第2章 相交线与平行线（培优篇）北师大版

第2章相交线与平行线（培优篇）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.将一副三角板按如图放置，则下列结论①4=/3；②如果N2=30。，则有AC//DE；

③如果Z2=45°，则有BC//AD；④如果Z4=ZC,必有Z2=30。，其中正确的有（）

A.①②③B.①②④C.③④D.①②③④

2.如图，AB//CD,8凡。尸分别平分NA8E和/CUE,BF//DE,//与NABE互补，则

ZF的度数为

A.30°B.35°C.36°D.45°

3.如图，直线AB//CD,点E在8上，点。、点P在A3上，NEO尸的角平分线0G交8

于点G,过点/作〜LOE于点H,已知NOGD=148。，则的度数为（）

A.26°B.32°C.36°D.42°

4.如图，45//。。/尸N=2/3硒，/"汨=2/63”,则/产与/〃的数量关系是（)

N

B

E

H

GD

A.ZF+ZH=90°B.ZH=2ZF

C.2ZH-ZF=180°D.3ZW-ZF=180°

5.如图所示，直线c截直线。，b,给出下列以下条件:

①N4=N8；②Nl=/7；③N2=N6；（4）Z4+Z7=180°.

其中能够说明a〃b的条件有

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图a是长方形纸带，NDEF=26。，将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则

图c中的NCFE的度数是（）

AEDAE_£乂

D

A.102°B.108°C.124°D.128°

7.如图，已知直线AB,CO被直线AC所截，AB//CD,E是平面内任意一点（点E不在直

线48,CD,AC上），设NDCE=。.下列各式：①a邛,②a-③180。-a-

B，@360°-a-p,ZAEC的度数可能是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

8.如图，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H,点

F是边AB上一点，使得NFBE=NFEB,作NEEH的角平分线EG交BH于点G,若

ZDEH=W0°,则/BEG的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

9.如下图，下列条件中：①NB+/BCD=28。。；②N1=N2；③N3=N4；@ZB=Z5,

BCE

A.①②③④B.①②④C.①③④D.①②③

10.定义：平面内的直线h与12相交于点O,对于该平面内任意一点M,点M到直线h、

b的距离分别为a、b,则称有序非负实数对（a,b）是点M的“距离坐标”，根据上述定义,

距离坐标为（2,1）的点的个数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

11.如图，已知AB〃DE,ZB=150°,ZD=145°,则NC=—度.

B

12.如图，有两个正方形夹在AB与CD中，且AB//CD,若NFEC=10。，两个正方形临边夹

角为150°,则/I的度数为_______度（正方形的每个内角为90。）

13.如图，已知EF/7GH,A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM于点C,

AB平分NDAC,直线DB平分NFBC,若NACB=100。，则/DBA的度数为.

14.线段AB和线段CD交于点O,OE平分/AOC,点F为线段AB上一点（不与点A和点O

重合）过点F作FG//OE,交线段CD于点G,若NAOD=110。,则NAFG的度数为°,

15.如图，AB〃CD,点P为CD上一点，/EBA、/EPC的角平分线于点F,已知NF=

40°,则NE=度.

16.如图,直线MN〃PQ,点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上,连结AB.ZABM

的平分线BC交PQ于点C,连结AC,过点A作ADXPQ交PQ于点D,作AF±AB交PQ

于点F,AE平分NDAF交PQ于点E,若NCAE=45。，ZACB=|-ZDAE,则NACD的度

数是.

B

N

PCFEDO

17.在同一平面内，NA与E>8的两边一边平行，另一边垂直，且NA比08的3倍少10。.则

DB.

