方程（组）与不等式（组）及其应用-2025年中考数学复习易错题（解析版）

易错03方程（组）与不等式（组）及其应用

易错集合

「易错陷阱一、等式的基本性质运用错误

厂易错陷阱二、解分式方程忘检验根的存在

厂易错陷阱三、分式方程增根或无解时易考虑不全面

方程（组）与厂易错陷阱四、混淆一元二次方程的解法

不等式（组）

及其应用J易错陷阱五、若二次方程中的二次含参，易忽略o的情况

：易错陷阱六、忽略韦达定理的应用

J易错陷阱七、解不等式（组）忽略变号

I易错陷阱八、已知不等式（组）解集时，端点取舍易错

h少

易错陷阱一、等式的基本性质运用错误

1、解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为lo

2、等式的基本性质

在等式基本性质中，“=”两边同时加、减、乘一个相同的数（或式子）时，大多不会出现问题；但是“=”

两边同时除一个相同的数（或式子）时，会容易除反，导致方程的解法最后一步出错，所以一定要注意不

要除反了。

易错总结：①等式基本性质反向应用时，不确定c的范围时，结果不一定成立；

②一元一次方程解法中容易出错的一些“小陷阱”：

去分母①不含分母的项也要乘以最小公倍数；

②分子是多项式的一定要先用括号括起来

去括号括号外是负因数时，一是要注意变号，二是要注意各项都不要漏乘公因

数

移项移项要变号

合并同类项单独的一个未知数的系数为“土1”

系数化为1不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数一一分母）

例1.解下列方程：

⑴3±=1.

52

/-、%+。.20.2x+1.5

(2)------------------------

0.40.3

Q

【答案】(1"=一,

⑵x=3

【详解】（1）解：去分母，得2（6x+4）—5（x-2）=10

去括号，得12x+8-5x+10=10,

移项，得12%-5%=10-8-10,

合并同类项，得7x=-8,

Q

系数化为1,得尤=-]:

（2）解：原方程可变为弯生-笥”=L

去分母，得3（5x+l）-2（2x+15）=6,

去括号，得15尤+3-4尤-30=6,

移项，得15x—4x=6—3+30,

合并同类项，得15=33,

系数化为1,得x=3.

例2.已知方程2-％-岸=0的解与关于x方程加-》=3-2彳的解互为相反数，则，"的值是

【答案】4

V-L0

【详解】解：解方程2-尤-丁=。，得尤=1.

・・•方程2—-7=。的解与关于X的方程切-％=3—2光的解互为相反数，

・••方程加一%=3—2龙的角星为1=—1,

=3—2x(—1),

m+l=5,

m=4.

故答案为4.

易错警示：要注意运用好等式性质，对每个步骤都做详细

练习1.解下列方程:

(1)2x—3(^x—l^=7；

x—23x—5.

(2)%-------=-----------3

24

【答案】⑴x=T

⑵％=21

【详解】（1）解：2x-3（x—l）=7,

去括号，得2%-3%+3=7,

移项、合并同类项，得-尤=4,

系数化为1,得x=-4；

x—23x—5

(2)解：x-—3,

24

去分母，得4x—2（%-2）=3%—5—12,

去括号，得4x—2x+4=3%—5—12,

移项、合并同类项，得-％=-21

系数化为1,得x=21.

练习2.若〃+4与3a-8互为相反数，则〃的值为.

【答案】1

【详解】由题意可得:

(〃+4)+(3a-8)=0,

解得：a=l.

故答案为：1.

%+1+2(〃+1)

练习3.已知关于x的一元一次方程2x+10-3机=0的解与关于元的一元一次方程=1的解互为

23

9

相反数，求代数式;根-布-1的值.

【答案】15

【详解】解：V2x+10-3m=0,

2x=3m—10,

3m-10

•9X—f

2

..x+12（n+l）

・----1------=1,

23

/.3（x+l）+4（n+l）=6,

整理得：3x=-l-4n,

—l—4n

..x=----------

3

3m-10-l—4n八

由题意得---------+----------=0,

23

整理得：9m—8〃=32,

—HI-4几=16,

2

9

：.-m-4n-l=16-l=15,

2

9

即代数式不加-4〃-1的值为15.

