2025年高考数学复习之空间向量及其运算（含解析）

2025年高考数学解密之空间向量及其运算

一.选择题（共10小题）

1.（2024•龙岗区校级模拟）已知空间向量4=（2,-1,2）,方=（1,-2,1）,则向量B在向量4上的投影向量是（

）

A.B.（2,-1,2）C.D.（1,-2,1）

333333

2.（2024•南湖区校级一模）正四面体的棱长为3,点N是它内切球球面上的两点，P为正四面体表

面上的动点，当线段最长时，丽•丽的最大值为（）

95

A.2B.-C.3D.-

42

3.（2024•金安区校级模拟）正四面体ABCD棱长为6,AP=xAB+yAC+zAD,且x+y+z=l,以A为

球心且半径为1的球面上有两点M,N,MA=AN,则加2+丽2的最小值为（）

A.24B.25C.48D.50

4.（2024•香坊区校级四模）如图，在所有棱长均为1的平行六面体4BCD-A4G2中，M为4cl与BQ

交点，NBAD=ZBAA,=ZDAA,=60°,则BM的长为()

5.（2024•高碑店市校级模拟）已知空间向量万=（0,1,2）石=（-1,2,2）,则向量方在向量方上的投影向量是（

C.(-2,4,4)

6.（2024•昌黎县校级模拟）定义两个向量丘与v的向量积日x"是一个向量，它的模|fix|=|M|-|v|sin（w,v）,

它的方向与正和/同时垂直，且以日力，为的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体ABCD中,

贝1|（荏x砌・前）

A.40B.4C.4A/3D.2石

7.（2024•番禺区校级二模）已知空间向量汗+石+不=0,|苕|=1,15|=4,cos<a,b>=—,则|己|=（）

2

A.3B.V13C.721D.21

8.（2024・潮阳区校级三模）己知平行六面体428-44弓2中，A4,=2,BD=3,AD^DC-AB^BC=4,

则cos〈丽，丽〉=（）

2233

A.-B.——C.-D.--

3344

9.（2024•襄城区校级模拟）已知直线/过点A（l,-1,-1）,且方向向量为沆=（1,0,T），则点尸（1,1，1）

到/的距离为（）

A.20B.A/6C.A/3D.后

10.（2024•浦东新区校级模拟）设A，4，…，4是空间中给定的〃个不同的点，则使之（源可）=0成立

i=l

的点"的个数为（）

A.1B.n

C.无穷多个D.前面的说法都有可能

二.多选题（共5小题）

11.（2024•朝阳区校级模拟）已知正方体ABCD-ABQR边长为2,动点M满足

AM=xAB+yAD+zAA^（x..O,y.0,z..0）,则下列说法正确的是（）

A.当x=y=l,z=g时，则直线平面A5D

B.当x=：,z=0,ye［0,l］时，+的最小值为

C.当x+y=l,ze［0,1］时，A"的取值范围为［0,2拒］

D.当x+y+z=l,且AM=2叵时，则点M的轨迹长度为逑》

"33

12.（2024•烟台模拟）已知空间向量丽=（1,2,4）,配=（0,-2,1）,贝!J（)

2

A.BABC=O

B.而在区上的投影向量为（0,2,-1）

C.若向量屁=（1,0,6）,则点E在平面ABC内

D.向量（0,-W，（）是与团平行的一个单位向量

13.（2024•民乐县校级一模）下列命题错误的是（）

A.对空间任意一点。与不共线的三点A,B,C,若而=x05+y砺+z而，其中x,y,zeR且

x+y+z=l,则P,A,B,C四点共面

B.已知。=（1,-1）,5=（d,l）,2与B的夹角为钝角，则d的取值范围是d<l

c.若a,B共线，则|商|-|9|=|乙+5|

D.若商，5共线，则一定存在实数2使得5=4百

14.（2024•淄博模拟）如图，在平行六面体ABC£»-a4CQ中，以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它

们彼此的夹角都是（，M为AG与局2的交点.若通=1，AD=b,丽=1,则下列说法正确的是（

)

A.CM=--a--b+cB.<CM,AC[>^C.BD^=a+b+c

22

D.而•也=1

15.（2024•张家界二模）正六棱柱ABCDEF-HBCDF尸的所有棱长均为2,P为棱上加中点，记正

六棱柱的12个顶点为耳"=1,2,....12）,则两•比的值可以是（）

A.0B.-1C.1D.2

3

三.填空题(共10小题)

16.(2024•东湖区校级三模)已知空间向量。=(1,0,1),5=(2,-1,2),则向量5在向量4上的投影向量是

17.(2024•太原三模)已知直线/过点A(l,2,0),且直线/的一个方向向量为用=(0,-1,1),则坐标原点

。到直线/的距离d为—.

