二次函数（原卷版）-2023年中考数学一轮复习

专题16二次函数

、二次函数的图象特征及性质

【高频考点精讲】

关系式一般式>=q%2+b%+c(QWO)顶点式y=a(x-h¥+k(QWO)

开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当.<0时，抛物线开口向下。

b4ac-b23

顶点坐标(，)(h,k)

2a4a

直线x=—2

对称轴直线x=h

2a

x<-2时，y随x增大而减小；

x<h时，y随x增大而减小；

2a

a>0

x>-2时，y随x增大而增大。x>h时，y随x增大而增大。

2a

增减性

x<-2时，y随x增大而增大；

xVh时，y随x增大而增大；

2a

a<0

x>-2时，y随x增大而增大。x>h时，y随x增大而减小。

2a

*—BH4_4ac-Z?2

a>0当X时，V最小值一。当％=h时，y最小值=左。

2a4a

最值

%BH-+4ac-b-

a<0ax—时，y最大值二o当x=h时，y最大值=左。

2a最大值4a

【热点题型精练】

1.（2022•株洲中考）已知二次函数y=ax2+6x-c（aWO）,其中b>0、c>0,则该函数的图象可能为（

2.(2022•哈尔滨中考)抛物线y=2(x+9)2-3的顶点坐标是()

A.(9,-3)B.(-9,-3)C.(9,3)D.(-9,3)

3.（2022•广州中考）如图，抛物线y=ax2+bx+c（aNO）的对称轴为x=-2,下列结论正确的是（）

A.6z<0

B.c>0

C.当x<-2时，y随X的增大而减小

D.当x>-2时，/随x的增大而减小

4.（2022•陕西中考）已知二次函数-2x-3的自变量xi,m，油对应的函数值分别为yi,当-1<用

<0,l<X2<2,X3>3时，yi,yi,”三者之间的大小关系是（）

A.yi<y2<y3B.y2<y3<y\C.y3<y\<yiD.y2<yi<yi

5.（2022•郴州中考）关于二次函数y=（x-1）2+5,下列说法正确的是（）

A.函数图象的开口向下

B.函数图象的顶点坐标是（-1,5）

C.该函数有最大值，最大值是5

D.当x>l时，>随x的增大而增大

6.（2022•衢州中考）已知二次函数y=a（x-1产-aQWO）,当-时，y的最小值为-4,则a的值为（）

A.5或4B.1或一号C.—4或4D.或4

7.（2022•岳阳中考）已知二次函数>=如？-4%2》-3（加为常数，第W0）,点P（xp,处）是该函数图象上一点，

当0Wx?W4时，切W-3,则m的取值范围是（）

A,机21或加<0B.mNlC.-1D.-1

8.（2022•盐城中考）若点P（w,n）在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点尸到了轴的距离小于2,则〃的取值

范围是.

9.（2022•长春中考）已知二次函数/=-，-2x+3,当aWxW*时，函数值y的最小值为1,则。的值为.

10.（2022•北京中考）在平面直角坐标系xQy中，点（1,m）,（3,n）在抛物线歹=4%2+6%+。（q>0）上，设抛物

线的对称轴为直线％=人

（1）当。=2,加=〃时，求抛物线与y轴交点的坐标及，的值;

(2)点Go,m)(xoWl)在抛物线上.若求f的取值范围及xo的取值范围.

二、二次函数图象与系数的关系

【高频考点精讲】

1.。决定抛物线的开口方向及大小

(1)a>0,抛物线开口向上；a<0,抛物线开口向下。

(2)|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。

2.6共同决定抛物线对称轴的位置

(1)当6=0时，对称轴无=----=0,对称轴为y轴。

2a

(2)当°、6同号时，对称轴％=-2<0,对称轴在y轴左侧。

2a

(3)当°、6异号时，对称轴》=-上->0,对称轴在y轴右侧。

2a

3.c决定抛物线与y轴的交点位置

(1)当c=0时，抛物线过原点。

(2)当c>0时，抛物线与y轴交于正半轴。

(3)当c<0时，抛物线与y轴交于负半轴。

4.4*决定抛物线与x轴的交点位置

(1)当4ac=0时,抛物线与x轴有唯一交点。

(2)当4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点。

(1)当x=l时，y=a+b+c；当x=-1时，y=a-b+c；当x=2时，y=4a+2b+c；当x=-2时，y=4a-2b+c。

(2)当对称轴为直线x=l时，2a+b=0；当对称轴为直线x=-1时，2a-b=0o

【热点题型精练】

11.(2022•黔东南州中考)若二次函数y=a/+6x+c(aWO)的图象如图所示，则t•次函数〉="+6与反比例函数

在同一坐标系内的大致图象为()

