高考数学复习重难点之指、对、幂函数高频考点突破 （学生版）

第02讲：指、对、塞函数高频考点突破

【考点梳理】

考点一：分数指数事的意义

正分数指数塞、'n-

规定：an=ylam(a>0,m,n0N*,且c>l)

*ii

规定：an=-----(a>0,m,。回N*,且

分数指数_n__

负分数指数募a"y[cT

募

n>l)

0的分数指数0的正分数指数易等于0,0的负分数指数募无

¥意义

(2)有理数指数哥的运算性质：aras^ar+s,(M)，=口，(abY^arbr,其中a>0,b>0,r,sGQ.

考点二.指数函数的图象与性质

a>l0<〃<1

|Jiy=ax

—洪L=i

图象

o\i~~&[~~r-

定义域(1)R

值域(2)(0,+8)

(3)过定点(0,1)

(4)当x>0时，y>l；(5)当尤>0时，0<y<l；

性质

当％<0时，0勺<1当x<0时,y>l

(6)在(一8,+8)上是增函数(7)在(一8,十8)上是减函数

考点三：.指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(l)y=〃，(2)y=Z/,(3)y=F,(4)y=d。的图象，底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c">l>a>b.

由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数、="(庐0,且。W1)的图象越高，底数越大.

考点四：对数

一般地，如果a'=N(a>0,且aWl),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log“N,其中

a叫做对数的底数,N叫做真数.

考点五：对数的性质与运算法则

⑴对数的运算法则

如果。>0,且a/1,M>0,N>0,那么

①Toga(MN)=logaM+logqN；②logo.=logaM—logaN；③logjlf2=Mogq〃5£R).

(2)对数的性质

①aogaN=N；②log/』N3>0且a#1).

⑶对数的换底公式

\ogab=ThC(«>0,且〃Wl；c>0,且cWl；Z?>0).

'lOgc〃

考点六：对数函数的图象与性质

y=logaxa>l0<〃<1

=1

|jy=log(J,r

图象(1,0)

0/f(1.0)5I

Ty=\ogaX

定义域(1)(0,+8)

值域⑵R

(3)过定点(L0)

(4)当x>l时，y>0;(5)当冗>1时,y<0;

性质

当0<%<1时,y<0当0<x<l时，y>0

(6)在(0,+8)上是增函数(7)在(0,+8)上是减函数

考点七：反函数的概念

一般地，指数函数y=a'(a>0,且aWl)与对数函数y=logaX(a>0,且aWl)互为反函数.

(1»=炉的定义域R就是>=10gaX的值域；而y=〃的值域(0,+8)就是y=logaX的定义域.

(2)互为反函数的两个函数y=cf(a>0,且aWl)与y=logaMa>0,且aWl)的图象关于直线y=x对称.

⑶反函数的两个函数>=4(。>0,且aWl)与y=k»gaX(a>0,且。=1)的单调性相同.但单调区间不一定相同.

技巧归纳：

1、换底公式的两个重要结论

I

(l)log“b=m菰；(2)log/b"=—logg其中。>0且aWl,6>0且6W1,m,n£R.

2.对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y=l,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0<c<d<l<a<6.由此我们可得到以下

规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

..

■尸g

1Iy=logjx

考点八：.募函数

⑴定义：一般地，函数>=之叫做事函数，其中x是自变量，a是常数.

(2)幕函数的图象比较

考点九：五个基函数的性质

y=xj=x3y=x^y=x~{

定义域RRR[0,+°°)-WO}

值域R「0,+8)R2，+8)—0}

奇偶性直偶直非奇非偶

在［0,+8)上增，在(0,+8)上减，

单调性增增增

在(-8,0］上遮在(一8,0)上遮

知识点十一般幕函数的图象特征

1.所有的幕函数在(0,+8)上都有定义，并且图象都过点(1,1).

