高考数学重难点复习专练：阿波罗尼斯圆与蒙日圆 七大题型（原卷版）

重难点专题44阿波罗尼斯圆与蒙日圆七大题型汇总

题型1阿氏圆与轨迹..............................................................1

题型2阿氏圆与圆锥曲线..........................................................3

题型3阿氏圆求非对称型最值......................................................6

题型4阿氏圆与向量..............................................................8

题型5阿氏圆与立体几何..........................................................9

题型6椭圆中的蒙日圆...........................................................11

题型7双曲线与抛物线中的蒙日圆................................................14

题型1阿氏圆与轨迹

阿波罗尼斯圆的定义

在平面上给定两点48,设P点在同一平面上且满足器=%当4>0且％A1时，P点的轨迹

是个圆，称之为阿波罗尼斯圆.（％=1时P点的轨迹是线段4B的中垂线

【例题1】（2021下•陕西宝鸡•高三统考阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里

得、阿基米德齐名.他发现："平面内到两个定点4B的距离之比为定值K1）的点的轨

迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直

角坐标系xOy中，4（-2,0）,B（4,0）,点P满足篇则点P的轨迹所包围的图形的面积等

于（）

A.47rB.87TC.127rD.16TT

【变式1-1】1.（2023上•浙江金华•高三阶段练习）已知圆C的直径4B=6,点M满足

\MA\=21MB卜记点M的轨迹为W,设勿与。交于P,Q两点，则|PQ|=

【变式1-1】2.（江苏省海高三模拟考试数学试题）在平面直角坐标%Oy中，已知点力（1,0）

,8（4,0）,若直线x-y+m=。上存在点P使得|P4|=]|PB|,则实数小的取值范围是.

【变式1-113.（2021•湖南衡阳•校联考一模）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明

过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数依人>0加力1）的点的轨迹是圆，后人将

此圆称为阿氏圆.若平面内两定点4B间的距离为4,动点P满足圜=8,则动点p的轨迹

所围成的图形的面积为；同•丽最大值是

【变式1-1】4.（2019上・浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知4B是平

面上两个定点，平面上的动点满足哥=§=m,若对于任意的m>3,不等式|下|<

用通恒成立，则实数帕勺最小值为

【变式1-1】5.（2023上•山东•高三沂源县第一中学校联考开学考试）我们都知道：平面内

到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯

圆.已知平面内有两点4（—1,0）和8（2,1）,且该平面内的点P满足|P*=或伊8|,若点P的

轨迹关于直线爪％+九丫一2=。0，">0）对称，则前勺最小值是（）

A.10B.20C.30D.40

【变式1-1】6.侈选）（2023上•贵州贵阳•高三清华中学校考阶段练习）阿波罗尼斯是古

希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现:

平面内到两个定点4B的距离之比为定值犯>0,且241）的点的轨迹是圆，此圆被称为"阿

波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系久Oy中，省-2,0）凤4,0）,点P满足需=*设点P的轨迹为

曲线C,则下列说法正确的是（）

A.C的方程为。+4）2+y=16

B.点4B都在曲线C内部

C.当4B,P三点不共线时，贝吐4P0=NBP。

D.若D（2,2）,则|PB|+2|PD|的最小值为4遥

题型2阿氏圆与圆锥曲线

阿波罗尼斯圆的证明

pA

【定理1】设P(X,y),-a,O),B(a,O).若布=%(4>0且4J1),则点P的轨迹方程是

(“—雪。)2+产=(含)：其轨迹是以(雪a,0)为圆心，半径为「=|段4的圆.

证明：由PA=4PB及两点间距离公式，可得(％+a)2+y2=A2[(x-a)2+y2],

化简可得(1-A2)x2+(1-A2)y2+2(1+A2)ax+(1-A2)a2=。①，

(1)当2=1时，得x=0,此时动点的轨迹是线段48的垂直平分线；

(2)当2丰1时，方程①两边都除以1-/得%2+y2+2aM%+a?=0,化为标准形式即

为：

(%-碧/+产=(含)[.­.点P的轨迹方程是以(碧a,0)为圆心，半径为r=俣当的

圆.

