第四章 因式分解 单元测试 A卷·基础夯实（含答案）-2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第四章因式分解（A卷基础夯实）一北师大版八年级下册

数学单元双测卷

【满分：120】

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.将多项式6仍2_3仍进行因式分解，公因式是（）

B.labD.6ab

2.若“+/?=4,〃力=5,则a2b+ab2的值为(

3.下列因式分解结果正确的是（

A.—+4x=-xB.x2-4y2=(x+4y)(x-4y)

C.——2x—1=—x(x+2)—1D.-5x+6=(%-2)(x—3)

4.某课外密码研究小组接收到一条密文：8%（川-“2）-8乂苏-"）.已知密码手册的部分信息如

下表所示:

密文m-n%-yx+y8X

明文我爱中华大地

把密文8x（加-1）-8y（疗-用因式分解解码后，明文可能是（）

A.中华大地B.爱我中华C.爱大中华D.我爱中大

5.已知长方形的周长为16cm,它两邻边长分别为xcm,ycm,且满足（x-y）?-2x+2y+l=0,

则该长方形的面积为（）cm2

A.—B.—C.15D.16

42

6.已知a、b、c为△ABC的三边，且满足2c2,则△他。是（）

A.直角三角形B.等腰或直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

7.如图为2024年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的

数与最大的数的积记为〃，中间位置上的数记为几下列所给的数据中,〃不可能是（）

A.161B.298C.420D.465

8.已知多项式2x-3,当x=7"时，该多项式的值为〃，当了=〃时，该多项式的值为如若

mwn,则加+〃的值为（）

A.-lB.lC.-3D.3

9.将（2x）"-81因式分解后得（4/+9）（2x+3）（2龙-3）,那么〃等于（）

A.2B.4C.6D.8

10.数论是研究整数性质的一门理论.它渗透于我们的中小学数学教材之中，其中整数的奇偶性

也属于数论研究内容的一部分，偶数与奇数的运算性质为：奇数土奇数=偶数；偶数土偶数=偶

数；奇数土偶数=奇数；奇数x奇数=奇数；偶数x偶数=偶数;奇数x偶数=偶数.有这样一道关于

整式运算的试题：已知a,b,c为自然数，使得（d-2伊-cRc°-力=11713,请求出a,

c的值.小明运用整数的奇偶性进行分析，得出以下结论：

①要使等式成立，则（4-加）伊-c"）/片）=11713三个因式均为奇数；

②可以求出a,b,c的1组解；

③可以求出a,b,c的6组解；

④没有符合条件的自然数a,b,c.

以上结论正确的个数为（）

A.lB.2C.3D.4

二、填空题（每小题4分，共20分）

11.分解因式：3a2—27=.

12.分解因式：4a2〃—84。+44=.

13.化简：a+1++1)++Ip+…++1)2024=.

14.已知m+n=3，则m2—n2+6n=.

15.定义：任意两个数见瓦按规则c=a+b-就扩充得到一个新数c,称所得的新数c为“鸿蒙数”,

若。=2,。=炉一2%+2,比较瓦c的大小：bc.

三、解答题(本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程)

16.(8分)因式分解：

(1)25m2—1Qmn+rr；

(2)12a%(x-y)-4aZ?(y-x).

17.(8分)阅读理解学习：

将多项式尤?+3x-10分解因式得d+3x-10=(x-2)(x+5),说明多项式f+3x-10有一个因

式为％—2,还可知，当x—2=0时光？+3x—10=0.

请你学习上述阅读材料解答以下问题：

⑴若多项式/+日—6有一个因式为％-3,求左的值；

(2)若x+2,x-l是多项式2三+G?+5%-人的两个因式，求a,6的值.

18.(10分)阅读材料：教科书中提到4+2而+〃和4―2必+〃这样的式子叫做完全平方式.

有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个

式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题.

例如：(1)分解因式：X2-2X-3

x2—2x—3

=%2—2x+l—1—3

Ki)'?

=(x-l+2)(%-l-2)

=(x+l)(x-3)

⑵求代数式r-2x-3的最小值.

•.­(x-l)2>0,

・,.当x=1时,代数式X2-2X-3有最小值-4.

结合以上材料解决下面的问题：

(1)若二次三项式f-丘+9恰好是完全平方式，上的值是；

(2)分解因式：x2-8x+15；

⑶当x为何值时—8%+15有最小值?最小值是多少？

19.(10分)若一个整数能表示成/+b\a,b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”例如,5是“完

美数”，因为5=22+F.再如,Mf+2q+2y2=(X+y)2+y2是整数)，所以M也是“完美数”.