2.当a>0时，幕函数的图象通过原点,并且在区间［0,+8)上是增函数.特别地，当时，幕函数的图象下凸;

当0<a<l时，塞函数的图象上凸.

3.当a<0时,基函数的图象在区间(0,+8)上是减函数.

4.幕指数互为倒数的暴函数在第一象限内的图象关于直线y=x对称.

5.在第一象限，作直线x=a(“>l),它同各募函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幕指数按从小到大的顺序排

列.

【题型梳理】

题型一：指对幕的运算

1.(2023秋•贵州遵义•高一统考期末)求下列各式的值:

2

⑴(0.027尸+

7

(2)logs35-2log5-+log57-log51.8.

2.(2023秋•四川成都•高一校考期末)化简求值:

（1）（蚯x百）+（-兀）。一2义

(2)(1g5)2+1g2x1g5+1g20+log225xlog34xlog59.

3.(2023秋.内蒙古呼和浩特.高一铁路一中校考期末)计算与化简:

(l)log427xlog58xlog325

(C2j_A<_2Z_1A

(2)足田--2-2+8a^b).

\7\7\)

⑶山。+2-2、1一(0.01产

2

⑷21g5+31g8+lg5」g20+(lg2)2.

题型二：比较大小

4.（2023秋・广西河池•高一统考期末）己知a=log3；,Z?=O.3001

c=2。2,则〃，b,，的大小关系为（

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.a<c<b

5.（2023春•河南焦作•高一统考期末）设。=3°%6=,c=1log23,则a,b,c的大小关系为（）

A.c<b<aB.c<a〈bC.b<a<cD.b〈c<a

6.（2023秋・山西运城・高一统考期末）已知a：，“，6,=5,c=ln5,贝ij()

A.c<b<aB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

题型三：指数函数的综合

7.（2023秋・广西河池•高一统考期末）已知函数/（尤）=4£"-21

⑴若/（》）=；，求实数x的值；

31

⑵若g（x）=+%恰有两个零点，求实数a的取值范围.

、

8.（2023秋•山西大同•高一山西省阳高县第一中学校校考期末）已知函数〃x）=-热V+?a!为R上的奇函数.

⑴求函数〃x）的解析式;

(2)判断函数/■(%)在R上的单调性并加以证明；

⑶解关于x的不等式〃无)<.

O

Y—1

9.(2023秋广东深圳•高一统考期末)已知函数/x=匚(》>0).

X

⑴利用单调性定义证明：/(x)在(0,+8)上是增函数；

⑵解不等式厂左小了⑴

题型四：幕函数的综合

10.(2023秋・四川眉山•高一校考期末)已知幕函数y=/(x)的图象经过点［g,2

⑴求〃元)的解析式，并指明函数〃尤)的定义域;

⑵设函数g(x)=x+/(x),用单调性的定义证明g(x)在(L”)单调递增.

11.(2023秋・湖南娄底•高一统考期末)己知哥函数〃x)=(〃，-3m+3卜"用为偶函数.

⑴求募函数〃x)的解析式；

⑵若函数g(x)="7+1，根据定义证明g⑴在区间(1,+8)上单调递增.

12.(2023秋•辽宁葫芦岛•高一统考期末)已知事函数"》)=(病-3"2+3卜43/是偶函数.

⑴求函数的解析式；

⑵若/(2x-l)<〃2—x),求尤的取值范围.

题型五：对数函数的综合

13.(2023春・河南周口•高一校联考期末)已知函数/(无)=1。员(庐寓+。是定义在R上的奇函数.

⑴求实数。的值；

(2)证明：函数/(%)在R上单调递增；

(3)记g(x)=/(x)+2'—2T,对V尤GR,不等式g(x2+3)+g(THx+l|)N0恒成立，求实数机的取值范围.

14.(2023秋•陕西咸阳•高一统考期末)已知函数/(x)=log/(a>0且在1,27上的最大值为3.

|_o_

⑴求a的值；

⑵假设函数g(无)=log?(x2-3x+2a)的定义域是R,求关于t的不等式log„(1-2r)<1的解集.