【例题2](2021上•北京•高三北京市八一中学校考期末)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作

《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没

有插足的余地，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k伊>。且kW1)

的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆，现有椭圆厂]+誉=l(a>b>0),4B为

椭圆厂长轴的端点，。、。为椭圆厂短轴的端点，动点M满足黯=2,的面积的最大

值为8,△MCD的面积的最小值为1,则椭圆厂的离心率为

【变式2-1]1.(2021•安徽黄山统考一模)在平面上给定相异两点A,B,设点P在同一

平面上且满足图|=%当2>0且4力1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊

22

数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线a-左=l（a>0,b

>0）,Fi，F2分别为双曲线的左、右焦点，A,B为双曲线虚轴的上、下端点，动点P满足

黑=2,4PAB面积的最大值为4.点M,N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲

线上一点，直线QM和QN的斜率满足kQM-kQN=3,则双曲线方程是；

过尸2的直线与双曲线右支交于C,D两点（其中C点在第一象限）,设点M、N分别为△CF#2

、△DF1F2的内心，则|"N|的范围是

【变式2-1】2.（2021上•吉林通化•高三梅河口市第五中学校考期末）古希腊数学家阿波

罗尼斯（约公元前262-190年），与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家；他的著作

《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆推曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没

有插足的余地.他发现“平面内到两个定点4B的距离之比为定值4（471）的点的轨迹是

圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.比如在平面

直角坐标系中，4（0,1）、5（0,4）,则点P满足4=3所得P点轨迹就是阿氏圆；已知点C

（—2,4）,Q为抛物线产=8久上的动点，点Q在直线％=-2上的射影为乩M为曲线（％+2）2+

步=4上的动点，则/"Cl+|QH|+|Q阳的最小值为.则|MC|+|QH|+|QM|

的最小值为

【变式2-1]3.（2022下•浙江•高三校联考开学考试）公元前3世纪，阿波罗尼奥斯在《圆

锥曲线论》中明确给出了椭圆和圆的一个基本性质：如图，过椭圆（或圆）上任意一点P

（不同于A,B）作长轴（或直径）AB的一条垂线段，垂足为Q,则瑞B为常数k.若此

图形为圆，则卜=；若k=则此图形的离心率为

【变式2-1】4.(2022・湖北・荆门市龙泉中学校联考二模)历史上第一个研究圆锥曲线的是

梅纳库莫斯(公元前375年-325年)，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了

圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出

发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线。表示与椭圆C

的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为Fi(-C,0),F2

(c,0)(c>0),由Fi发出的光经椭圆两次反射后回到Fi经过的路程为8c.利用椭圆的光学性

质解决以下问题：

(1)椭圆C的离心率为

⑵点P是椭圆c上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为次2在।上的射影H在

圆%2+产=8上，则椭圆C的方程为

题型3阿氏圆求非对称型最值

中:划1占

当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，令

圆O与直线OA相交于M,N两点设点E为OA上一点,且满足第=A,由阿氏圆定理蔡=

A,慧=晨贝1MN=ANE^OA-R="R—OE),：ME=(1+X)R-。4①

同理ZM=AME=>R+OA=4(OE+R),.,.AOE=(1—+。/②

由①②消OA得：2入OE=2R,即言=L即R=4OE,由①②消R得：CM=〃。巳

因此，满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点A的连线上，且白=词浅=A2.

