第1章 整式的乘除（B卷·提升能力）-北师大版七年级数学（解析版）

第1章整式的乘除单元测试卷(B卷-提升能力)

【北师版】

考试时间：120分钟；满分：150分

题号一二三总分

得分

第I卷(选择题)

一、单选题(共12题，每题4分，共48分)

1、X2+ax+b=(x-l)(x+4),则a,Z?的值分别是()

A.a=3,b=TB.a=-3,b=4C.a=-3,6=TD.a=3,b=4

【答案】A

【解析】(x-l)(x+4)=x2+4x-x-4=x2+3x-4,X%2+<xt+Z?=(x-l)(x+4),

所以％2+6+匕=尤2+3%—4,所以a=3,b=—^,故选A.

2、在计算(x+2y)(-2y+x)时，最佳的方法是()

A,运用多项式乘多项式法则B.运用平方差公式

C.运用单项式乘多项式法则D.运用完全平方公式

【答案】B

【解析】解：(x+2y)(-2y+x)=x72y)2=x2-4y2,即运用了平方差公式，故选：B.

3、(-m?-尤)(一+x)中不含/项，下列正确的是()

A.m+n—QB.m—n=0C.n-m—QD.-m-n=l

【答案】A

【解析】(-mv?-xXnx?+x)=-(〃7+〃)33-xz,；不含/项，-(加+")=0解得加+〃=0故选：A.

4、已知a+b=3,。上=2则/+〃的值等于()

A.11B.9C.5D.13

【答案】c

【解析】a2+Z?2=(«+Z?)2-2ab=32-2x2=5,故选C.

5、若a+b=2,则片―》2+4b的值为()

A.4B.3C.2D.0

【答案】A

［详解］；a+b=2,a?_/+4万=(a+b)(a-b)+4b=2a-2b+4b=2a+2b=4.故选择：A.

6、若2〃=3,2〃=5,2,=15,贝★)

A.a+b—cB.a+b+l=cC.2a+b=cD.2a+2b=c

【答案】A

【详解】解：：2"=3，2*=5,2。=15，；2'=15=3x5=2°x2"=2"+"a+Z?=c故选：A

7、将多项式V+4加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是()

11

A.-4-B.±4xC.-x4D.—x2

1616

【答案】D

【解析】解：①当x2是平方项时，4±4x+x2=(2±X)2,则可添加的项是4x或一4x；

②当X2是乘积二倍项时，4+X2+,/=(2+!/)2,则可添加的项是J-犬;

16416

③若为单项式，则可加上-4.故选：D.

41

8、已知々=8产，/?=27,0=96、贝Da、b、c的大小关系是()

A.d>lo>cB.d>c>bC.tz</r<cD.lo>c>a

【答案】A

3112412361122

【解析】解:a=81=3,b=3,C=9=3,a>b>c.故选A.

9、多项式mx2一m与多项式/-21+1的公因式是()

A.x-1B.x+1C.x2-1D.(x-I)2

【答案】A

【解析】解：mx2-m—m(x-l)(x+l),x2-2x+l—(x-I)2,

多项式7n胫-根与多项式/-2尤+1的公因式是(x-1).故选：A.

10、如图，矩形A3。的周长是10。肛以AB,AD为边向外作正方形A8E尸和正方形AOG8,若正方形A8EF

和ADG8的面积之和为17。/，那么矩形ABC。的面积是()

HG

EBC

A.3cm2B.4cm2C.5cm2D.6cm2

【答案】B

【详解】解：设=AD=y,1•正方形ABE尸和AOGH的面积之和为170江.•.N+y=皆,

矩形ABCD的周长是10cm,2(x+y)=10,v(x+y)2=x2+2xy+y2,---25=17+2xy,..•孙=4,

•••WABCD的面积为：孙=4c",故选：B.

