电场中的功能关系及重电复合场模型（原卷版）-2024-2025学年高二物理上学期末复习讲义

第03讲电场中的功能关系及重电复合场模型

——划重点之高二期中期末复习精细讲义

考点1电场中的功能关系

考点2重电复合场中的直线及类抛体运动模型

考点3重电复合场中的圆周运动（等效重力法）

考点1：电场中的功能关系

1.求电场力做功的四种方法

WAB=F/cosa=qEdcosa（此公式

d为电荷初、末位置在电场方向上的位移。

定义式法只适用于匀强电场）可变形为：

非匀强电场中可判断大小。

W=qEd（d=/cosa）

①三个量都取绝对值，先计算出功的数值，然后再

根据电场力的方向与电荷位移方向间的夹角确定

电场力做正功还是负功

WAB=qUAB=q（夕/一（PB）此公式

电势差法②代入符号，将公式写成%特别是在比

适用于任何电场

较4、5两点电势高低时更为方便：先计算必5=

位包，若UAB>。,则夕/一9户0,即若UAB<0,

q

贝q）A—@B<0,即（pA<（PB

动能定理法少电+少其他=△4此公式适用于任何电场

功能关系法WAB=~\EpBA=EpA-EpB此公式适用于任何电场

2.电场中的功能关系

各种力做功对应能的变化定量的关系

动能和电势能之间相

①少电=一公稣电=公民

互转化，动能（Ek）和

只有电场力做功②电场力做正功，电势能减少，动能增加

电势能（与电）的总和

③电场力做负功，电势能增加，动能减少

守恒

只有电场力和重力电势能、重力势能、动

W电+WG=—（AEp电+△/重）=\Ek

做功能之和保持不变

多种形式的能量转化，

多个力做功要根据不同的力对应火电+少其他=A母

不同形式的能量分析

只有重力、弹簧弹力不引起机

机械能守恒A£=0

的功械能变化

少其他：除重力或系统

除重力和弹力之外的其他力做正功，物体的机械能增

内弹簧弹力以外的机械能的改变量（AE）

加，做负功，机械能减少，且少其他=△£

其他外力做的功

FfAx:一对滑动摩因摩擦而产生的内能滑动摩擦力做功引起系统内能增加A£^=FfAx（Ax

擦力做功的代数和（。）为物体间的相对位移）

少冬：合外力的功合力对物体做功等于物体动能的增量%合=八反=曷2

动能的改变量（A&）

（所有外力的功）—Eki

［看重力］今

重力势能重力做正功，重力势能减少

\\¥—Ep初-Ep未

（看弹力）、\

弹性势能弹力做正功，弹性势能减少

减末

（看电场力］PS:减少量即初

电势能电场力做正功，电势能减少7

1看用向外刀J合外力做正功，动能增加］\”LP末-5初

动能-外力做功=动能、

与重力、内弹力做功无关］\

_______机械能的增量

看除此两力的所有外力1外力（除重力，内弹力）7

机械能--PS:增量，变化量即

做正功,也械能增加

未减初

3.电场中功能关系问题的分析方法

在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能

关系。

(1)受力情况分析和运动情况分析。

(2)分析各力做功的情况，做正功还是负功。

(3)分清多少种形式的能量参与，哪种能量增加，哪种减少。

(4)选择动能定理或能量守恒定律等列出方程式。

4.解题思路一单个物体或连接体

(1)处于平衡状态：

①利用整体法或隔离法进行受力分析；

②列平衡方程；

③寻找连接体间的关联量。

(2)运动状态：

①利用隔离法进行受力分析；

②列牛顿第二定律方程、运动学方程、功能关系方程；

③寻找连接体间的关联方程。

【典例1】如图所示，半圆槽光滑且绝缘，固定在水平面上，圆心是0,最低点是P,直径MN水平，

a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点由静止释放，沿半圆槽运

动经过P点时速度为零，则下列说法错误的是()