【例题3](2022•全国•高三专题练习)已知点P是圆Q-4)2+(y—4)2=8上的动点，A

(6,-1),O为坐标原点，则PO+2P4的最小值为

【变式3-1】1.(2022・全国•高三专题练习)已知圆C：(%-11+(y—1)2=1,定点p

是圆C上的动点，B(2,0),。是坐标原点，则或PO+PB的最小值为

【变式3-1】2.(2021•全国•高三专题练习)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲

线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆

是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A,B的距离之比为人(入＞0,入H1),

那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O:x2

+y2=1上的动点M和定点A(—却)，B(1,1),则21MAl+|MB|的最小值为()

A.V6B.V7

C.VioD.VTT

【变式3-1】3.(2023下•广东东莞・高三东莞实验中学校考开学考试)对平面上两点A、B,

满足需=A(A丰1)的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,

命名为阿波罗尼斯圆，称点A,B是此圆的一对阿波罗点.不在圆上的任意一点都可以与关

于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在

圆内，另一点在圆外，系数几只与阿波罗点相对于圆的位置有关.已知4(1,0),8(4,0),D

(0.3),若动点P满足概则2|PD|+|PB|的最小值是

【变式3-1]4.(2021•江西赣州•统考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几

里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波

罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A,B的距离之比为2(4>0,4

*1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，圆。:

/+7=1、点4(三,0)和点B(0,9,M为圆。上的动点，则2|M4|—|MB|的最大值为

()

A.|B.C.1D.孝

【变式3-1】5.(2022上•湖北恩施・高三恩施土家族苗族高中校联考期末)希腊著名数学

家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现："平面内到两个定点4B的距离之比为定

值力1)的点的轨迹是圆".后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简

称阿氏圆.已知在平面直角坐标系X。〉中，4(-2,1),8(-2,4),点P是满足4=^的阿氏圆上

的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为抛物线E:y2=轨上的动点,

Q在y轴上的射影为“，则如B|+\PQ\+|QH|的最小值为

题型4阿氏圆与向量

.____1b2x__>.v

【例题4】(2022・全国•高三专题练习)已知8c=6,AC=24B,点D满足AD=—+玉丽

AC,设/(x,y)=|砌，若/O，y)Nf3),yo)恒成立，则/'(xo.yc))的最大值为.

【变式4-1】1.(2020下•河北石家庄•高三石家庄二中校考阶段练习)已知点4(0,1),B

(1,0),C(t,O),点D是直线AC上的动点，若|而|W2|而|恒成立，则最小正整数t

【变式4-1】2.(2019上•浙江•高三统考期末)已知。B是平面内两个互相垂直的单位向

量，若向量表满足忙一回=1则|五+石一句+2怔一臼最小值为

【变式4-1]3.(2019•浙江宁波•浙江省宁波市堇洲中学校考模拟预测)已知向量%0满足

|a|=||b|=|c|=l,a-b=l,则1+同+2传一瓦的取值范围是

【变式4-1】4.（2018・江苏扬州•校考三模）已知等边2MBe的边长为2,点P在线段4c上,

若满足雨•而-24+1=0的点P恰有两个，则实数4的取值范围是

【变式4-1】5.（2019・重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在ZL4BC中，X=120°,

AB-2AC=6,点。满足A。=3x+3，B+枭力贝山而|的最小值为

题型5阿氏圆与立体几何

【例题5】（2019・浙江•校联考一模）如图，4B是平面a的斜线段，力为斜足，点C满足sin/CAB

=AsinzC5X（A>0）,且在平面a内运动，贝!]

A.当4=1时，点C的轨迹是抛物线

B.当4=1时，点C的轨迹是一条直线

C.当4=2时，点C的轨迹是椭圆

D.当2=2时，点C的轨迹是双曲线抛物线

【变式5-1】1.（2022・全国•高三专题练习）如图，在长方体4BCT—&B1C1O1中,AB=2

4。=2441=6,点E在棱4B上，BE=2AE,动点P满足BP=V^PE.若点P在平面4BCD内运

动，则点P所形成的阿氏圆的半径为；若点P在长方体力BCD-4出道山1内部运动,

F为棱C"i的中点，M为CP的中点，则三棱锥BiCF的体积的最小值为

DiG

【变式5-1】2.（2021上•山东荷泽・高三统考期末）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面

