导数及其应用大题综合（学生卷）-2025年高考数学复习分项汇编

专题23导照及其成用大题除合

十年考情•探规律

考点十年考情(2015-2024)命题趋势

2024.全国新n卷、2024.天津卷、2023•北京1.能理解导数的几何意义

卷并会求切线方程，会求参数

2023•全国乙卷、2023•全国乙卷、2023•天津2.理解函数的单调性与导

卷数之间的关系，能利用导数

2022•天津卷、2022•全国甲卷、2022•全国乙研究函数的单调性，并会求

卷单调区间，能够利用导数解

考点1切线方

2022•北京卷、2021•天津卷、2021•北京卷决与函数单调性的综合问

程及其应用

2021.全国乙卷、2020.北京卷、2020.全国卷题，该内容是新高考卷的必

（10年10考）

2019•北京卷、2018•北京卷、2018•北京卷考内容，近年来导数和其他

2018•全国卷、2018•天津卷、2017•天津卷版块知识点关联密集，是新

2017•山东卷、2017•北京卷、2016•北京卷高考备考的重要内容。

2016•北京卷、2016•全国卷、2015•重庆卷3.能够利用导数求函数的

2015•全国卷、2015•天津卷、2015•山东卷极大值、极小值以及在给定

2015•北京卷闭区间上的最大值、最小

考点2具体函2024•北京卷、2023•全国甲卷、2023•全国甲值，体会导数与极大（小）值、

数及含参函数卷最大（小）值的关系，该内容

的单调性2022•全国新n卷、2021•全国甲卷、2020•全是新高考卷的必考内容，会

（10年6考）国卷结合导数来判断或证明函

2018•全国卷数的单调性，从而求得函数

2024•全国甲卷、2023•北京卷、2023•全国新的极值或给定区间上的最

I卷值，热点内容，需综合复习

2022.浙江卷、2022.北京卷、2021.全国新H4.能进行函数转化证明不

卷等式，会函数中的恒成立问

2021•浙江卷、2021•全国甲卷、2021•全国乙题与有解问题，会求零点及

卷其应用，会隐零点、双变量、

考点3含参函2021•全国新I卷、2020•全国卷、2020•全国极偏等内容的学习，都可能

数的单调性卷成为高考命题方向

（10年10考）2018•天津卷、2018•全国卷、2017•全国卷

2017.天津卷、2017•天津卷、2017.全国卷

2017•全国卷、2016•山东卷、2016•四川卷

2016•全国卷、2016•北京卷、2016•山东卷

2016•四川卷、2016•全国卷、2015•江苏卷

2015•重庆卷、2015•天津卷、2015•四川卷

2015•四川卷、2015•北京卷

2024•全国新H卷、2024•全国甲卷、2023•北

考点4极值最

东卷

值及其应用

2023•全国乙卷、2023•全国新H卷、2022.全

（10年10考）

国乙卷

2022.全国新I卷、2021.北京卷、2021.天津

卷

2021•全国乙卷、2020•北京卷、2019•全国卷

2019•江苏卷、2018•北京卷、2018•北京卷

2018•全国卷、2018•全国卷、2017•山东卷

2017•江苏卷、2017•全国卷、2017•山东卷

2017•北京卷、2016•山东卷、2016•天津卷

2016•全国卷、2015•重庆卷、2015•重庆卷

2015•山东卷、2015•湖南卷、2015•安徽卷

2015•山东卷、2015•全国卷

2024.全国甲卷、2024.全国新I卷、2023•天

津卷

2022.全国新H卷、2021•全国乙卷、2019•北

考点5证明不

乐卷

等式

2018•全国卷、2018•全国卷、2018•全国卷

（10年9考）

2017•全国卷、2016•浙江卷、2016•全国卷

2015•全国卷、2015•湖北卷、2015•福建卷

2015•北京卷

考点6恒成立2024.天津卷、2024.全国甲卷、2023•全国甲

与能成立（有卷

解）问题2023•全国甲卷、2022.全国新I卷、2022.全

（10年9考）国甲卷

2021.天津卷、2020.山东卷、2020.全国卷

2019•全国卷、2017•天津卷、2017•全国卷

2016•江苏卷、2016•全国卷、2016•四川卷

2015•四川卷、2015•山东卷、2015•湖南卷

2015•湖南卷、2015•福建卷、2015•北京卷

2022•全国乙卷、2022•全国乙卷、2021•全国

新n卷

2020•浙江卷、2020•全国卷、2020•全国卷

考点7零点问

2020•全国卷、2019•全国卷、2019•全国卷

题

2018•浙江卷、2018•全国卷、2017•全国卷

（10年8考）

2016•江苏卷、2016•北京卷、2016•全国卷

2015•江苏卷、2015•全国卷、2015•全国卷

2015•陕西卷、2015•北京卷

考点8方程的2022•浙江卷、2022•全国新I卷、2021•浙江

根卷

（10年4考）2021•全国甲卷、2019•全国卷、2018•江苏卷

考点09双变2024•天津卷、2022•浙江卷、2022•北京卷

量问题2021•浙江卷、2020•天津卷、2018•全国卷

（10年6考）2015•湖北卷

考点10隐零

2023•全国甲卷、2017•全国卷

点问题

2016•全国卷、2015•全国卷

（10年4考）

考点11极值点

2022•全国甲卷、2019•天津卷

偏移问题

2016•全国卷、2015•天津卷

(10年4考)

考点12导数

与其他知识点2024•北京卷、2023•全国新I卷

联动问题2021.全国新H卷、2021.全国乙卷

(10年4考)

分考点•精准练1

考点01切线方程及其应用

1.(2024•全国新n卷,高考真题)已知函数f(x)=e工-依-/.

