高考数学复习概率统计之保险问题（解析版）

专题18保险问题

例1.购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费。元，若投保人在购买保险的一年度内出险，

则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独

立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金1。。。。元的概率为1-0.999d。

(I)求一投保人在一年度内出险的概率。；

(II)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为5。。。。元，为保证盈利的期望不小于。，求每位

投保人应交纳的最低保费(单位：元I

【解析】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是0,记投保的1。。0。人中出险的人数为4,

则3(104,0)

(I)记4表示事件：保险公司为该险种至少支付ioooo元赔偿金，则A发生当且仅当4=0,2分

尸⑷=1-P(Z)=1-=0)=1_(1—p严，

又P(A)=1—0.999i°4,故2=0-001

(II)该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和。

支出10000J+50000,

盈利7/=10000A-(10000^+50000),

盈利的期望为Er/=10000a-lOOOOE^-50000,

由《〜5(1。4,10-3)知，£^=10000x103,

ET7=104«-104E^-5X104

-104G-104X104X10-3-5X104O

£7^0<^i04a-104xl0-5xl04>0

<=>6Z-10-5>0

(元)。

故每位投保人应交纳的最低保费为15元

例2.某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获

赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为A、8、。三类工种，根据历史数据统计出三类工种的

每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.

职1：类别分布饼图

（I）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%,试分别确定各类工种每张保单保

费的上限；

（II）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份

此种保险，并以（I）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.

【解析】（I）设工种A的每份保单保费为。元，设保险公司每单的收益为随机变量X，则X的分布列为

Xaa-50x[0'

p£

4

保险公司期望收益为EX=aa-50xl0)x=a—5

根据规则a-5WO.2a

解得aW6.25元,

设工种B的每份保单保费为b元，赔付金期望值为‘0要义2=10元，则保险公司期望利润为6-10元,

10

根据规则b—10«0.2b,解得5<12.5元，

设工种。的每份保单保费为。元，赔付金期望值为=50元,则保险公司期望利润为C-50元，根

据规贝11c—50W0.2c，解彳导cW62.5元.

(II)购买A类产品的份数为20000x60%=12000份，

购买B类产品的份数为20000x30%=6000份，

购买C类产品的份数为20000x10%=2000份，

企业支付的总保费为12000x6.25+6000x12.5+2000x62.5=275000元，

保险公司在这宗交易中的期望利润为275000x20%=55000元.

例3.某保险公司针对一个拥有2OOOO人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生

意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为八8、(三类工种，从事三类工种的

人数分布比例如图，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付频率).

VII类别分—

z\ion-.

1种类别.18

121

解付顿幸

10,|04

对于］、《、(三类工种职工每人每年保费分别为"元，"元，/元，出险后的赔偿金额分别为1。。万元，

100万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.

(I)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%,试确定保费”、，所要满足的条件；

(II)现有如下两个方案供企业选择；

方案1:企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险提供的等额的赔偿金额赔付给出险职工；

方案2:企业于保险公司合作，企业负责职工保费的60%,职工个人负责保费的40%,出险后赔偿金由保险

公司赔付.

若企业选择翻翻2的支出（不包括职工支出）低于选择方案1的支出期望，求保费”、/，所要满足的条件,

并判断企业是否可与保险公司合作.（若企业选择方案2的支出低于选择方案1的支出期望，且与（I）中

保险公司所提条件不矛盾，则企业可与保险公司合作.）

【解析】（I）设工种4，B,。职工的每份保单保险公司的效益为随机变量*,y,z,则x,y,z

的分布列为

Xaa-100xl04

1--11

pT

10s方

Yaa-100xl04

1__?_2

P

105Io7

Xb6-50x10，

1

P

104

保险公司期望收益EV(u-IOOxlO4)x-rl=fl-10，

IIO5J

£r=ax||-^j+(a-IOOxlO4)x

?a-20，

+(h-50x|04)x=6-50

根据要求

(a-IO)x20000x0.6+(a-20)x20000x0.3+(/>-50)x20000x0.|-|0xl04>

(ax20000x0.6-t-ax20000x03+/»x20000x0.1)x0.2

解得9a+6275，

所以每张保单的保费需要满足94+/>2275元.

