分式（讲义）学生版-2025年中考数学一轮复习（全国版）

第03讲分式［2大考点12大题型】

知识网络1

题型1分式有、无意义的条件

题型2分式的值为0的条件

题型3分式的值

题型4分式的基本性质

题型5约分、通分

题型6最简分式

题型7分式的乘除

题型8分式的加减

昌R题型9分式的混合运算）

题型io分式的化简求值

题型11分式的最值问题

题型12分式运算的实际应用

【新考向：新趋势j

特色专项练+4新考向：新情境

〈新考向：跨享。

中考真题练

考点口分式的概念和性质

知识导航1

1、分式的定义

A

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子一叫做分式。

B

注：A、B都是整式，B中含有字母，且BWO。

2、分式的基本性质

分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

AACAA^C“小

BBCBB三C

3、分式的约分和通分

定义1:根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做

分式的通分。

定义4：各分母的所有因式的最高次幕的积叫做最简公分母。

典例分析

【题型1分式有、无意义的条件】

1__________

【例1】（2024・四川绵阳•中考真题）使代数式胃+喜二获有意义的整数万有（）

Vx+3

A.5个B.4个C.3个D.2个

【变式1-1］（2024•福建泉州•模拟预测）若工=-1使某个分式无意义，则这个分式可以是（）

x—12x+l2x—1x+1

A•西TB.二C.一"D,—

【变式1-2］（2024•黑龙江绥化•中考真题）若式子逅有意义，则x的取值范围是.

X

【变式1-3】（2024内蒙古呼和浩特•一模）在算式三士!中，不能为零的字母是.

【题型2分式的值为0的条件】

【例2】（2024•江苏•中考真题）若代数式的值是0,则实数x的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

【变式2-1］（2024・四川成都・二模）若分式（战喜）的值为0，贝反的值为；若无2-2%-2=0,则％=

2+x

【变式2-2］（2024•上海,一模）当久=时，分式口―的值为零.

1+X

【变式2-3】（2024•北京•一模）若分式等胃的值为0,则x的值为.

【题型3分式的值】

【例3】（2024・四川雅安・中考真题）己知"Rl（a+bK0>则鬻=<）

A.1B.1C.2D.3

【变式3-1］（2024•吉林，中考真题）当分式啬的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为.

【变式3-2】（2024•江苏扬州•三模）能使分式穿楂为整数的整数x有个.

【变式3-3】（2024•福建・中考真题）己知非零实数x,y满足y=2，则上铲1的值等于.

【题型4分式的基本性质】

【例4】（2024•河北保定•一模）不改变分式的值，将分式箭潦中的分子、分母的系数化为整数，其结

果为（）

5x+125y20%+500y2x+50y2x+5y

A，250x+yioo%+4y仁i000x+4y口・x+4y

【变式4-1］（2024•山东济南・中考真题）若x,y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是

（）

A—B到C空D上^

"工—yJ3/（久-4

【变式4-2］（2024•河北邢台・模拟预测）把分式：分母乘4,要使分式的值不变，分子应该加上（）

A.4B.7C.21D.28

【变式4-3］（2024・河北・中考真题）若aWb,则下列分式化简正确的是（）

1

a+2aa—2aa'a5aa

A

-诟=%B.—=TC.-=^D,旷了

【题型5约分、通分】

【例5】（2024•河北沧州•一模）若将分式会与痣不通分，则分式黑;的分子应变为（）

771十71ILJTll~rTl

A.6m2—6mnB.6m—6n

C.2（m—n）D.2（m—n）（m+n）

【变式5-1】（2024•广东广州・二模）分式翳，当，焉的最简公分母是（）

jxy2xbxy

A.3%B.xC.6x2D.6x2y2

【变式5-2】（2024•广西崇左•中考真题）化简：与富=孤・.

2232

【变式5-3］（2024•广东广州•中考真题）己知a>3,代数式：A=2a-8,B=3a+6a,C=a-4a

+4a.

⑴因式分解/;

⑵在N,B,C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式.

【题型6最简分式】

【例6】（2024•山东潍坊•模拟预测）已知三张卡片上面分别写有6,x-1,y-I,从中任选两张卡片，组

成一个最简分式为.（写出一个分式即可）

【变式6-1】（2024•福建福州•二模）若山为实数，分式等2不是最简分式，则爪=

x+m

【变式6-2］（2024•河北保定•一模）要将分式照-化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，

20mn

这个公因式是.

【变式6-3］（2024•河北石家庄•一模）有分别写有x,尤+1,尤-1的三张卡片，若从中任选一个作为分式白

的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有的卡片.