15.(2023春・湖南邵阳•高一邵阳市第二中学校考期末)已知函数"x)=log4(4*+l)-〃氏是偶函数.

（1）求加的值;

⑵若g（尤）="'）,a>0,b^R,不等式力82（司-,超（力-6|+。20对任意彳€恒成立，求2的取值范围.

_乙_d

题型六：函数的应用

kx—1

16.（2023秋・广西玉林•高一统考期末）已知函数/（x）=lnR为奇函数.

（1）求实数k的值；

⑵证明函数在（L+⑹上的单调递增；

⑶若存在a/e（l,y）使得函数在区间［%网上的值域为,求实数优的取值范围.

17.（2023春・浙江杭州•高一统考期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与

时间出间的关系为尸=片片"（其中耳,左是正常数）.已知在前5个小时消除了10%的污染物.

⑴求左的值（精称到0.01）；

（2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到Qlh）?

参考数据：ln2=0.693,ln3=1.099,ln5=1.609.

18.（2023秋•四川泸州•高一统考期末）已知函数〃尤）为偶函数，函数g（x）为奇函数，且满足

/(x)-g(x)=m1-x(m>l).

⑴求函数〃x),g(x)的解析式;

⑵若函数〃（x）=，/（x）+g（叫-1,且方程［〃（无）丁-2妫（元）+左2一（=0恰有三个解，求实数％的取值范围.

【专题突破】

一、单选题

19.（2023春・湖南株洲•高一统考期末）已知函数〃幻=［282无，x：〉，贝°（）

［-sinx,x<0II6力

A.V2B.1C.-1D.2

20.（2023秋・云南红河・高一统考期末）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间ye）与储藏温度x（℃）

的关系为'=正"（左、r为常数）.若牛奶在0?的冰箱中，保鲜时间约是100h,在10?的冰箱中，保鲜时间约是64h,

那么在£?的冰箱中保鲜时间约是（）

A.70hB.80hC.85hD.90h

97

21.（2023春•河南周口•高一校联考期末）已知。=log316,b=—,,=23而，则（）

A.b>c>aB.b>a>c

C.oa>bD.ob>a

22.（2023秋・山西大同•高一统考期末）若函数"x）=log2（4r+。）在区间［TO］上的最大值与最小值的差不小于3,

则实数〃的取值范围是（）

T-TV4

A.B.C.D.—00,-------

7

23.（2023秋・江苏宿迁•高一统考期末）已知〃工）,屋可分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足

/（x）+g（x）=2\若g（/（x）-恒成立，则实数〃的取值范围为（）

A.(-00,1)B.(-8』

C.(l,+oo)D.[l,+oo)

/jx尤<0

24.（2023秋・广东清远•高一统考期末）已知函数/（%）=〈’八在R上单调递增，则〃的取值范围是（）

ax+a,x>0

A.(0,+功B.(0,1)C.D.[l,+oo)

25.（2023秋・内蒙古呼和浩特・高一铁路一中校考期末）已知函数/3=3，-弓],则（）

A.是奇函数，且在R上是增函数

B.是偶函数，且在（。,+8）上是增函数

C.是奇函数，且在R上是减函数

D.是偶函数，且在（。,+8）上是减函数

26.（2023秋节林•高一统考期末）己知定义在R上的奇函数和偶函数g（x）满足“x）+g（x）=2*,则下列说法

错误的是（）

A.在区间（0,+8）上单调递增B.g（x）在区间（0,+e）上单调递增

C.无最小值D.g（x）无最小值

27.（2023秋•浙江杭州•高一浙江省杭州第七中学校考期末）定义在R上函数y=满足〃r）+〃x）=0,当x>0

时，/（x）=x-2\贝|不等式/（x+2«+2）+〃l-2x”0的解集是（）

A.[-1,3]B.[0,3]C.[1,9]D.[0,9]