⑴当。=1时，求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

2.(2024•天津•高考真题)设函数〃x)=xlnx.

⑴求〃x)图象上点(1，〃1))处的切线方程；

3.(2023•北京・高考真题)设函数/。)=*-通"+"曲线y=/(x)在点(1"⑴)处的切线方程为

y=-x+i.

(1)求氏6的值;

4.(2023•全国乙卷•高考真题)已知函数〃x)=&+dln(l+x).

⑴当a=T时，求曲线y=在点(1,〃功处的切线方程.

5.(2023•全国乙卷•高考真题)已知函数/(x)=《+a，n(l+x).

⑴当a=_l时，求曲线y=在点处的切线方程;

6.（2023•天津高考真题）已知函数"x）=［：+jln（x+l）.

⑴求曲线y=/（x）在x=2处的切线斜率；

7.（2022,天津・高考真题）已知a,beR,函数〃x）=e*-asin尤,g（x）=66

⑴求函数y=〃x）在（OJ（O））处的切线方程；

8.（2022•全国甲卷•高考真题）已知函数，（x）=x3-x,g（x）=x2+a,曲线y=/（x）在点（当J（xj）处

的切线也是曲线y=g（x）的切线.

⑴若公=T,求a；

9.（2022•全国乙卷•高考真题）已知函数/（%）=111（1+尤）+办0

⑴当a=l时，求曲线y=〃x）在点（0"（0））处的切线方程；

10.（2022•北京•高考真题）已知函数/（北=e*ln（l+无）.

⑴求曲线>=〃尤）在点（0,〃。））处的切线方程；

11.（2021・天津,高考真题）已知a>0,函数=.

（I）求曲线>=/（尤）在点（0"（。））处的切线方程：

12.（2021•北京•高考真题）已知函数=

（1）若"=0,求曲线y=〃x）在点（1，〃项处的切线方程；

13.（2021•全国乙卷•高考真题）已知函数/。）=丁-/+依+1.

（1）讨论的单调性；

（2）求曲线y=〃x）过坐标原点的切线与曲线y=/（x）的公共点的坐标.

14.（2020•北京•高考真题）已知函数/5）=12_/.

（0）求曲线y=/（x）的斜率等于-2的切线方程；

15.（2020•全国•高考真题）设函数〃x）=x3+fec+c,曲线y=/（x）在点弓，/弓））处的切线与y轴

垂直.

(1)求b.

16.(2019•北京•高考真题)已知函数八＞)=；尤3-炉+%.

(回)求曲线y=/(x)的斜率为1的切线方程；

17.(2018・北京•高考真题)设函数。(小同-(4a+l)x+4a+3]".

(1)若曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线与x轴平行，求。；

18.(2018•北京•高考真题)设函数/(x)北加-(3a+l)x+3a+2]e".

(0)若曲线y=/(x)在点(2"(2))处的切线斜率为0,求a；

19.(2018•全国•高考真题)已知函数

(1)求曲线V寸(x)在点(。,-1)处的切线方程；

20.(2018•天津•高考真题)已知函数/(%)=罐,g(x)=log0x,其中a＞l.

(I)求函数〃(%)=/(%)-才加的单调区间；

(II)若曲线y=在点(占,/(占))处的切线与曲线y=g(x)在点(9公伍))处的切线平行，证

口口/\21nlni

明：%+g(%)=一一:—;

Ina

(III)证明：当时，存在直线/，使/是曲线y=〃x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.

21.(2017•天津•高考真题)设a,6e7?,|a区1.已知函数/(尤)=/-6/_3a(a-4)尤+6，g(x)=e"(x).

(回)求/(X)的单调区间；

(回)已知函数＞=8。)和＞=/的图象在公共点(xo,yo)处有相同的切线，

(i)求证：/(X)在尤=%处的导数等于0；

(ii)若关于x的不等式g(x)在区间上恒成立，求b的取值范围.

22.(2017•山东•高考真题)已知函数"x)=；x3-；ox2,aeR.

⑴当a=2时,求曲线y=〃x)在点(3,〃3))处的切线方程；

23.(2017•北京•高考真题)已知函数/(x)=e"cos尤-尤.

(0)求曲线y=/⑺在点(。"(。))处的切线方程;

24.(2016•北京•高考真题)设函数〃尤片/+凉+云+心

(回)求曲线y=/(x)在点(0/(0))处的切线方程；

25.(2016•北京・高考真题)设函数/(x)=xe~+法，曲线y=f⑺在点(2J(2))处的切线方程为

y=(6—1)%+4,

(1)求“，b的值；

26.(2016•全国•高考真题)已知函数/(x)=(x+l)lnx-q(x-l).