18.(2024•广州模拟)已知A,M,N是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则丽的取值范围

是—.

19.(2024•中山市校级模拟)已知正四面体A-2CD的棱长为2,若球O与正四面体的每一条棱都相切，

点P为球面上的动点，且点P在正四面体面ACD的外部(含正四面体面ACD表面)运动，则可•丽的

取值范围为.

20.(2024•黄浦区校级三模)已知空间向量a=(1,-1,0),5=(0,1,1),忑=(1,2,〃。共面，则实数%=.

21.(2024•故城县校级模拟)已知向量方=(3,-2,1),&=(-1,3,-2),2=(3,5,2),若5,泮三个向量

共面，则彳=.

22.(2024•红河州模拟)如图，在棱长均相等的斜三棱柱ABC-A耳G中，幺AB=441AC=5,两=2瓯,

CN=pCQ,若存在4e(0,l),〃e(0,l),使画心丽=0成立，则彳+〃的最小值为.

23.(2024•拉萨一模)已知x,y&R,空间向量4=(2,l,x),B=(4,y,-l).若万//方，则2x+y=.

24.(2023•翠屏区校级模拟)两个非零向量1，b,定义|百xB|=|万||6|sin<H,5>.若方=(1,0,1),B=(0,

2,2),贝(JSx方|=.

25.(2023•浦东新区三模)空间向量。=(2,2,-1)的单位向量的坐标是.

4

2025年高考数学解密之空间向量及其运算

参考答案与试题解析

选择题(共10小题)

1.(2024•龙岗区校级模拟)已知空间向量2=(2,-1,2),5=(1,-2,1),则向量5在向量日上的投影向量是(

)

A.B.(2,-1,2)C.D.(1,-2,1)

333333

【答案】A

【考点】空间向量的投影向量与投影

【专题】综合法；数学运算；计算题；转化思想；空间向量及应用

【分析】根据投影向量的求解公式计算即可.

【解答】解：a-b=6,|<51=3,

故向量5在向量1上的投影向量是：=-(2,-1,2)=.

|a|9333

故选：A.

【点评】本题考查空间向量条件下投影向量的计算，属于中档题.

2.(2024•南湖区校级一模)正四面体的棱长为3,点A/,N是它内切球球面上的两点，尸为正四面体表

面上的动点，当线段最长时，加・西的最大值为()

95

A.2B.-C.3D.-

42

【答案】C

【考点】空间向量的数量积运算

【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；球

【分析】设四面体ABCD的内切球球心为O,G为ABCD的中心，E为CD的中点，连接AG,BE,则O

在AG上，连接30,根据题意求出内切球的半径，当跖V为内切球的直径时，MN最长,再化简

PMPN=(PO+OM)(PO+ON)可求得其最大值.

【解答】解：设正四面体ABCD的内切球球心为O,G为ABCD的中心，E为8的中点，连接AG,BE,

则。在AG上，连接30,则49=30.

因为正四面体的棱长为3,所以BG=2BE=2义置义3=百，

332

所以47=办82-改?2=^/^与=",设内切球的半径为r,

5

则（AG-r）2=r~+BG1,（#—r）2=r2+后，解得r=,

4

当MN为内切球的直径时政V最长，此时的'+两=0,加•两=-（手）2=一|

PMTN=(Pd+OM)(Pd+ON)

3

=PO+PO(OM+ON)+OMON=PO-

8

因为P为正四面体表面上的动点，所以当P为正四体的顶点时，I所I最长，I而I的最大值为

【点评】本题考查的知识要点：锥体和球体的关系，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中

档题.

3.（2024•金安区校级模拟）正四面体ABCD棱长为6,AP=xAB+yAC+zAD,且x+y+z=l,以A为

球心且半径为1的球面上有两点M,N,MA=AN,则可片+丽?的最小值为（）

A.24B.25C.48D.50

【答案】D

【考点】空间向量及其线性运算；点、线、面间的距离计算

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算

【分析】先由福•死=福・苞=而•跖=36,再由祝=丽，推出|丽7|=|不7|=1,PM=PA+AM,

PN=PA+AN,再由向量的数量积的计算公式得到两2+加=74-72（冲+yz+尤z）,结合基本不等式,

即可求解结果.