18.平面内不过同一点的〃条直线两两相交，它们交点个数记作凡，并且规定为=0,则%=

19.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A,B,C三处经过三次拐弯，此时

道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即AE〃C。），若/A=120。，/8=150。,则/C的度数

是

20.已知AB〃CD,点、M、N分别为A3、8上的点，点、E、F、G为AB、CD内部的

3

点，连接FM、FN、EM、EN、CM.GN,ME_LNE于E,ZBMF=-ZBME,

3

ZDNF=-ZDNE,MG平分/AMF,NG平6/CNF,则/MGN（小于平角）的度数为

三、解答题（本大题共8小题，共80分）

21.（8分）如图，RtAABC,ZA=90°.

（1）用尺规作图法作NAB£>=NC,与边AC交于点。（保留作题痕迹，不用写作法）;

(2)在(1)的条件下，当NC=30。时，求/班心的度数.

A

22.(8分)探究：

如图①，在△ABC中，点。、E、尸分别在边AB、AC、上，且DE〃BC,EF//AB,若/ABC

=65°,求NOEF的度数.请将下面的解答过程补充完整，并填空(理由或数学式)：

NDEF=()

'."EF//AB

：.=NABC()

，ZDEF=ZABC()

ZABC=65°

ZDEF=

应用：

如图②，在△ABC中，点、D、E、尸分另IJ在边48、AC、BC的延长线上，5.DE//BC,EF//AB,

若NABC=B，则NOEF的大小为(用含P的代数式表示).

23.（10分）已知：如图，ZBAP+ZAPD^\80°,N1=N2.求证：AE〃PF.

AB

E

D

24.（10分）如图,磁〃。4,/2=/4=100。,瓦尸在C2上,且满足/R?C=/AOC,OE平分N80F

（1）求NEOC的度数.

（2）若平行移动AC,那么/0C8：ZOFB的值是否随之发生变化?若变化，试说明理由;若不变，

求出这个比值.

25.（10分）如图1,E是直线AB,CD内部一点，AB//CD,连接EA,ED.

（1）探究猜想：①若NA=30。，ZD=40°,则/AM等于多少度？

②若NA=20。，ZD=60°,则/AEO等于多少度？

③猜想图1中NAE。，/EAB,/即C的关系并证明你的结论.

（2）拓展应用：如图2,线段FE与长方形ABC。的边AB交于点E,与边CD交于点孔图

2中①②分别是被线段回隔开的2个区域（不含边界），P是位于以上两个区域内的一点,

猜想/PEB,ZPFC,/EPF的关系（不要求说明理由）.

26.（10分）已知DB〃FG〃EC,A是FG上一点，ZABD=60°,NACE=36。，AP平分NBAC,

求：（1）NBAC的大小；（2）NPAG的大小.

27.（12分）如图，点E,P分别在直线AB,8上，AB//CD,NCEE=60。.射线EM

从E4开始，绕点E以每秒3度的速度顺时针旋转至£6后立即返回，同时，射线FN从FC开

始，绕点F以每秒2度的速度顺时针旋转至ED停止.射线FN停止运动的同时，射线也

停止运动，设旋转时间为f(s).

⑴当射线FN经过点E时，直接写出此时f的值；

⑵当30<t<45时，射线a17与bN交于点P,过点尸作行，月V交A3于点K,求NKPE；

(用含，的式子表示)

(3)当£加//两时，求，的值.

备用图

28.(12分)如图，在四边形OBCA中，OA〃:BC,ZB=90°,OA=3,OB=4.

(1)若S四边形AOBC=18,求BC的长；

(2)如图1,设D为边OB上一个动点，当ADLAC时，过点A的直线PF与/ODA的角平

分线交于点P,ZAPD=90°,问AF平分NCAE吗?并说明理由；

(3)如图2,当点D在线段OB上运动时，ZADM=100°,M在线段BC上，/DAO和/BMD

的平分线交于H点，则点D在运动过程中，/H的大小是否变化？若不变，求出其值；若

变化，说明理由.

参考答案

1.D

【分析】

根据/1+/2=/3+/2即可证得①；根据/2=30。求出/I与/E的度数大小即可判断②；

利用N2求出/3,与NB的度数大小即可判断③；利用/4=/C求出N1,即可得到N2的

度数，即可判断④.