A.小球a从N到P的过程中,动能先增大后减小

B.小球a从N到P的过程中,库仑力增大

C.小球a从N到P的过程中,重力势能减少量等于电势能增加量

D.小球a从N到P的过程中,电势能一直减小

【典例2］如图所示，一块足够大的粗糙绝缘薄板竖直固定，且与等量异种点电荷连线的中垂面重

合，4、。、3为薄板上同一竖直线上的三点，。在点电荷的连线上，AO=0B,一个带电小物块(可

视为质点)从N点以初速度为竖直向下运动，最后静止在8点，不考虑物块电荷量的变化，则物块

从/运动到8的过程中（）

An

+QO'^'-Q

Bl

A.速度一直减小，经过。点时的速度为苧%

B.加速度先减小后增大，经过。点时加速度最小

C.电势能先减小后增大，经过O点时电势能最小

D.机械能一直减小，/O段损失的机械能比段损失的机械能多

【典例3］如图所示，质量均为小的滑块A、B,A不带电，B带正电电荷量为q,A套在固定竖直杆上,

B放在绝缘水平面上并靠近竖直杆，A、B间通过钱链及长度为Z的刚性绝缘轻杆连接且静止。现施

加水平向右电场强度为E的匀强电场，B开始沿水平面向右运动，已知A、B均视为质点，重力加速

度为9,不计一切摩擦。则在A下滑的过程中，下列说法不正确的是（）

A.A的机械能最小时，B的加速度大小为殁

m

B.A运动到最低点时，B的速度为零

C.A、B组成的系统机械能不守恒

D.A运动到最低点时，滑块A速度大小为12gL+*

【典例4］（多选）有三个完全相同的带正电的绝缘小球A、B、C（均可视为点电荷），质量为加，

带电量为+q,A、B之间与B、C之间各装有一根长为力的轻杆，轻杆两端与小球均通过轻质钱链

连接。A、C放在光滑的绝缘水平地面上，A、B、C恰构成正三角形且位于竖直面内并锁定，如图

（a）所示。现解除锁定，直至8刚好落地，如图（b）所示。已知重力加速度大小为g,以无限远

处为零电势点，距离电荷量为。的点电荷r处的电势为其中左为静电力常量，多个点电荷产生

的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在时该点电势的代数和。下列说法正确的是（

A.初始时刻，A、B、C系统所具有的电势能为苧

B.8落地时，A、B、C系统所具有的电势能为亨

C.该过程中，A、B、C系统的机械能守恒

D.B落地时的速度大小为+答

【典例5］（多选）如图所示，不带电物体A和带电的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，A、B