1、分式的乘除

①乘法法则:q二="。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

bab-a

②除法法则:f。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

DaDCb'C

M=—o分式乘方要把分子、分母分别乘方。

③分式的乘方:

⑸bn

④整数负指数暴：

a

2、分式的加减

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减;

异分母分式相加减,先通分，变为同分母的分式，再加减。

①同分母分式的加减：-+-=^;

CCC

a、cad,bead±bc

②异分母分式的加法:—zt——zt------

bdbdbdbd

典例分析1

【题型7分式的乘除】

【例7】（2024・江西•模拟预测）计算（-以4的结果为（）

21

【变式7-1】（2024・湖北随州•中考真题）杀与十工石的计算结果为（）

X2x2x2

A------B.c.D，x(x+2)

八・x+2x+2x-2

【变式7・2】（2024•河北・中考真题）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只

能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示:

老师甲乙丙丁

2222

-x------2---x—.---x---।；।!---x------2--x-•--l----x-x~2xx~lx(x-2)tx-lx-2

22

X~1l-x'7X-lXr，X-l7X-l7X

接力中，自己负责的一步出现错误的是（）

A.只有乙B.甲和丁C.乙和丙D.乙和丁

【变式7-3］（2024•宁夏银川•二模）老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中

一部分，如图所小：

xx-+x=x+\

-------X2—2x+lx+1x—1

（1）求被手遮住部分的代数式.

（2）等式左边代数式的值能等于0吗？请说明理由.

【题型8分式的加减】

【例8】（2024•新疆乌鲁木齐•中考真题）若实数a,6满足ab=l,设"=捻+后，可=言+言，则

"T"!■UiJ.Cl十J.Ui

M,N的大小关系为MN.（用">"、"="或"（"连接）

【变式8-1］（2024•黑龙江大庆•中考真题）已知（二：；_2厂言*，则实数A=—.

【变式8-2］（2024•河北・中考真题）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.示

④③

例：即4+3=7,贝!J（1）用含x的式子表示加=；（2）当y=2时，〃的值为.

【变式8-3］（2024•四川达州•中考真题）人们把年《0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法

中的“0.618法”就应用了黄金比•设口=与1,武警，记Si=±+出，52=5+作，…，力。0=咨

100L,

7^，贝US1+S2+…+Sioo=-

【题型9分式的混合运算】

【例9】（2024•四川泸州・中考真题）化简：（鬻+X1"鬻・

【变式9-1]（2024・山东威海•中考真题）试卷上一个正确的式子（击+工）+★=总被小颖同学不小心

滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为（）

aa4a

A.CD.

a-b-小a2-b2

【变式9-2]（2024•内蒙古通辽•中考真题）以下是某同学化简分式乎+（a-箱子）的部分运算过程:

解：原式=二十。一厘+到世.第一步

aaa

a

第二步

2ab-b2

a—ba—b

第三步

a22ab-b2

⑴上面的运算过程中第步开始出现了错误;

（2）请你写出完整的解答过程.

【变式9-3】（2。24・河北•中考真题）如图,若久为正整数，则表示量普一去的值的点落在（）

®®®®

■、、jj、、jj、、1/、、J»

^02041L6Tr

A.段①B.段②C.段③D.段④

【题型10分式的化简求值】

【例10]（2024・西藏•中考真题）先化简,再求值：（1+总）•誓，请为加选择一个合适的数代入求值.

【变式10-1】（2024•山东荷泽・中考真题）若a2_2a_15=0,则代数式（口―毛）.告的值是

化简分式：忐^+罟,并求值（请从小宇和小丽的对话

【变式10-2】（2024•山东淄博・中考真题）

中确定a,b的值）

小宇

【变式10-3】（2024•浙江丽水•中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形

PQMN,已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5/E=a,DE=b,且a>6.

ED

B

（1）若a,6是整数，贝UPQ的长是;

（2）若代数式。2-2必-庐的值为零，则警竺竺的值是

»矩形PQMN

【题型11分式的最值问题】

【例11】（2024•河北沧州・模拟预测）观察分式变形过程：n=三彳=•+*=1+六，其中

"O""口”"◊”分别盖住了一个整数.

（1）口""◊"表示的整数;（填"相同"或"不相同"）

（2）当a20时，鬻的最小值为.

11

【变式11-1】（2024•山东荷泽•一模）已知M==,N^—,记P=M•N.

⑴若选择一个你喜欢的整数作为x的值，求P的值.

（2）求P的最大值.

【变式11-2】（2024•福建泉州•模拟预测）由浅入深是学习数学的重要方法.已知权方和不等式为尤+叫2

xy

瞎，当且仅当?时，等号成立.那么：若正整数居y,z满足x+3y+2z=l,求彘+磊的最小值.

Xiy人VyA.I4y

【变式11-3】（2024•重庆沙坪坝•三模）如果有一个三位数小，百位为9,十位和个位之和也是9,我们把

这个三位数称为“尔畔数"，把小的百位和个位互换位置得到数次.并规定尸（㈤=手，例如918,79=1+8

且百位是9,••.918是“尔畔数”，尸（918）=少产=193.