12.（2022•青岛中考）已知二次函数y=Q/+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x=

则下列结论正确的是（）

A.b>0B.c<0C.a+b+c>0D.3Q+C=0

13.（2022•烟台中考）二次函数产办（aWO）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x—义，且与x轴的

一个交点坐标为（-2,0）.下列结论：①a6c>0；②a=6；③2a+c=0；④关于x的一元二次方程a^+bx+c

-1=0有两个相等的实数根.其中正确结论的序号是（）

A.①③B.②④C.③④D.②③

14.（2022•巴中中考）函数y=|ax2+bx+c|（a>0,b1-4ac>0）的图象是由函数y=ax2+bx+c（a>0,b1-4ac>0）

的图象X轴上方部分不变，下方部分沿X轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）

（J）2a+6=0；

②c=3；

③a6c>0；

④将图象向上平移1个单位后与直线>=5有3个交点.

C.②③④D.①③④

15.（2022•济南中考）抛物线y=-，+2〃叱-m2+2与夕轴交于点c,过点C作直线/垂直于y轴，将抛物线在y轴

右侧的部分沿直线/翻折，其余部分保持不变，组成图形G,点“（"-1,yi）,N（m+1,y2）为图形G上两点,

若歹1<»2,则m的取值范围是（)

A.仅<-1或加>0B.-1<m<|C.0^m<V2D.-\<m<\

16.（2022•遂宁中考）抛物线y=ax2+6x+c（a,b,c为常数）的部分图象如图所示，设加=a-6+c,则加的取值

范围是•

17.（2022•锦州中考）如图，抛物线y=ax2+6x+c（aWO）与x轴交于点（-1,0）和点（2,0）,以下结论：①"c

<0；②4a-26+c<0；③。+6=0；④当时一随x的增大而减小.其中正确的结论有.（填写代

表正确结论的序号）

18.（2022•呼和浩特中考）在平面直角坐标系中，点C和点。的坐标分别为（-1,-1）和（4,-1）,抛物线y

-2mx+2（/WO）与线段CD只有一个公共点，则优的取值范围是.

三、二次函数图象上点的坐标特征

【高频考点精讲】

二次函数）=Q/+bx+c（QWO）的图象是抛物线，顶点坐标是（-匚，———）o

2a4a

i.抛物线关于直线x=-2对称，所以抛物线上的点关于直线x=-2对称。

2a2a

2.抛物线与y轴交点的纵坐标是解析式中的c。

3.抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（苞，0）,（x2,0）,则对称轴为x==2。

【热点题型精练】

19.（2022•宁波中考）点4（m-1,yi）,B（机，y2）都在二次函数歹=（x-1）?+〃的图象上.若/〈”，则冽的

取值范围为（）

33

A.m>2B.m>fC.1D.一<m<2

22

20.（2022•温州中考）已知点/（a,2）,B（6,2）,C（c,7）都在抛物线y=（x-1）2-2上，点/在点2左侧,

下列选项正确的是（）

A.若c<0,则a<c<6B.若c<0,则a<6<c

C.若c>0,则a<c<6D.若c>0,则a<6<c

21.（2022•西安模拟）已知抛物线y=x2+mx-1经过（-1,〃）和（2,〃）两点，则加+〃的值为（）

A.-2B.0C.1D.2

22.（2022•淄博中考）若二次函数>=/+2的图象经过尸（1,3）,Q（m,H）两点，则代数式后一4根2-加+9的

最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

23.（2022•厦门模拟）已知抛物线y=ax2+6x+c经过点尸（2,yo）,且对于抛物线上任意一点（xi，yi）都有

若点A（-2,m+2）与点B（t,〃）均在该抛物线上，且m-n<-2,则t的值可以是（）

A.7B.4C.1D.-1

24.（2022•徐州中考）若二次函数》=/-2x-3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于加，则加的值为.

