单调性问题（原卷版）

专题15单调性问题

【考点预测】

知识点一：单调性基础问题

1.函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数y="x）在某个区间内可导，如果尸（x）＞0,则y=〃尤）为增函数；如

果/（%）＜0,则y=/（x）为减函数.

2.已知函数的单调性问题

①若/（尤）在某个区间上单调递增，则在该区间上有尸（x）20恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足

r（x）＞o,才能得出了（X）在某个区间上单调递增；

②若“X）在某个区间上单调递减，则在该区间上有了'（元）40恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足

r（x）＜o,才能得出〃%）在某个区间上单调递减.

知识点二：讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒

负，无需单独讨论的部分）；

（3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数

正负区间段已知，可直接得出结论）；

（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；

（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；

（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.

（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；

类型二：含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连

续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒

负，无需单独讨论的部分）；

（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；

（5）导数图像定区间；

【方法技巧与总结】

1.求可导函数单调区间的一般步骤

(1)确定函数/(X)的定义域；

(2)求尸(x),令尸(©=0,解此方程，求出它在定义域内的一切实数；

(3)把函数/(x)的间断点(即/(x)的无定义点)的横坐标和/'(x)=0的各实根按由小到大的顺序

排列起来，然后用这些点把函数/(x)的定义域分成若干个小区间；

(4)确定f\x)在各小区间内的符号，根据f\x)的符号判断函数/(x)在每个相应小区间内的增减性.

注①使/'(%)=0的离散点不影响函数的单调性，即当了'(x)在某个区间内离散点处为零，在其余点处

均为正(或负)时，/(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例如，在(-oo,+o。)上，/(x)=d,

当尤=0时，/'(x)=0；当*/0时，f'(x)>0,而显然在(7,+8)上是单调递增函数.

②若函数y=/(x)在区间(。,加上单调递增，则/'(x)2O(7'(x)不恒为0),反之不成立.因为

f\x)20,即_f(x)>0或r(x)=0,当r(x)>0时，函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增.当f'(x)=0

时，/(x)在这个区间为常值函数；同理，若函数y=/(x)在区间(。力)上单调递减，则/'(x)<0(f'(x)

不恒为0),反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不

必要条件.于是有如下结论：

r(x)>0n/(%)单调递增；/(%)单调递增nf\x)>0；

/(x)<0=>f(x)单调递减；/(%)单调递减=>f\x)<0.

【题型归纳目录】

题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像

题型二：求单调区间

题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围

题型四：不含参数单调性讨论

题型五：含参数单调性讨论

情形一：函数为一次函数

情形二：函数为准一次函数

情形三：函数为二次函数型

1.可因式分解

2.不可因式分解型

情形四：函数为准二次函数型

题型六：分段分析法讨论

【典例例题】

题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像

例1.(2022・陕西・汉台中学模拟预测(文))设函数/(M在定义域内可导，Ax)的图象如图所示，则其导函

数/'(X)的图象可能是()

xeR,/''0)>0,/"。)<。恒成立，则下列选项正确的是()

A.0<八3)</(3)-/(2)</'(2)B.0<八3)-/(2)</(2)</(3)

C.0<八3)<八2)</(3)-/(2)D.。</'(2)〈八3)<〃3)-/(2)

例3.(2022•安徽马鞍山•三模(理))已知定义在R上的函数/(x),其导函数尸(x)的大致图象如图所示,

则下列结论正确的是()

A.f(b)>f(c)>f{a)B./(Z?)>/(c)=/(e)

C./(c)>/(Z?)>/(a)D./(e)>/(rf)>/(c)

【方法技巧与总结】

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数/(%)单调递增o导函数/'(x)20(导函数

等于0,只在离散点成立，其余点满足/'(x)>0)；原函数单调递减O导函数/'(x)<0(导函数等于0,

只在离散点成立，其余点满足/(/)<0).

题型二：求单调区间

例4.(2022.河北.石家庄二中模拟预测)已知函数於)满足八*=(⑵右一/⑼尤+3/,则加)的单调递

减区间为（）

A.（-oo,0）B.（1,+oo）C.（-oo,l）D.（0,+oo）

例5.（2021•西藏・林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数/（x）=（x-3）e*的单调增区间是（）

A.（9,2）B.（0,3）C.（14）D.（2,+8）

例6.（2022•全国•高三专题练习（文））函数/（元）="一2把的单调递减区间为__________.

\-x-2,x＜0

【方法技巧与总结】

求函数的单调区间的步骤如下：

（1）求/（X）的定义域

（2）求出f'（x）.

（3）令/'（x）=0,求出其全部根，把全部的根在x轴上标出，穿针引线.

（4）在定义域内，令/'（x）＞0,解出x的取值范围，得函数的单调递增区间；令/'（x）＜0,解出x的

取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“U”、

“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.