【解答】解：法一：因为正四面体ABCD的棱长为6,

所以:W-庶=|35||X^|COS60°=36,

同理可得通||XD|COS6(T=36,AC-AD=|AC||AD|cos60°=36,

6

又因为以A为球心且半径为1的球面上有两点M,N,MA=AN,

所以|痂|=|初|=1,

由AP=xAB+yAC+zAD,

22__,

贝IJ两+PN=(PA+AM)1+(PA+AN^,

--*2--**»2”2•"Q.

=PA+2PA-AM+AM+PA+2PA-AN+AN,

=2(xAB+yAC+zAD)2+2,

=2(%2AB+y2AC+z2AD+2xyAB-AC+2yzAD-AC+2xzAB•AZ))+2,

=2(36x2+36y2+36z2+36xy+36yz+36xz)+2,

=74-72(孙+yz+xz),

因为x+y+z=l,所以I=d+y2+z2+2xy+2yz+2xz..3(xy+yz+xz),

当且仅当％=y=z=!取等号，

3

此时肛+yz+xz„；,

所以而2+萧..74-24=50.

故PM+PN的最小值为50.

法二：由于x+y+z=l,所以点尸在平面3co内，

2222

所以加2+丽,^(PA+AM)+(PA+AN)=24+2PA-(AM+AN)+AM+AN,

由于苏=丽，所以丽7+福=0,

由于尺=1,所以|国7|=|前|=1,

当点尸为点A在平面BCD内的射影时，|弱|最小，

由于棱长为6,

所以BP=—xx6=2A/3，AB=6，

32

AP2=AB2-BP2=36-12=24,

所以加之+前..2x24+2=50.

故选：D.

【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能

7

力，属于中档题.

4.（2024•香坊区校级四模）如图，在所有棱长均为1的平行六面体ABCD-A旦£“中，"为AG与耳2

交点，ABAD=ZBA^=ZDA^=60°,则的长为()

6B.V-.----D

A4~T2-f

【答案】C

【考点】空间向量的数乘及线性运算

【专题】整体思想；空间向量及应用；数学运算；综合法

【分析】由题意可知的=丽+，击-!南，再利用|加|=J丽/，结合空间向量的数量积运算求解.

22

o

【解答】解：由题意可知，ABAD=ABAA^=ADAAI'=lxlxcos60=^,

BM=BB[+BlM=A\+^B^=AA^+^(A^-AlB^)=AAl+^AD-^AB,

2

••.IBM\=>JBM=小国+；而确2T圃2+；而2+；加+可赤—可痛g彷病二

442可FTFFI等

的长为好

2

故选：C.

【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算和数量积运算，属于基础题.

5.（2024•高碑店市校级模拟）已知空间向量万=（0,1,2）,5=（-1,2,2）,则向量万在向量方上的投影向量是（

)

122244422

A.B.UH?C.(-2,4,4)D.

【答案】B

【考点】空间向量的投影向量与投影

【专题】空间向量及应用；数学运算；综合法；转化思想

【分析】根据已知求出百・瓦|5|,即可根据投影向量的定义求出答案.

8

【解答】解：因为4=(0,1,2)力=(-1,2,2),

所以商3=6,出|=3,

所以向量4在向量B上的投影向量为：=—b.

|6|\b\3333

故选：B.

【点评】本题考查空间向量的数量积和投影向量，属于基础题.

6.(2024•昌黎县校级模拟)定义两个向量力与炉的向量积小炉是一个向量，它的模|公记=|词•旧sin〈》,论，

它的方向与力和力同时垂直，且以日力,为的顺序符合右手法则(如图)，在棱长为2的正四面体ABCD中,

A.40B.4C.4布D.2指

【答案】A

【考点】平面向量的概念与平面向量的模；空间向量及其线性运算

【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；数学运算

【分析】根据题中条件确定I通义而I，设底面的中心为O,则CO,平面钻£),可求得

cos<AC,OC)=cosZACO=,又荏x通的方向与觉相同，代入计算可得答案.

