2025中考数学一轮复习：图形的相似（含解析+考点卡片）

2025年中考数学一轮复习

第25讲图形的相似

一.选择题（共10小题）

1.如图，△/2C与△。即是位似图形，BC,跖都与x轴平行，点/,。与位似中心点P都在x轴上,

点C,£在y轴上.若点3的坐标是（2,3）,点尸的横坐标为-1,则点尸的坐标为（)

-2)C.(-1.5,0)D.(0,-1.5)

2.把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金

V5-1

分割，比值为,它被公认为是最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙娜丽莎.如图2,点E

是正方形/BCD的48边上的黄金分割点，且以NE为边作正方形NEAF,延长E7Z交CD于

点/,连结29交£/于点G,连结2/,则&BC7：S&FGH为（）

述+1

2

3.如图，在5X5网格图中，每个小正方形的边长均为1,三角形①、②均为格点三角形，则下列关于

三角形①、②的说法正确的是（）

A.一定不相似，周长比为1：：2

B.一定位似，位似比为1：2

C.一定相似，面积比为1：4

D.一定相似，相似比为1：4

4.如图，在△N2C中，点。、E、厂分别在43、AC,3c边上，DE//BC,EF//AB,则下列比例式中错

误的是（）

AEBFADABEFDECEEA

A.—=—B.—=BCD，CF-BF

ECFCBF°AB-BC

5.如图，在平行四边形/BCD中,£是45延长线上一点，连接。石，交4C于点G,交于点尸，那么

图中相似三角形（不含全等三名，形）共有（）

A.6对B.5对C.4对D.3对

4G

6.如图，平行四边形中，E,尸分别为的中点,AF与DE相交于点G,则二的值是（）

FG

AD

BFC

2333

A•餐B.JC.-D-E

7.如图，矩形纸片/BCD,AB^15cm,BC=20cm,先沿对角线/。将矩形纸片/BCD剪开，再将三角形

纸片N3C沿着对角线/C向下适当平移，得到三角形纸片48。，然后剪出如图所示的最大圆形纸片,

则此时圆形纸片的半径为()

601203672

A.—cmB.cmC.—cmD.—cm

7755

8.如图，在正方形网格图中，以。为位似中心，作线段48的位似图形，若点。是点3的对应点，则点

9.如图，点/(0,3),B(1,0),将线段平移得到线段。C.若//8C=90°,BC=2AB,则点C

的坐标为()

OBx

A.(7,2)B.(7,5)C.(5,6)D.(6,5)

10.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下。与全身6的高度比值

接近0.618,可以增加视觉美感，若图中6=3根，贝la约为()

A.1.236mB.1.416mC.1.584mD.1.854m

二.填空题（共5小题）

11.对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师

也不例外.摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形/BCD的边3c取中

点O,以。为圆心，线段。D为半径作圆，其与边的延长线交于点£,这样就把正方形延伸

为黄金矩形48即，若CE=4,则/2=.

EF3

12.如图，已知直线如果一=/,AB=3,则8C=

DF5

13.如图，正方形/BCD的边长为3,点£为/。边的中点，连接3D、CE,8。与CE相交于点尸，则£（尸

的长为.

14.如图，△4BC与△£>£尸是位似图形，位似中心为。，OA-.40=3：4,S“BC=9,则△。即的面积

为

D

15.如图，在矩形48CD中，AB=3,3c=10,点E在边2C上，DF±AE,垂足为F若DF=6,则线

段防的长为.

16.如图，在平面直角坐标系中，△N3C的顶点/,B,C的坐标分别是（-3,4）、（-4,1）、（-2,2）,

结合平面直角坐标系解答下列问题.

（I）画出△NBC绕点。顺时针旋转90°得到的△N0。，并写出点方的坐标；

1

（2）以点。为位似中心，画出一个三角形，使它与△/8C的相似比为了且不在同一象限.

17.如图，某位同学通过调整自己的位置测量树高/£设法使三角板的斜边。尸保持水平，并且边。£与

点8在同一直线上.已知两条边DE=0.4加，EF=02m,测得边离地面距离ZC=1.5加，人与树的

距离CO=8%,求树高N5的值.