2

练习4.若关于1的一元一次方程区=x+2的解为整数，则整数上的所有可能值为

【答案】2,0,3,-1

2

【详解】解：解方程h=%+2得%=丁二,

K-1

・・,方程区=%+2的解为整数，

/.左一1=±1或左一1=±2,

・,・左=2,0,3,—1,

故答案为2,0,3,-1.

易错陷阱二、解分式方程忘检验根的存在

分式方程的解法：①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；

②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；

③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

易错提醒：要记得将求得的解代入原分式方程，使原方程成立，才可确定为该方程的解.

x3

例3.解方程：-^-=1+—

2x-l2x-l

【答案】x=-2

Y3

【详解】解：-^-=1+-^-

2%—12%—1

方程两边同时乘以最简公分分母（2x-l）得：x=2x-1+3,

移项合并得：-x=2,

解得：x=—2,

经检验，当x=2时，2x-lw0,

.•.%=一2是分式方程的解.

例4.某早餐店一天的“瓦罐汤”的销售额是2000元,“拌粉”的销售额是1200元，且这两种餐品的销量相同.已

知“拌粉”的单价比“瓦罐汤”的单价少2元，求“拌粉”和“瓦罐汤”的单价.

【答案】“瓦罐汤”的单价为5元，贝犷拌粉”的单价为3元.

【详解】解：设“瓦罐汤”的单价为x元，则“拌粉”的单价为为-2元,

依题意得出=学,

xx-2

解得x—5,

经检验，x=5是原方程的解,

x—2=3,

答：“瓦罐汤”的单价为5元，贝『'拌粉”的单价为3元.

易错警示：分式方程不管是直接考解法，还是应用题中的解分式方程，都需要验根;

练习1.解方程：

(2)-------1=-2----------•

x~lx+x—2

【答案】⑴x=0

(2)无解

龙+

【详解】(1)解：—1——2=1,

x-1x-1

去分母,^#(X+1)2-2=(X-1)(X+1),

整理，得2%=0,

所以％=。.

经检验：x=0是原方程的解.

所以原方程的解为：x=0.

X3

⑵解：—--1=^—

x—1x+x—2

x3

原方程可化为：二ri1=(x_i)(x+2),

去分母，得x(x+2)-(x+2)(x-l)=3,

整理，得/+2x—--尤+2=3,

所以x=l.

经检验：x=l不是原方程的解.

所以原方程无解.

练习2.某项目室外绿化及道路工程进入收尾阶段，参建单位接下来需进行某段路面施工工作，路面全长为

3000米，更改施工方式后工作效率为原来的1.25倍，预计会提前15天完成，则原计划每天施工多少米？

【答案】原计划每天施工40米

【详解】解：设原计划每天施工x米.

3000,匚3000

---------15=--------,

尤1.25x

解得x=40.

经检验，x=40是原方程的解，且符合题意.

答：原计划每天施工40米.

练习3.从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600千米的普通公路，另一条是全长480千米的高速公路，

某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度每小时快45千米，由高速公路从甲地

到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半.求该客车由普通公路从甲地到乙地的平均速

度.

【答案】客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度为75千米/时.

【详解】解：设客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度为x千米/时，由题意可得，

600〜480

-----=2x--------,

xx+45

解得：x=75,

经检验一75是原方程的解且符合题意，

答：该客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度75千米/时.