【解答】解：由题意，|ASx苞|=|通|.|亦"in〈通砌=2x2x曰=23，

设底面△ABD的中心为O,连接CO,AO,

则OC_L平面钻D,又AO,AB,ADu平面ABD,

故OC_LAO,OC±AB,OCYAD,

则AO=-XABX-=^,

233

9

OC=>/AC2-AO2=

2m

在△ACO中，cosZACO=-=^-=—,

AC23

则cos(AC,OC)=cosZACO=g,

又通义砺的方向与无相同，

所以（福x亚）.*=2』x2x^=4^.

故选：A.

【点评】本题考查空间向量及其运算，考查三角形中的几何计算，属中档题.

7.（2024•番禺区校级二模）已知空间向量4+方+不=6,旧|=1,|5|=4,cos<a,b>=~,贝1]|村=（）

2

A.3B.V13C.历D.21

【答案】C

【考点】空间向量的数量积运算

【专题】空间向量及应用；向量法；转化思想；数学运算

【分析】根据空间向量数量积的性质及运算即可求解.

【解答】解：由豆+石+^=0,可得5=—（万+B）,

,.r..1

由|五|=1|万|=4,cos<a,b>=—,

2

可得|E|=正+2上出+后

=Jl+16+2xlx4x；

故选：C.

【点评】本题考查空间向量的数量积运算，属基础题.

8.（2024・潮阳区校级三模）已知平行六面体428-44弓2中，A4,=2,BD=3,AD^DC-AB[BC=,

则cos〈丽，砌=（）

22

A.-B.——

33

【答案】B

【考点】空间向量的数量积运算

10

【专题】数学运算；综合法；整体思想；空间向量及应用

【分析】利用空间向量的数量积运算求解.

【解答】解

AD^DC-AB^BC=(AD+AA^)AB-(AB+AA^)AD=ADAB+AA^AB-ABAD-AA^AD=AA^AB-A^AD=A^DB=4，

所以祠•丽=-4,

所以cos5，^>=|M||M5|=2x3=-3-

故选：B.

:.工

AB

【点评】本题主要考查了空间向量的数量积运算,属于基础题.

9.(2024•襄城区校级模拟)已知直线/过点4(1,-1,-1),且方向向量为沆=(l,o,-1)，则点尸(1,1,1)

至1"的距离为()

A.2&B.娓C、百D.V2

【答案】B

【考点】点、线、面间的距离计算；空间向量的夹角与距离求解公式

【专题】空间向量及应用；整体思想；计算题；数学运算；综合法

【分析】利用空间中点到直线的距离公式求解.

【解答】解：•.•点4(1,-1,-1),点尸(1,1,1)AP=(0,2,2),

.-.|AP|=7O2+22+22=20,

又•.,直线/的方向向量为m=(1,0,-1),

.♦.点P(l,1,1)至打的距离d=J刀『一(千三)2=[8-=娓,

故选：B.

【点评】本题主要考查了空间中点到直线的距离公式，属于基础题.

10.(2024•浦东新区校级模拟)设A，4，…，4是空间中给定的〃个不同的点，则使•丽)=0成立

/=1

11

的点”的个数为()

A.1B.n

C.无穷多个D.前面的说法都有可能

【答案】A

【考点】空间向量及其线性运算

【专题】综合法；平面向量及应用；对应思想；数学运算

【分析】设出点的坐标，利用向量坐标运算得到方程，表达出点M的坐标，得到答案.

【解答】解：设4(%,y,z,.),M(x,y,z),

由之(iMA)=6得f-x,yi-y,zi-z)=O,

i=li=l

所以力•(七-%)=o,£(z,_z)=o,

z=lz=li=l

£%EM

所以彳=上1—,y=上一,z=上一,

nnn

所以满足条件的点M的个数为1个.

故选：A.

【点评】本题考查了向量的坐标运算，属于中档题.