⑴请你再写一个小于10的“完美数”，并判断41是否为“完美数”；

(2)已知S=V+4/+2%—12y+左(x,y是整数，左是常数)，要使s为“完美数”，试求出符合条件的一

个左值，并说明理由.

(3)如果数m,n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”.

20.(12分)你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式

分解的几种方法并练习！

(1)提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式：肛2_犬3'=；

(2)十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次

项系数.其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=f+(a+b)x+"的逆运算来进行因式分解：

①分解因式f+5x+6=；

②解方程：x~-6x+12=x.

(3)拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项.

CDx'+2x~+2x+1=；

②了3—2x—1=；

除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等.

［综合应用］分解因式：a2+2ab+b2-3a-3b-4=.

21.(12分)某数学兴趣小组将如下一些关于。的多项式因式分解后，发现各因式的常数项是两

个连续的整数，且与多项式的系数之间存在着某种联系：

cT—a=a(a—1)

a2+a=a(a+l)

cT+3a+2=(a+1)(a+2)

cT+5ci+6=(a+2)(a+3)

我们定义具有这种规律的多项式为“关于a的连续式”.观察上述规律，思考以下问题：

(1)请根据上述规律，再写一个“关于。的连续式”，并写出其因式分解的形式：=.；

(2)已知k为整数，多项式/+(左+1)。—耳—9能否成为“关于a的连续式"？若能,请求出k的值,

并将该式写成因式分解的形式；若不能，请说明理由.

答案以及解析

1.答案：A

解析：多项式6而2—3而=3"(，一1),

公因式是3ao.

故选：A.

2.答案：C

解析：；a+b=4,必=5,

a^b+ab2=ab(a+b)=5x4=20,

故选：C.

3.答案：D

解析：A、—x5+4x=——4)=—x(x+2)(x—2),故本选项不符合题意;

B、x2-4y2=(x+2_y)(x-2_y),故本选项不符合题意；

C、-x2-2x-l=-(x+l)2,故本选项不符合题意；

D、x2-5x+6=(x-2)(x-3),故本选项符合题意；

故选：D.

4.答案：D

解析：8%(加2_“2)_8y®2_“2)

原式=8(%-丁)(加-叫

=8(x-y)(m+n)(m—n)

对应密文可得到的字为：爱，我，中，大；

故选：D.

5.答案：A

解析：,长方形的周长为16cm,它两邻边长分别为xcm,ycm,

2(x+y)=16,

x+y=8①，

...(x-y)2-2(x-y)+l=0,

・・・(x-y-l)2=Q,

x—y—1—0(2),

r9

x=一

联立①②解得1,

7=2

...长方形的面积=孙=2)<]=但，

224

故选A.

6.答案：B

解析：="02—。2。2,

.•.,2+幻,2_/)=。2(/_廿)

.•.0+〃)(4—)2)-02(/-〃)=0,

叶,2]=0,

2

:.a-b-=0或(a?+〃2)_02=。，

:.a2=b-^a2+b2=c2,

a=。(舍去负值)或a?+b2=c2,

.•.△ABC是等腰三角形或直角三角形.

故选：B.

7.答案：B

解析：最大和最小的两个数是m+8和m-8,

n—(m-8)(〃7+8)=m2-64,

即m2=64+n,

A选项中，当〃=161时,161+64=225=15?,则7〃=15,15—8=3,15+8=23,所以n可能是161,故

A不符合题意；

B选项中，当〃=298时,298+64=362,则没有正整数的平方等于362,不符合日历，所以n不可能

是298,故B符合题意；

C选项中，当〃=420时,420+64=484=22?,贝I］加=22,22—8=14,22+8=30,所以n可能是420,

故C不符合题意；

D选项中，当〃=465时,465+64=529=23?,贝I］口=23,23—8=15,23+8=31,所以n可能是465,

故D不符合题意；

故选：B.

8.答案：B

解析：由题意得，m2—2m—3=n©,n2—2n—3=

①-②得,m2—n~—2m+2n=n—m,

（m—77）（m+n）—2（m—n）+（m—n）=0,

（m—n）（m+n—2+1）=0，

（m—n）（m+n—1）=0,

mWn,

m+n—l—Q,

m+n=l.

故选：B.