11、如图，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为（）

A:,E匚____________F

【答案】C

【解析】由题意得：SABCD=5,CD.BC=—•(tz+Z?),6/,S^DEF=5•DF,EF=—/?2,

S^ABE=5•AE=—(b-d)-a,S四边形ACDF=CDDF=(a+b).b,

•*-S阴影=S四边形ACD尸-SABCD-S&DEF—SAABE=(a+b)•b—q(a+b)♦a—3b2——(b—d)'a=—b2.故选C

忆’

dabD

12、7张如图1的长为a,宽为b（a>6）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABC。内，未被

覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当8c的长度变化时,

按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a,6满足（）

C.a—^-bD.a—4b

2

【详解】解：左上角阴影部分的长为AE,宽为AF=3b,右下角阴影部分的长为PC,宽为a,

'：AD=BC,§PAE+ED=AE+a,BC=BP+PC=4b+PC,：.AE+a=4b+PC,KPAE-PC=4b-a,

：.阴影部分面积之差S^AE'AF-POCG=3bAE-aPC=3b(PC+4b-a)-aPC=Gb-a)PC+Ub1-3ab,

则3b-a=0,即a=3b.

解法二：既然BC是变化的，当点P与点C重合开始，然后8C向右伸展，

设向右伸展长度为X,左上阴影增加的是%X,右下阴影增加的是aX,因为S不变,

增加的面积相等，，3bX=aX,；.a=3b.故选：B.

图1图，

第H卷(非选择题)

二、填空题(共4题，每题4分，共16分)

13、若ax=3,则a?x=.

【答案】9

【解析】解：因为优=3,所以/工=(优)2=32=9.故答案为：9.

14、如图，任意输入一个非零数，则输出数是.

输入X|­，(X-l)2|减去(X+1”|―除以-2x|输出数

【答案】2

【解析】解：由题意可得：[(x-1)2-(X+1)2]4~(-2x)=-4x+(-2x)=2.故答案为：2.

5

15、如果(％—1)=tZj%+%尤4++%尤2+Cl5X+。6»则％+。2+。3+04+05=-

【答案】1

5532

【解析】M*.*(x-1)=OyX+a2x^+c^x+a4x+a5x+a6

令X=0,贝Ij(x-l)5=〃6=一1，令X=l,贝=4+%+/+为+%+4=0,

/+/+q+。4+。5—0—(—1)=1,故答案为：1.

16、如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为(〃+人+。)的正方形.用不同的方法计算这个边长

为(〃+人+。)的正方形面积，就可以得至U一个等式(〃+匕+。)2=/+/+。2+2〃/?+2〃。+2/?。，若三个实

数X,y,z满足2、义4'+82=L，x2+4y2+9z2=44,利用等式求得2孙—3xz—6yz的值为—.

4'

abc

【答案】-20

［解析］解：2Xx4y-8z=-;2rx22y4-23Z=2-2；2x+2y~3z=2-2，

4

x+2y-3z=-2；x2+4y2+9z2=44；%2+(2y)2+(-3z)2=44,

根据题目中给出的公式：(tz+Z?+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,

有(x+2j-3z)2+(2»+(_3Z)2+2%-2J+2x-(-3z)+2-2y-(-3z)

(-2)2=44+2(2个-3xz-6yz),2xy-3xz-6yz=-20.

三、解答题(共9题，86分)

17、(8分)计算：

⑴(x+»_(%+y)(x-y)

(2)(6/y-2x2y2-4xy3)+(-2孙)-(3尤+2y)(y-x)

【答案】(l)2xy+2y2；(2)0

【解析】(l)(x+y)2-(x+y)(x-y)=x2+2xy+y2-(x2-y2)=2xy+2y2；

(2)(6dy-2x2y2-4xy3)+(-2孙)-(3x+2y)(y-

=-3x2+xy+2y2-(3xy-3x2+2y2-2xy)

=-3x2+xy+2y2-xy+3x2-2y2

=0

18、(8分)已知l(V+〃优+〃)(尤2-3x+4)的展开式中不含/项和/项.

(1)求m,n的值；

(2)在⑴的条件下，求(根+〃)(根2一的+叫的值

佳佳的解法如下：

解:（1）（丁+川）（％2—3%+4）=尤5-3%4+（根+韦龙3+加+（4加一3〃）尤+4〃.

_m+4=0fm=—4

•••展开式中不含含d项和炉项，，解得.

H=0[〃=。

(2)(m+n)(m2-nrn+n2=(-4+0)|^(-4)2-(^4-)xO+O2^=-4x16=—64.

请问佳佳的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程.