(I)当。=4时，求曲线y=/(x)在(LAD)处的切线方程；

27.(2015・重庆•高考真题)设函数〃x)=号竺(aeK)

(1)若〃x)在尤=0处取得极值，确定•的值，并求此时曲线y=〃x)在点(L〃l))处的切线方

程；

28.(2015,全国•高考真题)已知函数/。)=9+依+1,g(x)=-lnx.

(1)当。为何值时，x轴为曲线丫=/(幻的切线；

29.(2015•天津・高考真题)已知函数/(x)=〃x-x”,xeR,其中〃eN*,〃22.

(回)讨论/⑺的单调性；

(回)设曲线y=/(x)与无轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证：对于

任意的正实数尤,都有的x)4g(x)；

30.(2015,山东,图考真题)设函数f(.t)=(x—a)】nx,g(.t)=j已知曲线"成｛。，夕｝在点

(1J⑴)处的切线与直线2x-v=0平行.

(回)求。的值；

31.(2015•北京•高考真题)已知函数Hx)=ln=W.

1-X

(回)求曲线y"(x)在点(0，〃。))处的切线方程;

考点02具体函数的单调性

L(2024・北京・高考真题)设函数〃x)=x+Zdn(l+x)仕片0),直线/是曲线y=〃x)在点

⑺)(t>0)处的切线.

⑴当左=T时，求〃x)的单调区间.

2.(2023•全国甲卷•高考真题)已知函数/(同=以-黑,

⑴当a=l时，讨论f(x)的单调性;

3.(2023,全国甲卷高考真题)已知函数於)=以-上耍，尤

⑴当a=8时，讨论Ax)的单调性；

4.(2022•全国新H卷•高考真题)已知函数F(x)=xe"-e'.

⑴当”=1时,讨论了(%)的单调性；

5.(2021,全国甲卷•高考真题)已知。>0且函数/■(x)=；(x>0).

a

(1)当。=2时,求的单调区间;

6.(2020•全国•高考真题)已知函数/(x)=d-a(x+2).

(1)当。=1时，讨论的单调性;

7.（2018,全国•高考真题）已知函数“无）=：尤3一4（/+尤+1）.

（1）若的3,求〃力的单调区间;

考点03含参函数的单调性

1.（2024,全国甲卷,高考真题）已知函数/（x）=a（xT）—lnx+l.

⑴求的单调区间；

2.（2023•北京・高考真题）设函数/⑺川-春2，曲线y=/（x）在点（1J⑴）处的切线方程为

y=-x+\.

⑴求。力的值；

（2）设函数g（x）=/'（x）,求g（x）的单调区间；

⑶求/（X）的极值点个数.

3.（2023,全国新I卷,高考真题）已知函数”x）=a（e，+a）-x.

⑴讨论的单调性；

4.（2022•浙江•高考真题）设函数〃元）=h+ln龙（尤＞0）.

2x

⑴求/⑺的单调区间；

5.（2022•北京•高考真题）已知函数〃x）=e1n（l+尤）.

⑴求曲线＞=/（无）在点（0,/（0））处的切线方程；

（2）设g（x）=f（x）,讨论函数g（x）在［0,+oo）上的单调性；

6.（2021,全国新n卷,高考真题）已知函数/（x）=（尤-1）/-4+6.

（1）讨论了⑺的单调性；

7.（2021•浙江•高考真题）设a,6为实数，且。＞1,函数〃x）=a-bx+e2（xeR）

(1)求函数〃尤)的单调区间；

8.(2021・全国甲卷・高考真题)设函数+ar-31nx+l,其中a>0.

(1)讨论的单调性；

9.(2021•全国乙卷•高考真题)已知函数/(尤)=尤3-丁+办+1.

(1)讨论的单调性；

10.(2021•全国新I卷•高考真题)已知函数/'(x)=x(l-lnx).

(1)讨论/(x)的单调性；

11.(2020•全国•高考真题)已知函数/(x)=2lnx+l.

(1)若/(x)<2x+c,求c的取值范围；

(2)设a>0时，讨论函数g(x)=,⑶-/⑷的单调性.

x—a

12.(2020•全国•高考真题)已知函数/(x)=sin2xsin2x.

(1)讨论/(x)在区间(0,兀)的单调性；

13.(2018•天津•高考真题)已知函数〃力=优，g(x)=logax,其中。>1.

(I)求函数M%)=/(x)-xlna的单调区间；

14.(2018•全国•高考真题)已知函数f(x)=J-x+alnx.

X

(1)讨论了(无)的单调性；

15.(2017•全国•高考真题)已知函数〃力=祀2工+(。-2)e*-x

(1)讨论的单调性；

16.(2017•天津・高考真题)设a,6e7?,他|V1.已知函数/(x)=)一6炉-3a(a-4)x+6,g(x)=exf(x).

(回)求/(x)的单调区间;

17.(2017天津・高考真题)设4€2,已知定义在区上的函数/0)=2丁+3尤3-3元2-6彳+°在区间(1,2)

内有一个零点/，g。)为Ax)的导函数.

(回)求g(x)的单调区间;

18.(2017•全国•高考真题)已知函数7(*)=也为+依2+(2。+1)彳.

