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文档简介
二次函数的图象与性质重点考点归纳练
2025年中考数学一轮复习备考
一、单选题
1.已知抛物线P=/+2x+4上有点尸(。,叱当-24a<3时,则P点纵坐标b的取值范围为()
A.3<Z><4B.-4<<4
C.3<6<19D.4<6<19
2.已知点/(-3,〃),3(T,b),C(2,c)均在抛物线V=-2(x+iy+4上,则%以。的大小关系是
()
A.c<a<bB.ci<c<bQb<a<cD.b<c<a
3.关于抛物线'=0-1)2-2,下列说法错误的是()
A.顶点坐标为(1=2)B.当时,了随x的增大而减小
C.开口方向向上D.函数最小值是-2
。的坐标分别是(一『2)、。,2),点C在抛物线
4.如图,在正方形NBC。中,点3、
y——+bx
2的图像上,则人的值是()
1
D.2
5.如图,△NBC是等腰直角三角形,NC=90。,AC=BC=2,点、D为边AB上一点、,过点。作
DE1AC,DF1BC,垂足分别为K,F,点。从点A出发沿42运动至点8.设DE=x,
1/42
DF=y,四边形的面积为S,在运动过程中,下列说法正确的是()
A.y与x满足一次函数关系,S与x满足二次函数关系,且S存在最大值
B.y与x满足一次函数关系,S与x满足二次函数关系,且S存在最小值
C.y与x满足反比例函数关系,S与x满足二次函数关系,且S存在最大值
D.了与x满足反比例函数关系,S与x满足二次函数关系,且S存在最小值
6.数学课上,夏老师给出关于x的函数歹=2出一(4左+1)»后+1(后“为实数).学生们独立思考后,
把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上,夏老师作为活动一员,又补充了一些结论,
并从中选择了以下四条:
①存在函数,其图象经过点(L°);
②存在函数,该函数的函数值y始终随x的增大而减小;
③函数图象有可能经过两个象限;
④若函数有最大值,则最大值必为正数,若函数有最小值,则最小值必为负数.
上述结论中正确的为()
A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④
2
7.二次函数尸的图象如图所示,点为位于坐标原点,山,山,A3,为期在〉轴的正半轴
2
上,B],B?,,星期在―■次函数歹=3X2第一■象限的图象上,若AAIB2A2,△
AB以3,…,A42022B2023/2023都是等边二角形,则△/202282023/2023的周长是()
2/42
A.6069B.6066C.6063D.6060
8.定义{"'"耳为函数>="2+H+c的特征数,下面给出的特征数为{2'%1一私一1一端时,关于函
数的一些结论,其中不正确的是()
8
A.当机=-3时,函数的最大值为3
5^/2
B.当〃?=-3时,函数图像的顶点到直线>=xT的距离为3
c.函数图像恒过两个定点。°)和12'5)
1
X<一
D.当机<°时,函数在4时,V随x的增大而增大
9.如图,一段抛物线:y=r(x-4)(O〈x<4),记为G,它与x轴交于点°,4;将G绕点4顺时
针旋转180。得到C?;…如此进行下去,得到一条连续的曲线,若点尸(2°23,加)在这条曲线上,贝u
m的值为()
A.4B.3C.-4D.一3
10.如图,在矩形48c□中,筋=3,8c=4,点P在直线AD上运动,以8尸为直角边向右作
3/42
RSPBQ,使得/8PQ=90。,BPpQ,连接c0,则C0长的最小值为()
2回5岳
C.三D.
二、填空题
11.如图,平行于x轴的直线与两条抛物线必和%=〃X-13)2(。<6)相交于点
A,B,C,D.若48=8,BC=3,8=6,则人的值为.
2
v-ax+bx+c(a>0}“(一刈,叫。)«-3,弘)。(3,%)《一;,%]
12.已知抛物线了_""+"x+cW>U)过点<21五点,
则M、为%的大小关系是.
13.如果一条抛物线〉="2+区+。(。*0)与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点
为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形已知抛物线>=/+区的“特征三角形”是等腰直
角三角形,那么的值为.
14.如图,抛物线y=ax2+6x+c(a*0)的顶点在线段上移动,与工轴交于c、。两点,若
-2,-3)、8(4,-3),当四边形/BOC是矩形时,此时抛物线的解析式是.
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15.已知二次函数k2/+或+0的图像与x轴有且只有一个公共点,且过/(加-2,”),
3(加+4,")两点,则〃的值为.
三、解答题
16.在平面直角坐标系xQy中,抛物线y=x?-2机x+〃/-加+9.
