动态平衡模型（解析版）-2023-2024学年高一物理模型专项复习（人教版必修第一册）

专题06动态平衡模型

模型讲解

动态平衡指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系

列的平衡状态，在问题描述中常用“缓慢”关键词。解决该类问题的总体思路是“化动为静，静中求动”。

常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。

模型i.“一力恒定，另一力方向不变，，的动态平衡问题

（1）一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，

分析力的大小变化，如图甲所示。

（2）一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，

在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。

模型2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题

一力恒定（如重力），其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成

的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。

基本矢量图，如图所示

基本关系式：詈鼠意

模型3.一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题

利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变,

根据不同位置判断各力的大小变化。

案例剖析

4

【例1】（多选）如图所示，在倾角为a的斜面上，放一质量为加的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当

挡板绕。点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中（）

A.斜面对球的支持力逐渐增大

B.斜面对球的支持力逐渐减小

C.挡板对小球的弹力先减小后增大

D.挡板对小球的弹力先增大后减小

答案BC

解析对小球受力分析知，小球受到重力Wg、斜面的支持力bN1和挡板的弹力-N2,如图，当挡板绕。点

逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，尸N1和尸N2的合力与重力

机g大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力尸N1

逐渐减小，挡板对小球的弹力-N2先减小后增大，当尸N1和-N2垂直时，弹力尸N2最小，故选项B、C正确,

A、D错误。

【例2】如图所示为一简易起重装置，NC是上端带有滑轮的固定支架，为质量不计的轻杆，杆的一端

C用钱链固定在支架上，另一端3悬挂一个质量为小的重物，并用钢丝绳跨过滑轮N连接在卷扬机上。开

始时，杆3C与NC的夹角/3C4>90。，现使N3C4缓慢变小，直到48。=30。（不计一切阻力）。在此过程

中，杆3c所产生的弹力（）

A.大小不变B.逐渐增大

C.先增大后减小D.先减小后增大

答案A

解析以结点2为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、尸N的合力尸台与

G大小相等、方向相反。

根据三角形相似得又F『G,得2/G

N2C4缓慢变小的过程中，AC、5C不变，则尸N不变，故杆2C所产生的弹力大小不变，故选A。

【例3】.（多选）如图，柔软轻绳ON的一端。固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初

始时，（W竖直且被拉直，■与之间的夹角为a（a＞）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角

a不变。在由竖直被拉到水平的过程中（）

A.女W上的张力逐渐增大

B.九W上的张力先增大后减小

C.。河上的张力逐渐增大

D.0M上的张力先增大后减小

【答案】AD

【解析】法一：以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、0M绳上拉力尸2、MN上拉力F\,由题意

知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，*、B的夹角不变，在凡转至水平的过程中，矢量三

角形在同一外接圆上，由图可知，上的张力后逐渐增大，。”上的张力凡先增大后减小，所以A、D

正确，B、C错误。

死

法二：正弦定理

根据正弦定理二%=—=—,%g与sin为保持不变，sin4变大，凡变大，sin。2先增大后减小，色

sin仇sin仇sin仇

先增大后减小，故选A、Do

综合应用

一、单选题

1.如图所示，有一质量不计的杆/。，长为R,可绕/自由转动。用绳在。点悬挂一个重为G的物体，另

一根绳一端系在。点，另一端系在圆弧形墙壁上的。点。当点C由图示位置逐渐向上沿圆弧CB移动过程

中（保持。/与墙面夹角6不变），。。绳所受拉力的大小变化情况是（）

A.逐渐减小B.逐渐增大

C.先减小后增大D,先增大后减小

【答案】C

【详解】对物体受力分析，物体受力平衡，则拉力等于重力G；故竖直绳的拉力不变；再对。点分析，。

受绳的拉力、O/的支持力及。C的拉力而处于平衡；受力分析如图所示

将尸和OC绳上的拉力合成，其合力与G大小相等，方向相反，则在OC绳上移的过程中，平行四边形的

对角线保持不变，平行四边形发生图中所示变化，则由图可知。C绳的拉力先减小后增大，在图中。点时

拉力最小。

故选C。

2.北方冬天的雪景十分壮观，如图甲所示，质量为M的小孩坐在质量为加的雪橇上，大人拉着轻质细绳A

使雪橇在水平雪地上向前做匀速运动，简图如图乙所示。已知拴接在雪橇两侧的细绳所在的平面与水平面

的夹角a=53。，细绳A与两侧细绳在同一平面内，两侧细绳等长且细绳间的夹角6不变，雪橇与雪地的动

摩擦因数〃=也，下列说法正确的是（）

A.逐渐减小a,地面对雪橇的作用力方向始终不变

B.逐渐减小a,地面对雪橇的作用力先变小后变大

C.逐渐减小«,细绳A的拉力F一直变大

D.当a=60。时，两侧细绳的拉力最小

【答案】A

【详解】A.地面对雪橇的作用力为对雪橇的支持力和滑动摩擦力的合力，设地面对雪橇的作用力与竖直方

向的夹角为P，则有

tan^=—=//=

N3

可得

。=30°

则逐渐减小地面对雪橇的作用力方向始终不变，故A正确;