【详解】

VZ1+Z2=Z3+Z2=9O°,

・・・N1=N3,故①正确；

•・・/2=30。，

Zl=900-Z2=60°

ZE=60°,

.\Z1=ZE,

・・・AC〃DE,故②正确；

•/N2=45。,

N3=45°,

•・•N5=45。，

AZ3=ZB,

・・・3C//AD,故③正确；

VZ4=ZC=45°,

・・・NCFE=NC=45°,

VZCFE+ZE=ZC+Z1,

・・・N1=NE=6O。，

・・・/2=90。-/1=30°,故④正确,

故选：D.

【点拨】此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键.

2.C

【分析】

延长BG交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.

【详解】

解：如图延长BG交CD于G

VBF//ED

.•.NF=NEDF

又,：DF平分NCDE,

NCDE=2NF,

：BF〃ED

ZCGF=ZEDF=2ZF,

VAB/7CD

.•.NABF=NCGF=2NR

:BF平分NABE

：.ZABE=2ZABF=4ZF,

又,：NF与/ABE互补

ABE=180°即5ZF=180°,解得NF=36°

故答案选C.

【点拨】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.

3.A

【分析】

依据NOGD=148。，可得NEGO=32。，根据AB〃CD,可得NEGO=NGOF,根据GO平分

ZEOF,可得NGOE=ZGOF,等量代换可得：ZEGO=ZGOE=ZGOF=32°,根据FHLOE,

可得：ZOFH=90o-32°-32o=26°

【详解】

解：ZOGD=148°,

・•.ZEGO=32°

•・・AB〃CD,

JZEGO=ZGOF,

•・・/EOF的角平分线OG交CD于点G,

AZGOE=ZGOF,

ZEGO=32°

ZEGO=ZGOF

ZGOE=ZGOF,

・•・ZGOE=ZGOF=32°,

•；FHLOE,

：.ZOFH=90o-32°-32o=26°

故选A.

【点拨】本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义的综合运用，易构造等腰三角形，用

到的知识点为：两直线平行，内错角相等.

4.D

【分析】

先设角，利用平行线的性质表示出待求角，再利用整体思想即可求解.

【详解】

设'EB=a/HGC=B

则/FEN=2a,ZFGH=2/3

AB//CD

：・/H=ZAEH+/HGC

=ZNEB+ZHGC

=a+/3

ZF=ZFEB-ZFGD

=ZFEB-（180°-ZFGC）

=3a-（180。-3月）

=3（a+4）—180。

・•・ZF=3ZH-180°

.-.3ZH-ZF=18O°

故选：D.

【点拨】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质，注意整体思想的运用.

5.D

【详解】

根据平行线的判定，由题意知：

①：N6=/8,Z4=Z8,

AZ4=Z6,

：.a//b,故①对.

Z1=Z3,Z1=Z7,

Z3=Z7,

a//b,故②对.

③：Z2=Z6,

a//b,故③对.

@VZ4+Z7=180°,Z3+Z4=180°,

Z3=Z7,

a//b,故④对.

故选D.

点拨：此题主要考查了平行线的判定，关键是利用图形中的条件和已知的条件，构造两直线

平行的条件.

平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直

线平行.

6.A

【分析】

先由矩形的性质得出/BFE=/DEF=26°，再根据折叠的性质得出/CFG=180。-2NBFE,

ZCFE=ZCFG-ZEFG即可.

【详解】

,•,四边形ABCD是矩形，

；.AD〃BC,

NBFE=/DEF=26°,

ZCFE=ZCFG-ZEFG=180°-2ZBFE-ZEFG=180°-3x26°=102°,

故选A.

【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变

换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键.

7.D

【分析】

根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行

计算求解即可.