题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围

例7.（2022・全国•高三专题练习）已知函数=3侬2+9"a+1在（1,+⑹上为单调递增函数，则实数相

的取值范围为（）

A.—1）B.[―1,1]C.[1,3]D.[—1,3]

例8.（2021•河南•高三阶段练习（文））已知函数〃x）=W+（x—1）d在区间[1,3]上不是单调函数，则实数

。的取值范围是（）

例9.（2022.全国.高三专题练习）若函数次劝=%3+匕尤2+cx+d的单调递减区间为（一1,3）,则6+c=（）

A.-12B.-10C.8D.10

例10.（2022•全国•高三专题练习）若函数〃x）=2d一3:加+6x在区间上为增函数，则实数，”的取

值范围是.

例11.（2022•全国•高三专题练习）若函数/（尤）=-gd+依有三个单调区间，则实数a的取值范围是

例12.（2022•全国•高三专题练习）若函数=：-■|/+以+1在区间（1,4）上不单调，则实数a的取值

范围是.

例13.（2022.河北.高三阶段练习）若函数/（幻=俨+必然在上存在单调递减区间，则机的取值

范围是•

例14.（2022.全国.高三专题练习（文））若函数/7（x）=lnx—；。无2-2x（<#0）在［1,4］上存在单调递减区间”，则

实数a的取值范围为.

例15.（2020.江苏・邵伯高级中学高三阶段练习）若函数、=-丁+6在［1,y）上是单调函数，贝段的最大值

是•

3x

例16.（2022・全国•高三专题练习（文））已知函数兀0=——2N+in尤（公0）,若函数人无）在口⑵上为单调函

a

数，则实数。的取值范围是.

【方法技巧与总结】

（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析

导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛

物线最小值落在端点等.

（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.

（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.

题型四：不含参数单调性讨论

例17.（2022.山东临沂三模）已知函数=其图象在％=e处的切线过点（2e,2e?）.

⑴求a的值；

（2）讨论〃尤）的单调性；

例18.（2022・天津•模拟预测）已知函数〃x）=l+l,+l）（x>0）.

试判断函数〃尤）在（0,+向上单调性并证明你的结论；

例19.（2022•天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知函数小）=（…）1?+"+1

⑴若函数在点（e"（e））处的切线斜率为0,求。的值.

⑵当。=1时.设函数G（X）=^4,求证:y="X）与y=G（x）在［1,e］上均单调递增；

例20.（2022•浙江・杭州高级中学模拟预测）已知函数/（x）=ln（x+a）-eA1n0+l,x>—a,a>0.

当”=1时，求的单调区间

题型五：含参数单调性讨论

情形一：函数为一次函数

例21.（2022・江西•二模（文））己知函数/（x）=ox+lnx+l（aeR）,g（x）=.工一1.

讨论/（x）的单调性；

例22.（2022.北京八十中模拟预测）已知函数/（x）=—尸.

⑴当。=1时，求函数/⑺在（1J⑴）处的切线方程；

⑵求函数/（X）的单调区间；

例23.（2022・广东•模拟预测）已知函数/（尤）=111（尤一1）一鹿：0€11），8（*）=2*+--2.

讨论函数〃无）的单调性；

情形二：函数为准一次函数

例24.（2022・全国•模拟预测（文））设函数/（司=1+：二尤,其中“eR.

当aNO时，求函数“X）的单调区间；

例25.（2022.江苏・华罗庚中学三模）已知函数/（x）=«x-2e，+3（aeR）,g（x）=lnx+xe”（e为自然对数

的底数，e<2g5）.

求函数〃x）的单调区间；

例26.(2022・云南师大附中模拟预测(理))已知函数”x)=xlnx-gox2+(a-l)x,其中(7,,0.

讨论的单调性；

例27.(2022•云南师大附中高三阶段练习(文))已知函数〃x)=;vlnx-6.

讨论“X)的单调性；

情形三：函数为二次函数型

1.可因式分解

例28.(2022・全国•模拟预测)已知函数/(x)=2K[lnx-ln(x+l)]-；fa?,A*。.

讨论了(X)的单调性；

例29.(2022.天津.二模)已知函数/'(x)=-2a21nx+gx2+ox(aeR).

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在(11(D)处的切线方程；

⑵求函数”刈的单调区间；

例30.(2022・安徽师范大学附属中学模拟预测(文))已知函数/(x)=lnx+分2+(2。+1)彳

讨论/(x)的单调性；

例31.(2022.浙江省江山中学模拟预测)函数/(x)=lnx-二+l(aeR,awO).

a

讨论函数＞=/(尤)的单调性；

例32.(2022・广东・潮州市瓷都中学三模)已知函数/(力=2/+3(1+M)*2+67nx"eR).

讨论函数/(x)的单调性；

例33.（2022・湖南•长沙县第一中学模拟预测）已知函数=-1）尤-Inx（aeR）.