(II)若该企业不与保险公司合作，则安全支出，即赔偿金的期望值为

I,2.I

2(MX)Ox(O.6x—x100x104+0.3x-^-x|()0x|()<+0.1x-4-xSOx10*)=17x20000

105IO5IO4

若该企业与保险公司合作，则安全支出，即保费为

20000x(0.6x“+0.3xQ+01x6卜0.6=(0.9xo+0.lx6)x0.6x20000

解得94+Z><283.33,

结果与(I)不冲突，所以企业有可能与保险公司合作•

例4,某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，

发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为4、8、C三类工种，从事这三类

工种的人数分别为12000、6000、2000,由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概

率)：

工种类别ABc

11

赔付频率2

To7w

已知A、B、C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、4。元，出险后的赔偿金额分别为1。。万

元、1。。万元、50万元，保险公司在开展此业务的过程中固定支出每年1。万元.

(1)求保险公司在该业务所获利润的期望值；

(2)现有如下两个方案供企业选择：

方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付

给出意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；

方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%,职工个人负责30%,出险后赔偿金由保险公司

赔付，企业无额外专项开支根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.

【解析】（I）设工种4B、c职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、工Z,则X、Z的分布

列为

X2525-lOOxlO4

1

p15y

105方

r2525-100xl04

2

pi-A

105To7

z4040-50xl04

1

p1

10410^

保险公司的期望收益为

D1+(25-10°X104)X1

E(X)=25=15:

F

11-R(25-100xl04)x2

E")=25

To7=5;

E(Z)=40xI。卜（”一如⑺义。〜］。；

保险公司的利润的期望值为12000xE（X）+6000xE（F）+2000xE（Z）—100000=90000,

保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元.

（II）方案1:企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：

121

12000X100X104X—+6000X100X104X—+2000X50X104X—+12X104=46X104,

方案2:企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：

(12000x25+6000x25+2000x40)x0.7=37.1xl04,

46X104>37.1X104,故建议企业选择方案2.

例5.按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若

普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为«元，在下一年续保时，实行的是保费

浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，

费率也就越高，具体浮动情］兄如表：

交逑险俘动因st却浮动货格比率我

投保员51俘劫因案浮动比格

人1上一个年度未发生有寅任道路交过取故下泮10%

A上河个年度来夏士才亦任道珞交加小故下杼20%

人，上三个及以上年度未发生有烫任道降交通取故下浮30%

上一个年度发生一次有？?任不涉及死亡的道路交通事政0支

人,上一个隼度发生同次及四次以上也先任不移21死亡的道路文理事故上部10%

八，上一个年度发生有羽任道整交通死亡事故上浮50%

某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了8。辆车龄已满三年的该品牌同型号

私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

类型①小A,A.A,

20101020155

以这8。辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：

(1)某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X为该车在第四年续保时的费用，求X的分布列；

(2)某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.

①若该销售商购进三辆车(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；

②假设购进一辆事故车亏损4。。。元，一辆非事故车盈利8000元.若该销售商一次购进1。。辆(车龄已满三年)

该品牌二手车，求其获得利润的期望值.

【解析】（1）由题意可知X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7aM,1.1a,1.3a.

由统计数据可知：

P（X=0.9a）=-,P（X=0.8a）=-,P（X=0.7a）=-,P（X=a）=-,

4884

31

P（X=l.ltz）=—,P（X=1.3a）=—.

所以X的分布列为:

X0.9。0.8a0.7aalAa1.3a

j_11j_31

P

48841616

（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄魂三年的二手车为事故车的概率为丁三辆车中至少有2辆

事故车的概率为

②设y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，y的可能取值为-4000,800。.所以的分布列为：

r-40008000

j_2

p

44

13

E（Y）=-4000X-+8000x-=5000,

所以该销售商一次购进loo辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为100xE（y）=50万元.

例6.某保险公司拟推出某种意外伤害险，每位参保人交付50元参保费，出险时可获得2万元的赔付，已

知一年中的出险率为0.15%，现有6000人参保.

（1）求保险公司获利在［6,12）（单位：万元）范围内的概率（结果保留小数点后三位）；

（2）求保险公司亏本的概率.（结果保留小数点后三位）

附：P(A)=XCoo。x0.0015,x0.9985600°〕

1=0

k9101112131415

P（左）0.5870.7060.8030.8760.9260.9590.978

【解析】每个人在一年内是否遭遇意外伤害可以看成是一次随机试验，把遭遇意外伤害看作成功，则成功

概率为0.006

6000人参保可以看成是6000次独立重复试验，用X表示一年内这6000人中遭遇意外伤害的人数，则

X5（6000,0.0015）.