【详解】

解：（1）如图1,由可得NAOC=NOCE/=B，

NAOC=ZBAEi+ZAEiC,

(2)如图2,过E2作AB平行线，贝！|由A8〃C。，可得/I=/BAE2=a,Z2=ZDC£2=p,

NAE2c=a+|3.

当AE2平分ABAC,CE2平分NACE)时，

NBAE2+/DCE2=gCZBAC+ZACD)=《X18O°=9O°,

即a+p=90°,

又,/ZAE2C=ZBAE2+ZDCE2,

：.NAE2c=180°-(a+p)=180°-a-p；

(3)如图3,由A8〃C£),可得N8OE3=/£>CE3=B，

ZBAE3=ZBOE3+ZAE3C,

NAE3C=a-p.

E3

(4)如图4,由AB〃CD,可得/BAE/+/AE4C+NOCE4=360。,

图4

(5)(6)当点E在CD的下方时，同理可得，NAEC=a-p或0-a.

综上所述，NAEC的度数可能为p-a,a+p,a-p,180°-a-p,360°-a-p.

故选：D.

【点拨】本题主要考查了平行线的性质的运用与外角定理，解题时注意：两直线平行，同位

角相等；两直线平行，内错角相等.

8.B

【分析】

AD/7BC,ZD=ZABC,则AB〃CD,则/AEF=18O°-/AED-/BEG=18O0-20,在AAEF中，

100o+2a+180°-2p=180°,故B-a=40°,即可求解.

【详解】

ZFEH的角平分线为EG,设NGEH=NGEF=[3,

VAD/7BC,AZABC+ZBAD=180°,

而/D=/ABC,AZD+ZBAD=180°,AAB#CD,

ZDEH=100°,则/CEH=/FAE=80°,

ZAEF=180°-ZFEG-ZBEG=180°-2p,

在ZKAEF中，

在AAEF中，80°+2a+180-2p=180°

故P-a=40°,

而ZBEG=ZFEG-ZFEB=P-a=40°,

故选：B.

【点拨】此题考查平行线的性质，解题关键是落脚于AAEF内角和为180。，即

100°+2a+180°-2p=180°,题目难度较大.

9.C

【详解】

解：@VZB+ZBCD=180°,

，AB〃CD；

②；/1=/2,

，AD〃BC；

③：/3=/4,

，AB〃CD；

④：/B=/5,

，AB〃CD；

,能得到AB〃CD的条件是①③④.

故选C.

【点拨】此题主要考查了平行线的判定，解题关键是合理利用平行线的判定，确定同位角、

内错角、同旁内角.平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；

同位角相等，两直线平行.

10.C

【分析】

首先根据题意，可得距离坐标为（2,1）的点是到11的距离为2,到12的距离为1的点；然

后根据到L的距离为2的点是两条平行直线，到12的距离为1的点也是两条平行直线，可

得所求的点是以上两组直线的交点，一共有4个，据此解答即可.

【详解】

解：如图1,

到11的距离为2的点是两条平行直线13、14,到12的距离为1的点也是两条平行直线15、16,

:两组直线的交点一共有4个：A、B、C、D,

..•距离坐标为（2,1）的点的个数有4个.

故选C.

【点拨】此题主要考查了点的坐标，以及对“距离坐标”的含义的理解和掌握，解答此题的关

键是要明确：到h的距离为2的点是两条平行直线，到12的距离为1的点也是两条平行直

线.

11.65°

【分析】

过点C作C/〃A8,根据平行公理得9〃CF//ED,再依据平行线的性质求角即可.

【详解】

解：过点C作C尸〃A8,如图：

■.■AB//DE,

.-.AB//CF//ED.

,/AB//CF,

：,ZB+Z1=18O°,

ZB=150°,

4=30°,

CF//ED,

：.Z2+Z£>=180°,

ZD=145°,

，N2=35°,

.­.ZBCE>=Z1+Z2=65°.

【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是依据平行公理作辅助线，熟练运用平

行线的性质解决问题

12.70.