的质量分别是2根和加。劲度系数为左的轻质弹簧一端固定在水平面上，另一端与物体A相连，倾

角为0的绝缘斜面处于沿斜面向上的匀强电场中。开始时，物体B受到沿斜面向上的外力F=3mgsin0

的作用而保持静止，且轻绳恰好伸直。现撤去外力尸，直到物体B获得最大速度，且弹簧未超过弹

性限度，不计一切摩擦。则在此过程中（）

A.物体B所受电场力大小为2mgsin9

B.B的速度最大时，弹簧的伸长量为网警

k

C.撤去外力厂的瞬间，物体B的加速度为3gsin8

D.物体A、弹簧和地球组成的系统机械能增加量等于物体B和地球组成的系统机械能的减少量

取鸯嚎副褊？

考点2：重电复合场中的直线及类抛体运动模型

1.重电复合场中的直线运动模型

带电粒子只在电场力与重力的作用下所做的直线运动，称为重电复合场中的直线运动模型。

模型此模型中三个解题的有用结论：

分析（1）当电场力沿竖直方向而带电体沿其他方向运动时，一定是匀速直线运动；

（2）在减速直线运动中，带电体沿初速度方向上能达到的最大位移是当速度减小到零时；

⑶带电体沿斜面运动的临界条件为电场力与重力的合力恰好平行于斜面。

2.重电复合场中的类抛体运动模型

类抛体运动过程常采用正交分解法处理，有两种方式：一种方式是沿合力与垂直于合力方向建

立坐标系求解，当带电体做类斜上抛运动时，垂直合力方向上的初速度分量为运动过程中速度的最

小值，沿合力方向的速度减小到零时，此方向上的分位移达到最大值。另一种方式是当电场方向水

平时，可将带电体的运动沿水平与竖直方向分解建立坐标系。

3.直线及类抛体运动的条件总结

qE户mg且"六0,a=0：匀变速直线

运动，速度与合力方向相同时加

速、反向时减速

qEKmg且”KO,aKO：若初速度与合力

方向成直角时做类平抛运动，不成直角

时做类斜抛运动

mg

【典例6】某空间有平行于纸面的匀强电场，一带电荷量为-q（q>0）的质点（重力不计）在如图

所示的恒定拉力厂的作用下由M点开始沿直线匀速运动到N点。图中电场未画出，拉力下和直线

儿W间的夹角为&M、N两点间的距离为小则下列说法正确的是（）

■N

A.匀强电场的电场强度大小为3

q

B.M、N两点的电势差为型变

q

C.带电质点由M点运动到N点的过程中，电势能减少了Fdcos。

D.若要使带电质点由N点向河点做匀速直线运动，则尸必须反向

【典例7】（多选）水平放置的平行板电容器上极板带正电，下极板带负电。电容器的极板长度为3

两极板间距离为乩一绝缘挡板倾斜放置，绝缘挡板的两端恰好与电容器的上极板的右端点和下极

板的左端点接触，如图所示。一质量为机、带电荷量为q的带正电小球以速度v垂直电场线从电容

器的上极板边缘射入，恰好落在绝缘挡板的中心处。已知重力加速度为g,电场强度石=詈，下列

说法正确的是（）

A.在此过程中带电小球的加速度大小为2g

B.若L=&d,则带电小球垂直落在挡板上

C.此过程所需的时间为日

D.在此过程中电场力对带电小球做的功为加gd

【典例8】（多选）空间存在一匀强电场，将一质量为小、带电荷量为+q的小球从一水平线上的4点

分两次抛出。如图所示，第一次抛出时速度大小为为，方向与竖直方向的夹角为30。，经历时间h

回到4点；第二次以同样的速率%竖直向上抛出，经历时间功经过水平线上的。点，B为小球运动轨迹

的最高点.电场方向与小球运动轨迹在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为9。关于小球从

抛出到回到水平线的过程，下列说法正确的是（）

A.第一次抛出后，小球做匀变速曲线运动

B.t1:t2—V3：2

C.电场沿水平方向时，电势差UBC=3"W

D.电场强度的最小值为等

2<7

【典例9】（多选）如图所示，水平放置的平行板电容器上下极板M、N分别带有等量异种电荷，电

荷量大小均为Q,两极板间距为d,质量为小、电荷量为q的带负电微粒从上极板M的边缘以初速度见

射入，恰好沿直线从下极板N边缘射出，重力加速度为g。则（）

M

vo

N

A.两极板间的电压UMN=—等

B.微粒的机械能减小rngd

C.电容器的电容。=当

mga

D.保持Q不变，仅将极板N向下平移，微粒仍沿直线从极板间射出