上到两定点4B距离之比2（%>0,2丰1）是常数的点的轨迹是一个圆心在直线4B上的圆，该

圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体4BCD-4中1的以

中，点P是正方体的表面4DD14（包括边界）上的动点，若动点P满足PA=2PD,则点P所形

成的阿氏圆的半径为；若E是CD的中点，且满足乙4PB=NEPD,则三棱锥P-4CD

体积的最大值是

阿波罗尼奥斯

【变式5-1】3.（2020下•河北石家庄•高三石家庄二中校考开学考试）棱长为36的正四面

体4BCD的外接球与内切球的半径之和为，内切球球面上有一动点M,则的

最小值为

【变式5-1】4.（2022•全国•高三专题练习）已知正方体4BCD-公当的小的棱长为1,点

P为侧面BBiCiC内的动点，且P4=2PB,则点P所形成的轨迹图形长度为.

【变式5-1】5.（2021•贵州贵阳统考模拟预测）在平面内,已知动点P与两定点A,B的

距离之比为"4>0/41）,那么点P的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可

得到类似结论.如图，三棱柱ABC—占B1C1中，4遇1平面ABC,AB=BC=2,BB、=讥

肛AABC=90°,点M为AB的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，S.\PA\=y/2

\PM\,动点P形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为乙，V2(V1<V2),则晟=

A"B.|C.D.|

题型6椭圆中的蒙日圆

在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径

等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1.

图1⑴图1(2)

如图1,设椭圆的方程为4+匕=l(a>6>0),则椭圆两条互相垂直的切线PA,P8父点P

的轨迹是蒙日圆：%2+y2=2+b2.

证明：证法一(解析法+韦达定理)：①当题W冲的两条互相垂直的切线P4PB斜率均存在

且不为。时，可设PQo,yo)(比0*±a且Vo*±m,过P的椭圆的切线方程为y-y0=k(x-x0

y-=k(x—%o)

由得(a2k2按)%2—2kaz(kxQ—y)x+—y。)2

(fc#=0),—+比=1,+0

bz=0,

222

由其判别式值为0,得(就-a>-2x0y0k+必一炉=0(就-a^0),

"kpA,演8是这个关于土的一元二次方程的两个根，:kpA-kpB=磊I，

22

由已知PA1PB,kPA-kPB=-1,.1•瑞|=-1,x1+yl=a+b,：.点P的坐标满足方

程/+y2=.

②当题设中的两条互相垂直的切线P2,PB有斜率不存在或斜率为。时，可得点P的坐标为

(±a,b)或(a,+b),此时点P也在圆/+y2=a2+炉上.

综上所述：椭圆总+餐=l(a>b>0)两条互相垂直的切线PA,P8交点P的轨迹是蒙日圆：

x2+y2=a2+b2.

证法二(椭圆的切线方程+切点弦方程+点在公共曲线上)：

①当题设中的两条互相垂直的切线P4PB斜率均存在且不为0时，设P(>o,yo)(孙力士。且

yo*±b),切点4。1,月)，8。2/2)01月％2丫2大。)，则切线PA：黄+贵=1，PB：等+矍

PQo,yo)在切线P4,PB上，二警+需=1,等+繁=1,由两点确定一条直线得直线

4B的方程为簧+兼=1.

,,,融电=(-篙)(-篙)=，卜。人卜013=■管=黑，：•(kpAkpB)(koAkoB)=£，

•••(%,%)(E=1,2)即在圆的方程为5+g=1,又在直线4B:黄+兼=1上，.•/+条=

22

(箸+黄)2，可得-b)(g)+2a2b2%oy°e)+b^x2_a2)=0,

.,,_Z1Z2_b4(就-aZ)_q-a2)---_Q

,•"OAKOB-X1X2-必(羽_〃)_a4(羽_板)'-^OAKOB)'6出一前

又(kpAkpB)(koAkoB)=kpAkpB=等方，

由已知241PB,■■kPA-kPB=-1,第%=-1,W+羽=a?+炉，...点p的坐标满足方

程%2+y2=42+.