28.（2023秋・广东•高一校联考期末）已知函数/。）=[!颜一刈:若方程/（x）=。有四个不同的根占,马,无3，匕，

lx—x,x^.O

则X/2X3X4的取值范围为（）

二、多选题

29.（2023秋・广西河池•高一统考期末）已知函数〃x）=log2（7^Ei-x）+3.则下列说法正确的是（）

A.+1）=6

B.函数/（x）的图象关于点（0,3）对称

C.函数/（》）在定义域上单调递增

D.若实数。，6满足+则。+6<0

.1

30.（2023春•浙江杭州•高一统考期末）已知函数了（.’二行!，则（）

A.函数/（X）的图象关于原点对称B.函数/'（X）的图象关于>轴对称

C.函数〃X）的值域为D.函数“X）是减函数

QX—1x>tn

31.（2023秋•山西运城•高一统考期末）已知函数/（%）=2一“"zeR,e为自然对数的底数），贝卜）

-x-4x-4,x<m

A.函数/（x）至多有2个零点

B.当机<一3时，Vx产x,,总有了（%）一〃％）>0成立

xl—x2

C.函数〃X）至少有1个零点

D.当m=0时，方程/[/（%）]=。有4个不同实数根

32.（2023秋•重庆长寿•高一统考期末）已知函数〃x）=lg（x-l）+lg（5-x）,则（）

A.图象关于直线x=3对称B.〃x）的最大值为21g2

C.在（3,y）上单调递减D.的最小值为-21g2

33.（2023秋・辽宁•高一校联考期末）下列命题正确的有（）

A.命题“Vx>l,2T>0”的否定“VE,2x-l>0,,

B.函数八>）=1%（6+犬-2苫2）单调递增区间是『4,21

2[4）

,--,x<-l（3、

C.函数〃x）=x是R上的增函数，则实数a的取值范围为L]

（3—2a）尤+2,x>-1

3

D.函数/（幻=1-1。4尤的零点所在区间为（2,3）且函数了⑺只有一个零点

三、填空题

34.（2023秋・云南红河•高一统考期末）已知log。：<log”/（。>0且awl）,则实数a的取值范围为.

35.（2023秋・陕西咸阳•高一统考期末）已知幕函数〃x）=（苏-2%-2*"满足〃2）<〃3）,则加=.

36.（2023秋・江苏盐城•高一盐城市第一中学校联考期末）已知函数/（x）=9'-4-3Jcosg+3陶2送（助=2依-3m>0）,

若V占e[0,log32],3X2G[1,2],f（xl）=g（x2）,则实数。的取值范围是—.

37.（2023秋•江苏宿迁・高一统考期末）已知函数/（x）=d,g（x）=B1-m.若VA,e[-l,2],玉2c[-3』，使得

/（石）=8（%）成立，则实数加的取值范围为

四、解答题

38.（2023秋•云南红河•高一统考期末）已知函数尸（x）=log,“（x-1）+4（机>0且相力1）的图象恒过定点A,函数

/（1）=优（〃>0且awl）的图象经过点A.

⑴求函数y=/（G+i）的值域；

⑵讨论函数g（力=〃（2"+3/（元）-2在区间（-1,1）上的零点个数.

39.（2023秋・广西河池•高一统考期末）设/（x）=log“4-log2（2+x）+21og.（4-x）（a>0,且a^l）.

（1）若"2）=6,求实数a的值及函数〃x）的定义域；

⑵求函数〃x）的值域.

40.（2023秋・甘肃白银•高一统考期末）已知函数〃x）=log”（尤+l）—log“（l—x）,其中a>0且分1.

⑴判断“X）的奇偶性;

（2）若。＞1,解关于尤的不等式〃x）＞0.

41.（2023秋・江苏宿迁•高一统考期末）