【详解】

作IF〃AB,GK〃AB,JH〃AB

因为

所以，AB//CD//IF//GK^JH

所以，ZIFG=ZFEC=10°

所以，ZGFI=90°-ZIFG=80°

所以，ZKGF=ZGFI=80°

所以，ZHGK=150°-ZKGF=70°

所以，ZJHG=ZHGK=70°

同理，Z2=90°-ZJHG=20°

所以，/1=90°-/2=70。

故答案为70

【点拨】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是关键，注意掌握平行线的性质：两直

线平行，内错角相等.

13.50°

【详解】

解：如图，^ZDAB=ZBAC=x,BPZl=Z2=x."：EF//GH,.\Z2=Z3.在△ABC内，Z4=180°

-ZACB-Z1-Z3=180°-ZACB-2r=80。-2r.\•直线BD平分/FBC,：./5=；(180°

-Z4)=；(180°-80°+2x)=50°+x,ZDBA=1800-Z3-Z4-Z5

-180°-x-(80°-2x)-(50°+x)

=180°-x-800+2x-500-x

=50°.

故答案为50。.

点拨：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并理清

图中各角度之间的关系是解题的关键.

14.35。或145°.

【分析】

分两种情况讨论：点F在AO上，点F在OB上，依据平行线的性质以及角平分线的定义,

即可得到/AFG度数.

【详解】

解：如图，当点F在AO上时，

VZAOD=110°,

.,.ZAOC=70o,

又TOE平分NAOC,

ZCOE=35°,

VFG/7OE,

・・・NOGF=35。，

・•・NAFG=ZAOD+NOGF=110。+35。=145。；

D

VZAOD=110°,

・・・NAOC=70。，

XVOE平分NAOC,

・・・NAOE=35。，

VFG/7OE,

AZAFG=ZAOE=35°,

故答案为35。或145°.

【点拨】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各

个角度之间的关系是解题的关键.

15.80

【详解】

如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知NFMA二;NCPE=NF+N1,

ZANE=ZE+2Z1=ZCPE=2ZFMA,即ZE=2ZF=2x40°=80°.

故答案为80.

【分析】

延长FA与直线MN交于点K,通过角度的不断转换解得NBCA=45。.

【详解】

解：延长FA与直线MN交于点K,

由图可知/ACD=90°-NCAD=90°-(45°+/EAD)=45°-；ZFAD=45°-1(90°-ZAFD)=；

ZAFD,

因为MN〃PQ,所以/AFD=/BKA=90O-NKBA=90O-(180O-NABM)=NABM-90。，

所以NACD=：/AFD=g(/ABM-90o)=NBCD-45。，即NBCD-/ACD=NBCA=45。，

2

所以ZACD=90°-(45°+ZEAD)=45°-ZEAD=45°-yNBCA=45°-18°=27°.

故/ACD的度数是：27°.

【点拨】本题利用平行线、垂直、角平分线综合考查了角度的求解.

17.25°或50。

【分析】

根据平行线的性质以及垂直的定义即可求解.

【详解】

解：与B8的两边一边平行，另一边垂直，

有两种情况，

如下图所示：

由题意得，AC//BD,ZA=3ZB-10°,BCLAD

'：AC//BD

AZC=ZB

U：BC±AD

：.ZA+ZC=90°

.'.3ZB-100+ZB=90°,

：.ZB=25°

如下图所示：

由题意得，AN//BM,ZA=3ZB-10°,BH±AM

'：AN//BM

：.ZA+ZM=180°,

•；BH上AM

：.ZB+ZM=90°

：.ZA-ZB=90°

ZA=3ZB-10°

3ZB-10°-ZB=90°,

.\ZB=50°,

综上所述，N8的度数为25°或50°，

故答案：25°或50°♦

【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关

系.

18.1.n—1.

【分析】

2条直线相交只有一个交点，3条直线相交，交点数是1+2,〃条直线相交，交点数是

1+2+3H----F(zj-1),即aa=l+2+3n-----F(n-1)=n(n-1),可写出％,。“一%_1的解.