二.多选题(共5小题)

11.(2024•朝阳区校级模拟)已知正方体ABCD-A^B^D,边长为2,动点M满足

AM=xAB+yAD+zA4f(x.0,y.0,z..O),则下列说法正确的是()

A.当x=y=l,z=g时，则直线AWL平面4加)

B.当尤=z，z=O,ye[O,l]时，4河+血的最小值为历

C.当x+y=l,ze[0,1]时，AM的取值范围为[0,20]

D.当x+y+z=l,且3=空时，则点M的轨迹长度为生&%

33

【答案】BC

【考点】空间向量及其线性运算

【专题】逻辑推理；空间位置关系与距离；转化思想；计算题；数学运算；综合法

【分析】由x=y=l,z=g时，得到M为CG的中点，可判定A错误；在。C上取点K,得到求得〃点在

HK上,将平面B}HKCX与平面AHKD沿着HK展开到同一平面内，可判定3正确；证得AC±平面BDD.B,,

12

求得A0的最大值与最小值，可判定C正确；求得点〃的轨迹在△A3。内，根据题意得到M点轨迹是

以P为圆心，逆为半径的圆的一部分，且NE7f=工，可判定O错误.

33

【解答】解：对于A中，由于x=y=l,z=；时，贝I碗=颁+而+g丽*①'，此时M为CG的

中点，

在正方体ABCD-a4Gq中，由AC[_L平面所以直线A"不会垂直平面A3。，所以A错误；

对于3中，在"上取点“，itAH=-AB,在DC上取点K,itDK=-DC,

44

因为x=Lz=O,ye[O,l],即工通+y而，可得M点在"K上，

44

将平面片"G与平面AHKD沿着"K展开到同一平面内，如图（1）（2）所示，

连接4。交"K于尸，此时3,P,。三点共线，+取到最小值即耳。的长，

由于布=；通=3，所以8〃=|,则3#=,2?+（|）2=：,

所以做=g+g=3,所以/£>=MA）2+AD?=J32+2?=屈,

即此时4M+MZ）的最小值为JB,所以3正确；

对于C中，当尤+y=l,ze[O,1]时，可得点”的轨迹在平面内（包括边界），

在正方形ABCD中，可得AC_L3D,

因为8片_L平面ABCD,ACu平面ABCD,所以AC_LBB],

又因为且瓦），BB|U平面8。24，所以AC_L平面8。。画，

所以（AM）„,„=|AC=72,又由（=AB,=2点,

所以AM的取值范围为[五,2拒],所以C正确；

对于。中，当无+y+z=l时，可得点M的轨迹在△ABD内（包括边界），

由于CC[_L平面ABCD,3Du平面ABCD,可得CC]_LB。，

又因为BD_LAC,ACQCQ=C,AC,C£u平面ACC[，故班）_L平面ACC1，

因为AC]U平面ACC-可得BD_LAG，同理可证AB_LA£,

又因为=A,B,3£>u平面43D,所以AC】_L平面4台。，

ii4

设AG与平面交于点P,由于%_ABD=9..=§><5X2X2X2=§，

13

△ABD为边长为2四的正三角形，则点A到平面A,BD的距离为AP=当,

若叵，则MP=JA"_AP2=述,即M点落在以尸为圆心，型为半径的圆上,

333

此时尸点到△4处三边的距离均为且x2四=@＜述，

3233

即M点轨迹是以尸为圆心，逆为半径的圆的一部分，

3

又由NEPF=^,其轨迹长度为3倍的弧长斯=2^万，所以。错误.

【点评】本题考查的知识点：正方体的性质,向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

12.(2024•烟台模拟)已知空间向量丽=(L2,4),BC=(0,-2,l),则()

A.BABC=0

B.而在屈上的投影向量为(0,2,-1)

C.若向量丽=(1,0,6),则点E在平面ABC内

D.向量(0,-W，()是与沅平行的一个单位向量

【答案】ABD

【考点】空间向量的数量积运算

【专题】空间向量及应用；向量法；数学运算；转化思想

【分析】进行向量坐标的数量积运算即可判断A的正误；

根据投影向量的计算公式即可判断3的正误；

根据共面向量基本定理判断而，丽,就是否共面，从而判断C的正误；

根据共线向量基本定理及单位向量的定义即可判断。的正误.

【解答】解：,丽=(1,2,4),患=(0,-2,1),ABA-BC=0-4+4=0,A正确;

CACB=(CB+BA)CB=(],4,3)-(0,2,-1)=5,也在区上的投影向量为：

14

「口c

―—屈=—•((),2,-1)=(0,2,-I),3正确；

|CB|25

x=l

^BE=xBA+yBC,即(1,0,6)=x(l,2,4)+y(0,-2,1),2x—2y=0,方程组无角轧.•.而，丽，前

4x+y=6

不共面，点E不在平面ABC内，C错误；

向量(。，-乎手是单位向量，且(0,-2,1)=君(0,-坐坐，，向量(0,-乎聿是与就平行的一个

单位向量，D正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，向量加法的几何意义，共面和共线向量基本定理，单位向量

的定义，是基础题.