⑴"(4%),BQz,%)是抛物线上不重合的两点,当占+%=2时,乂=%,求该抛物线的解析式.
(2)河6。/。)是抛物线上一点,且毛+〃=%.
①若加=1,当-IVxVl时,求〃的最小值.
2m—1<x<—m+3
②当2时,〃的最小值是5,求冽的值.
17.已知二次函数>=X2+2X-3的图象与x轴的交于A,B两点,与了轴交于点C.
(1)求A,8两点坐标;
⑵点。在第三象限内的抛物线上,过点。作工轴垂线交/C于点七,求。石的最大值;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点N,使以。,N,及°为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请求出点N的横坐标,若不存在,请说明理由.
5/42
1z,\27
18.抛物线一)+与%="x+3)2-l交于点/,分别交y轴于点尸,Q,过点/作X轴的
平行线,分别交两条抛物线于点B,C.已知'({3),SC=10.
⑴求。的值.
⑵若点及(4'")都在抛物线必上,判断小n,〃的大小关系,并说明理由.
(3)求P0的值.
19.如图,直线、=-3X+3与x轴、了轴分别交于点/,B,抛物线y="x-2)2+*经过点儿
并与x轴交于另一点C,其顶点为尸.
(1)求〃,后的值.
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点N,使A/BN为直角三角形?若存在,求出点N的坐标;若不存
在,请说明理由.
_123-
y——x—x+2
20.抛物线22与%轴交于点4B(点A在点3的左侧),与歹轴交于点°,连接
ACfBC.
6/42
(1)求点4BC的坐标;
(2)如图1,尸是抛物线上的一动点,是否存在点尸,使得/P/8=N/CO?若存在,求出点P的坐标,
若不存在,请说明理由;
(3)如图2,0为线段NC上方抛物线上的一动点(点2不与点4。重合),过点°作”〃8C交
QE=3
了轴于点尸,交线段NC于点",若沃一》,请直接写出点。的坐标.
21.如图,抛物线了=尔-26+c(a<0)经过点'(TO),过该抛物线的顶点c作直线CDA轴于点
D,CD=5,尸在抛物线V="/-2G+C上,且在对称轴右侧,过点P作尸E'x轴于点足
(1)求该抛物线的解析式.
(2)若NC〃。尸,求点尸的坐标.
(3)如图2,横坐标为2的点尸也在抛物线了="2-2"+c上,点G在线段°。上,且在点下的下方,
当/EG斤=90。时,求点尸横坐标的最大值.
22.如图1,已知抛物线了=如2-4ax+c的图象经过点4(1,0),8(私0),C(0,-3),过点C作
CD〃x轴交抛物线于点。,点尸是抛物线上的一个动点,连接尸。,设点尸的横坐标为〃.
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(1)填空:m=a=
(2)在图1中,若点尸在x轴上方的抛物线上运动,连接0尸,当四边形面积最大时,求"的
值;
(3)如图2,若点0在抛物线的对称轴/上,连接尸°、DQ,是否存在点尸使为等腰直角三角
形?若存在,直接写出所有符合条件的点尸的坐标;若不存在,请说明理由.
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参考答案
1.C
本题考查二次函数的性质,解题的关键是得到抛物线的顶点式及熟练掌握〉与X的变化关系.根据
抛物线解析式得到顶点坐标,结合函数性质求解即可.
解.=x?+2x+4=(x+l)+3,
・••其顶点坐标为(一二).
且-2Wa<3,
抛物线开口向下,
.3<^<(3+1)2+3=19
故选C.
2.A
根据抛物线解析式求得对称轴为直线x=T,开口向下,根据点到对称轴的远近进行判断即可求
解.
本题考查二次函数的增减性,熟练掌握抛物线的对称性和增减性是解题的关键.
解:「k-2(x+l)F,
••・抛物线的对称轴为直线x=T,
•・・抛物线开口向下,而点5在对称轴上,点。离对称轴最远,
。<Q<b.
故选:A.
3.B
本题考查二次函数的图象和性质,根据>="("一〃)+人的图象和性质进行判断即可.
9/42
解:J=(X-1)2-2,
••・抛物线的开口向上,对称轴为直线%=1,顶点坐标为
・・・当x=l时,函数有最小值为-2,当时,了随x的增大而增大;
综上:只有选项B说法错误,符合题意;
故选B.
4.D
本题考查正方形的性质,三角形全等的判定和性质,二次函数图像上点的坐标特征,过点C作
Wx轴,过点B作于",过点。作于N,利用三角形全等的即可得出C点
1,
y——x2+bx
坐标,代入2即可得出°的值.确定点C的坐标是解题关键.