【答案】佳佳的解法不正确，正确的解题过程详见解析

【解析】佳佳的解法不正确.正确的解题过程如下：

⑴(尤3+阿什〃)(九2-3%+4)

=x5—3x4+(m+4)x3+(n—3m)x2+(4m—3n)x+4〃.

m+4=0

根据展开式中不含九3项和f项，得

n—3m—0

m=-4

解得《-

n=-12

(2)(根+ri)(加_nm+/)=加_m2n+mn2+m2n—mn2+n3=m3+n3

当帆=T,〃=—12时，原式=(—4)3+(—12)3=—64—1728=—1792.

21

19、(10分)⑴先化简，再求值：(〃+23(〃-2。)+(〃+2冲-4ab,其中.=1,b=—.

(2)已知而=9,a-b=-3,求〃2+3"+〃的值.

【答案】(l)2a2,2；(2)54

【详解】解：(1)(。+2/?)(。-2/?)+(〃+2/?)2-4"="—皿2+々2+助2+4帅一4a6=2〃2

将a=l代入，原式=2XM=2；

(2)「ab=9,a-b=-3,a2+3ab+b2=a2-2ab+b2+5ab^(a-b^+5aZ?=(-3)2+5x9=54

20、(10分)(1)如图，长方形ABCD的周长为16,四个正方形的面积和为68,求矩形ABCD的面积.

(2)若(x2+nx+3)(x2-2x+m)的展开式中不含x2项和x3项，求mn的值.

【答案】(1)15；(2)1

【详解】(1)设AB=x,BC=y,由题意得，

;长方形ABCD的周长为16,2(x+y)=16,即x+y=8①，

又・四个正方形的面积和为68,•••2x2+2y2=68,即：x2+y2=34(2),

①的两边平方得(x+y)2=64,即x2+2xy+y2=64,

将②代入得，2xy=30,/.xy=15,

即矩形ABCD的面积为15；

(2)(x2+nx+3)(x2-2x+m)=x4+(-2+n)x3+(m-2n+3)x2+(mn-6)x+3m,

〔,不含x2和x3项，-2+n=0,m-2n+3=0,解得：m=l,n=2,

m-n=r2=i

21、(10分)如图1所示，边长为。的正方形中有一个边长为6的小正方形，如图2中阴影部分剪裁后拼成

的一个长方形.

(1)设如图1中阴影部分面积为Si,如图2中阴影部分面积为S2,请直接用含。，b的代数式表示Si,&；

(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；

(3)试利用这个公式计算：(2+1)(22+1)(24+1)08+1)+1

【答案】解：(1)：图1中阴影部分面积为Si,图2中阴影部分面积为S2,.•.51=/-启，S2=(a+6)(a-6)；

(2)依据阴影部分的面积相等，可得(a+b)(a-b)=a2-庐；

(3)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(24-1)(24+1)(28+1)+1

=(28-1)(28+1)+1=(216-1)+1=216.

22、(10分)先阅读下列材料，再解答后面的问题.

一般地，若。"=仇a>0且awl,b>0),贝叫做以a为底b的对数，记为log〃b(即

logfl&=n).34=81,则4叫做以3为底81的对数，记为Iog381(即log381=4).(1)计算以下各对

数的值：log24=,log,16=,log264=.(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样

的关系式，log24Jog216Jog264之间又满足怎样的关系式？⑶猜想一般性的结论:logflM+logaN=

("0且”1,M>0,N>0).

【答案】(1)2,4,6；(2)log24+log216=log264;(3)logfl(W).

【解析】(1)log24=2,log216=4,log264=6；(2)log24+log216=log264；

(3)猜想logaM+logaN=loga(MN).证明：设logaM=bi,logaN=bz,贝|abi=M,ab2=N,

故可得MN=ab%ab2=ab「b2,bi+b2=loga(MN),即logaM+logaN=loga(MN)

23、(10分)阅读材料：若旭2-2祖W+2”2-8〃+16=0,求“z,〃的值.

解："."nr-Imn+ln2-8w+16=0,/.(zn2-2mn+rr')+(rr-8w+16)=0.

,\(m-n)2+(n-4)2=0,*.*(m-n)2^0,(n-4)2^0,.'.(m-n)2=0,(n-4)2=0,.,.n—4,m—4.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)已知：x2+2xy+2y2+2y+1=0,求2x+y的值；

(2)已知：ZkABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足：cr+lr-12a-16Z?+100=0,求△ABC的最大边

c的值；

(3)已知：a-5b+2c=20,4AZ?+8C2+20C+125=0,直接写出a的值.