17kx?—1

练习4.已知关于犬的方程」1=4的解比多-丝」=2的解多1,求（k+3产的值.

x-11-xx—1X

【答案】25

19

【详解】解：解方程一--1=--得x=4,

x—11—x

19kx—A

•••关于龙的方程」7-1=千的解比々-竺」=2的解多1,

X—11—XX—1X

kxDk_1

...关于X的方程々-2^=2的解为尤=3,

x-1X

,3k2k-lc

••=2,

3-13

解得k=2,

伏+3）2=（2+3）2=25

易错陷阱三、分式方程增根或无解时易考虑不全面

一、增根：使最简公分母值为0的未知数的值，整根是整式方程的根，不是原分式方程的根；

二、无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等；

易错提醒：对分式方程的增根和假根概念理解不透彻，如在增根或假根处无法正确判断，导致求解过程出

现问题

例5.如果关于尤的分式方程上7=2+/无解，则a的值为（）

x-44-x

A.—4B.《C.2D.—2

【答案】A

【详解】隗c=2a+---

4-x

解：去分母得：x=2（x-4）-a

角举得x=a+8.

当分母兀一4=0,即x=4时方程无解,

a+8=4.

a=-4时方程无解.

故选：A.

例6.若关于x的分式方程」■——=1有增根，则机的值为（）.

x-11-x

A.2B.1C.3D.-3

【答案】D

【详解】解：方程去分母，得：m+3=x-l,

・・,方程有增根，

/.兀―1=0,

••X-IL,

把％=1代入m+3=%-1,得：m+3=l-l,

/.m=—3；

故选D.

易错警示：无解有两种情况，需考虑全面：①原方程化去分母后的整式方程无解；②原方程化去分母后

的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根，从而使原方程无解

,_______________________________________________________________________________________________________I

练习1.若关于X的方程2三-9TYI-=2的解为正数，则加的取值范围是（）

x-33-x

A.m>-8B.机<8且机w4

C.相>—8且加*3D.m>—8且根W—2

【答案】D

【详解】解：解之一/-=2,得：x=丝芋，

x-33-x2

••・关于X的方程32-4m=2的解为正数，

x-33-x

x>0,且X-3H0,

>-8且oiw-2；

故选D.

11+k

练习2.若分式方程一^-二=1无解，则％的值为（）

无一22-尤

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】B

11k

【详解】解：三一-二】，

化为整式方程：1+1+左=x—2,

:分式方程无解，则x=2,

「.1+1+左—2—2,

解得：k=-2f

故选：B.

练习3.若关于x的分式方程-1=4的解为正数，则加的取值范围是（）

x-11-x

A.机<4且加#3B.m<4C.且帆片3D.m>5且相。6

【答案】A

【详解】解：方程两边同时乘以1-1得，1-机-（x-1）+2=0,

解得％=4—m.

;尤为正数，

:.4-m>0,解得机<4.

xw1,

.*.4—,即加工3.

m

•*-的取值范围是m<4且加。3.

故选：A.

练习4.若关于x的方程==工有增根，则a的值为（）

x-1x-1

A.2B.0C.-1D.-2

【答案】D

xn

【详解】解：一—3=三，

x-1x-1

方程两边都乘以：x-l得:x-3=a,

・・,分式方程有增根，

/.x-l=O,即x=l

将1=1代入整式方程，得：l—3=a,即a=—2.

故选：D.

易错陷阱四、混淆一元二次方程的解法

一元二次方程的解法有4种，不同解法的适用范围也各不相同，准确选择合适的解法解对应的方程，可以

更快速的求出方程的解，也可以减少一些解法中的易错点。而在这些解法中，配方法、公式法、利用十字

相乘因式分解法是必须掌握的。

易错总结：一元二次方程的解，要么无解，有解必有2个，所以最后的方程的解一定要写明看,与

例7.一个直角三角形的两条直角边的长，是一元二次方程炉-7元+5=0的两个实数根，则这个直角三

角形的斜边长为.

【答案】V39

【详解】解：,•・一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程二一7彳+5=0的两个实数根，

由公式法解一元二次方程Y-7元+5=0可得x=2叵或x=Zz恒，

22

・•・根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是J乃：空［+上汽］=739-

故答案为：回.