(1)讨论Ax)的单调性;

19.(2017全国高考真题)设函数/(乃=(1-炉)/.

(I)讨论函数的单调性；

20.(2016,山东,高考真题)设f(x)=xlnx-ax?+(2a-l)x,aeR.

(回)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;

21.(2016•四川•高考真题)设函数/(x)=ax2-a-|nx,其中a回R.

(I)讨论/W的单调性；

22.(2016•全国•高考真题)已知函数/(x)=(x-2)/+a(x-l)2.

(回)讨论/⑺的单调性;

23.(2016•北京•高考真题)设函数/(x)=xe~+6x,曲线y=/⑺在点(“⑵)处的切线方程为

y=(e-l)x+4,

(1)求。，b的值；

(2)求/a)的单调区间.

2Y—1

24.(2016•山东•高考真题)已知/(x)=a(xTn尤)+~工2，acR.

(回)讨论了(X)的单调性；

25.(2016•四川•高考真题)设函数/(x)=ax2-a-lnx,g(x)=---其中a©R,c=2.7/g…为

xe

自然对数的底数.

(1)讨论/(X)的单调性;

26.(2016,全国•高考真题)设函数/(x)=lnx-x+l.

(回)讨论Ax)的单调性；

27.(2015•江苏•高考真题)已知函数=—b(qbwR).

(1)试讨论的单调性；

28.(2015・重庆•高考真题)设函数〃司=勺竺(ae©

(1)若〃尤)在x=0处取得极值，确定。的值，并求此时曲线y=/(x)在点(口⑴)处的切线方

程；

(2)若〃x)在［3,+⑹上为减函数，求。的取值范围.

29.(2015•天津,高考真题)已知函数/(x)=〃x-x”,xeR,其中〃eN*,〃22.

(回)讨论Ax)的单调性；

30.(2015•四川•高考真题)已知函数f(x)=-2xlnx+x2—2ax+a2,其中a>0.

(回)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；

31.(2015,四川・高考真题)已知函数5(x)=-2(x+a)ln尤+--2初一2a,其中a>0.

(1)设g(x)是/(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；

32.(2015•北京•高考真题)设函数〃町=+-8nx,k>0.

(1)求〃元)的单调区间和极值；

考点04极值最值及其应用

1.(2024,全国新n卷,高考真题)已知函数/(x)=e*-ax-a3.

⑴当。=1时，求曲线y=/(x)在点(1J(D)处的切线方程;

⑵若f(x)有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

2.(2024,全国甲卷,高考真题)已知函数/(x)=(l-㈤ln(l+x)r.

⑴当a=-2时，求"%)的极值;

⑵当xNO时，/(x)>0,求。的取值范围.

3.(2023•北京・高考真题)设函数“尤)=尤一/浮"曲线y=/(x)在点(11⑴)处的切线方程为

y=-x+l.

⑴求“涉的值；

⑵设函数g(x)=/G),求g(无)的单调区间；

⑶求/(X)的极值点个数.

4.(2023•全国乙卷•高考真题)已知函数/(x—B+ajlnCl+x).

⑴当a=T时，求曲线y=在点处的切线方程；

⑵是否存在a,b,使得曲线y关于直线x=b对称，若存在，求小。的值，若不存在,

说明理由.

⑶若在(0,+“)存在极值，求a的取值范围.

5.(2023•全国新n卷・高考真题)(1)证明：当Ovxvl时，x—x2<sinx<x；

(2)已知函数〃x)=cos<2x_ln(l-x2),若x=0是的极大值点，求a的取值范围.

6.(2022,全国乙卷•高考真题)已知函数/(x)=at」-(q+i)1n尤.

⑴当。=0时,求Ax)的最大值；

⑵若"X)恰有一个零点，求a的取值范围.

7.(2022,全国新I卷•高考真题)已知函数/。)=4-亦和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

⑴求a；

(2)证明：存在直线y=3其与两条曲线＞=/(尤)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右

的三个交点的横坐标成等差数列.

8.(2021•北京・高考真题)已知函数〃力=言.

(1)若。=0,求曲线y=在点。，/⑴)处的切线方程；

(2)若“X)在4-1处取得极值，求“X)的单调区间，以及其最大值与最小值.

9.(2021,天津•高考真题)已知°＞0,函数/(x)=ox-x".

(I)求曲线＞=/(元)在点(0"(0))处的切线方程：

(II)证明/(X)存在唯一的极值点

(III)若存在。，使得了(x)Va+8对任意xeR成立，求实数6的取值范围.

10.(2021•全国乙卷,高考真题)设函数/(x)=ln(a-x),已知尤=0是函数y=#(x)的极值点.

(1)求a；

(2)设函数g(x)=\^.证明:g(x)＜L

11.(2020•北京•高考真题)已知函数/(x)=12-f.

(回)求曲线y=/(x)的斜率等于-2的切线方程；

(回)设曲线＞=/(x)在点亿/⑺)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为SQ),求S⑺的最小

值.

12.(2019•全国•高考真题)已知函数/■(了)=(》-1)1取-》-1.证明：

(1)存在唯一的极值点；

(2)〃X)=。有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

13.(2019•江苏•高考真题)设函数/(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,ceR,尸⑺为/(x)的导函数.

