—C,即2C=4+5,

因为4+5+C=TI,

TT

所以3c=/+3+C=TI,解得C=1

所以C=；

jr

(2)解：因为C=§,角A与角B的内角平分线相交于点。,

所以ZDAB=-NCAB,ZDBA=-ZABC,

22

所以N7X48+ZDBA=^ZCAB+^ZABC=1(TI-C)=|

所以N4D8=年，

JT

设ZDAB=a,则Z-ABD=----a,

3

因为445C为锐角三角形，

LL八c兀八c兀c兀hT\/口兀兀

所0<2a<一,0<8=兀------2a<—,解得一<a<—

232124

ARADAB-smZABD

所以,在△加中，由正弦定理目^"而得皿=

sinZADB

=—AD•ABsina='x3xsin71

所以，△/阿）面积——asma

223

9.

=3Gsinsina--sina-cosa-------sin2a+

22

兀717T712兀

因为ee,所以20+工€

12540i'T

/

所以+个

sin12aG-

536L吟3拒（9一3636]

2I6）4144J

a-cosCsinC

2

（1）若bwc,证明：a=b+c;

2

（2）若3=2C,证明：2c>6>].

【答案】（1）见详解；

⑵见详解.

【分析】（1）根据正余弦定理角化边，整理即可;

（2）根据正弦定理推得b=2ccosC,即可得到b<2c.通过分析，可得“~J以及c=­J,代入

2cosC-12cosC

a2=b+c,整理可得到6=（2cosc_1_],令=2cosC,构造6=/«）=—一―求导得到

U+2cosCjUcosC-lJt3+t2-t-}

/（0在（1,2]上单调递减.进而得到/⑺>/⑵=：.

【详解】（1）证明：由正弦定理可得，4=展，所以驾=2,

sinBsinCsmCc

2,2_72272_2

由余弦定理及其推论可得，COSB）+。一。，cosC=a+b~C,

2aclab

a2+c2-b1

Q--------------------------

所以，由已知可得，——,坐,b

a+b-cc

a-----------

lab

即2a2（6-c）=2（/-/）=2（6+c）（6-c）,

因为bwc,所以/=6+o.

(2)证明：由已知得,sin5=sin2C=2sinCcosC,

hc

又由正弦定理可得，6=2ccosC,

sinBsinC

因为cosC<l,所以b<2c.

由(1)知，a*1=b+c,则♦=He

a

又由正弦定理号可得,

sinAsinBsinC

sin5+sinCsinB+sinCsin5+sinC2sinCcosC+sinC

(J=----------=------=------------=----------------r--

sin/sin[B+C)sinBcosC+cosBsinC2sinCcosCcosC+(2cos23C-1)sinC

sinC(2cosC+1)1

-(4COS2C-1)sinC_2cosC—1'

又6=2ccosC，贝!jc=--—,

2cosC

]以及二二J代入/可得,

将a=c=6+c

2cosC-12cosC

117b/l+2cosC

--------=b+--------=b\---------

2cosC-l)2cosCI2cosC

2cosc1]/2cosc丫1

整理可得,b=1+2cosCJ<2cosC-lJ11+2cosCJ12cosC-l

ir1

因为，B=2C,A+B+C=TI,所以0<C<一,贝lJ—<cosC<l.

32

令"2cosC,贝b=f(t)

则外）=

所以，当l<f<2,⑺<0恒成立，所以7在。,2）上单调递减.

79

所以,/（/）>/（2）=-,即

综上所述，2c>6>2j.

19.若AABC内一点尸满足===则称点尸为AA8C的布洛卡点，。为AABC的布洛

卡角.如图，已知“3C中，BC=a,AC=b,4B=c,点尸为的布洛卡点，。为“3C的布洛卡角.

PR

(1)若6=c,且满足C=VL求//BC的大小.

PA

(2)若AA8C为锐角三角形.

(i)证明：—1―=——!——+——!——+——-——

tan。tanABACtanZABCtanZACB

(五)若PB平分N4BC,证明：b2=ac-

【答案】(1)TBT

0

(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.

【分析】(1)先判断△尸CB与AP胡相似，进而得到°=任，应用余弦定理求出C0S/43C的值即可;

(2)(i)在“3C内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式得：