例8.解方程：

(l)9(y+4)2-49=0

(2)%(2%-3)=4%-6

⑶9%2+6%—1=0

(4)3d+x—5-0

519

【答案】⑴X=-§,%=-"-

3-

(2)%二八，人2-乙

2

-1+72-1-42

(3)再二------,x=

3-223

-1+V61-1-761

(4)玉=-------=

6-26

【详解】(1)解：9(y+4『=49,

(y+4)V

7

y+4=±§,

.519

•・Ld；

(2)解：x(2x-3)=4x-6,

%(2x-3)-2(2x-3)=0

(2x-3)(x-2)=0,

2x—3=0或x—2=0,

(3)解：99+6x—1=0,

9f+6x+1=2,

(3尤+1)2=2,

3x+l=±V2，

.-1+V2-1-V2

；

(4)解：3%2+X-5=0,

*.*a=3,b=l,c=—5,

・・.A=/—44c=12—4x3x(-5)=61>0,

.—b±y/b2-4ac—1±A/61

••x=-----------------=------------,

2a6

.-1+屈-1屈

16-6

练习1.解下列方程：

(l)4(x+l)2-9(x-2)2=0；(开平方法)

(2)_?-4X+2=0.

【答案】(1)%=7,%=1

(2)%=2+5/2,X。=2—V2

【详解】(1)解:4(x+=9(x—2)2.

2(x+1)=±3(%-2),

2x+2=3x—6或2x+2=—3x+6,

/.2%—3x=—2—6或2x+3x——2+6

(2)解：尤2一4X+2=0,

移项得，x2-4x=-2)

酉己方得尤2一4元+4=—2+4,

即(x-2y=2,

x-2=x-2=-*\f2.，

解得%=2+A/5,x2=2-^2.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法——直接开平方和配方法，解决此题的关键是要熟练掌握解

一元二次方程的各种方法，进而选择最优的方法解决问题.

练习2.下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务.

解：X2+4X-5=0.

移项，得炉+4彳=5..................................第一步

配方，得V+4X+16=5+16,即(X+4)2=21...........第二步

由此，可得彳+4=±后...................................第三步

；.X[=y/21-4,x2=-y/21-4..............................第四步

请完成下列任务：

(1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是,其中，“配方法”所依据的数学公式是

(填“完全平方公式”或“平方差公式”)

(2)小华同学利用配方法解题过程中，从第步开始出现错误，请写出正确的解题过程.

【答案】(1)等式的基本性质，完全平方公式

(2)二，解题过程见解析

【详解】(1)解：上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是等式的基本性质，其中“配方法”所依据的数

学公式是完全平方公式.

故答案为：等式的基本性质，完全平方公式；

(2)解：小华同学利用配方法解题的过程中，从第二步开始出现错误，正确的解法如下：

x2+4x-5=0，

移项，得f+4x=5,

配方，得炉+4彳+4=5+4,

即（x+2>=9,

可得x+2=±3,

..玉=1,无2=-5.

故答案为：二.

练习3.方程/+彳=0的根是.

【答案】%=0,%2=-1

【详解】解：%2+x=0,

x(x+l)=0,

x=0或x+l=0,

解得X]=0,x2=-1,

故答案为：占=。，X2=-1.

练习4.已知。。的半径是一元二次方程/一2%-3=0的一个根，圆心O到直线I的距离d=2,则直线/与。。

的交点个数为()

A.1个B.2个C.没有交点D.不能确定

【答案】B

【详解】解：.•,/-2犬-3=0,

(x-3)(x+l)=O,

x

解得i=3,x2=-1,

。。的半径是3,

3>2,

•••直线/与。。的位置关系是相交，

直线/与。。有2个交点，

故选：B.

易错陷阱五、若二次方程中的二次含参，易忽略为0的情况

一、一元二次方程的一般形式：以2+〃x+c=0(aw0),其中是二次项，。是二次项系数；法是一次

项，〃是一次项系数；c是常数项

二、求解方程过程中需满足等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等

易错提醒：不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件

例9.已知关于X的方程。九-1.2一（机一2卜-2租=0,求证：无论加为何值，方程总有实数根.