BCD.以雪橇和雪橇两侧的细绳为整体，受重力用g、地面对雪橇的作用力时和细绳A的拉力歹，如图所

逐渐减小夕，地面对雪橇的作用力尊和细绳A的拉力尸的合力保持不变，由图可知，地面对雪橇的作用力

逐渐变大；细绳A的拉力尸先变小后变大；当细绳A的拉力尸与地面对雪橇的作用力时垂直时，即a=30。

时，细绳A的拉力厂最小，则两侧细绳的拉力最小，故BCD错误。

故选Ao

3.如图所示的装置中，物体A、B的质量加4加）。最初，滑轮两侧的轻绳都处于竖直方向，现用水平力尸

向右拉A,使B匀速上升.设水平地面对A的摩擦力为6，绳对A的拉力为国，A所受合力为尸金，则在

A向右运动的过程（）

/〃〃〃〃〃.

A.Fg0,6变小，FT变大B.6变大，尸?不变

C.尸金=0,6变大，片不变D.F/0,弓变小，片变大

【答案】B

【详解】隔离B物体对B受力分析有

Fr=mBg

则尸7保持不变.隔离A物体对A受力分析如图甲所示，设绳与水平方向夹角为仇则随着A物体右移，0

变小，由竖直方向受力平衡

sin

"+片=mA§

可以判断支持力变大，由

F^IFN

得6变大；将A物体的速度分解如图乙所示，有

VB=V^COS9

随着6变小，cos6变大，VB不变，故必变小，A物体的速度时刻改变，必有尸,0。

4.用与竖直方向成。(。<45。)的倾斜绳。和水平绳b共同固定一个小球，这时绳6的拉力为现在保

持小球的原位置不动，使绳6在原竖直平面内逆时针转过。角后固定，绳6的拉力变为尸2,再转过。角，绳

b的拉力为贝U()

A.FI=F2<F}B.FI=F}>F2

C.F1<F2<F3D.居增大

【答案】B

【详解】对小球受力分析，受到重力和两个拉力，三力平衡，如图

根据几何关系可知，力仍垂直与倾斜绳”，由图可知

—8

且无不断减小。

故选B。

5.如图所示，光滑的半圆柱固定在水平地面上，一个质量为优的小球在水平外力作用下静止在半圆柱上,

现改变水平外力的大小使小球缓慢向上移动，在运动到最高点之前。下列说法正确的是()

B.水平外力歹减小

C.半圆柱对小球的支持力增大D.半圆柱对小球的支持力不变

【答案】B

【详解】对小球受力分析，如图所示,由平衡条件可得

F=^,N=S

tan6sin6

小球缓慢向上移动的过程中0增大，所以尸减小，所以N减小。

故选B。

6.如图所示，一质量为m的光滑小球放置在倾角为。的固定斜面上，用垂直于斜面的挡板挡住，挡板绕。

点顺时针缓慢地转向竖直位置的过程中，下列判断正确的是()

A.小球对挡板的压力先减小后增大B.小球对挡板的压力逐渐增大

C.小球对斜面的压力先减小后增大D.小球对斜面的压力一直减小

【答案】B

【详解】对光滑小球受力分析，受重力加g,斜面的支持力”「挡板的支持力练2,挡板绕。点顺时针缓慢

地转向竖直位置的过程中斜面的支持力练|方向不变，大小一直增大；挡板的支持力然2一直增大，由牛顿

第三定律可知，小球对斜面的压力一直增大，小球对挡板的压力一直增大。

故选Bo

7.炎热的夏天，学校教室需安装空调降暑，图甲是室外安装空调主机的情境。为安全起见，要求吊运过程

中空调主机与楼墙保持一定的距离。原理如图乙，一人在高处控制一端系在主机上的轻绳尸，另一人在地

面控制另一根一端系在主机上的轻绳。，二人配合可使主机缓慢竖直上升。当P绳与竖直方向的夹角。时,

。绳与竖直方向的夹角。。主机可视为质点，则下列说法正确的是（）

甲

A.0一定小于?B.运送过程中0P张力变小

C.运送过程中。。张力变小D.地上的人受到地面的摩擦力变小

【答案】A

【详解】对空调主机受力分析，建坐标系如图所示

Fpcosa=mg+FQcosf3

可得

耳,costz>7^cos夕x轴方向有

Fpsina=FQsinp

两式联立可得

Fpcos2a+Fpsin2a>琮cos2/3+F^sin2(J

化简得

FP>FQ

解得

FP>FQ

根据X轴方向有

Fpsina=FQsin/?