9答案:B

解析：V（4X2+9）（2X+3）（2X-3）

=（4%2+9）（4X2-9）

=16d—81,

=（2x）4—81

又•.•将（2x）"-81因式分解后得（4犬+9）（2x+3）（2x—3）,

A（2X）"-81=（2X）4-81,

，〃=4,故B正确.

故选：B.

10.答案:B

解析：v(«z,-&c)(y-ca)(cfl-«z,)=11713,11713=13x17x53,ab-bc+bc-ca+ca-ab=0,

ab-bc,bc-ca,c“—4是2负1正，

•.•—13—17+53/0,—13+17—53/0,13—17—53/0,

.•・没有符合条件的自然数a,b,c.

故正确的是①④.

故选：B.

11.答案：3(a+3)(a-3)

解析：3a2—27=3(4—9)=3(a+3)(a-3),

故答案为：3(a+3)(a-3)

12.答案：4a29―叶

1

解析：4a2b2_80b+4a2

=44仅2—2)+1)

=440—1)2.

故答案为：4a20—1)2.

13.答案：(a+1产5

解析：原式=(a+1)2++1)2+...++1)2024

=(a+以+...++1)2024

=(a+1)2025.

故答案为：(a+1)2°25.

14.答案:9

解析：m2-rr+6n=^m+n^^m-n)+6n,m+n—3,

二・原式=3(加—九)+6〃

=3m—3n+6n

=3(m+n)=3x3=9；

故答案为：9.

15.答案：＞

解析：由题意得，当〃=2/=Y一2%+2时,

c-a+b-ab

=2+(x2-2%+2)-2(x2-2%+2)

=2+x?—2%+2—2/+4-x—4

—+2x,

b—c—(%2—2元+2)—(一九？+2%)

—f—21+2+—2%

=2%2—4X+2

=2(X2-2X+1)

=2(1)220,

：.b＞c,

故答案为：＞.

16.答案：⑴(5加-〃了

(2)4ab(3Q+l)(x-y)

解析：(l)25m2—10mn+n2,

=(5m)2—2x5mn+n2,

=(5m-n)2；

(2)12a2b(x-y)-4ab(y-x),

=12a2b(x-y)+4ab(x-y),

二(12a2b+4aZ?)(x-y),

=4〃/?(3a+l)(x-y).

17.答案：(1)左=—1

a=ll

(2)

[b=lS

解析：(1)・.・4+七一6有一个因式为九一3,

/.当元一3=0时，x2+kx-6=0,

.,.当％=3时，X2+Ax-6=0,

9+3左—6=0,

k=-1；

(2)・.・x+2,%-1是多项式2/+以2+5%—6的两个因式,

当元+2=0和犬一1=0时，2%3+依2+5%一人=0,

x——2和x=l时，2%3+4ix2+5x—b=Qf

-16+4^-10-/?=0

2+〃+5—b—0

a=11

.

b=lS

18.答案：(1)6或-6

⑵(―)

(3)尤=4时,最小值-1

解析：(I)：V一质+9=%2一履+3?恰好是完全平方式，

k=+2x1x3=+6,

即左的值是6或-6；

⑵V—8%+15

=%2—8x+16—16+15

=(1)2-1,

=(x-4+l)(x-4-l),

=(x-3)(x-5)；

(3)X2-8X+15

=X2-8X+16-16+15

=(1)2-1,

•.•(x-4)2>0,

・•.当x=4时,代数式X2-8X+15有最小值-1.

19.答案：(1)8,是

⑵左=10时,s为“完美数”，理由见解析

⑶证明见解析

解析：(1)-.-8=22+22,

・•.8是完美数，

•1.41=42+52,

.•.41是完美数；

⑵左=10时,s为“完美数”，理由如下：

S=+4y2+2x—12y+k

=d+2]+1+(4/—i2y+9)+"10

=(X+1)2+(2J-3)2+Z:-10,

•.”,y是整数，

，无+l,2y-3也是整数，

・•.当上一10=0,即左=10,5是完美数；

(3)证明:设加=>+62,〃=c?+屋,(a,b,c,d为整数),

:.mn=[a1+Z?2)(c2+屋)

=a2c2+b2d2+a2d°+b2c2d

=a-c~+b~d~+a?d~+c~+2abcd—2abed

=(ac+hd)2+(ad-hc)~,

•.Z,仇c,d是整数，

ac,M,ad,Z?c都是整数，

冽〃是完美数.

20.答案:(l)xy(y-x2)

⑵①(x+2)(x+3)；②X1=3,4=4

(3)①(尤+0(无〜+尤+1