解:过点。作血加工》轴,过点8作于过点。作DWN于N,
...ZBMC=ZCND=90°
四边形是正方形,
...ZBCD=90°,BC=DC,
NBCM+ZDCN=90=BCM+ZCBM,
:/DCN=NCBM,
在ACBM和&DCN中,
'/BMC=/CND
<ZCBM=ADCN
BC=CD
.ACW^AZ)C7V(AAS)
,.•BM=CN9CM=DN,
设C(a,b),
10/42
・;点8、。的坐标分别是(一.2)、(1,2),
Jq+1=2-6
.\a-l=b+2
=2
解得:〔6=T,
・°(2,T)
,,,
12,
y=——x+bx
•・•点C在抛物线2的图像上,
1,
-1=--x22+2b
2
故选:D.
5.A
本题考查了等腰直角三角形的性质,矩形的判定和性质,一次函数和二次函数的定义,二次函数求
最值.由等腰直角三角形的性质可得4=48=45。,再由DEIAC,推出△NED和
△0KB是等腰直角三角形,四边形CEDE是矩形,进而可得〉与x的关系,再根据矩形的面积公式
可得S与x的关系式,化为顶点式,即可得到最值.
解:•.•△NBC是等腰直角三角形,ZC=90°,
ZA=/B=45°,
DF1BC,DE1AC,
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.•.△4EZ)和△"咕是等腰直角三角形,四边形CEDE是矩形,
:.CF=DE=AE=x9BF=DF=y,
•:AC=BC=2,
:.BF=BC-CF艮=2-x,
与x满足一次函数关系,
*.•S=CFxDF=x(2—x)=2x—x2=—(x-1)2+1,最大值为1,
二•S与'满足二次函数关系,且S存在最大值.
故选:A.
6.B
此题考查二次函数的性质,一次函数的性质,利用举特例的方法是解决问题常用方法.①将(1,°)点
代入函数,解出左的值即可作出判断;②首先考虑,函数为一次函数的情况,从而可判断为假;③
根据②即可作出判断;④当左=0时,函数为一次函数,无最大值和最小值,当左N0时,函数为抛
物线,求出顶点的纵坐标表达式,即可作出判断.
解:①将(1⑼代入可得:2k-(4k+l)-k+l=0;解得:k=o,此选项正确.
②当斤=°时,J=f+1,该函数的函数值丁始终随x的增大而减小;此选项正确;
③当左=0时,尸f+1,经过3个象限,
当上r0时,A=(4A:+1)2-4x2k[-k+1)=24^+1>0,
•••抛物线必与x轴相交,
,图象必经过三个象限,此选项错误;
④当左=°时,函数无最大、最小值;
24^+1
左N0时,'最=一一=,当人>°时,有最小值,最小值为负;当左<°时,有最大值,最大值为正;
此选项正确.
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正确的是①②④.
故选:B
7.A
根据等边三角形的性质可得乙4〃//=60。,然后表示出4s的解析式,与二次函数解析式联立求出
点昂的坐标,再根据等边三角形的性质求出同理表示出小氏的解析式,与二次函数解析式
联立求出点员的坐标,再根据等边三角形的性质求出小力2,同理求出易的坐标,然后求出力243,
从而得到等边三角形的边长为从1开始的连续自然数,与三角形所在的序数相等,进而求得三角形
的周长.
解:•••△^//小是等边三角形,
••Z-A1-A.QB;=60°,
V3
----X
・・•///的解析式为尸3
八5x
联立3
V3
X=——
2
1%=0
y=-
解得:2或y=0
・•・Bi(2,2),
-x2-l
・••等边△^//小的边长为2
旦+1
同理,的解析式为尸3
V3
尸丁+1
22
y=x
联立.3
13/42
x=------
:X=6I
解得1y=2或[了一],
■.B2(省,2),
;.等边△^/当山的边长//*2x(2-1)=2,
369
同理可求出品(2,5),
9
所以,等边△^为儿的边长/24=2X(2-1-2)=3,
...,
以此类推,系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数,
A^42022^2023^2023的边长为2023,
•t-^4-2022^2023^2023的周长是6069.
故选:A.
8.C
A、把加=-3代入白加,1-私-1-端,求得{。,瓦。},求得解析式,利用顶点坐标公式解答即可;
B、利用平行线的性质求得直线>=》-1与过顶点平行直线的直线与y轴的交点,求得交点的
长度,进一步即可解决问题;
C、代入x的值,验证即可解答;
D、根据特征数的特点,直接得出x的值,进一步验证即可解答.