【答案】见解析

【详解】解：①当加一1=0时，即机=1,

代入方程得x-2=0,解x=2,

②当7〃一1片0时，△=[—（一—2）丁一4（加—1）x2一=（3一一2『,

•••（3/71-2）2>0,此时方程总有实数根.

综上所述，无论机为何值，方程总有实数根.

例10.若方程（“+3）/卜|-尤=2是关于苫的一元二次方程，则a的值为（）

A.-3B.3C.±3D.不存在

【答案】B

【详解】解：\•方程（a+3）J"Z-x=2是关于x的一元二次方程，

.".时-1=2且a+3Ko,

解得。=3,

故选：B.

；易错警示：若忽略二次项系数，则可能得到一元一次方程，再用二次方程的方法求解就会出错

练习1.关于天的一元二次方程区2一4》-2=0有实数根，则上的取值范围是（）

A.k>-2B.k>-2S.k^0C.左2—2且％*0D.k<-2

【答案】C

【详解】解：由题意，得：△=（T）2-（-2）X4左20且左甘0,

角军得：k>—2S.k^0；

故选C.

练习2.已知关于x的方程62+2%_1=0有实数根，贝。。的取值范围是（）

A.a>—1B.aN—1C.a>—1月D.aN—1月.

【答案】B

【详解】解：关于x的方程62+2犬_1=0有实数根，

.•.当a=0时，2%-1=0,是一元一次方程，

解得，x=1,符合题意；

当。力0时，OX2+2X-1=0,是一元二次方程，

AA=22-4OX(-1)>0,

解得，<7>-1,符合题意；

综上所述，当时，关于X的方程依2+2x-l=0有实数根，

故选：B.

练习3.若事件“关于无的方程依2+4犬_1=0有实数根”是必然事件，则。的取值范围是()

A.a<-4B.■且分0

C.D.且。片0

【答案】C

【详解】解：•••事件“关于》的方程加+4元-1=0有实数根”是必然事件，

关于x的方程加+4x-1=0有实数根，

①当。=0时，原方程为4x-1=0,

此时方程的解为x=符合题意，

4

②当〃w0时，

方程g?+4%-1=0有实数根，

AA=42-4x(-l)tz>0,

解得

二•a2T且，awO

综上，a>-4,

故选：C.

练习4.若关于元的一元二次方程"2+2%—2=0有两个实数根，则实数上的取值范围是()

A.k<--B.左〉一」且左w0

22

C.kN—且左w0D.k>—且左w0

24

【答案】C

【详解】解：.••关于X的一元二次方程近2+2尤一2=0有两个实数根，

二・左W0且AN0,,即4—4xkx（—2）之0,且左w0,

角牟得左2—万■且左w0,

故选：C.

易错陷阱六、忽略韦达定理的应用

b

%+%2=----

一a

韦达定理：若4工2是一元二次方程〃/+以+。=0（〃。0）的根，则有＜

c

+%2~—

a

易错总结：两根之和、两根之积公式比较相似，不要用反了

。11C

例11.若关于1的一元二次方程f+2x+p=0两根为耳、X2,且：+丁=3,则P的值为（）

22

A.—B.-C.—6D.6

33

【答案】A

【详解】解：・关于x的一元二次方程Y+2x+0=O两根为4、9，

/.xl+x2=-2,xxx2=p,

11

—H----=3,

%x2

.石+工2

石马

-2

即b=3,

2

解得：P=~~.

故选：A.

例12.已知方程f+（2左+l）x+左—1=。的两个实数根网,超满足国-％=4左-1,则实数上的值为（）

14

A.1,—B.1,—C.—3,0D.1,0

33

【答案】A

【详解】解：方程炉+（2左+l）x+Z-1=。的两个实数根为4，x2；

则xl+x2=—Qk+1）,xTx2=k-1.