【详解】

解：求平面内不过同一点的〃条直线两两相交的交点个数，可由简入繁，

当2条直线相交时，交点数只有一个；

当3条直线相交时，交点数为两条时的数量+第3条直线与前两条的交点2个，即交点数是

1+2；

同理，可以推导当n条直线相交时，交点数是1+2+3+…+(〃-1),即

=

c1n=1+2+3+..・+(几-1)-1),

二.%=—x2x(2—1)=1,

2

ci—ci,=一n(n—1)—(n——2)=n—1,

22

本题的答案为：1,n-1.

【点拨】本题考查了平面内直线两两相交交点数的计算，涉及到一种很重要的数学方法数学

归纳法的初步应用接触，此方法在推导证明中比较常用.

19.150°

【详解】

如图，过点B作BG〃AE,

因为AE〃CD,所以AE〃:BG〃CD.

所以NA=N2,Zl+ZC=180°.

因为NA=120°,所以N2=120°,所以Nl=150°-120°=30°.

所以NC=180"30o=150。，故答案为150。.

20.153°

【分析】

过点及尸,G,做EH,FK,GJ平行于AB，根据平行线的传递性及性质得

AMEN=ZBME+ZDNE,同理得出NMSV=ZAMG+NC?VG,令/BME=5a,则

NBMF=3a,NDNE=5b,则NDNF=3A,通过等量关系先计算出。+匕=18。，再根据角平

分线的性质及等量代换进行求解.

【详解】

解：过点瓦尸,G,做平行于A3,如下图:

ABIIEH,ABI/CD,

\EHIICD,

则ZBME=ZHEM,ZDNE=ZHEN,

:.ZMEN=NHEM+ZHEN=ZBME+NDNE,

同理可得：ZMGN=ZAMG+ZCNG,

令NBME=5a,则/RWF=3a,

/DNE=5b,贝1]/。八犷=3匕，

贝1]ZMEN=ZBME+NDNE=5a+5b=90°,

:.a+b=18°,

ZAMF=180°-ZBMF=180°-3a,

ZCNF=180。-ADNF=180。-3b,

「MG平分NAMF,NG平分ZCNF,

1313

ZAMG=-ZAMF=90°--a,ZCNG=-ZCNF=90°--b,

2222

3

ZMGN=ZAMG+CNG=180°——(a+6)=153°,

2

故答案是：153°.

【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，找

到角之间的关系，利用等量代换的思想进行计算求解.

21.(1)见解析；(2)N3DC=120。

【分析】

(1)以C为圆心，小于A3长为半径画弧.与AC、5c分别交于点E、尸;以点B为圆心，以CE

长为半径画弧，交A3于点G;以点G为圆心，以所长为半径画弧，交前弧与点H;连接

交AC于点。.此时，/题=/。.（2）由/人8口=/©=30。，结合ZA=90。，运用三角形外角

的象征即可完成解答.

【详解】

（1）作法：①以C为圆心，小于A3长为半径画弧.与AC、3c分别交于点E、F.

②以点3为圆心，以CE长为半径画弧，交A3于点G.

③以点G为圆心，以所长为半径画弧，交前弧与点H.

④连接交AC于点D.此时，ZABD=ZC.

⑵VZC=30°

.•.NABD=NC=30°

XVZA=90°

ZBDC=120°

【点拨】本题主要考查了复杂的尺规作图和三角形外角的性质，其中尺规作图是解答本题的

关键.

22.探究：见解析；应用：见解析.

【分析】

探究:依据两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等，即可得到/DEF=NABC,

进而得出/DEF的度数.应用：依据两直线平行，同位角相等以及两直线平行，同旁内角

互补，即可得到NDEF的度数.