解:••・函数广&+加+c的特征数为{2也1-办-1-%
.y=2mx2+
顶点坐标是133人故当优=一3时,函数的最
14/42
8
大值为此结论正确;
(18)7
B、过顶点133J平行直线y=x-l的直线为3,
所以直线‘一”+3与丁轴的交点为〔勾,而直线>与了轴的交点为(of,
所以两交点的长度为3''3,
10V2572
__x___—___
所以顶点到直线y=xT的距离为32~3,此结论正确;
C当%=1时y=2加/+(]—加)%+(_]一加)=2/+0―加)+(-1—m)=0
、/=_;、y=2mx2+(1—+l-m)=—m)=
即函数图象恒过两个定点°'°)和〔2'此结论不正确.
D、当加<0时,>=2机X?+(1-加卜+(-1-加)是一个开口向下的抛物线,
m—1
其对称轴是:直线x=7£,在对称轴的右边了随X的增大而减小.
m-1111J
-----=--------->—X<-
因为当加<0时,4m44m4,即函数在4时,>随X的增大而增大,此结论正确;
故选C.
9.D
根据抛物线与x轴的交点问题得到,图象G与x轴交点坐标为:(°,°),(4°),再利用旋转的性质图
象G与x轴交点坐标为:(4,0),(8,0),则抛物线G/=(x-4)(x-8)(44x48),于是可推出抛物线
Qo6.y=(x-4x505)(%-4x506)(2020<x<2024);由于2023=4x505+3,则有「(2°23,机)在抛物
=(%-4x505)(%-4x506)(2020<x<2024)±;然后根据二次函数图象上点的坐标特征计算%的
值即可.
,•,如图抛物线G:,=-"0一4)(℃"4),
15/42
图象。与X轴交点坐标为:(。⑼,(4°),
,••将G绕点4旋转180。得G,交X轴于点4,
二抛物线"Hl*8)(44x48),
•••将G绕点a旋转180。得G,交X轴于点4,
如此进行下去,
...抛物线C506:^=-(X-4X505)(X-4X506)(2020<x<2024),
•••2023=4x505+3,
...P(2023,机)在抛物线y=(x—4x505)(x—4x506)(2020<%<2024)上,
,当x=2023时,>=(2023-4x505)(2023-4x506)=-3,
故选:D.
10.D
过点。作儿W14D于点与交于点N,证明△4PgsMQP,设W=x,根据相似三角形
的相似比,用x表示/尸,并求得尸初,进而根据勾股定理,用x表示CQ1根据二次函数的性质求
得℃的最小值,最后便可求得°。的最小值.
解:过点。作"NS/。于点“,与BC交于点N,如图所示:
..NA=NPMQ=NCNQ=90°,AB=MN=3
•••NBPQ=90°
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ZAPB+ZMPQ=ZMPQ+ZPQM=90°
ZAPS=ZMQP,
:.AAPBsMQP,
APAB_BP
,诟一而一而,
设=则NQ=3-x,
3
BP=-PQ
v2,
AP_3_3
.•.三一访工
3
...AP=-x
2,MP=2f
33
:.CN=DM=AD-MP-AP=4-2——x=2——x
22
'.CQ2=QN2+CN2
—>0
4,即抛物线开口向上,
2425
当13时,CQ的最小值为13,
/25_5VB
长的最小值为113.13,
故选:D
11.6
本题考查了二次函数的性质,分别作出两抛物线的对称轴交4D于M、N,令直线交了轴于E,
17/42
CM=-V(AB+BC7}=—BN=-V(BC+CD7)=-
由题意可得EN=13,22,22由
EM+CM+BN-BC=EN求出EM=6,即可得解.
解:分别作出两抛物线的对称轴交/。于M、N,令直线交了轴于E,
••・平行于x轴的直线与两条抛物线,="。-')2和%=b(xT3)2(a<b)相交于点/,B,C,D.
2
...抛物线y2=b(x-l3)的对称轴为直线x=13,即EN=13,
AB=8,BC=3,CD=6,
CM=-{AB+BC}=—BN=-(BC+CD)=-
.,・22,22,
...EM+CM+BN-BC=EN,
119
EM+—+——3=13
22,
;.EM=6,
...抛物线%=°(x-〃)2的对称轴为直线x=6,即〃=6,
故答案为:6.
12.〈外
本题考查了二次函数的图象和性质,由抛物线,=加+法+总>0)过点”(-2,0)8(0,0),可得
\b=2a
lc=0,即得>=°X2+2G,得到抛物线的对称轴为X=T,再根据知抛物线开口向上,抛物
线上的点离对称轴的距离越近函数值越小,据此即可求解,掌握二次函数的图象和性质是解题的关
键.