可知

a</3

故A正确；

BC.由题知，要求吊运过程中空调主机与楼墙保持一定的距离，即d不变，设。尸间的绳长为/。尸，。。间

的绳长为/须，空调主机离地的高度为〃，根据几何关系可得

.dh

sma=——,cospn=——

lOP

在缓慢上升过程中，OP间的绳长变短，。。间的绳不变，但离地高度〃增大，则有sine变大，cosQ变大,

故a变大，尸变小，根据平衡条件，可得y轴方向有

Fpcosa=mg+FQcos]3X轴方向有

Fpsina=FQsinp

联立解得

mg

sinar

cosa----

tanP

可知心变大，根据

Fpsma=FQsinp

可知与变大，故BC错误;

D.对地面上的人受力分析，在水平方向有

F{=FQsm(3-Fpsma

故地上的人受到地面的摩擦力变大，故D错误。

故选Ao

8.《墨经》中记载古代建造房屋过程中，通过斜面提升重物，如图所示，若斜面体上表面光滑，则在缓慢

拉升重物的过程中（）

A.重物受到的支持力不变

B.重物受到的支持力减小

C.斜面受到地面的支持力不变

D.斜面受到地面的支持力先增大后减小

【答案】B

【详解】AB.对重物受力分析，如图所示

缓慢拉升重物的过程中，重物所受重力大小方向不变，支持力的方向不变，而绳拉力的方向不断变化，根

据图解法可知，重物所受支持力N不断减小，绳拉力下不断增大，故A错误，B正确;

CD.设连接重物的绳与水平面的夹角为a,对重物和斜面整体，在竖直方向有

(M+m)g-Fsina+F^

重物缓慢沿斜面向上移动过程中，a不断增大，sina增大，所以及不断减小，故CD错误。

故选Bo

9.如图所示，小球在尸作用下处于静止状态。现保持e不变，缓慢转动尸，下列说法中正确是（）

B.歹可以竖直向下

C.尸可以竖直向上D.当下转到水平位置时最小

【答案】c

【详解】以小球为研究对象，小球受到重力G、力厂和细线对小球的拉力7,由于小球静止不动，则T与尸

的合力与G等值反向，如图

根据图解法可知，当拉力厂与细线垂直时最小，当厂竖直向上时，绳子拉力为0。

故选Co

10.如图所示，用轻绳/。、2。系住一物体使其处于平衡状态，绳/。与竖直方向成一角度，绳2。水平。

当绳子的悬点4缓慢向右移动时，50始终保持水平，在/。到达竖直方向前，关于绳子/O和30的拉力,

下列说法中正确的是（）

A.绳的拉力先增大后减小B.绳/。的拉力先减小后增大

C.绳2。的拉力先增大后减小D.绳30的拉力一直在减小

【答案】D

【详解】AB.点。为研究对象，受到三个共点力的作用静止不动。设NO与竖直方向夹角为6,绳/。的

拉力

F0Acos0=mg

绳子的悬点/缓慢向右移动时，6在逐渐减小，cos。在逐渐增大，绳的拉力％在一直在减小，故AB

错误；

CD.绳8。的拉力

FOB=mgtan6

绳子的悬点/缓慢向右移动时，e在逐渐减小，cose在逐渐减小，绳8。的拉力%一直在减小，故c错

误，D正确。

故选D。

11.一轻质杆两端分别固定有质量均为根的小球A、B,两小球由细线OE、FC悬挂于水平天花板及竖直

墙壁上，如图所示。和尸C的拉力分别用《和月表示，初始时，片与竖直方向的夹角8=30。，入水平。

现保持轻杆位置不变，将细线歹C的C端缓慢上移至/C与水平方向成a=60。角的位置的过程中，下列说

法正确的是（）

A.片一直减小且减小了加gB.8一直减小且减小了冽g

C.6先减小后增大，其最小值为;mgD.轻杆的弹力一直减小，其最小值为1加g

23

【答案】D

【详解】A.取两小球及轻杆整体为研究对象，整体受重力2mg、细线。£的拉力片及细线尸C的拉力耳作

用处于平衡状态。此三力满足图甲所示关系，当C端缓慢上移时，由图知细线0E的拉力一直减小，最初

其大小为

F,=---------=------mg

cos3003

移动后其大小为

2mg

口,F2V3

cos3003

减小了半加g,故A错误；

BC.由图甲知细线尸C的拉力先减小后增大，其最小值为

Bmin=2mgsm30°=mg

故BC错误;