②当题设中的两条互相垂直的切线P4,PB有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标为

(±a,b)或(a,+b),此时点P也在圆1+y2=a2+炉上.

综上所述：椭圆?+§=Ka>b>0)两条互相垂直的切线24,PB交点P的轨迹是蒙日圆：

x2+y2—a2+b2.

先给出几个引理，然后给出证法三——蒙日圆的几何证法.

【例题6】(2020・山东•高三专题练习)"蒙日圆"涉及几何学中的一个著名定理，该定理

的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆

的蒙日圆.若椭圆C：系+?=1(。>0)的离心率为9，则椭圆C的蒙日圆方程为()

A.x2+y2=9B.%2+y2=7C.%2+y2=5D.%2+y2=4

【变式6-1】1.(2022•全国•高三专题练习)已知椭圆C:9+y2=l,M是圆%2+y2=3

上的任意一点，MA,MB分别与椭圆切于A,B.求aAOB面积的取值范围.

【变式6-1】2.(2022•全国•高三专题练习)设椭圆卷+q=1的两条互相垂直的切线的交

点轨迹为C,曲线C的两条切线PA、PB交于点P,且与C分别切于A、B两点，求西•丽

的最小值.

【变式6-1】3.(2020下•江西景德镇•高三统考阶段练习)蒙日圆涉及的是几何学中的一个

著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，

该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：盍+£=l(a>0)的蒙日圆为了+y=6,则(1=

()

A.1B.2C.3D.4

【变式6-1】4.(2022・全国•高三专题练习)给定椭圆C:§+g=l(G>b>0),称圆心

在原点0、半径是信不京的圆为椭圆C的"准圆已知椭圆C的一个焦点为F(VXO),

其短轴的一个端点到点F的距离为遥.

(1)求椭圆C及其"准圆"的方程；

⑵若点A是椭圆C的"准圆"与x轴正半轴的交点，B,D是椭圆C上的相异两点，且

BDlx轴，求丽•丽的取值范围；

⑶在椭圆C的"准圆"上任取一点P(s,t),过点P作两条直线h%,使得%与椭圆C

都只有一个公共点，且人，%分别与椭圆的"准圆"交于M,N两点.证明：直线MN过

原点O.

【变式6-1】5.(2019・安徽滁州•安徽省定远中学校考一模)已知椭圆C:§+g=1

(a>b>0)的长半轴长为加点(l,e)(e为椭圆C的离心率)在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）如图，P为直线％=2上任一点，过点P椭圆C上点处的切线为PA,PB,切点分别4,

B,直线x=a与直线PA,PB分别交于M,N两点，点M,N的纵坐标分别为小，n,求rrm的

值.

29

【变式6-1】6.（2019•河南•校联考模拟预测）已知椭圆。*+标=l（a>b>0）的左、右

顶点分别为4B,点P在椭圆。上运动，若apaB面积的最大值为2遮，椭圆。的离心率为

（1）求椭圆。的标准方程；

（2）过B点作圆E:/+（>—2）2=产，（0<「<2）的两条切线，分别与椭圆。交于两点C,

。（异于点B）,当r变化时，直线CD是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说

明理由.

题型7双曲线与抛物线中的蒙日圆

蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广

【定理1】双曲图-§=l（a>b>0）的两条互相垂直的切线PA,PB交点P的轨迹是蒙日

圆:x2+y2=a2—b2（如图3）.

图3图4

【定理2］抛物线产=2PMp>0）的两条互相垂直的切线P4,PB交点P的轨迹是该抛物线的

准线：久=-与（如图4,可以看作半径无穷大的圆）.

注意：双曲线中只有当a>6时才有蒙日圆，此时离心率e满足1<e<鱼；抛物线的蒙日圆

恰好为其准线(直线可以看作半径为无穷大的圆).总结可得如下的蒙日圆定理：

【定理3】过圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是一个圆，这个圆

被称为蒙日圆，又叫外准圆.