(1)若a=0=c,f(4)=8,求a的值;

（2）若aM,b=c,且）（尤）和f（x）的零点均在集合｛-3,1,3｝中,求）（x）的极小值;

4

（3）若且/（x）的极大值为求证:腔药.

14.（2018•北京•高考真题）设函数/（可=[加-（4＜2+1卜+44+3止.

（1）若曲线y=〃x）在点（1,/（1））处的切线与x轴平行，求。；

（2）若在x=2处取得极小值，求。的取值范围.

15.（2018•北京•高考真题）设函数/（幻北浸-（3a+l）尤+3a+2]et

（回）若曲线y=『（x）在点（21（2））处的切线斜率为0,求a；

（回）若A©在x=l处取得极小值，求a的取值范围.

16.（2018•全国•高考真题）已知函数/（尤）=（2+*+加）111。+工）-2元.

（1）若“=0,证明：当一1＜彳＜0时，〃尤）＜。；当x＞0时，f（x）＞0;

（2）若x=0是〃x）的极大值点，求a.

17.（2018•全国•高考真题）已知函数〃力=*-松-1.

（1）设尸2是的极值点.求“，并求〃x）的单调区间；

（2）证明：当时，/（x）＞0.

e

18.（2017•山东•高考真题）已知函数/⑺4V-g/MeR.

田当。=2时,求曲线丁=/（可在点（3,〃3））处的切线方程；

（II）设函数g（x）=/（x）+（x-a）cosx-sinx,讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极直

19.（2017•江苏•高考真题）已知函数f（x）=x3+原2+阮+13＞0,激圮有极值,且导函数f，（x）的

极值点是f（x）的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域;

(2)证明：b2>3a;

(3)若f(x),f，(x)这两个函数的所有极值之和不小于高，求a的取值范围.

20.(2017•全国•高考真题)已知函数/Q)=x-l-aln元.

(1)若/(x)20,求a的值；

(2)设m为整数，且对于任意正整数n,(l+g)(l+g)…(1+£)〈根，求m的最小值.

21.(2017•山东・高考真题)已知函数/(了)=/+28$》,g(x)=ev(cosx-sinx+2x-2),其中

e=2.71828…是自然对数的底数.

(回)求曲线y=/(x)在点(乃"⑺)处的切线方程；

(回)令〃(x)=g(x)-%(x)(awR),讨论Mx)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

22.(2017•北京•高考真题)已知函数/(x)=eXcos尤-尤.

(回)求曲线>=/(x)在点(0)(0))处的切线方程；

(回)求函数/(X)在区间［0,会上的最大值和最小值.

23.(2016,山东,高考真题)f(x)=xlnx-ax2+(2a-l)x,aeR.

(回)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;

(回)已知f(x)在x=l处取得极大值.求实数a的取值范围.

24.(2016・天津•高考真题)设函数/(x)=(x-l)3-ax-b,x®R,其中a,b回R.

(0)求f(x)的单调区间；

(回)若f(x)存在极值点Xo,且f(X1)=f(x0),其中"Xo,求证：Xi+2x0=3；

(回)设a>0,函数g(x)=|f(x)I,求证：g(x)在区间［0,2］上的最大值不小于

25.(2016•全国•高考真题)⑴讨论函数〃%)=三/的单调性，并证明当x>0时，

x+2

(x—2)e，+犬+2>0;

⑵证明：当。«0,1）时，函数g（x）=e'9一"（尤＞0）有最小值.设g（x）的最小值为旗a）,求函

X

数的值域.

26.（2015•重庆・高考真题）已知函数/⑺=加+4加；?）在x=-：处取得极值.

⑴确定a的值；

（2）若g（x）"（x）e，，讨论g（x）的单调性.

27.（2015・重庆•高考真题）设函数/（x）=①丁（aeR）

（1）若〃x）在x=0处取得极值，确定。的值，并求此时曲线y=/（x）在点（口⑴）处的切线方

程；

（2）若〃x）在[3,+8）上为减函数，求0的取值范围.

28.（2015•山东•高考真题）设函数〃x）=ln（尤+l）+a（尤2-x）,其中

（回）讨论函数/（尤）极值点的个数，并说明理由；

（回）若Vx＞（V（x）20成立，求。的取值范围.

29.（2015•湖南•高考真题）己知a＞0,函数/（x）=/sinx（xe[0,+（»））,记匕为了⑴的从小到大的

第九（〃eN*）个极值点，证明：

（1）数列｛/区）｝是等比数列

（2）若。2/片,则对一切"N*,当恒成立.

30.（2015•安徽•高考真题）设函数/（》）=/-办+b.

（回）讨论函数/Ginx）在（-1/）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

(回)记％。)=/-曲+%,求函数|/(sinx)-启sinx)|在会上的最大值D；

2

(回)在(0)中，取4=%=0,求z=b-幺满足DV1时的最大值.

4

31.(2015,山东,身考真题)设函数f(x)=(x+a)lnx,g(攵)=》已知曲线〃"力｛P,M在点

(1J⑴)处的切线与直线2x-y=0平行.