D.取A球为研究对象，其所受重力、细线OE的拉力片及轻杆的弹力厂满足图乙所示关系，因为末态时

OE的拉力大小为

2A/3mg

-----m2=--------

3cos30

所以最后杆的弹力正好沿水平方向，由图乙知杆的弹力一直在减小，最小值为

F'=mgtan30°=—^~mg

故D正确。

故选D。

甲乙

12.如图，上表面光滑下表面粗糙的:圆弧轨道AB静止在水平面上，一小球从圆弧的最低点/在水平外

力歹的作用下缓慢从最低点/沿圆弧向上运动，已知圆弧轨道AB直保持静止，小球质量为相，重力加

B.圆弧对小球的支持力一直在减小

C.当推力尸时，小球和圆弧轨道圆心。的连线与竖直方向的夹角为30。

D.水平面对圆弧轨道AB的静摩擦力一直在增大

【答案】D

【详解】AB.设小球和圆心O的连线与竖直方向的夹角为6,则

F=mgtand

然二气

cos"

当e增大时，外力厂逐渐增大，圆弧对小球的支持力综逐渐增大，AB错误；

C.当推力

L1

F=~mg

解得

八

tan。=一1

2

小球和圆心。的连线与竖直方向的夹角不为30。，C错误；

D.研究圆弧和小球整体，当夕增大时，外力厂逐渐减增大，平面对圆弧轨道AB的静摩擦力一直在增大,

D正确。

故选D。

二、多选题

13.如图所示，轻绳a的一端与质量为加/的物块A连接，另一端跨过光滑定滑轮与轻绳6拴接于。点，与

水平方向成6角的力厂的作用在。点，质量为咤的物块B恰好与地面间没有作用力，已知。=60。，定滑轮

右侧的轻绳。与竖直方向的夹角也为0、重力加速度为g,当F从图中所示的状态开始顺时针缓慢转动90。

的过程中，结点。、加/的位置始终保持不变，则下列说法正确的是（）

A.m2=miB./的最小值为百

C.力/先减小后变大D.地面对物块B的支持力变大

【答案】CD

【详解】A.对结点O受力分析如图所示，则

mxg—m2gcos0

可知

1

加।=-m2

故A错误；

BC.由图可知，厂从图中所示的状态顺时针转动90。的过程中，轻绳a的拉力大小方向均不变，轻绳b的拉

力大小逐渐变小但方向不变，力/先减小后变大，当力/与轻绳6垂直时，力尸有最小值为

万•AG

故B错误，C正确；

D.F从图中所示的状态顺时针转动90。的过程中，轻绳6的拉力加2g-网变小，故地面对物块B的支持力

Ev变大，故D正确。

故选CDo

14.如图所示，木板B放置在粗糙水平地面上，。为光滑钱链。轻杆一端与钱链。固定连接，另一端固定

连接一质量为〃?的小球A。现将轻绳一端拴在小球A上，另一端通过光滑的定滑轮。，由力厂牵引，定滑轮

位于。的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力尸的大小，使小球A和轻杆从图示位置缓慢运动到。，

