2025届高考数学二轮复习专项训练：排列组合二项式定理（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题训练排列组合二项式定理

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A,9C三家企业可供选择，若去C企业最多一人，则不同

分配种数是（）

A.112B.80C.64D.32

2.在（1+%%了的展开式中，系数为整数的项数是（）

A.9B.4C.3D.2

3.第15届中国国际航空航天博览会于2024年n月12日至17日在珠海举行.本届航展规模空前，首次

打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量.航展共开辟了三处观展区，分别是

珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区.甲、乙、丙、丁四人相约去参观,每个观展区至

少有1人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率

为（）

A.5rB.3rc.±2D.1l

6432

4.5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（）

A.A：B.C；C.54D.45

5.用0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）

A.60个B.40个C.30个D.24个

6.现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数

为（）

A.6B.15C.20D.30

（1Y

7.1—-x的展开式中/的系数为（）

/66

A.—6B.-----C.6D.一

55

8.已知C"=C；”厕x=（）

A.4B.3C.5D.l

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知（2x-三1的展开式中各项系数的和为1,则下列结论正确的有（）

A.a可能为1

B.展开式中二项式系数之和为256

C.展开式中第4项的二项式系数最大

D.展开式系数的绝对值的和可能为38

10.已知（2-%）”=4+。尤+。2%J--卜知11（）

A.4=211

B.%+弓+/+,,,+%]—0

「1-311

Jq+%+%+%+〃9+1=---------

D.a1+2]x%+2?x/+•••+21°xq]=—21°

n

/1\

11.已知在4的展开式中，设前3项的系数分别为a,b,c,若a+c=»，则下列结论

I2网）

正确的是（）

A.n=6

B.展开式的中间项为至工

8

C.展开式中有4项有理项

D.展开式中系数最大项为第3项和第4项

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在龙年元宵节的一项无人机飞行表演中，将7架不同的“焰火”无人机和n（neN*）架不同的“灯光”

无人机排成一列.已知每一架“焰火”无人机都至少和另一架“焰火”无人机相邻，设这7架“焰火”无人机

至少有5架连在一起的概率为p,要使得工〉2024,则n的最小值为.

P

13.在(％—l)(x—2)(x—3)(x—4)展开式中，含/项的系数为.(用数字作答)

14.某综合性大学数学系为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原

本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完,

且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有种不同的选修方式

可选.(用数字填写答案)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3

15.设(3%-1)7=%+。1%+〃2%2+a3X+%/，求：

(1)CL?+/+&；

⑵国+固+同+同+团+国+同+|%卜

16.(1)证明：比：=”C，；淇中凡左eN*，且2〈左<〃・

⑵证明:若X服从二项分布B(n,p)，则后(X)=np-

(3)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲赢的概率为p(；<〃<l),乙赢的概率为q=l-p.双方约定

比满(2〃-1)局，赢的局数多的人获胜.设甲获胜的概率为匕，证明｛尺｝是递增数列，并说明该结论的实

际含义.

17.已知数列｛%,｝满足q=3,且a“+i=2a“一1.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

(2)证明：—+—+•••+—<1；

(3)国表示不超过x的最大整数，如[2』=2,[—1.5]=—2,设％=当口，求数列匕｝的前2九

项和.

18.已知[x-[=]的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和分别为。和6,且。+〃=32.

(1)求正整数〃的值；

⑵求其展开式中所有的有理项.

19.为了推广一种新饮料，某饮料企业开展了有奖促销活动：将6罐饮料装一箱，每箱中都放置2罐能

中奖的饮料.

(1)若甲从一箱这种新饮料中随机抽取2罐，能中奖的概率为多少？

(2)若甲、乙、丙三人中的每个人都从自己购买的一箱这种新饮料中随机抽取2罐，试判断：“甲、乙、

丙三人中恰有一人中奖”与“甲、乙、丙三人都中奖或都未中奖”，哪一个发生的可能性更大？并说明理

由.

参考答案

1.答案：A

解析：分两类情况，第一类情况，去C企业仅有一人，有C：*2'=80种情况;

第二类情况，没有一个去C企业，有25=32种情况，

所以根据分类加法计数原理共有80+32=112种•

故选:A.

2.答案：C

.（工丫1,

解析：根据题意有：兀］=C；（侬）=晨3n=Cf33Mk=0，1，2,3,4,5,6,7,8,

因为1keZ，所以k=0,3,6,所以系数为整数的项为:1,4,7,故有3项

3

故选:C.