(回)求。的值；

(回)是否存在自然数3使得方程〃x)=g(x)在(匕后+1)内存在唯一的根？如果存在，求出人;

如果不存在，请说明理由；

(回)设函数〃&)=〃而｛/(x),g(x)｝(〃成｛p,q｝表示，。应中的较小值)，求"Z(X)的最大值.

32.(2015•全国•高考真题)已知/(x)=ln尤+a(l-x).

⑴讨论的单调性；

⑵当〃x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求。的取值范围.

考点05证明不等式等证明问题

1.(2024,全国甲卷•高考真题)已知函数/(x)=a(xT)-lnx+l.

⑴求的单调区间；

(2)当a42时,证明：当x>l时,〃力<—恒成立.

2.(2024•全国新I卷,高考真题)已知函数/(x)=ln；^J+ax+6(x-l)3

2-x

⑴若6=0,且尸(x)N0,求。的最小值;

⑵证明：曲线y=/(无)是中心对称图形;

⑶若当且仅当l<x<2,求6的取值范围.

3.(2023,天津高考真题)已知函数〃刈=&+£|叭》+1).

⑴求曲线y=〃x)在x=2处的切线斜率;

⑵求证：当x>0时，

⑶证明：(<ln(n!)-n+—jln«+n<l

02

4.(2022•全国新n卷•高考真题)已知函数/3=无产一1.

⑴当。=1时，讨论/(x)的单调性；

⑵当x>0时，/(%)<-1,求。的取值范围;

⑶设"CN*，证明：卷+—+-+.>ln(〃+l).

5.(2021,全国乙卷•高考真题)设函数/'(x)=ln(<7-x),已知x=0是函数y=#(x)的极值点.

(1)求a；

(2)设函数g(x)=\^.证明:g(x)<L

6.(2019・北京•高考真题)已知函数/0)=33_/+匕

(回)求曲线y=/(x)的斜率为1的切线方程；

(回)当无e［-2,4］时，求证：x-6<f(x)<x;

(回)设/(x)="(x)-a+a)|(aeR),记尸⑴在区间［-2,4］上的最大值为—(a),当M(a)最小

时，求a的值.

7.(2018,全国,高考真题)已知函数〃x)=(2+x+ax2)in(l+x)-2x.

(1)若。=0,证明：当一l<x<0时，/(%)<0；当x>0时，/(x)>0；

(2)若尤=0是/(X)的极大值点，求

ax2+x-l

8.(2018•全国•高考真题)已知函数〃x)=

-,

(1)求曲线y寸(力在点(0,-1)处的切线方程；

(2)证明：当时，/(x)+e>0.

9.(2018•全国•高考真题)已知函数"x)=oex-阮vT.

(1)设户2是的极值点.求。，并求〃x)的单调区间；

(2)证明：当。2工时，/W>0.

e

10.(2017•全国•高考真题)已知函数=且f(x)20.

(1)求a；

(2)证明：〃x)存在唯一的极大值点/,且/<〃毛)<2々.

11.(2016•浙江•高考真题)设函数/(力=^+」一，xe[0,l],证明：

(0)fM>l-x+x2；

33

(团)-</«<-.

42

12.(2016•全国•高考真题)设函数。(%)=注冗-x+1.

(0)讨论了(力的单调性；

(回)证明当无e(l,+8)时，l<p<x；

Inx

(回)设c>l,证明当xe(0,l)时,l+(c-l)x>c\

13.(2015,全国•高考真题)设函数〃x)=e2*-alnx.

(回)讨论的导函数(⑴的零点的个数；

2

(0)证明：当〃>。时/(x"2Q+Qln,.

14.(2015•湖北•高考真题)设函数/。)，g(%)的定义域均为R,且“%)是奇函数，g(x)是偶函

数,/(尤)+g(尤)=e)其中e为自然对数的底数.

⑴求F(X),g(x)的解析式，并证明：当*>0时，/(x)>0,g(x)>l；

(2)设UE明：当x>0时，ag(x)+(1—a)<<bg(x)+(1—b).

15.(2015•福建•高考真题)已知函数/(x)=/〃(l+x),g(x)=kx,(keR),

(回)证明：当尤>0时，/(x)〈尤；

(回)证明：当左<1时,存在力>0,使得对任意xi(0,%),恒有/(x)>g(x)；

(回)确定k的所以可能取值，使得存在"0,对任意的"(0,)恒有|/(x)-g(x)|<

16.(2015•北京•高考真题)已知函数"x)=lnp.

(回)求曲线y=/(x)在点(o,〃o))处的切线方程；

(回)求证：当X«O,1)时，+

(回)设实数人使得+对xe(O,l)恒成立，求左的最大值.

考点06恒成立与能成立(有解)问题

1.(2024•天津•高考真题)设函数〃x)=xlnx.

⑴求〃x)图象上点(1，〃1))处的切线方程；

⑵若〃无)泊［-4)在xe(O,")时恒成立，求。的值；

⑶若药,马日0,1),证明|〃/)-"马)闫斗-司上

2.(2024,全国甲卷•高考真题)已知函数/(x)=(l-ax)ln(l+x)-x.

⑴当a=-2时，求“x)的极值;

⑵当个0时，/(x)>0,求。的取值范围.