【答案】解：(1)^'+2xy+2y2+2y+1=0,(x2+2xy+y2)+(_y2+2y+1)=0,

(x+y)2+(y+1)2=0,.".x+j=0,y+l=0,.'.x=l,y=-1,'.2x+y=2-1=1,即2x+y的值是1.

(2)；/+庐-⑵-166+100=0,.".(a2-12。+36)+(■-166+64)=0,

(a-6)2+3-8)2=0,'.a-6=0,b-8=0,.,.a=6,b=8,

V8-6<c<8+6,c28,c为正整数,.,.8^c<14,

...△ABC的最大边c的值可能是8、9、10、11、12、13.

(3)：a-56+2c=20,：.a=5b-2c+20,

V4aZ7+8c2+20c+125=0,；.4(5b-2c+20)b+8c2+20c+125=0,S.lQb1-8bc+80b+Sc2+20c+125=0,

(2b-2第+(46+10)2+(2C+5)2=0,；.6=c=工，：.a=12.5.

2

24、(10分)对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得

至!](4+力2=屋+2"+户，请解答下列问题.

b

□亡口

图3

(1)写出图2中所表示的数学等式.

（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；

（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若〃+Z?+c=10,ab+ac+bc=35,求d+^+cZ；

（4）小明同学用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形m张边长分别为a、b的长方形纸

片拼出一个长方形或正方形，直接写出m的所有可能取值.

【分析】（1）边长为（a+b+c）的正方形的面积整体看和分部分来看两部分相等.问题可解；

（2）根据多项式乘法法则展开运算即可；

（3）由（1）中得到的结论得到«2+/?2+c2=（«+/?+c）2-2ab-2bc-2ac,代入已知条件计算即可；

（4）所拼成的长方形或正方形的面积为：2〃2+3层+根"，从因式分解的角度看，可分解为（2〃+。）（〃+3。）或

（2。+3。）（〃+/?）展开计算即可得加的值.

【答案】解：（1）..,边长为3+A+c）的正方形的面积为：（〃+0+c）2

分部分来看的面积为。2+庐+。2+2次?+2。0+24c

两部分面积相等.

故答案为:（〃+b+C）2—〃2+。2+。2+2仍+2。。+24c

（2）;（〃+〃+c）2=（q+O+c）（〃+O+c）=c^-^-ab+ac+ab+l^+bc+ac+bc+c2,=c^+^+c2+lab+lbc+lac

（3）Va+b+c=10,ab+ac+bc=35

/.6Z2+Z?2+C2=（4z+/?+c）2-lab-2bc-2ac=102-2X35=30

・・・〃2+■+d的值为30.

（4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：2/+3层+根乃

从因式分解的角度看，可分解为（2〃+。）（。+3。）或（2〃+3。）（〃+份

/.（2〃+。）（〃+3/?）=2/+3。2+7〃。或（2〃+3。）（〃+。）=2〃2+3廿+5〃。

.,.m=5或7.

25、（10分）如果一个正整数机能写成机=/-庐（〃、人均为正整数，且我们称这个数为“平方差

数”，则〃、b为机的一个平方差分解，规定：F（m）=—.

a

例如：8=8X1=4X2,由8=。2-庐=（。+匕）Q-b）,可得卜十48或1a+b=4.因为。、匕为正整数，解

la-b=lla-b=2

得［a-3,所以尸（8）=X.又例如：48=132-112=82-42=72-I2,所以/（48）或工或

lb=l31327

（1）判断：6平方差数（填“是”或"不是”），并求F（45）的值；

（2）若s是一个三位数，才是一个两位数，s=100x+5,/=10y+x（1WXW4,lWyW9,x、y是整数），且满

足s+/是11的倍数，求方（力的最大值.

【解答】解：（1）则可判断出6不是平方差数.故答案为：不是.

根据题意，45=3X15=5X9=1X45,由45=/-/=万），可得卜+工15或［a+b=9或［a+b=45.

la-b=3la-b=5la-b=l

••力和6都为正整数，解得卜=9或卜=7或卜=23...尸⑷）=2或2或空

lb=6lb=2lb=223723

（2）根据题意，s=100x+5,t=10y+x,；.s+f=