（1）判断946是不是“尔畔数”，求出F（936）；

（2）己知s和t都是“尔畔数”，且2F⑸+F（t）=570,并规定K=需，求K的最大值为多少？

【题型12分式运算的实际应用】

【例12】（2024•福建宁德•一模）福安葡萄享有“北有吐鲁番，南有闽福安"的美誉，某农场分别种植甲、乙

两种葡萄，去年甲种葡萄总产量3万千克，乙种葡萄总产量2万千克，原计划甲、乙两种葡萄都按万元/千克

出售，实际因成熟时间不同，甲种葡萄8折出售，乙种葡萄加价3元出售，实际总收入与计划总收入相同.

⑴求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价分别是多少元？

（2）今年农场改进技术，两种葡萄品质提升、产量增加，农场准备在去年实际售价的基础上，单价都增加a元

（a>0）后全部出售给某经销商，该经销商提供了以下两种收购方案：

方案一：甲、乙两种葡萄都按产量小万千克收购；

方案二：甲、乙两种葡萄都按总价n万元收购.

通过计算甲、乙两种葡萄的总平均单价，说明农场选用哪种方案合算.

【变式12-1】（2024・四川・中考真题）一辆货车送上山，并按原路下山.上山速度为a千米/时，下山速度为

b千米/时.则货车上、下山的平均速度为（）千米/时.

I,,、ab-a+b2ab

A•式a+6）B.何C.—D,—

【变式12-2113.（2024•山东青岛•一模）临近五一劳动节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过节，租金为

5000元，出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到“名，如果包车租金不变，那

么甲厂为员工支付的人均车费可比原来元（用最简分式表示）.

【变式12-3】（2024•宁夏银川•一模）现在汽车已成为人们出行的交通工具.小李和小王元旦那天相约一起

到某加油站加油，当天95号汽油的单价为〃?元/升，他俩加油的情况如图所示.半个月后的某天，他俩再

次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为〃元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学

的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？

特色专项练

【新考向：新考法】

(~r>a>b

1.(2024•浙江杭州•模拟预测)定义运算"※":(!※。二卜”,八，若的值为整数,则整数x的值为

岛”一

【新考向：新趋势】

1.(2024•江苏连云港•中考真题)若一个分式含有字母小，且当爪=5时，它的值为12,则这个分式可以

是(写出一个即可)

【新考向：新情境】

1.(2024•江苏连云港•中考真题)下面是某同学计算」1--的2解题过程：

m—1m—1

铲12_rn+12

用牢：m-1m2-l-(m+l)(m-l)(m+l)(m-l)^->

=(m+1)-2②

=m-1(3)

上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程.

【新考向：跨学科】

ill

1.(2024•江苏扬州•一模)在物理并联电路里，支路电阻和与总电阻R之间的关系式为2=瓦+瓦，若

RHR1，用R、&表示/?2正确的是

RR]RR]—RR—R1

A-R2=EB.氏2==C.&=祈D-*2=衍

2.(2024•广西玉林•一模)综合与实践

【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题.

（1）通过观察以下一位数的积：1x9,2x8,8x2,9x1.其中每个式子中的两数之和为10,推测

在这些式子中，乘积最大的算式是.（只需填符合的算式，不需要算出结果）

（2）通过观察以下两位数的积：11x19,12x18,18x12,19x11.其中每个式子中的两数之和为

30,推测在这些式子中，乘积最大的算式是.（只需填符合的算式，不需要算出结果）

【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为x,写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）.尝试用

二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想；

【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电

路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系.在如图1所示

的电路中，％=2Q,&=3Q，滑动变阻器的最大电阻的=5Q，其等效电路图如图2所示，其中Rap+4p

=R3,在滑片从0端滑到b端的过程中，设/?卬=y0,请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路

的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值.

图1图2

3.（2024•江苏泰州•一模）（1）我们知道，盐水加盐后浓度会增加.请你用数学的方法证明这个结论；

（2）化学实验室一容器内的40克食盐水中含盐4克.在实验室无食盐的情况下，如何处理，可使该容器

内的食盐水浓度提高到原来的2倍？

中考真题练1

1.（2024・湖北武汉•中考真题）已知/_久一1=0,计算（京_：）一支言的值是（）

A.1B.-1C.2D.-2

2.（2024•黑龙江大庆•中考真题）已知6>a>0,则分式*与震的大小关系是（）

aa+1aa+1aa+1»

A,b<b+lb~b+lC-b>b+1D.不H匕确定

3.（2024・山东济宁•中考真题）计算Q/+（a+1—空的结果是（）

A.*B.合C.（isD,三

a—2a+2aa

4.（2024•四川遂宁•中考真题）函数y=算中，自变量x的取值范围是（）

/x-1

A.x>-2B.x>-2C.x>-2x^lD.-2且xHl

5.（2024・湖北孝感・中考真题）已知二元一次方程组则^^^^的值是（）

A.-5B.5C.-6D.6

a—3a2-4,2

6.（2024・四川自贡・中考真题）化简:'-----------------

a2+4a+4a—3a+2

7.（2024•湖北黄冈•中考真题）人们把等这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法

=

就应用了黄