Q（X]-无2）2=（无1+尤2）2-4元]尤2，％-尤2=4左一1,

（4左-1）2=[-（2k+1）]2-4（左-1）,

（4k-1）2-（2k+1）2+4（fc-1）=0,

即（4左一1+2左+1）（4左一1一2/一l）=-4/-l）,

二.6后（2左一2）+4（左一1）=0,

.•.（左_1）（12左+4）=0,

解得左=1或一g.

故选：A.

；易错警示：需观察所求的式子是否跟韦达定理有关，若有关，可大大减低计算难度

练习1.若a,6是关于x的一元一次方程V—2辰+4人=0的两个实数根，且/+〃=12,则上的值是

【答案】-1

【详解】解：：•、b是关于x的一元二次方程f-2履+4左=0的两个实数根，

：.A=（-2k）2-4xlx4k=4左2-16Z20,

a+b=2k,ab=4k,

a2+b2

=（a+b）~—2ab

=（2左y_2x4左

=4左2一次，

/.4k2-8k=12,

解得尤=T,心=3,

当左=T时，

△=4%2-i6左

=4X（-1）2-16X（-1）

=20>0,

...左=T符合题意;

当心=3时,

A=4左2-16左

=4x32—16x3

=-12<0,

•••&=3不符合题意，应舍去；

综上，上的值是—1.

故答案为：-1.

练习2.已知x”%是方程元2—3尤_]=o的两个实数根，贝[]（芯-2）（%-2）=.

【答案】-3

【详解】解：：占、%是方程/一3%-1=0的两个实数根，

hr

.••由根与系数的关系得：X+X=--=3,x=-=-l,

12aXl2a

/.（再一2）（々-2）=平2—2（石+々）+4

=—1—2x3+4

=-3；

故答案为：-3.

11

练习3.若不、%是方程f―3%-4=0的两个实数根，则代数式,十7的值为—.

【答案】-43

4

【详解】解：•••马、/是方程f—3x-4=0的两个实数根，

%+%2=3,x1x2=—4,

1]_%+玉_3_3

%x2x1x2-44•

3

故答案为：-

4

练习4.已知W是方程f-5%+2=0的两个不相等的实数根，贝!JZ7?一4根+〃+根〃=

【答案】5

【详解】解：,・・引〃是方程%2—5%+2=0的两个不相等的实数根，

22

Am-5m+2=0,BPm-4m=m-2;m+n=5,mn=2f

m2—4m+n+mn=m—2+n+mn=m+n+mn—2=5+2—2=5.

故答案为：5.

易错陷阱七、解不等式（组）忽略变号

不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变;

不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变

易错总结：注意乘（除以）一个负数，要记得变号

例13.解不等式：-2（x-l）>x+5.

【答案】x<-l

【详解】解：-2（x-l）>x+5,

去括号，得—2.x+2>x+5，

移项，得—2x—x>5—2,

合并同类项，得-3x>3,

系数化为1，得x<-l.

例14.学校图书馆每年都会购买一批新的图书，去年购买的图书中，每套科技书的单价比每套文学书的单

价多20元，用3600元购买的科技书与2400元购买的文学书的套数相等.

（1）求去年购买的每套文学书和科技书的单价各是多少元？

（2）若今年每套科技书的单价提高到80元，每套文学书的单价与去年相同，该校今年计划再购买文学书和科

技书共180套，每种书籍至少买50套，且购买科技书和文学书的总费用不超过12000元，该校今年至多可

购买多少套科技书？

【答案】（1）学校去年购买文学书的单价为每套40元，科技书的单价为每套60元

（2）120套

【详解】（1）解：设去年购买文学书的单价为每套x元，则每套科技书的单价为（x+20）元.

36002400

由题意得:解得：x=40,

x+20x

检验：当x=40时，x（x+20）^0,且符合题意,

则每套科技书的单价为：x+20=60（元），

答：学校去年购买文学书的单价为每套40元，科技书的单价为每套60元.

（2）解：设今年学校购买科技书根本.

80/?i+40（180-m）<12000

由题意得：，"止50,

180-m>50

A50<m<120,加为整数,

答：学校今年至多可购买120套科技书.