证明：设圆锥曲线「的方程为a*2+28xy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,其中系数矩阵

[ABD1

BCE满秩(即系数行列式大0).

VDEF1

设平面内有一点P(xo,y。)，P不在r上.过P作r的切线，当切线斜率存在时，设切线斜率为

k,则切线方程可设为y=k(x—勾)+%.联立曲线方程，消去y得

222

(A+2Bk+Cfc)%+2[(y0—fcx0)(B+Ck)+D+Ek]x+C(y0—fcx0)+2£(y0—fcx0)+F

=0,

为书写方便，令6=-kx0,由切线与圆锥曲线只有一个交点可得A=0,即：

(AC-B2)G2+2(BE-CD)Gk+(CF-E2)k2+2(AE-BD)G+2(BF-DE)k+AF-D2

=0,

观察上式，当把G=y°-丘0代入之后可知前三项都含有可写出二次项系数为

2

(AC-+2(CO-BE)x0+CF-E.同理，第一、四、六项含有常数项，可以写出常数

项为羽+2(aE-BD)yo+4/-。2.•俩条切线互相垂直，斜率之积为一1,因此

由韦达定理得器翳葭普谶黑=T，整理得到

22

(AC-讲)就+(XC-讲)羽+2(CD-BE)x0+2(XE-BD)y0+CF-E+AF-D0.

当切线斜率不存在时，很明显两条切线分别为x=%o,y=yo.联立X=久0与r的方程，得到

22

Cy+2(B%0+E)y+端+2Dx0+F=0,由A=0得(AC—B)x1+2(CD-BE)x0+CF-

222

。=0,同理，(AC-B)yo+(AE-BD)y0+AF-D=0,

两个方程相加，恰好得到此时P的坐标满足方程

222

(AC-B)xl+(AC-5)岔+2(CD-BE)x0+2(4E-BD)y0+CF-E+AF-D=0,

,无论切线斜率是否存在，P的轨迹方程均为

222

{AC-B2)/+(XC-B)yl+2(CD-BE)x0+2QAE-BD)y0+CF-E+AF-D=0

(**).

习惯上用x,y表示动点坐标，上式的劭,见均改为x,y,得到P的轨迹方程

(71C-B2)X+(4C-B2)y+2(C£>-BE)x+2(4E-BD)y+CF-E2+AF-D2=0(**).

•・,/和好的系数相同，且缺少含砂的项，，方程(**)表示一个圆，即p的轨迹是一个圆(实

圆、点圆、虚圆均可).证毕.

说明：(1)令4=62,B=0,C=a2,D=E=0,F=—a2b2，代入(**)可得椭圆、+fl=

(a>b>0)的蒙日圆方程：x2+y2=a2+b2.定理1得证.

(2)令4=62,B=0,C=—a2,D=E=0,F=—a2b2,代入(**)可得双曲线2一技=

(0>。1>0)的蒙日圆方程：％2+丫2二屋一炉当a>b时,a2-b2>0,双曲线的蒙日

圆存在.但当a=b时，a?-炉=0,方程退化为一个点(0,0).此时易证过(0,0)的直线要

么和双曲线有两个交点，要么没有交点。双曲线关于中心对称)，，过(0,0)无法作双曲线

的切线，自然也不存在两条互相垂直的切线.而当a<b时，a2-b2<0,于是方程表示一

个虚圆(无法在坐标平面上表示)，，平面内不存在双曲线的两条互相垂直的切线.综上，

只有当a>。时(或离心率1<e<打时)，双曲线才有蒙日圆.定理2得证.

(3)令4=8=0,C=l,D=—p,E=F=。，代入(**)可得抛物线俨=2pK(p>0)的

蒙日圆方程：%=-1.这恰好是抛物线的准线方程，因此抛物线的蒙日圆是其准线.这也

可以从蒙日圆的一般方程中看出，因抛物线满足AC-5=0,二蒙日圆方程的二次项系数

为0,方程退化为一条直线.定理3得证.由此还能得出一个推论：过抛物线准线上的一点

作抛物线的两条切线，这两条切线互相垂直.