3.（2023,全国甲卷•高考真题）已知函数〃x）=6-当,xe（0金.

COSXk/）

⑴当。=1时,讨论的单调性;

（2）若〃x）+sinx<0,求。的取值范围.

4.（2023•全国甲卷•高考真题）已知函数小）=办-上续，无/0,小

cosx\2J

⑴当a=8时，讨论Ax）的单调性；

（2）若/（尤）<sin2x恒成立，求。的取值范围.

5.（2022•全国新I卷•高考真题）已知函数/（彳）=止"-/.

⑴当4=1时，讨论了⑺的单调性；

⑵当x>0时，/W<-1,求a的取值范围;

⑶设“eN’证明:>ln(n+1)

6.（2022•全国甲卷•高考真题）已知函数〃x）=£-lnx+x-a.

⑴若〃力对,求a的取值范围；

（2）证明:若有两个零点4%,则%%<1.

7.（2021,天津•高考真题）已知a>0,函数/（x）=ax-jc/.

（I）求曲线>=/（元）在点（。"（0））处的切线方程：

（II）证明/⑺存在唯一的极值点

（III）若存在a,使得了（x）Va+8对任意xeR成立，求实数6的取值范围.

8.（2020•山东•高考真题）已知函数/（x）=ae*T-Inx+lna.

（1）当”=e时，求曲线y=在点（L〃l））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

（2）若不等式7（x）21恒成立，求a的取值范围.

9.(2020,全国•高考真题)已知函数/。)=6工+办2-x.

(1)当。=1时，讨论/(x)的单调性；

(2)当x20时，f(x)求a的取值范围.

10.(2019•全国•高考真题)已知函数/(无)=2sinx—xcosx—x,f(x)为/(x)的导数.

(1)证明：/(无)在区间(0,兀)存在唯一零点；

(2)若曲［0,用时，f(x)>ax,求a的取值范围.

11.(2017•天津•高考真题)设a,6e4,|a区1.已知函数/(x)=Y-6--3am-4)尤+。，g(x)=e*/(x).

(回)求的单调区间;

(回)已知函数y=g。)和片e,的图象在公共点(xo,y0)处有相同的切线，

(i)求证：/(X)在x=x()处的导数等于0；

(ii)若关于x的不等式g(x)ve*在区间上恒成立，求b的取值范围.

12.(2017•全国•高考真题)设函数〃无)=(1-3/.

(I)讨论函数/a)的单调性；

(II)当尤士0时，f(x)<ax+l,求实数。的取值范围.

13.(2016•江苏•高考真题)已知函数/(外=优+〃(。>08>0,。*1/工1).

(1)设a=2,b=；.

①求方程/(x)=2的根；

②若对任意xeR,不等式/(2x)矿(无)-6恒成立，求实数m的最大值；

(2)若。函数g(x)=〃x)-2有且只有1个零点，求ab的值.

14.(2016,全国•高考真题)已知函数6O)=(x+l)ln无一。(尤一1).

(I)当。=4时，求曲线y=/(x)在。，/⑴)处的切线方程；

(回)若当xe(l,+®)时，/(%)>0,求。的取值范围.

15.(2016•四川,高考真题)设函数/(x)=ax2-a-lnx,g(x)=---二,其中a©R,0=2.7工8…为

xe

自然对数的底数.

(2)讨论/(X)的单调性；

(2)证明：当x>1•时，g(x)>O；

(3)如果/(x)>g(x；l在区间(工，+«0内恒成立，求实数a的取值范围.

16.(2015・四川•高考真题)已矢口函数/(x)=-2(尤+a)ln尤+X：—2奴一2。2+a,其中a>0.

(1)设g(元)是/(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；

(2)证明：存在ae((M),使得/(X)N0在区间(1,内)内恒成立,且/(x)=0在(1,+co)内有唯一解.

17.(2015•山东,高考真题)设函数/(xhlna+D+al-x),其中“已区.

(回)讨论函数〃x)极值点的个数，并说明理由；

(回)若Vx>0,〃x)20成立，求。的取值范围.

18.(2015・湖南・高考真题)函数/(》)=曲《»小€[0,+00),记斗为“X)的从小到大的第n(nwN*)

个极值点.

(回)证明：数列｛f®)｝是等比数列;

(回)若对一切尤/恒成立，求。的取值范围.

19.(2015•湖南•高考真题)已知a>0,函数/(x)=e"sinMxeO+8)),记％为广⑴的从小到大的

第”(〃eN*)个极值点，证明：

(1)数列｛/(%)｝是等比数列

(2)若则对一切"eN*,恒成立.

20.（2015,福建,高考真题）已知函数，（x）=/〃（l+x）,g（x）=kx,（keR）,

（回）证明：当尤>0时，/（x）<x；

（回）证明：当无<1时,存在%>明使得对任意「（0,/）,恒有/'（x）>g（x）；

（回）确定k的所以可能取值，使得存在r>0,对任意的"（0,）恒有|/（x）-g（x）|<f.

21.（2015•北京•高考真题）已知函数/（x）=lnp.