18.如图，在△/8C中，点。、£分别在边/C上，DE//BC,若AD=2,BD=5,则=的值

BC

为.

A

19.如图48为。。的直径，C为圆上的一点，。为劣弧的中点，过点。作。。的切线与/C的延长线

交于点尸，与48的延长线交于点尸，与BC交于点E.(1)求证：①/DCB=NCAD：②。。2=

DE-AD：

20.小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆的高度.如图，他们在广场上的。处

放置了一根垂直于地面的标杆CD,然后小明笔直地站在尸处，小亮在尸和。之间找到一个合适的位置

P,并在尸点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点/和点。重合.已知，点尸、P、D、

8在同一条直线上，通过测量,3。=8.8%,网＞=2.2"2,。=1.8加，小明的眼睛离地面的高度跖=1.5根.求

旗杆N3的高度.

2025年中考数学一轮复习

第25讲图形的相似

一.选择题（共10小题）

1.如图，△/2C与△。即是位似图形，BC,跖都与x轴平行，点/,。与位似中心点P都在x轴上,

点C,E在歹轴上.若点5的坐标是（2,3）,点尸的横坐标为-1,则点P的坐标为（）

(0,-2)C.(-1.5,0)D.(0,-1.5)

【考点】位似变换；坐标与图形性质.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】A

PQPE

【分析】过点2作跳Lx轴于点氏根据△尸即s/v^c,得到77；=二，根据题意求出。尸，得到答案.

PHCD

【解答】解：如图，过点2作轴于点

则OE//BH,

△PEFs/\PBC,

POPE

PH~PB'

点B的坐标是(2,3),点方的横坐标为-1,

CB=2,EF=3

BC,环都与x轴平行，

BC//EF,

PEEF1

PB~BC~2

PO1

PH一2’

OP=2,

点P的坐标为（-2,0）,

故选：A.

【点评】本题考查的是位似变换，根据题意求出相似比是解题的关键.

2.把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金

V5-1

分割，比值为它被公认为是最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙娜丽莎.如图2,点E是正

方形488的A8边上的黄金分割点，且4E>EB,以/E为边作正方形/£7小，延长E"交CD于点/,连

结3斤交E/于点G,连结2/,则&BC/：SAFGH为（）

图1

V5+1

【考点】黄金分割；整式的混合运算.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】根据正方形的性质得出8C=C〃=D4=NB,EH=HF=FA=AE,FH//AE.根据黄金分割的意义

AEBEV5-1GHFH,GHAEV5-1

得出弁=77=~~•由AFHGS^BEG,得出二=/，根据合比性质得出土：===--—，那么

i\.D4,£，GEBEriCtJC\.D，

G〃=与匕/£=与土4£,根据矩形的性质与判定得出/C=BE,最后根据三角形的面积求出&BC7：S&

/5+1

FGH=

【解答】解：・・•四边形Z5CQ是正方形,

BC=CD=DA=AB.

・・•点E是正方形45CQ的45边上的黄金分割点，且AE>EB,

AEBE岳一\

AB~AE~2

四边形是正方形,

：.EH=HF=FA=AE,FH//AE,

：.△FHGs4BEG,

GHFH

GE~BE'

GHFHAEAE遍T

HE-FH+BE~AE+BE~AB~2

^^HE=^^AE,

・・・GH=

•：/C=/CBE=/BEI=90°,

・・・四边形5C/E是矩形,

：.IC=BE,

,「^^BC-ICAB-BEBEABV5-1AB后_]]___________2__V5+1

,・S*SyG片河病=而砧=荏•丽=丁•军/-==

I,V5-1XV5-1vn

故选：D.

【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形、矩形的性质与判定，黄金分割的意义，比例的性质，三

角形的面积，掌握黄金分割的意义是解题的关键.

3.如图，在5X5网格图中，每个小正方形的边长均为1,三角形①、②均为格点三角形，则下列关于

三角形①、②的说法正确的是（）

A.一定不相似，周长比为1：2

B.一定位似，位似比为1：2

C.一定相似，面积比为1：4

D.一定相似，相似比为1：4

【考点】位似变换.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】c

【分析】根据勾股定理求出两个三角形的各边长，根据相似三角形的判定定理、性质定理以及位似图形的

概念判断即可.