【例题7】(2023•陕西西安・统考一模)数学家加斯帕尔・蒙日创立的《画法几何学》对世界

各国科学技术的发展影响深远在双曲线唁-翁=l(a>0,b>0)中，任意两条互相垂直的

切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平

方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线C的实轴长为2遍，其蒙日圆方程为

%2+y2=4.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设点P(3,l)关于坐标原点的对称点为Q,不过点P且斜率为吊勺直线与双曲线C相交于M,N

两点，直线PM与QN交于点。(久0，处)，求直线OD的斜率值.

【变式7-1]1.(2020上•陕西西安•高三校联考阶段练习)定义椭圆C：§+g=l(a>fo

>0)的“蒙日圆"方程为/+y2=a2+廿.已知抛物线/=4y的焦点是椭圆C的一个短轴

端点，且椭圆C的离心率为孚

(1)求椭圆。的标准方程和它的"蒙日圆"E的方程；

(2)若斜率为1的直线(与"蒙日圆"E相交于4B两点，且与椭圆C相切，。为坐标原点，

求△04B的面积.

【变式7-1]2.(2023上•广东清远•高三统考期末)法国数学家加斯帕尔・蒙日创立的《画

法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远.在双曲图-/=1(a>b>0)中，任意两

条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与

虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线C:§-g=1(a>b>0)

的实轴长为6,其蒙日圆方程为x2+y2=1.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）设D为双曲线C的左顶点，直线I与双曲线C交于不同于D的E,F两点，若以EF为直

径的圆经过点D,且DGLEF于G,证明：存在定点H,使|GH|为定值.

【变式7-1]3.（2020下•山西•高三统考阶段练习）已知抛物线E：久2=2py过点（1,1）,

过抛物线E上一点Pg,加作两直线PM,PN与圆C:久2+⑶一2）2=1相切，且分别交抛

物线E于M、N两点.

（1）求抛物线E的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）若直线MN的斜率为-V3,求点P的坐标.

【变式7-1]4.（2019•河北石家庄•校联考一模）已知抛物线=2PMp>0）上一点P

（久o,2）至瞧点F的距离|PF|=2x0.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点P引圆M:（x—3A+产=产（0<r<鱼）的两条切线24、PB,切线24、PB与抛物

线C的另一交点分别为人B,线段4B中点的横坐标记为t,求t的取值范围.

1.（多选）（2023•全国•模拟预测）已知P是定圆C（C为圆心）上的一个动点，4是不在圆C

上的一个定点.若点M满足两=4mQeR）,S.（MA+MPy（CA-CP）=0,则点M的轨迹

是（）

A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线（单支）

2.（2022•河南郑州•统考模拟预测）在圆（久-3尸+（y—4）2=r2（r>0）上总存在点P,使

得过点P能作椭圆9+川=1的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（）

A.(3,7)B.[3,7]C.(1,9)D.[1,9]

3.(2022•江苏•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，若直线%+町+3=0上存在动点P,使

得过点P的椭圆C：£+y2=1的两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是()

A.(-8,-用U停,+8)B.(-8,-g]u惇,+8)

C1返回D[匹圜

J卜2，2「[2，2」

2

4.(2021・上海虹口•统考二模)已知椭圆C的方程为》+y2=i.

(1)设MQM/M)是椭圆C上的点，证明：直线等+处沙=1与椭圆C有且只有一个公共点;

(2)过点N(l,伪作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为4B,点N在直

线4B上的射影为点Q,求点Q的坐标；

(3)互相垂直的两条直线A与办相交于点P,且人、，2都与椭圆C只有一个公共点，求点P的轨

迹方程.

5.(2020・全国•校联考三模)法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：与椭圆，+g=l(a>fa>0)

相切的两条垂直切线的交点轨迹为久2+*=+/,这个圆亦被称为蒙