求函数〃x）的单调区间；

例34.（2022・陕西・宝鸡中学模拟预测（文））已知函数〃尤）=；62一（2"+1）尤+2inx（aeR）

⑴当a=-l时，求〃x）在点（L〃l））处的切线方程；

⑵当a>0时，求函数〃x）的单调递增区间.

2.不可因式分解型

例35.（2022•江苏徐州•模拟预测）已知函数/（%）=/—4%+〃lnx,Q£R,函数/（九）的导函数为了'（x）.

讨论函数的单调性；

例36.（2022•天津南开•三模）已知函数〃尤）=；/+以_（以+i）1nx（狼氏），记/（x）的导函数为g（x）

讨论g（x）的单调性；

【方法技巧与总结】

1.关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，

从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减.（注意定义域的间断情况）.

2.需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处

的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段.

3.利用草稿图像辅助说明.

情形四：函数为准二次函数型

Y31nY2

例37.（2022•安徽•合肥市第八中学模拟预测（理））设函数/（x）=—+ax2-2ax,g（无）=--+2ax+—,aeR.

x

讨论/（x）的单调性;

例38.（2022・全国•二模（理））已知函数/（"=d'+（0+2户+依.

讨论了（X）的单调性；

例39.（2022.安徽.合肥一六八中学模拟预测（理））已知函数〃x）=e=eT-办（e为自然对数的底数）,

其中aeR.

试讨论函数的单调性；

例40.（2022.浙江•模拟预测）已知函数/（x）="e"+（a-2）e'-x.

讨论〃尤）的单调性；

题型六：分段分析法讨论

例41.（2022帙西・西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数/卜）=。*+/—2彳+1+卜-1）111«（0>0,

且"1）

求函数〃x）的单调区间；

【方法技巧与总结】

1.二次型结构0^+6元+c,当且仅当a=o时，变号函数为一次函数.此种情况是最特殊的，故应最

先讨论，遵循先特殊后一般的原则，避免写到最后忘记特殊情况，导致丢解漏解.

2.对于不可以因式分解的二次型结构62+Zzx+c,我们优先考虑参数取值能不能引起恒正恒负.

3.注意定义域以及根的大小关系.

【过关测试】

一、单选题

JT7T

1.（2022•江西上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数/■（元）=asin尤+2cosx在xe-j,--上单调递增,

则a的取值范围为（）

A.a>0B.-2<a<2C.a2—2D.a>0^a<-2

2.（2022・全国•哈师大附中模拟预测（理））已知〃x）=%2+cos无，/⑺为了⑺的导函数，则，=/'"）的

3.（2022•江西师大附中三模（理））下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）

B-/(x)=2*+[]

A.f(x)=x--C./(x)=x3+tanxD./(x)=In+1+X

X

4.（2022.北京.首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在（0,2）上单调递减的是（)

A.y二2|x|B.y=-x3

x..2—x

C.y=cos—D.y=ln------

22+x

5.（2022.陕西・西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数/（%）=-%山2-丁，则不等式

/•（3-/）>〃2X-5）的解集为（）

A.(-4,2)B.(-2,2)

C.（-oo,-2）u（2,+oo）D.（-CO,-4）U（2,-H»）

6.（2022•江西宜春•模拟预测（文））“函数y=ox-sin尤在R上是增函数”是“°>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2022.江西宜春.模拟预测（文））已知函数〃司=（》-1户-如在区间［2,4］上存在单调减区间，则实数加

的取值范围为（）

A.（2e:+co）B.

C.（0,2e2）D.（0,e）

8.（2022.江苏・南京市天印高级中学模拟预测）己知a>1/>1,且（b+l）ea=aeb+,+a（e为自然对数），则下列结

论一定正确的是

（）

A.ln（a+Z?）>1B.ln（a-Z?）<0

C.2a+1<2bD.2a+26<23

二、多选题

9.（2022.广东•信宜市第二中学高三开学考试）已知/'（x）=乎，下列说法正确的是（）

A.在x=l处的切线方程为y=x+lB.的单调递减区间为（e,+co）

C.的极大值为gD.方程/（%）=-1有两个不同的解

10.（2022.全国.模拟预测）已知函数Ax）的定义域为（0,+◎,其导函数为尸（x）,对于任意xe（0,+s）,都

有xln矿（x）+/（x）>0,则使不等式〃x）ln尤+1弓成立的x的值可以为（

A.gB.1C.2D.3

11.（2022•全国•高三专题练习）下列函数在区间（0,+oo）上单调递增的是（）

A.y=x-（一）xB.y=x+sinx

2

C.y=3-xD.y=x2+2x+l

12.（2022・广东•模拟预测）已知/（元-若不等式/（白]在（L+◎上恒成立,

，y111XJyXLJ

则a的值可以为（）

A.-72B.-1