【典例10］（多选）如图所示，在空间中水平面的下方分布着方向竖直向下的匀强电场，质量

为优的带电小球由九W上方距高度为〃的/点以一定的初速度水平抛出，从8点进入电场，到

达C点时速度方向恰好水平。已知/、B、C三点在同一直线上，AB=2BC,重力加速度大小为g,

不计空气阻力。下列说法正确的是（）

B.小球从B点运动到C点的时间为从A点运动到B点的时间的2倍

C.匀强电场的电场强度大小为驷

q

D.小球从3点到。点电势能增加了■!mg八

考点3：重电复合场中的圆周运动（等效重力法）

1.模型概述

重电复合场中的圆周运动模型包括两种情况。一种情况是带电体做完整的圆周运动：涉及运动

过程中动能、弹力的极值，做完整圆周运动、不脱离轨道的临界条件等相关内容。另一种情况是从

静止释放的带电体在电场中的摆动：涉及释放后能否沿圆弧运动、运动过程中速度、动能、弹力的

大小与极值等相关内容。

两种情况的解题关键是确定重力与电场力的合力即“等效重力”的方向，从而确定等效水平面

的位置。等效最高点与等效最低点可用来确定速度、动能、弹力的极值及判断能否做完整的圆周运

动；等效水平面位置可用来判断物体是否沿圆弧运动：释放点位于等效水平面下方时可沿圆弧运动，

也可通过释放点所在半径与“等效重力”方向间夹角来判定，锐角时沿“等效重力”方向做直线运

动，直角或钝角时沿圆弧运动。

2.解题方法

等效思维法：等效思维法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。

对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。若采用“等效法”求解，则能避开复

杂的运算，过程比较简捷。

方法应用：先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将。=小视为''等

m

效重力加速度”，尸令的方向等效为“重力”的方向。如此便建立起“等效重力场”。再将物体在重

力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。

等效最“高”点与最“低”点的寻找：确定重力和电场力的合力的大小和方向，然后过圆周圆

心作等效重力作用线的反向延长线，反向延长线交圆周上的那个点即为圆周的等效最“高”点，延

长线交圆周的那个点为等效最“低”点。

3.模型图

（重力势能最大处）

压力最小处，动能最小。

由静止释放，能沿

完整圆周运动要求NNO

圆弧运动的临界点、、、、i

电势能最大处，

,机械能最小

_____________/

由静止释放，能沿

圆弧运动的临界点

重力势能最小处

铲奥蹴藏皤

【典例11］（多选）如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，一内壁光滑、半径为R的绝缘圆

轨道固定在竖直平面内，43为圆轨道的水平直径，CD为竖直直径。一质量为心、电荷量为q的带

正电小球从轨道的最低点C获得一定的初速度见后，能够在轨道内做圆周运动，已知重力加速度为

g,匀强电场的电场强度E=缓，不计空气阻力，下列说法正确的是（）

04q

A.小球运动到。点时的动能最小

B.小球运动到5点时的机械能最大

C.小球所受重力和电场力的合力方向与竖直方向夹角的正切值为］

D.若为=守，小球恰好能够沿着轨道做圆周运动

【典例12］（多选）如图所示，绝缘光滑轨道43。竖直放在与水平方向成8=45。的匀强电场中，

其中BCD部分是半径为五的半圆环，轨道的水平部分与半圆相切，现把一质量为机、电荷量为+q

的小球（大小忽略不计），放在水平面上/点由静止开始释放，恰好能通过半圆轨道最高点。，落地

A.电场强度5=发

q

B.起点/距3点的距离L=2.5R

C.过。点的速度为"=阿

D.48两点的电势差为=竽

【典例13］（多选）如图，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为上的绝

缘细线，细线一端固定在。点，另一端系一质量为加带电量为q的小球。小球静止时细线与竖直方

向成6角，此时让小球获得初速度且恰能绕。点在竖直平面内做圆周运动,重力加速度为go则（）

E\O\L!