3.答案：A

解析：记事件A：甲参观珠海国际航展中心，事件5:甲与乙不到同一观展区，则P（A）=1,

因为每个观展区至少有1人，每人只参观一个观展区,

则先将4个人分为3组，再将这三组分配给三个展区,

基本事件的总数为"g）=CjA；=36,

若事件4B同时发生,若参观珠海国际航展中心有2人，则另外一人为丙或丁,

此时，不同的参观情况种数为2A；=4,

若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组,再将这两组分配给另外两个展区,

此时，不同的参观情况种数为=6种，

因止匕,喘=噤=''

由条件概率公式可得P（叫A）=?需=（x35

6

故选:A.

4.答案：D

解析：每个毕业生都有4种不同选法，所以不同选法的种数为45.

故选:D

5.答案：C

解析：由题意可分为两类：

第一类末位数字为0时，百位数字有4种排法，

十位数字有3种，根据分步计数原理，共有4义3=12种排法；

第二类①末位数字为2或4中一个时，有2种排法；

②再从除0以外的3个数中，选一个放在百位有3种排法，

再从剩余的3个数中，选一个放在十位数字有3种排法，

根据分步计数原理，共有2x3x3=18种排法；

根据分类计数原理，共有12+18=30种排法.

故选：C

6.答案：D

解析：把星期一到星期六记为1,2,3,4,5,6,

则不连续值日的三组数可列举为(1—3,2—5,4—6)，(1—4,2—5,3—6)，

(1-4,2-6,3-5)，(1-5,2-4,3-6)，(1-6,2-4,3-5)，

所以符合条件的方法有5A；=30种.

故选：D

7.答案：B

解析：卜一上工］的展开式中炉的系数为c［—二］

I^5J6(95

8.答案：C

解析：根据题意，得x=2x+l或x+2x+l=16,解得x=—1(舍去)或x=5・

故选:C

9.答案：ABD

解析：A.令x=l,代入二项式(2-。1=］,。=1或。=3,故A正确；

B.展开式中二项式系数之和为28=256,故B正确；

C.展开式中第5项的二项式系数最大，故C错误；

D.当a=l时，(2x—工］展开式系数的绝对值和二项式的系数和相等

令x=l,得系数和是38,

当a=3时，[2x—3]展开式系数的绝对值和二项式的系数和相等,

令x=l,得系数和是S',故D正确.

故选：ABD

10.答案：ACD

解析：令％=0,得的=2”,故选项A正确；

令1=1，得/+〃1+〃2+…+即=1①，故选项B错误；

令x=—1,得%—q+%一••,一〃]]=3"②，

1_oll

由①一②得q+〃3+为+%+〃9+〃11=--—，故选项C正确;

令X=2,得4+2XQ]+2?xa?+,,,+2]1x4]]=0,

则2x〃]+2?x%+,•,+2]1x〃]]=—%=—2”，

得〃1+21乂〃2+22、〃3+-+21°、〃]]=—21(),故选项口正确.

故选:ACD.

11.答案：BD

(1、2〃—3,

解析：:H——7=展开式的通项为(+]=[一j4其中04厂(〃且rwN，由于前3项的

系数为〃，b,c,且Q+C=2/?，

・••2xgc：=[jc：+[jc>整理可得n2—9«+8=0'

解得〃=8或〃=1（舍去），故A错误;

（

1展开式的通项为=（；）r16-3r

所以GH-----；=■Cg%4其中0WrW8且reN

2飙)

则展开式的中间项为岂£6=,,故B正礁

1A_Qr

令------GZ，0<r<8-S*reN»所以厂=0或丁=4或r=8,

4

则当厂=0,4,8，时为有理项，共3项，故C错误;

故展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确.

故选：BD.

12.答案：4047

解析：方法一:从排列的角度看问题.每一架“焰火”无人机都至少和另一架“焰火”无人机相邻有四种情

况，

情况1:7架“焰火”无人机排在一起,此时有An\+Al；/An"种方法,

情况2：7=2+5，组成方式为。0,0OOOO,此时有A3A；A；A：=A；A3A；A；种方法,

情况3：7=3+4,组成方式为。0。,00。0,此时有©汜/；+怖//：=A；A：+iA；A：种方法.

情况4逐=2+2+3•组成方式为。。，。。，。。。，

「202

此时有c；jlA3+|A；A；A：A"=6A；A3+|A；A"种方法•

/2I〃+12.2.5n//1+12.n

所以这7架“焰火”无人机至少有5架连在一起的概率为

A1A7AHA3*A2A2An

______________________A/7+1八7A八十Wi+CzAt____________________

一A：MA；A：+A：A"A；A；+A；A"A：A；+6A；A：“A；A；

24+nx2

(〃+2)(〃+12)

21

=----<-----

n+22024

所以〃>4046-

因为TieN*，所以n的最小值为4047，

方法二:我们可以不考虑“灯光”无人机的排法,同时也不考虑“焰火”无人机之间的相对位置，只需将对应

的“焰火”无人机放入“灯光”无人机形成的空位中即可.