2x+4>0

练习1.不等式组的解集是.

4-2x<-l

【答案】%>|

2x+420①

【详解】解:

4-2x<-l②

解不等式①，得x»-2,

解不等式②，得x>|,

.♦•不等式组的解集为

故答案为：x>^

,\2X>~1

练习2.先化简，再求值：r——1+2、；，其中X的值从不等式组x-l的正整数解中选取.

（x+xjx+2x4-1------<

I2

【答案】-----，—2.

X-Y

XX-1

【详解】解:

X2+X"X2+2X+1

X2+X1(x+l『

Xx________

x(x+l)x(x+l)____+

(x+l)2

x(x+l)+

x2(x+1)2

______x______-__

x(x+l)+

X

x-1

x>-1

由,冗-1解得：一1<1<3,

-<1

I2

・・・正整数解为1,2,

Vx-1^0,

x=2,

2

当x=2时，原式=-----二一2.

2-1

练习3.某商场计划购进甲、乙两种空调共50台，这两种空调的进价、售价如下表所示:

类型进价（元/台）售价（元/台）

甲23002800

乙33004000

⑴若该商场此次进货共用去13万元，则这两种空调各购进多少台；

（2）若商场规定每种空调至少购进10台，并且在当月全部销售完，应怎样进货才能使商场在销售完这批空调

时获利最多，并求出最大利润.

【答案】（1）购进甲空调35台，购进乙空调15台

⑵购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元

【详解】（1）解：设购进甲空调x台，购进乙空调y台.

x+y=50

根据题意，得

2300x+3300y=130000,

X=35

解得

y=15

答：购进甲空调35台，购进乙空调15台.

（2）设购进甲空调机台，则购进乙空调（50-根）台.

fm>10

根据题意，得力

[50-7〃>10

解得10VmV40.

设获得的总利润为卬元，则W=(2800-2300)m+(4000—3300)(50-=-200m+35000,

V-200<0,

...W随m的减小而增大,

V10<m<40,

,当根=10时，W的值最大，唉大=-200x10+35000=33000,

50-10=40(台).

答：购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元.

练习4.南充有传统民俗村在发展旅游经济过程中，村民制作并销售多种特色手工艺品.其中一种制作一件

的原材料成本为15元，经前期市场调研发现，当售价为每件整数x元(20<40)时，每日的销售量y(件)

与售价x之间满足函数关系>=-5尤+200,同时，每日还需额外支出固定的场地费等共200元.

(1)求这种工艺品每日的利润W(元)与x之间的函数关系式；

(2)当这种工艺品售价为多少元时，每日的利润最大？最大利润是多少？

(3)原材料购买费用每日不超过1000元，若每日利润不低于550元，销售单价应定在什么范围内？

【答案】(1).=-5£+275彳-3200

(2)当x=27或x=28时，每日的利润最大，最大利润为580元

⑶销售单价应定在27WxW30范围内

【详解】(1)解：由题意得，每日的利润w=(x-15)(—5x+200)—200=-5f+275彳-3200.

(2)解：由题意，由(1)W=-5X2+275X-3200,

275

二对称轴是直线》=-云有=27$,抛物线上的点离对称轴越近函数值越大.

XV20<x<40,且x为整数，

.,.当x=27或x=28时，每日的利润最大，最大利润为580元.

(3)解：由题意，w=-5x2+275^-3200,

/.x=25或x=30.

•:每日利润不低于550元，

25W30.

又•.•原材料购买费用每日不超过1000元，

/.15(-5x+200)=-75x+3000<10000,

2

:.x226—.

3

又：25VXW30,

27<x<30.

答：销售单价应定在27MXV30范围内.