【解答】解：由勾股定理得：三角形①的三边长分别为鱼、瓜V5,

三角形②的三边长分别为2VL2瓜2通，

，三角形①与三角形②相似，且相似比为1：2,

三角形①与三角形②的面积比为1：4,

•••三角形①与三角形②的对应边不平行也不在同一条直线上，

三角形①与三角形②不位似，

故选：C.

【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的判定和性质是解题的关键.

4.如图，在△/BC中，点。、E、厂分别在48、AC,2C边上，DE//BC,EF//AB,则下列比例式中错

误的是（）

AEBFADAB1DECEEA

A.—=—B.—=—C._\B~BCD,CF-BF

ECFCBFBC/

【考点】平行线分线段成比例.

【答案】C

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再分别对每一项进行判断即可.

AEBF

【解答】4•O7”/—=77，故本选项正确

ECFC

B.9：DE//BC,

*_A_D____D_E

••—,

ABBC

■:EF〃AB,

:・DE=BF,

•_A_D_____B_F

••—，

ABBC

ADAB

,,BF-BC"

故本选项正确，

C.・：EF〃AB,

EFCF

•*•___—___，

ABBC

CFWDE,

EFDE

—W—，

ABBC

故本选项错误,

D.・：EF〃AB,

*_C_E_C_F

••—,

EABF

CEEA

"CF~BF'

故本选项正确，

故选：C.

【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理，关键是根据平行线分线段成比例定理列出比例式并能进

行灵活变形.

5.如图，在平行四边形/BCD中，£是48延长线上一点，连接交/C于点G,交3C于点凡那么

图中相似三角形（不含全等三角形）共有（）

A.6对B.5对C.4对D.3对

【考点】相似三角形的判定.

【答案】B

【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可.

【解答】解：•••四边形是平行四边形，

NEBF=ZEAD,ZEFB=ZEDA,

：.AEFRsAEAD；

同理可得，AFGCSADGA,△EBFSWCF,LGAEsAGCD,AADEsACDF.

故选：B.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质等知识点，能运用相似三角形的判定定理

进行证明是解此题的关键.

6.如图，平行四边形/BCD中，E,9分别为/瓦5c的中点，N尸与相交于点G,则大的值是（）

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力.

【答案】A

【分析】根据平行四边形的性质，点E是中点，可证N4DE出ABHE,可得可求出F/7与/D

的关系，再证△/OGs△万HG,根据相似三角形的性质即可求解.

【解答】解：如图所示，延长。£,CB交于点”，

：.AD//BC,AD=BC,

；.N4DE=NH,且/NAED=/BEH,

:.4ADEqABHE(AAS),

：.BH=AD,

:尸是8C中点，

1

：.BF=^BC,

：.HF=BH+BF=^BC=|71D,

'：AD//HF,

：.AADGsAFHG,

.AGADAD2

FG~HF~IAD~3'

故选：A.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题

的关键.

7.如图，矩形纸片/BCD,AB=15cm,BC=20cm,先沿对角线NC将矩形纸片/BCD剪开，再将三角形

纸片/2C沿着对角线/C向下适当平移，得到三角形纸片然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则

此时圆形纸片的半径为（）

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形的内切圆与内心；剪纸问题；平移的性质.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】A

【分析】过点4作4P_L4D于点尸，T^AP^Xcm,A'P^ycm,圆的直径为利用对边之间的关系可

得x与歹的关系，再利用/字型相似也可求出尤与y的关系，进而可求出x,d,从而得出结论.

【解答】解：过点/作4尸，4D于点尸，设/尸=xcm,A'P^ycm,圆的直径为dea,

由题意可得：d+x=20,d-y=15,

.'.20-x—\5+y,即x+y=5,

ZAPA'=ZADC,

：.△,"△ADC,

APA'Pxy

—=---,即—=—,

ADCD2015

B

.20,120

..x=d=

，半径为：一cm.

7

故选：A.