四、二次函数图象与几何变换

【高频考点精讲】

1.抛物线平移后形状不变，所以系数a不变，平移后抛物线的解析式有两种求法

（1）求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式。

（2）求出平移后的顶点坐标，求出解析式。

2.平移规律：左加右减，上加下减。

【热点题型精练】

25.（2022•通辽中考）在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x-1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平

移2个单位长度，所得函数的解析式为（）

A.y=（x-2）2-1B.y=（x-2）2+3C.y=x2+lD.y=x2-1

26.（2022•玉林中考）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点（2,0）有4种方法：

①向右平移2个单位长度

②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度

③向下平移4个单位长度

④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度

你认为小嘉说的方法中正确的个数有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

27.（2022•泸州中考）抛物线j，=-32+x+i经平移后，不可能得到的抛物线是（）

11

A.y=—2X9B.y=-9-4

I

C.y——2-x2+2021.r-2022D.y—-x2+x+l

28.（2022•黔东南州中考）在平面直角坐标系中，将抛物线y=f+2x-1先绕原点旋转180°,再向下平移5个单

位，所得到的抛物线的顶点坐标是.

29.（2022•荆州中考）规定：两个函数/，”的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为函数”.例如：函数

g=2x+2与”=-2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“丫函数”.若函数＞=扇+2"-1）x+03（k

为常数）的函数”图象与x轴只有一个交点，则其函数”的解析式为.

30.（2022•湘西州中考）已知二次函数y=-/+4x+5及一次函数y=-x+b,将该二次函数在x轴上方的图象沿x

轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y=-x+6与新图象有4个交点

时，b的取值范围是.

31.（2022•河北中考）如图，点P（a,3）在抛物线C：＞=4-（6-%）2±,且在C的对称轴右侧.

（1）写出C的对称轴和〉的最大值，并求。的值；

（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P,C'.平移该胶片，使

C所在抛物线对应的函数恰为y=-/+6x-9.求点P移动的最短路程.

五、二次函数的最值

【高频考点精讲】

1、当。＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低

点，所以函数有最小值，当x=-2b时，4ac—h

2a4a

2、当a<0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高

h4ac—h^

点，所以函数有最大值，当x=—2时，y=aC

2a4a

3、确定二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标;

当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值的大小，从而获得最值。

【热点题型精练】

32.（2022•贺州中考）已知二次函数y=2f-4x-1在OWxWa时，y取得的最大值为15,则a的值为（）

A.1B.2C.3D.4

33.（2022•包头中考）已知实数a,b满足6-a=l,则代数式片+26-6a+7的最小值等于（）

A.5B.4C.3D.2

34.（2022•嘉兴中考）已知点/（a,b）,B（4,c）在直线y=fcc+3"为常数，30）上，若仍的最大值为9,

则c的值为（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

35.（2022•六盘水中考）如图是二次函数的图象，该函数的最小值是.

36.（2022•凉山州中考）已知实数a、6满足°-庐=4,则代数式/-3户+。一14的最小值是.

37.（2022•绍兴中考）已知函数y=-X2+6X+C（b,c为常数）的图象经过点（0,-3）,（-6,-3）.

（1）求b,c的值.

（2）当-4WxW0时，求y的最大值.

（3）当根WxWO时，若y的最大值与最小值之和为2,求加的值.

六、二次函数的应用

【高频考点精讲】

1、利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题，解决此类题目的关键是通过题意，确定二次函数的

解析式，然后确定其最大值。实际问题中自变量X的取值要使实际问题有意义，因此，在求二次函数的最值时，一

定要注意自变量X的取值范围。

2、几何图形中的最值问题

①几何图形中面积的最值；②用料最佳方案；③动态几何中的最值讨论。

3、构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地将这些实际问题中的数据落实到平面直角

坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式解决问题。

【热点题型精练】

38.（2022•自贡中考）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙

（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这

三种方案，最佳方案是（）

方案I方案2方案3

A.方案1B.方案2

C.方案3