13.(2024•民乐县校级一模)下列命题错误的是()

A.对空间任意一点。与不共线的三点A,B,C,若丽=无西+丁丽+zH,其中x,y,zwR且

x+y+z=l,则P,A,B,C四点共面

B.己知6=(1,-1),B=(d,l),d与方的夹角为钝角，则1的取值范围是d<l

c.若&,方共线，则mi-出|=5+共

D.若。，5共线，则一定存在实数2使得B=

【答案】BCD

【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；空间向量的共线与共面；空间向量及其线性运算

【专题】综合法；转化思想；计算题；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算

【分析】直接利用向量共线的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角运算判断A、3、C、。的结论.

【解答】解：对于A：由于。尸=xOA+yOB+zOC,其中x,y,z&R_S.x+y+z-1,则

OP=xOA+yOB+(1-x-y)OC,

整理得：OP-OC=x(OA-OC)+y(pB-OC),故守=》①+>屈，所以尸，A,B,C四点共面，故A

正确；

对于3：由于。=(1,-1),B=(d,i),力与5的夹角为钝角，故d—i<o,且dw-i,故d的取值范围为(-00,

-1)U(-1,1),故3错误；

对于C：若万，5共线且方向相反时，则|方|-|5|=|万+5|,故c错误；

15

对于。：若日，B共线，则一定存在实数;I使得石=力万6/0）,故。错误.

故选：BCD.

【点评】本题考查的知识点：向量共线的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角运算，主要考查学生

的运算能力，属于中档题.

14.（2024•淄博模拟）如图，在平行六面体ABCD-a4GR中，以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它

们彼此的夹角都是（，M为AG与片2的交点.若丽=m，AD=b,瓯=甚，则下列说法正确的是（

）

A.CM=--a--b+cB.<CM,AQ>~C.BD[=a+b+c

2213

D.~ADBDX=\

【答案】AD

【考点】空间向量的数量积运算；空间向量及其线性运算

【专题】综合法；数学运算；整体思想；空间向量及应用

【分析】由题意可知，a-b=a-c=b-c=Mxs-=-,再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个

CO32

判断各个选项即可.

【解答】解：由题意可知，a-b=a-c=b-c=lx\xcos—=—,

32

对于A,M=M+^=.+gC]A=阈-；（加+曲=一$一丁+1,故A正确；

对于5,又因为离=赤+而+丽=万+5+乙

所以CM-AC.=++b+S）=——32--H-b--3-——b-<X--b2--b-f+ck-d*+c*-ZT+ca=O>

22222222

所以<加，AC^>=~,故B错误；

对于C,BDx=BA+BC+BBx=-AB+AD+A\=-a+b+c,故C错误；

2

对于Z>,AD-BD}=b-{—a+b+c）=-a-b+b+b-c=l,故。正确.

故选：AD.

16

【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算进而数量积运算，属于基础题.

15.（2024•张家界二模）正六棱柱ABCDEF-AQC77E尸的所有棱长均为2,尸为棱上A4,中点，记正

六棱柱的12个顶点为£（i=l,2,....12）,则胡•两■的值可以是（）

A.0B.-1C.1D.2

【答案】BC

【考点】空间向量的数量积运算；平面向量数量积的性质及其运算

【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；空间向量及应用

【分析】根据正棱柱的结构特征与向量数量积的运算性质，算出当与在下底面的某个顶点处时，PAPP^l；

当与在上底面的某个顶点处时，PAPF>=-1,进而可得正确答案.

【解答】解：若耳与A重合，则西.国=玄=1；若金与A，重合，则西•丽=-两'-I.

若点片在下底面的某个顶点处（不与A重合）时，根据4V与底面垂直，可得

__2___,____,___J2

所以西•国=丽•（丽+亚）=丽+PAAPt=PA=1.；

同理可得点片在上底面的某个顶点处（不与4重合）时，PAPP^-X.

综上所述，丽•丽的值可以是-1或1.

故选：BC.

【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与运算性质、正棱柱的结构特征等知识，考查了计算能力、概

念的理解能力，属于中档题.