（1）由题意知，保险公司每年的包费收入为30万，若获利6万元，则有12人出险；

若获利12万元，则有9人出险.

当遭遇意外伤害的人数X<9,12］时，保险公司获利在［6,12）（单位：万元）范围内.

其概率为尸（9<XW12）=P（XW12）—P（X<9）=0.876-0.587=0.289.

二保险公司获利在［6,12）（单位：万元）范围内的概率为0.289;

（2）当遭遇意外伤害的人数X>15时，保险公司亏本.

P（X>15）=1-P（X<15）=1-0.978=0.022.

•••保险公司亏本的概率为0.022.

例7.某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发

生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次X设这三辆车在一年内发生

此种事故的概率分别为,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中：

(1)获赔的概率;

(2)获赔金额J的分别列与期望。

【解析】设《表示第左辆车在一年内发生此种事故，左=1,2,3.由题意知4,,人独立，

且P（A）=；，「（&）=、，P（A）=：­

（i）该单位一年内获赔的概率为

---------—————89103

i-p（AAA,）=i-m）^（A）m）=i-9x73xH=TT-

（II）J的所有可能值为0,9000,18000,27000.

---------———89108

P您=0）=P（AlA2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）=-X-X-=-,

PC=9000）=P（444）+P（%44）+P（44A）

=P（4）P（4）P（4）+P（4）P（A）P（4）+P（A）P（4）P（A5）

1910811089124211

=­X—X—+—X—X—+—X--X-=="-,

91011910119101199045

PC=18000）=P（AA4）+P（AA4）+P（44A）

=P（4）P（A）P（4）+P（4）P（A）P（A?）+P（A）P（A）P（A;）

1110191811

=—x-----X--------1-----X------X--------1-----X------X-----

910119101191011

_27_3

-990-n0'

PC=27000）=P（A4A）=P（A1）P（A2）P（A3）

综上知，q的分布列为

090001800027000

81131

P

n45no990

求4的期望有两种解法：

解法一：由4的分布列得

Q1131

Ef=0x—+9000x—+18000x——+27000x——

1145110990

29900

=—^^2718.18（元）.

11

解法二：设或表示第左辆车一年内的获赔金额，左=1,2,3,

则自有分布列

509000

8j_

P

99

故=9000x1=1000.

同理得石蜃=9000义'=900,=9000x^-«818.18.

综上有EJ=E5+E&+EJ3-1000+900+818.18=2718.18（元）.

例8.按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若

普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为«元，在下一年续保时，实行的是保费

浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，

费率也就越高，具体浮动情况如下表：

交强险浮动因素和浮动费率比率表

投保类

浮动因素浮动比率

型

A上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%

4上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%

上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%

上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交

40%

通事故

上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死

A上浮10%

亡的道路交通事故

4上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%

某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号

私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

类型A4A4AA,

数量20101020155

以这8。辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：

(1)某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X为该车在第四年续保时的费用，求X的分布列；

(2)某销售商专门销售这一品牌的二手车，目将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.

①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；

②假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故盈利8000元，若该销售商一次购进100辆(车龄已满三

年)该品牌二手车，求其获得利润的期望值.

【解析】（1）由题意可知X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a,a,Lia,1.3。，由统计数据可知：

P（X=0.9a）=；,P（X=0.8a）=",P（X=0.7a）=g,P（X=a）=",P（X=Lla）=W，P（X=1.3a）=W,

所以X的分布列为

X0.9a0.8a0.7aalAa1.3a

111131

r

48841616

（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为:，三辆车中至少有2辆

事故车的概率为P=l—=1；

②设y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，y的可能取值为-4。。。,8。。。.

所以的分布列为：

Y-40008000

j_2

P

44

13

£（F）=-4000x-+8000x-=5000,

所以该销售商一次购进wo辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为100xE（y）=50万元.

例9.经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据（x,y）（其

中X（万元）表示购车价格，y（元）表示商业车险保费）：（8,2150）、（11,2400）、（18,3140）、（25,3750）、

（25,4000）、（31,4560）、（37,5500）、（45,6500），设由这8组数据得到的回归直线方程为：亍=%