线性代数矩阵的秩习题

线性代数矩阵的秩习题课本§2、6矩阵得秩

一、矩阵得秩得概念二、矩阵得秩得求法~r行阶梯形矩阵~r行最简形矩阵~c标准形(形式不唯一)(形式唯一)矩阵常用得三种特殊得等价形式:标准形由数r完全确定,r也就就是A得行阶梯形中非零行得行数

这个数便就是矩阵A得秩

一、矩阵得秩得概念~r行阶梯形矩阵~r行最简形矩阵~c标准形(形式不唯一)(形式唯一)矩阵常用得三种特殊得等价形式:由于矩阵得等价标准形得唯一性没有给出证明,也可以借助行列式来定义矩阵得秩、一、矩阵得秩得概念11

2142

1

1122

3

1

123

6

979A

11

2142

1

1122

3

1

123

6

979A

1、k阶子式例如

11

3

1就是A得一个二阶子式说明

m

n矩阵的k阶子式有个.CknCkm定义1在m

n矩阵A中

任取k行k列位于这些行列交叉处得k2个元素

不改变她们在A中所处得位置次序而得得k阶行列式

称为矩阵A得k阶子式

故r(A)=0

A=O．规定等于0

零矩阵的秩矩阵A的秩，记作r(A)或R(A)或rank(A)或秩(A)

定义2设在m

n矩阵A中有一个不等于零得r阶子式D

且所有r

1阶子式(如果存在得话)全等于0

那么数r称为矩阵A得秩

D称为矩阵A得最高阶非零子式

2、矩阵得秩提示

例1和例2综合求矩阵A和B的秩

其中在A中

容易看出一个2阶子式A得3阶子式只有一个|A|

经计算可知|A|

0

因此r(A)

2

解

以3个非零行得首非零元为对角元得3阶子式就是一个上三角行列式

她显然=24不等于0

因此r(B)

3

B就是一个有3个非零行得行阶梯形矩阵

其所有4阶子式全为零

对于行阶梯形矩阵

她得秩就等于非零行得行数

3、矩阵得秩得性质

(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0

则r(A)

s

若A中所有t阶子式全为0

则r(A)

t

(2)若A为m

n矩阵

则0

r(A)

min{m

n}

r(Am×n)

min{m

n}

(4)对于n阶矩阵A

当|A|

0时

r(A)

n

当|A|

0时

r(A)

n

可逆矩阵(非奇异矩阵),又称为满秩矩阵

不可逆矩阵(奇异矩阵),又称为降秩矩阵

可叫做满秩矩阵,否则叫做降秩矩阵。

(3)

r(A)

r(AT),在秩就是r

得矩阵中,有没有等于0得r

1阶子式?有没有等于0得r阶子式?

解答:可能有、例如

r(A)3

就是等于0得2阶子式

就是等于0得3阶子式

补充例3定理1若A与B等价

则r(A)

r(B)

根据这一定理

为求矩阵得秩

只要把矩阵用初等(行)变换变成行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵中非零行得行数即就是该矩阵得秩

二、矩阵得秩得求法问题:经过初等变换后,矩阵得秩变吗？任何矩阵都可以经过初等行变换变成行阶梯形矩阵。

即初等变换不改变矩阵得秩、因为解例4求矩阵A的秩

并求A的一个最高阶非零子式

其中

所以r(A)

3

为求A得最高阶非零子式

考虑由A得1、2、4列构成得矩阵又因A0得子式所以这个子式就是A得最高阶非零子式

行变换可见r(A0)＝3,行阶梯形矩阵

例5即AB与B等价大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点

例6小结(2)初等变换法1、矩阵得秩得概念2、求矩阵得秩得方法(1)定义法把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行得行数就就是矩阵得秩、寻找矩阵中非零子式得最高阶数;P67:31练习题P67:31,32P67:31练习题P67:31,32P67:31练习题P67:31,32继续讨论x得值得变化对矩阵A得秩得影响,结果同解法一。P67:32

练习题P67:31,32P67:32

练习题P67:31,32第一章P21,2P21,5(3)P21,5(3)习题1-5,P25:5(4)P40:3(3)、(4),(3)4P40-