【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题关键是构造合适的辅助线.

8.如图，在正方形网格图中，以。为位似中心，作线段Z8的位似图形，若点。是点3的对应点，则点

【考点】位似变换.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】根据OD、08的长度求出相似比，根据位似变换的性质解答即可.

【解答】解：OB=2,

...线段与其位似的图形的相似比为1：2,

由图可知：点/的对应点是点G,

【点评】本题考查的是位似图形，根据题意求出相似比是解题的关键.

9.如图，点/(0,3),B(1,0),将线段平移得到线段DC.若//8C=90°,BC=2AB,则点C

的坐标为()

OBX

A.(7,2)B.(7,5)C.(5,6)D.(6,5)

【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形变化-平移.

【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力.

【答案】A

【分析】过点C作轴于点先证明△N02SA8HC,根据相似三角形的性质可得整CHBC

OB~AB"

求出点C的坐标，再根据平移的性质可得点D坐标.

【解答】解：过点。作轴于点”，如图所示：

则N5HC=90°,

・・•点/(0,3)、B(1,0),

：.OA=3fBO=1,

VZAOB=90°,ZABC=90°,

：.ZOAB+ZOBA=90°,ZOBA+ZHBC=90°,

：.ZOAB=ZHBCf

,/NAOB=NBHC,

：.△AOBs^BHC,

.BHCHBC

••布~~OB~~ABf

•：BC=2AB,

:•BH=2OA=6,CH=2,OB—2,

・・・点。坐标为(7,2),

故选：A.

0BHx

【点评】本题考查了坐标与图形的变换一平移，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形是解题的关键.

10.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下。与全身6的高度比值

接近0.618,可以增加视觉美感，若图中6=3根，贝ija约为（）

：-

,,111

A.1.236mB.1.416mC.1.584mD.1.854m

【考点】黄金分割.

【专题】计算题；运算能力.

【答案】D

【分析】根据雕像的腰部以下。与全身b的高度比值接近0.618,因为图中6为2米，即可求出。的值.

【解答】解：•••雕像的腰部以下。与全身6的高度比值接近0.618,

a

=0.618,

0

・“为3米，

；.a约为1.854米.

故选：D.

【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义.

二.填空题（共5小题）

11.对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师

也不例外.摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形/8C0的边8C取中点

O,以。为圆心，线段。D为半径作圆，其与边的延长线交于点E,这样就把正方形N3CD延伸为黄

金矩形NBER若C£=4,则AB=2甚+2.

【考点】黄金分割；矩形的性质；正方形的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力.

【答案】2V5+2.

【分析】设根据正方形的性质可得/B=3C=x,则8£=x+4,然后根据黄金矩形的定义可得空=

BE

与^从而可得」7=些三，最后进行计算即可解答.

2%+42

【解答】解：设48=x,

:四边形是正方形，

:.AB=BC=x,

,.・CE=4,

BE=BC+CE=x+4,

:四边形斯是黄金矩形，

.ABV5-1

••—，

BE2

*xV5-1

••—，

%+42

解得：x=2V5+2,

经检验：x=2有+2是原方程的根，

:.AB=2岳+2,

故答案为：2有+2.

【点评】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.

EF39

12.如图，己知直线4D〃3E〃CF,如果7；=/,4B=3,则BC=1.

7DTF52

【考点】平行线分线段成比例.

【专题】图形的相似；推理能力.

9

【答案】--

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案.

EF3

【解答】解：=£，

DF5

.DE2

••—―,

EF3

'：AD//BE//CF,

ABDE32

—=--,即—=一,

BCEFBC3

q

解得：BC=I，

_9

故答案为：

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

13.如图，正方形45CQ的边长为3,点E为/。边的中点，连接AD、CE,与CE相交于点R贝！J。尸

的长为—工.

【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】V2.

3

FE[)F_

【分析】由题意可求8。=三刍*=3夜，证明则荔二即后g计算求解

cos-BFBC373—DF3n"

即可.