（回）求曲线y=/（x）在点（0,〃。））处的切线方程；

（回）求证：当x«0,l）时，+

（回）设实数左使得+对xe（O,l）恒成立，求上的最大值.

考点07零点问题

1.（2022,全国乙卷•高考真题）已知函数/（x）=av---（a+l）lnx.

X

⑴当“=0时，求"X）的最大值；

⑵若/（X）恰有一个零点，求a的取值范围.

2.（2022•全国乙卷・高考真题）已知函数/（0=皿1+尤）+依0

⑴当a=l时，求曲线y=在点（0,〃。））处的切线方程；

⑵若在区间（T0）,（0,y）各恰有一个零点，求a的取值范围.

3.（2021,全国新n卷,高考真题）已知函数/（x）=（x-l）eX-ar2+b.

（1）讨论/（x）的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：,CO只有一个零点

1@

（1）—<a<—,h>2a；

^22

②0<a<V2a.

4.(2020•浙江•高考真题)已知函数/(x)=e'-x-a,其中e=2.71828…为自然对数的底

数.

(回)证明：函数y=F(x)在(。，+8)上有唯一零点；

(回)记X。为函数y=/(x)在(。,+8)上的零点,证明:

(回)-Ja-lV玉)V,2(a-1)；

(回)3(e&)2(e-l)(a-l)a.

5.(2020•全国•高考真题)设函数/(X)=l+法+C,曲线y=/(x)在点弓，/弓))处的切线与y轴垂

直.

(1)求b.

(2)若/(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：/(X)所有零点的绝对值都不大于1.

6.(2020•全国•高考真题)已知函数f(x)=d-fcc+/.

(1)讨论Ax)的单调性；

(2)若/*)有三个零点，求上的取值范围.

7.(2020•全国•高考真题)已知函数/(x)=e-2).

(1)当。=1时，讨论，⑺的单调性；

(2)若了⑺有两个零点，求。的取值范围.

8.(2019,全国•高考真题)已知函数/(x)=2sinx—xcosx-x,f(x)为/(x)的导数.

(1)证明：/(x)在区间(0,兀)存在唯一零点；

(2)若曲［0,用时，f(x)>ax,求a的取值范围.

9.(2019•全国•高考真题)已知函数〃x)=sinAln(l+尤)，。⑺为了⑺的导数.证明:

(1)r(x)在区间(-i,g存在唯一极大值点；

(2))⑴有且仅有2个零点.

10.(2018•浙江•高考真题)已知函数/(x)=«-lnx.

(1)若"X)在工=冷吃(%二用)处导数相等,证明：/(^)+/(x2)>8-81n2；

(2)若三3-4出2,证明：对于任意上>0,直线y=+〃与曲线y=/(x)有唯一公共点.

11.(2018•全国•高考真题)已知函数/(x)=gx3-a(Y+尤+1).

(1)若。=3,求〃x)的单调区间；

(2)证明：f(x)只有一个零点.

12.(2017全国•高考真题)已知函数f(x)=ae"+(a_2)ex_x

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个零点，求。的取值范围.

13.(2016•江苏•高考真题)已知函数/。)=优+匕，3>0,匕>0,-1,人1).

(1)设a=2,b=g.

①求方程〃x)=2的根；

②若对任意xeR,不等式“2x)2时(x)-6恒成立，求实数m的最大值；

(2)若函数g(x)=〃x)-2有且只有1个零点,求ab的值.

14.(2016•北京•高考真题)设函数〃0=丁+加+法+<?.

(回)求曲线:=/(力在点(oj(o))处的切线方程;

(回)设〃=。=4,若函数有三个不同零点，求C的取值范围；

(回)求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.

15.(2016•全国•高考真题)已知函数八尤)=(X-2)e，+a(x-1),.

（回）讨论”x）的单调性；

（回）若/（X）有两个零点，求。的取值范围.

16.（2015•江苏•高考真题）已知函数〃.丫）=1+―-夙小太）.

（1）试讨论「切的单调性；

（2）若b=c-a（实数c是a与无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范

围恰好是（f-3）U（l=）U2+x）,求c的值.

22

17.（2015•全国•高考真题）设函数『（x）=e2，_alnx.

（回）讨论的导函数（⑴的零点的个数；

（回）证明：当a>0时/（x）T2a+aln—.

a

18.（2015•全国•高考真题）已知函数/（%）=三+◎+；,g（无）=-lnx.

（1）当。为何值时，尤轴为曲线y=/（x）的切线；

（2）用min{/",〃}表示机，〃中的最小值，设函数/z（x）=min{/（x）,g（x）}（x>0）,讨论力（无）零点的个数.

19.（2015・陕西考真题）设力（工）=x+*2---+-x"—l,n&N,n>2.

（回）求撩2）；

（回）证明：力⑺在„内有且仅有一个零点（记为％）,且

20.（2015•北京•高考真题）设函数=1-刘nx,k>0.

（1）求〃元）的单调区间和极值；

（2）证明：若存在零点，则〃x）在区间（L6］上仅有一个零点.

考点08方程的根

1.（2022•浙江•高考真题）设函数y（x）=h+lnx（x>0）.

lx

⑴求/（x）的单调区间；

（2）已知。力©R,曲线y=f（x）上不同的三点（再"（再）