J-，---%

A.匀强电场的电场强度大小为吆蟠

q

B.小球获得初速度的大小为反

7COS0

C.小球从初始位置运动至轨迹的最左端增加的机械能为mgLtane（l+sin0）

D.小球从初始位置在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，其电势能先减小后增大

【典例14］如图所示，N3CO是半径为R的四分之三光滑绝缘圆形轨道，固定在竖直面内。以轨道

的圆心。为坐标原点，沿水平直径NC方向建立x轴，竖直直径AD方向建立y轴。y轴右侧（含y

轴）存在竖直向上的匀强电场。一质量为小、带电量为+q的小球，从/点由静止开始沿轨道下滑，

通过轨道最高点。后，又落回到轨道上的/点处。不考虑小球之后的运动，不计空气阻力，重力加

速度为g，求：

⑴小球落回到A点时的速率；

（2）电场强度的大小；

（3）小球从/下滑到电场内的3点时受到轨道支持力的大小。

【典例15］如图所示，在水平向左的匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直固定放置，其半径

为R,半圆轨道所在竖直平面与电场线平行，半圆轨道最低点与一水平粗糙绝缘轨道MN相切于N点。

一小滑块(可视为质点)带正电且电荷量为q,质量为小，与水平轨道间的滑动摩擦力大小为0.5mg,

现将小滑块从水平轨道的M点由静止释放，恰能运动到半圆轨道的最高点儿已知电场强度大小为驷,

q

重力加速度大小为g,求：

(1)小滑块在最高点H的速度为大小；

(2)M点距半圆轨道最低点N的水平距离L；

(3)小滑块通过半圆轨道中点P时，小滑块对轨道的压力F的大小。

一、单选题

1.如图所示，一个质量为机、电荷量为g的带正电油滴，在平行于纸面的匀强电场中由静止沿斜向

右下方做直线运动，其轨迹与竖直方向的夹角为。，重力加速度大小为g,不计空气阻力，则下列判

断正确的是（）

A.电场强度的最小值等于尊

（7

B.电场强度的最大值等于鳖吧

q

C.带电油滴的机械能不可能增加

D.静电力可能对带电油滴不做功

2.一质量为加，电荷量为q的带负电的小球，以初速度孙从匀强电场中的/点水平抛出后经过某一

定点2,如图所示，电场强度大小为E。，方向竖直向下。下列说法正确的是（）

A.可以计算经过8点的时间

B.可以计算经过3点时的竖直方向的速度

C.初速度为2%，要使小球仍能经过3点，电场强度大小为了E0

D.只要能够经过8点，过3点时的速度偏向角为一定值，与初速度大小无关

3.如图所示，空间内存在方向与竖直方向夹角为60。的匀强电场，用绝缘细绳悬挂质量为加、电荷

量为4的带电小球，平衡时绝缘细绳与竖直方向夹角为30。，重力加速度为g。下列说法正确的是

C.剪断绝缘细绳后小球做匀变速曲线运动

D.撤去电场的瞬间，小球的瞬时加速度为葭

4.真空中存在空间范围足够大的水平向右的匀强电场，在电场中，一个质量为加、带电的小球在2

点静止时细线与竖直方向的夹角为37。，小球所带的电荷量为细线的长度为/,重力加速度为g,

sin37。=0.6,cos37。=0.8。下列说法正确的是（）

A.小球带负电

B.电场强度的大小后=翳

C.若将小球从/点由静止释放，则小球从/点运动到C点的过程中电势能增加了0.75〃?g/

D.若将小球从N点由静止释放，则小球运动到。点受到细线的拉力大小为3%g

5.如图所示，空间中存在沿X轴的静电场，其电势3沿X轴的分布如图所示，久1、刀3、刀4是X

轴上的四个点，质量为加、带电量为-q的粒子（不计重力），以初速度为从。点沿x轴正方向进入

电场，在粒子沿x轴运动的过程中，下列说法正确的是（）

A.右处的电场强度大于冷处的电场强度

B.从打到久3点的过程中，粒子的电势能先增大后减小

C.若粒子能到达右处，则见的大小至少应为叵

D.若孙=榨,则粒子在运动过程中的最大动能为2q的

二、多选题

6.如图所示，在竖直向下的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另一

端固定于。点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为最低点为N,不计空气阻力，下

列说法正确的是（）

A.小球从M点运动到N点的过程中，电势能增大

B.小球从"点运动到N点的过程中，机械能减少，是因为静电力做负功

C.小球带正电

D.小球在N点受到绳的拉力最大，在〃点受到绳的拉力最小

7.如图所示，足够长的倾角为30。的绝缘粗糙斜面固定在水平面上，斜面上方有与斜面平行向上的

匀强电场，一质量为0.1kg、带正电的物块（视为质点）以一定的初速度沿斜面向上运动，加速度大

小为3m/s2、方向沿斜面向下，取重力加速度大小g=10m/s2,则在物块向上运动的过程中，下列

说法正确的是（）

E

—30。I

A.物块的机械能和电势能之和减小

B.物块受到的电场力大于0.2N

C.电场力做的功小于物块克服摩擦力与克服重力做的功之和

D.物块的机械能守恒

8.如图所示，带电量为+q的小球被绝缘棒固定在。点，右侧有固定在水平面上、倾角为30。的光滑

绝缘斜面。将质量为机=0.01kg、带电量为+q的小滑块从斜面上/点静止释放，经过2点时加速度

为零，后继续运动至。点。已知O、/两点等高，。4=。£>=苧m,。。1。8,。。1AD,重力加速

度大小取g=10m/s2,静电力常量k=9x109N-m2/C2,下列关于小滑块的说法正确的是（）

A.经过。点时机械能最小

B.从/到D过程中电势能和动能之和变小

C.电荷量q为，xl0-5c

D.在。点时的速度为碧m/s

9.如图所示，带正电的小球A固定在竖直坐标轴的原点处，在人和2〃处产生的电场强度大小分别

为a和E2。带电小球B在分处由静止释放，恰好能运动到2〃处。已知单个点电荷0周围空间某点

的电势9=与（取无穷远处电势为零），r为该点到点电荷的距离。两个小球均可视为质点，不计空

气阻力，重力加速度为g,下列说法正确的是（）

杪

2h

0。A

-h

-2h

A.小球B带正电

B.=2%

C.小球B在处速度最大

D.若小球B在-九处由静止释放，到达-2/1处的速度大小为2病

10.如图所示，空间某水平面内固定一均匀带电圆环，电荷量为。，其圆心为O。P,。是圆环轴线

上关于圆心。对称的两点，OP间距为乙有一电荷量为q的小球恰能静止在尸点，尸点与圆环上任

意一点的连线与P。间的夹角均为8。已知静电力常量为比重力加速度为g,现给小球一沿P。方向的

初速度％,下列说法正确的是（）

C

A.小球从P点运动到O点的过程中，做加速运动

B.小球的质量为丝用

C.小球运动到。点时的加