【解答】解：：正方形/BCD,

:.AD=BC=3,AD//BC,ZCBD=45°,/BCD=90°,

•\BD=I=3"

AD//BC,

：.ZEDF=ZCBF,/DEF=/BCF,

：.ADEFS/^BCF,

3

DFDEDF2

‘而二获’即诉诉=三

解得，Z)F=V2,

故答案为：V2.

【点评】本题考查了正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质.熟练掌握正方形的性质，余弦，相

似三角形的判定与性质是解题的关键.

14.如图，△/8C与△£>£尸是位似图形，位似中心为。，ON：4D=3：4,S“BC=9,则△DM的面积为

49.

【考点】位似变换.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】49.

AD

【分析】根据位似图形的概念得到得到求出;根据相似三角形的性质计算

DE

即可.

【解答】解：・.・。/：/。=3：4,

：.OA：OD=3：7,

・・,LABC与丛DEF是位似图形，

J.AB//DE,

:.△OABs^ODE,

tABOA3

・'DE~OD~79

・S"BC_32=2

S^DEF749'

'：S&ABC=9,

.♦.△D斯的面积为49,

故答案为：49.

【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方

是解题的关键.

15.如图，在矩形NBC/）中，48=3,8C=10,点£在边8c上，DFLAE,垂足为凡若DF=6,则线

段EF的长为3.

AD

F

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力.

【答案】3.

AFADDF

【分析】证明得到［7二二=―,求出4F,即可求出/£,从而可得石尸.

BEAEAB

【解答】解：・・•四边形45C。为矩形，

：.AB=CD=3,BC=AD=1O,AD//BC,

：.NAEB=ZDAF,

：.AAFD^AEBA,

.AFADDF

•・靛~~AE~AB"

•；DF=6,

：.AF=7AD2-OF2=V100-36=8,

e8106

・'BE~AE~

：.AE=5,

：.EF=AF-AE=S-5=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的

判定方法.

三.解答题（共5小题）

16.如图，在平面直角坐标系中，△45。的顶点4,B,C的坐标分别是（-3,4）、（-4,1）、（-2,2）,

结合平面直角坐标系解答下列问题.

（1）画出△45C绕点。顺时针旋转90°得到的△，彦C,并写出点片的坐标；

（2）以点。为位似中心，画出一个三角形，使它与△45C的相似比为最且不在同一象限.

yk

【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换.

【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】（1）图见解析，点中的坐标为（1,4）；

（2）图见解析.

【分析】（1）用旋转的性质，分别作出对应点4、B\C,依次连接即可得到和点9的坐标;

（2）利用位似变换的性质分别作出对应点，依次连接即可得到答案.

【解答】解：（1）△/'B'C如下图，点夕的坐标为（1,4）；

（2）位似三角形如图所示.

【点评】本题考查了作图一旋转变换、位似变换，掌握旋转变换和位似变换的性质是解题关键.

17.如图，某位同学通过调整自己的位置测量树高设法使三角板的斜边。尸保持水平，并且边与

点3在同一直线上.已知两条边£>£=0.4m，EF=0.2m,测得边离地面距离/C=1.5加，人与树的距离

CD—8m,求树高43的值.

【考点】相似三角形的应用.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】树高N5的值为5.5米.

【分析】利用Rt△。所和相似求得3C的长后加上小明同学的身高即可求得树高

【解答】解：,:NDEF=/DCB=90°,ZD=ZD,

:.丛DEFs^DCB

.DEEF

•.—，

DCCB

,**DE=0.4TTI9EF=0.2m,CD'=8m,

*_0_.4_0_.2

••—,

8BC

ACS=4(m),

：.AB=AC+BC=l.5+4=5.5(米).

答树高48的值为5.5米.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型.

_DE

18.如图，在△48C中，点。、£分别在边N8、AC±,DE//BC,若AD=2,BD=5,则少的值为

BC

2

7一.

A

【考点】相似三角形的判定与性质.

【专题】图形的相似；运算能力.

【答案】

【分析】由4D，3。的长，可求出48的长，由DE〃3C,可得出利用相似三角形的性

DE

质，即可求出力的值.

DC

【解答】解：・.7。=2,BD=5,

：.AB=AD+BD=2+5=7.