【详解】

解：探究：VDE/7BC（已知）

；./DEF=NCFE（两直线平行，内错角相等）

VEF/7AB

.,.ZCFE=ZABC（两直线平行，同位角相等）

.,.ZDEF=ZABC（等量代换）

VZABC=65°

ZDEF=65°

故答案为已知；ZCFE；两直线平行，内错角相等；ZCFE；两直线平行，同位角相等；等

量代换；65°.

应用：VDE//BC

.•.NABC=/D=p

：EF〃AB

.•.ZD+ZDEF=180°

.•.NDEF=180。-ND=180。-p,

故答案为180°-p.

图②

【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平

行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等.

23.见解析

【分析】

由/54尸+/4/5。=180。可得AB〃CD,进而得到NBAP=NCPA,然后根据角的和差可得

NEAP=/FPA运用内错角相等、两直线平行证明即可.

【详解】

证明：VZBAP+ZAPD=180°

；.AB〃CD

ZBAP=ZCPA

VZ1=Z2

AZBAP-Z1=ZCPA-Z2,即NEAP=/FPA

；.AE〃PF

【点拨】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是灵活应用平行线的性质定理和判定定

理.

24.(1)40°;(2)不变，ZOCB：ZOFB=1：2,理由见解析

【详解】

(1)由于48=100。，易求NA08,而。£、0c都是角平分线，从而可求NCOE；

(2)利用BC//OA,可知/AOC=/BC。，又因为/AOC=NC。凡所以就有/尸CO=N尸。C,

BPZBFO=2ZFCO=2ZOCB,那么/OCB：ZOFB=1：2；

解：(l)；C8〃0A,

：.ZBOA+ZB=\SQ°,

：.ZBOA^80°,

VZFOC=ZAOC,OE^ZBOF,

：./EOC=/EOF+/FOC=gZBOF+^-ZFOA^|(ZBOF+ZFOA)=x80°=40°；

⑵不变.

'JCB//OA,

：.ZOCB=ZCOA,ZOFB=ZFOA,

•：ZFOC^ZAOC,

：.ZCOA=^ZFOA,即/OC8:/OFB=1:2.

25.(1)①70。；②80。；®ZAED=ZEAB+ZEDC；(2)p点在区域①时，

ZPEB+ZPFC+ZEPF=360°；p点在区域②时，ZEPF=ZPEB+ZPFC

【详解】

试题分析：(1)①根据图形猜想得出所求角度数即可；

②根据图形猜想得出所求角度数即可；

③猜想得到三角关系，理由为：延长AE与DC交于F点，由AB与DC平行，利用两直线

平行内错角相等得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换即可得证；

(2)分两个区域分别找出三个角关系即可.

试题解析：(1)①当NA=30°,ZD=40°,贝lJ/AED=70°

②当NA=20°,ZD=60°,则NAED=80°

③/AED,ZEAB,/EDC的关系为/AED=/EAB+/EDC

证明：图1过点E作EF//AB,ZAEF=ZA.

VAB//CD,.*.EF//CD..*.ZFED=ZD.

/.ZAED=ZAEF+ZFED=ZA+ZD.

(2)图2,p点在区域①时，ZPEB+ZPFC+ZEPF=360°

图3,p点在区域②时，ZEPF=ZPEB+ZPFC

点拨：此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键.

26.(1)96°；(2)12°.

【详解】

试题分析：(1)利用两直线内错角相等得到两对角相等，相加即可求出所求的角；

(2)由AP为角平分线，利用角平分线定义求出/PAC的度数，由NPAC-NC4G即可求

/上4G的度数.

试题解析：3,:DB//FG//EC,

NBAG=NABD=60\ZCAG=NACE=36",

ABAC=/BAG+ZCAG=96。；

(2)VAP为NBAC的平分线，

:.ZBAP=ZCAP=48\

ZPAG=ZCAP-ZGAC=12°.

27.⑴f的值为30

⑵NKPE=90。T

(3”=72

【分析】

(1)ZCFE的度数