对7架“焰火”无人机排法进行分类，

①7架在一起，有〃+1种排法；

©7=5+2，由插空法知有2c3,种排法；

③7=4+3，由插空法知有2c3种排法；

④7=3+2+2.由插空法知有3c3种排法；

所以这7架“焰火”无人机至少有5架连在一起的概率为

_2C；+i+〃+l_n(n+V)+n+l_21

P~3cL+4C"〃+1—(«+l)n(n-l),An+Y)nt~—一~^2<2024•所以“〉4046■

n+ln+l----------1-4----------l-n+1

22

因为〃eN*，所以n的最小值为4047.

故答案为：4047

13.答案：—10

解析：由分步乘法原理，含V项的系数一定为三个括号中出羽一个括号中出数字，

3333

贝1(—l)x/+(-2)xx+(-3)xx+(^l)xx=(-10)xx，

所以含V项的系数为-10，

故答案为：—10.

14.答案：54

解析：由题意可知三年内将四门选修课程全部修完，

且每学年最多选修两门，

则四门学科可按2,1,1和2,2,0两种情况分成三组，

若按2,1,1分成三组，有C；=6种分组方法，

若按2,2,0分成三组，有*学=3种分组方法，

尺

所以每位学生共有(6+3)A：=54种不同的选修方式可选.

故答案为：54.

15.答案：(1)-8127

(2)16384.

解析：⑴由条件，取1=0,得到%=—1；

取x=1,得至ll4+%+a,+/+%+%+4+%=(3—I)'=2，

取1=,得至U4-•%+出—/+4—%+4—%=(-3—I)'=-47

两式相加得到旬+%+%+。6=2]=—8128,

所以/+/+R=—8127•

(2)根据(1)矢口:q+/+%+%=2,—(佝+%+&+4)=128+8128=8256.

(3x-l)7展开式的通项为：(+1=C；(3%)7f(―1)「,

故当厂为偶数时，对应系数为正;当〃为奇数时，对应系数为负,

故同+闻+同+同+同+网+同+同

=8256-(-8128)=16384.

16.答案：(1)证明见解析;

(2)证明见解析；

(3)证明见解析,结论见解析.

,nIn\(n-1)!

解析:⑴kC=k——-—------------------------------二Tl-------------------＜：：

"k!(n—k)!(A—1)!(“一左)！(左_1)!(“_左)!­

(2)令q=l—/由x服从二项分布B(n,p)，得P(X=k)=C：p/，k=032,…,n,

因止匕E(X)=之螭p1^=之n/pkqi=呼之cWpiqdf，

k=0k=lk=l

令左—1=i,所以E(X)=叩之C/ipiq"TZ=np(p+q)〜=np.

i=0

(3)设事件A="比满(2〃+1)局甲获胜”,B="第2n局甲胜”,C="第Qn+1)局甲胜”，

因此B+i=P(A)=P(BC)P(A\BC)+P(BOP(A\BC)+P(BC)P(A|BC)+P(BC)P(A|BC)

=2pqPn+P\Pn+C吃+“2(5—

=pn+=IPW(P—q),而P>q>0,则Pn+i>Pn,

所以｛尺｝是递增数列，该结论的实际含义是:比赛局数越多,对实力较强者(如甲)越有利.

17.答案：⑴4=2"+1

(2)证明见解析

22n+12

(3)------

33

解析：⑴因为。“+1=2%-1,则％+]-1=2(4-1),

且。1=3,贝1Jq—l=2w0,

可知数列｛q-1｝是首项和公比均为2的等比数列,

可得4—1=2x2"T=2",所以4=2"+1.

(2)由(1)可知，a〃=2"+l>2”〉0,则[

n

an2+lT

可得工+工+…+!<工+±+二+…+L.

23

qa2an222V

plJ1112I2"J,1,

又因为一+―T+F+…+—=——J~-=1---<1,

222232"[12"

2

…111】

所以一+——十•••+—<1.

CL-y^^2it

2〃

(3)由⑴可知，4—1=2",贝ljg=y.

因为2"=(3—1)“=C：3"+C；3j(-l)+C^3n-2(-l)2+..•+端3(_广+C：(-1)"

=3x[C：3"T+c；3々(-Q+C37(—ip+...+©丁(_Q"1+&(-1)〃，

可得g=C：3〃T+C：3-2(—1)+c：3-3(—I)?+...+c7(—1)"T3+?,

r\nr\n°

当〃为奇数时，贝ll———H—，即——------；

333333