,:DE〃BC,

：.^ADE^^ABC,

.DEAD2

"BC~'AB~7'

，心入，2

故答案为：

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记“相似三角形的对应边成比例”是解题的关键.

19.如图A8为。。的直径，。为圆上的一点，。为劣弧的中点，过点D作OO的切线与NC的延长线

交于点尸，与48的延长线交于点尸，40与3c交于点£.(1)求证：①/DCB=/CAD：②CD?=DE，

AD：

切线的性质.

【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力；推理能力.

【答案】(1)①见解答；

②见解答；

(2)—.

3

【分析】(1)①由圆周角定理即可得证；

②证明S即可得证；

△C£D^JDC4

(2)连接。。，DB,OD交BC于点G,由②得出CD=2次，然后得出OD//4P,进而得出/尸=90°,

△PCDSADB,利用对应边成比例即可解答.

【解答】(1)证明：①..•。为劣弧8C的中点，

：.DB=CD,

：.ZDCB=ZCAD；

②：NDCB=NCAD,

ZCDE=ZCDA,

’.△CEDsS,

.DECD

'CD-AD'

\CD2=DE-AD；

(2)解：如图，连接O。，DB,OD交BC于点、G,

,:DE=2,AE=4,

：.AD=DE+AE=6,

'：CD2=DE，AD=2X2V3,

：.CD=2®

•：DB=CD,

：.OD±CB,CD=DB=2®

；./OGC=90°,

；AB为。。的直径，

；.N4CB=N4DB=90°,

OD//AP,

：.ZP=90°,

:四边形/CD5是。。内接四边形，

NPCD=NABD,

:.△PCDSADB,

,PCDB2V3_V3

PD~AD~63'

【点评】本题考查与圆有关的性质和概念，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键.

20.小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆的高度.如图，他们在广场上的。处

放置了一根垂直于地面的标杆8,然后小明笔直地站在厂处，小亮在尸和。之间找到一个合适的位置P,

并在尸点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点/和点C重合.已知，点/、P,。、8在

同一条直线上，通过测量，BD—S.Sm,FD—2.2m,CD=1.8»z,小明的眼睛离地面的高度斯=1.5m.求

旗杆AB的高度.

A

【考点】相似三角形的应用.

【专题】图形的相似；应用意识.

【答案】旗杆的高度为15米.

【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】解：；/EFP=/CDP=9Q°,/EPF=CPD,

：.APEFSAPCD,

.EFPF

"CD~PD'

.1.52.2-PD

"1.8-PD'

：.PD=1.2,

：.PB=10m,

•；CDLPB,ABLPB,

:ACDPsAABP,

.CDPD

AB-PB'

.1.81.2

AB~10'

；・4B=15,

答：旗杆的高度为15米.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键.

考点卡片

1.整式的混合运算

(1)有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺

序相似.

(2)“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题,

此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来.

2.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到

V轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的

符号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问

题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题.

3.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，

关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角

形.

4.平行四边形的性质

(1)平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

(2)平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

(3)平行线间的距离处处相等.

(4)平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.

5.矩形的性质

(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

(2)矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称

中心是两条对角线的交点.

(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

6.正方形的性质

(1)正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

(2)正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴.

7.圆周角定理

(1)圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可.

(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

(3)在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌

握.

(4)注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶点和底角

的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角转化.③定理成立的条件是

“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成

同一条弧所对的圆周角和圆心角.

8.切线的性质

(1)切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

(2)切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆

心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直.

(3)切线性质的运用

运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角

形解决问题.

9.三角形的内切圆与内心

(1)内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做

圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.

(2)任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形.

(3)三角形内心的性质：

三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.

10.剪纸问题

一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案.解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确

的找到对称轴.一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案.

11.平移的性质

(1)平移的条件

平移的方向、平移的距离

(2)平移的性质

①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相

同.—②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对

应点的线段平行且相等.

12.坐标与图形变化-平移

(1)平移变换与坐标变化

①向右平移。个单位，坐标P(x,y)=＞尸(x+a,y)

①向左平移a个单位，坐标P(x,y)nP(x-a,y)

①向上平移b个单位，坐标P(x,y)今尸(