三.填空题（共10小题）

16.（2024•东湖区校级三模）己知空间向量力=（1,0,1）,5=（2,-1,2）,则向量在在向量商上的投影向量是

17

(2,0,2).

【答案】(2,0,2).

【考点】空间向量的数量积运算

【专题】计算题；综合法；空间向量及应用；数学运算

【分析】由向量5在向量a上的投影向量为151cos<乙，5>高，计算即可求出答案.

【解答】解:向量万=(1,0,1),5=(2,T2),

贝!)|菊=也，出1=3,a-b=4,

所以向量石在向量之上的投影向量为

|b|cos<a,6>亘<51,"-----=3xx—x(1,0,1)-(2,0,2),

\a\\a\\b\\a\3也应

故答案为：(2,0,2).

【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，投影向量的定义，属于基础题.

17.(2024•太原三模)已知直线/过点A(l,2,0),且直线/的一个方向向量为用=(0,-1,1),则坐标原点

。到直线/的距离d为—由一

【答案】73.

【考点】空间向量及其线性运算

【专题】数学运算；转化思想；空间向量及应用；转化法

【分析】根据空间中点到直线距离公式计算即可.

【解答】解：由题知，直线/过点4(1,2,0),且直线/的方向向量为庆=(0,-1,1),点0(0,0,0),

所以标=(-L-2,0)，

所以点0(0,0,0)至IJ/的距离为〃=J(Z0)2—(半F)2=/章/=7^=也.

故答案为：百.

【点评】本题主要考查空间中点到直线距离公式，属于基础题.

18.(2024•广州模拟)已知A,M,N是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则汨•福的取值范围

是［」，3).

一2—一

【考点】空间向量的数量积运算

【专题】综合法；数学运算；转化思想；空间向量及应用

18

【分析】根据正方体的性质可得。=闻0•丽”3cos<R，，AN>,结合夹角的定义可得6,3,可得其最大

值；根据数量积的运算可知-二二，可得其最小值.

4

【解答】解：正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长d=,F+俨+F=3,

贝H汨|,,d,\AN\„d,^a=AM-AN„3cos<AM,AN>,

而cos<AM,AN>e[-1,1),故a<3,

建立如图所示空间直角坐标系，

取0(0,0,0),当M,N重合为(1,1,1)时，

贝1,1).(1,1,1)=3,取得最大值3；

由对称性，设A在下底面，AM=(x,y,z),AN=(a,b,c),

由A在下底面知z..0,c..0,zc..O,

当且仅当N也在下底面时取等，此时A,M,N共面，

设中点为E,则加=-函，

-------.

a^AM-AN=(AE+EM)-(AE+EN)=(AEy-(EN)2...-(EN)2=---------,

4

当且仅当A,E重合时取等，

_______.「一MN~1

又因为|MN|„友,可得。庞---------，

42

例如ad」,。)，M(I,o,0),N(O,i,0),

22

则”画八语•(」」,())=」，

22'222

所以N不重合时，加•丽的取值范围是[-，，3).

2

19

故答案为：[-工，3）.

2

【点评】本题考查空间向量与立体几何的综合应用，属中档题.

19.（2024•中山市校级模拟）已知正四面体A-BCD的棱长为2,若球O与正四面体的每一条棱都相切，

点尸为球面上的动点，且点尸在正四面体面ACD的外部（含正四面体面ACD表面）运动，则序•丽的

取值范围为—[-

【答案】

3

【考点】空间向量的数量积运算

【专题】数学运算；空间位置关系与距离；逻辑推理；转化思想；计算题；综合法

【分析】将该正四面体补成正方体，则可得球O为正方体的内切球，设G为AB的中点，结合向量数量积

的运算律将西.而转化为同2-1,结合四面体以及正方体和球。的切接问题，求出|旃|的最大值以及

最小值，即可求得答案.

【解答】解：由题意知正四面体A-3CD的棱长为2,故可将该正四面体补成如图示正方体，

正方体棱长为后，四面体的每条棱皆为正方体的面对角线，

由于球O与正四面体的每一条棱都相切，故球O为正方体的内切球，

球。的直径为正方体的棱长，则半径r=变；

2

设G为AB的中点，则G4=GB=1,

则丽・丽=（前+/）•（用+通）=•屈=无2-1,

由于点尸在正四面体面ACD的外部（含正四面体面ACD表面）运动,

故点尸位于DC的中点处时，I而I最大，即为正方体内切球直径，