易错陷阱八、已知不等式（组）解集时，端点取舍易错

易错总结：已知不等式组的解集情况求参数时，需要验证临界值是否符合条件，符合则可以取到否则舍弃

广”的解集为X>2，且关于y的分式方程如〜士

例15.已知关于x的一元一次不等式组

解为正整数，则满足条件的所有整数。的乘积为

【答案】8

3(3-X)-1<KD

【详解】解:

x+2>a®

解不等式①得：x>2,

解不等式②得：x>a—2,

.不等组的解集为x>2,

a-2<2,解得a<4,

解分式方程@二1=1-―一得：丫=二，

y-33-ya-1

•.•分式方程的解为正整数，

------>0kl.———w3,

a—1CL—1

。=2或。=4或〃=7,

Va<4f

/.。=2或4,

・•・所有整数。的乘积为2x4=8.

故答案为：8.

{3x—a>2x

例16.若关于犬的不等式组。「八有3个整数解，则。的取值范围是

【答案】2<a<3

【详解】解：解不等式组得：a<x<^-,

；该不等式组有3个整数解,

•••整数解为5,4,3,

2<a<3；

故答案为：2<aV3

fx>0

练习1.不等式组的解集为无>。，请你写出一个符合条件的。的值:

[尤>4

【答案】1（答案不唯一）

fx>0

【详解】解：..・关于X的不等式组的解集是x>“，

\x>a

:.a>0

的值可以是1.

故答案为：1（答案不唯一）.

Ix-a>0

练习2.若关于x的不等式组一,、,的所有整数解的和是9,则〃的取值范围是—.

[17—3x25

【答案】或-24av-l

fx—a>0

【详解】解：解不等式组r。、<,

[117-3%25

角军得：a<x<4,

・・,所有整数解的和是9,且9=4+3+2或9=4+3+2+1+0+（-1）,

・••不等式组的整数解为①4,3,2或②4,3,2,1,0,-1,

.\l<a<2或-2<<2<—1；

故答案为：l<a<2^-2<a<-l.

-x-+-3>、x—I1

练习3.如果关于x的不等式组2-有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数。的和为

3x+6>。+4

【答案】9

【详解】解：由苫得XV5,

a—2

由3x+6>a+4,x>—,

・•・关于X的不等式组有且只有5个整数解，

,这5个整数解是I,2,3,4,5,

3

解得：2<a<5,

.•・满足条件的整数〃的值为2,3,4,

「•符合条件的所有整数。的和为9,

故答案为：9.

fx+9<5x+l

练习4.不等式组的解集是尤>2,则加的取值范围是（）

Ix>m+1l

A.m<2B.m^2C.mWlD.m>l

【答案】C

【详解】解：解不等式x+9v5%+l,

可得：x>2,

fx+9<5x+l

・・,原不等式组।的解集是x>2,

Ix>m+1

m+1<2,

解得：机,

故答案为：C.

1.若x=l是关于x的方程力-1=Z7一—Y的解，贝!的值是（）

2

A.-B.—C.4D.5

22

【答案】D

【详解】解：由题意得，3x1-1==1,

2

解得〃=5,

故选：D.

2.若关于x的方程（加-1）铲刊+3x-2=0是一元二次方程，则根的值为（）

A.1B.3C.-3D.1和3

【答案】C

【详解】解：•关于尤的方程（加-1）一利+3%-2=0是一元二次方程，

「Jm+1|=2且用一1wO,

解得：根=-3,

故选:：C.

21

3.方程」v=一三的解是（）

x+1x-\

A.x=3B.x=0C.x=lD.无解

【答案】A

【详解】解：方程两边同时乘以（x+D（xT）,得2（x—l）=x+l,

去括号，得2x-2=x+l,

移项合并同类项，得x=3,

检验：当x=3时，（x+l）（x—1）。。,

.,.%=3是原方程的解,

故选：A.

x<a.

4a

4.若关于X的不等式组"-1t元+1至少有4个整数解，且关于y的分式方程--+-=1的解是非负

------+1>-----y-22-

123

数，则符合条件的所有整数。的和是（）

A.17B.20C.22D.25

【答案】B

X<4①

【详解】解：不等式组X-11%+1e，

I23

由①得：