正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中（）

A.外力厂逐渐增大B.轻杆对小球的作用力大小不变

C.地面对木板的支持力逐渐减小D.地面对木板的摩擦力逐渐减小

【答案】BD

【详解】AB.对小球A进行受力分析，三力构成矢量三角形，如图所示

mg

根据几何关系可知两三角形相似，可得

mg_F'_F

布一曰一令

缓慢运动过程ON越来越小，则歹逐渐减小，由于。4长度不变，杆对小球的作用力广大小不变，故A错

误，B正确；

CD.令轻杆与水平方向夹角为。，对木板B分析有

N'=Mg+F'sin9,f=F'cos9

根据上述，轻杆弹力大小尸不变，e增大，则M增大，/减小，即地面对木板的支持力逐渐变大，地面

对木板的摩擦力逐渐减小，故C错误，D正确。

故选BDo

15.如图所示，轻质的。尸杆能以。为轴在竖直平面内自由转动，尸端悬挂一重物，某人用一根轻绳绕过

定滑轮系在尸端。当OP杆由水平位置开始缓慢逆时针转动时，下列说法正确的是（）

A.OP杆的弹力方向不在O尸所在的直线上B.0尸杆的弹力大小不变

C.轻绳的张力一直变小D.轻绳的张力先变小后变大

【答案】BC

【详解】对点P受力分析，设。尸杆的弹力为N,轻绳的张力为7,如图

根据平衡条件，合力为零，△NOP与图中矢量（力）三角形相似，故有

NTG

OP~AP~AO

解得

OPAP

N=---G,1=--G

AOAO

由图看出，OP、N。不变，则。尸杆的弹力N不变，4P变小，则轻绳的张力T变小。

故选BCo

16.如图所示，一圆弧形支架固定在斜面上，用一根细线系住一重为G的小球，悬挂在支架的最高点/点,

此时小球与斜面刚好接触，现把悬挂点由/点缓慢移动到2点，悬挂点在8点时细线刚好与斜面平行，则

在缓慢移动悬挂点的过程中（）

A.细线对球的拉力一直减小B.细线对球的拉力先增大后减小

C.细线对球的拉力先减小后增大D.斜面对小球的支持力一直增大

【答案】AD

【详解】以小球为研究对象，受力分析如图所示，因“缓慢”移动悬挂点，故小球处于动态平衡，在悬挂点由

A点缓慢移动到B点的过程中，细线对球的拉力/与斜面对球的支持力的合力与小球重力G等大反向共线;

由图知，细线对球的拉力尸一直减小，当细线与斜面平行时，尸与N垂直，此时尸有最小值；而斜面对小

球的支持力N一直增大；

故选ADo

G

17.一质量为M的凹槽静止在粗糙的水平面上，内壁为动摩擦因数为"的半圆柱面，截面如图所示。A

3

为半圆弧的最低点，8为半圆弧水平直径的端点，内壁上有一个质量为优的小滑块，用推力为尸推动小滑

块由/点缓慢移动到2点，推力下的方向始终沿着半圆弧的切线方向，在移动过程中凹槽始终处于静止状

态，下列说法正确的是（）

/////////////////////

A.推力下先增加后减小

B.推力b先减小后增加

C.地面对凹槽的摩擦力先增大后减小

D.地面对凹槽的摩擦力先减小后增大

【答案】AC

【详解】A.小滑块由/点向8点缓慢移动过程中处于平衡状态，对其受力分析，合力为零，现将尸与滑

块受到的滑动摩擦力的合力设为工，各力首尾相接，如图所示

mg

由图中几何关系可知

N=mgcos3

Fx=mgsin0

其中

Fx=F-]uN

联立，由数学知识可得

F=mgsin（300+8）

滑块移动过程中e逐渐增大，6=60。时达最大，所以推力尸先增大后减小，故A正确，B错误;

CD.凹槽始终静止不动，对其受力分析，受重力也g、小滑块的压力地面的支持力N"和地面的摩擦

力了,由平衡条件可知，其所受合力为零。在水平方向受力平衡，由上图可知

N=mgcos0

由牛顿第三定律可知由平衡条件可得

f=N'sin0=Nsm0

代入得

f=mgsin0cos。；mSsin20

当e=45。时，/•有最大值，则有水平地面对凹槽的摩擦力/先增大后减小，故C正确，D错误。

故选ACo

18.如图所示，在水平粗糙横杆上，有一质量为加的小圆环A,悬吊一个质量为M的小球B,今用一水平

力/缓慢地拉起B,A仍保持静止不动，设圆环A受到的支持力为打，静摩擦力为厚此过程中（）

A.绳子的拉力不变B.FN不变

C.6一直减小D.厂一直变大

【答案】BD

【详解】AD.取小球为研究对象进行受力分析，

由平衡条件可得

耳sin。=E耳cos0=mg

用一水平力缓慢地拉起B,e增大，cose减小，则细线拉力苒增大；sine增大，水平拉力尸增大。故A

错误；D正确；

BC.取AB组成的系统为研究对象，受力如图所示

&=("+〃?)g,F{=F

可知环A受到的支持力不变，静摩擦力增大。故B正确；C错误。

故选BDo

19.如图所示，在倾角为a的斜面上，放一质量为加的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O

点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中（）

A.斜面对球的支持力逐渐增大

B.斜面对球的支持力逐渐减小

C.挡板对小球的弹力先减小后增大

D.挡板对小球的弹力先增大后减小

【答案】BC

【详解】对小球受力分析知，小球受到重力加g、斜面的支持力和挡板的弹力/N2,如图所示

当挡板绕。点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，尸N/和bN2

的合力与重力加g大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小球

的支持力尸N/逐渐减小，挡板对小球的弹力77V2先减小后增大，当尸N/和Ev2垂直时，弹力