18/42
解:•••抛物线昨加+法+。(。>0)过点4(-2,0),5(0,0)
[0=4Q-2b+c
[0=c
(b=2a
\c=0
.•.抛物线解析式为>=ax2+2ax,
••・抛物线的对称轴为x=T,
...a>0,
抛物线开口向上,抛物线上的点离对称轴的距离越近函数值越小,
-1)<-1-(-3)<3-(-1)
•••2,
,.,%<%<%,
故答案为:人(乂<%.
13.2或-2
本题考查二次函数与x轴的交点问题、等腰直角三角形的性质、坐标与图形,根据等腰直角三角形
的性质可得该抛物线的顶点的横纵坐标相等或互为相反数,进而得到关于6的方程,然后解方程求
解即可.
2b2(b叫
解:由12J4得顶点坐标为I24九
令》=0,由0=/+6x得玉=0,X2=-b,
•••该抛物线了=-+云与x轴的两个交点坐标为(&°),(一”°),
•.•抛物线歹=-+bx的“特征三角形,,是等腰直角三角形,
19/42
b2_bb2_b
...F=5或丁-5,且x,
解得6=2或&=-2,
即b的值为2或-2,
故答案为:2或-2.
128
y=—x2——X——
14.333
本题考查二次函数性质与几何图形应用,根据矩形的性质得到C(-2,°),D(4,°),设抛物线解析式为
y="(x+2)(x-4),求得顶点坐标为0,-3),代入求出°即可得到抛物线的解析式.
...四边形/瓦JC是矩形,
,.,ACLCD,BDLCD,
又•:C、。两点在x轴,M一"一3)、3(4,-3)
轴,轴,/B'y轴,
,C(-2,0),Z)(4,0)
,,J
设抛物线解析式为了=a(x+2)(》-4),
-2+4,
x=-----=1
••・抛物线的对称轴为直线2
・•・顶点坐标为O'"),
将点O'—3)代入,得-9a=-3
1
ci——
3,
y=—(x+2)(x-4)=—x2--X--
••・抛物线的解析式为3'333,
20/42
128
y=—x2——x——
故答案为:333
15.18
本题考查了抛物线与x轴的交点,根据点/、3的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x=,〃+l.故设
抛物线解析式为>=2(%-加-J,直接将“(加—2/)代入,通过解方程来求〃的值.
解:•••抛物线产2/+及+C过点((1),
m—2+m+4.
x=------------------=m+1
・•・对称轴是直线2
又•••抛物线y=2/++c与X轴只有一个交点,
二顶点为(加+1,0),
••・抛物线解析式为>=2(x-机-厅,
把一2,〃)代入,得:
〃=2(机一2-加一I)?=18
即〃=18.
故答案为:18.
16.⑴%-—2X+9
⑵①7;②2
本题考查二次函数的图象与性质,熟练掌握二次函数的性质是解答的关键.
(1)根据抛物线的对称性求出m的值即可;
(2)①先求出抛物线解析式,根据二次函数的性质即可解答;②先求出〃关于七的二次函数解析
式,在求出对称轴,根据二次函数的性质,结合题意分类讨论即可.
(1)解:•./(冷必),'&,%)是抛物线上不重合的两点,当再+%=2时,%=%,,
21/42
点"(j%),8&,%)关于抛物线的对称轴对称,
-2mx+x1
x=--------=m=—-]-----?=I
••・抛物线的对称轴为2x12
••・抛物线的解析式为:y=/_2无+9
2
(2)解:①当加=1时,则抛物线的解析式为:yx—2x+9
・•,MG。,%)是抛物线上一点,且
,%02—2XQ+9—XQ+n即-3XQ+9=〃
3|227
I+『
2
...l>09
3
%〈一
2时,〃随x的增大而减小,
1-|巾=7
时,〃有最小值,最小值为
②根据题意:X;-2%与+"?2-加+9=X°+”
2
即〃=x0-(2m+l)x0+加之一加+9
-(2m+1)1
«=x2-(2m+l)x2-m+9的对称轴为修=m+—
Aoo+W2x12,
£
.・.抛物线〃=『-加+)苏-加+的图象开口向上,且“<加+
xQ1/+92,〃随与的增大而减小,
11
x>m+—x=m+—
n2时,〃随修的增大而增大,n2时,〃有最小值,
2m-1<x<—m+3
2时,〃的最小值是5,
22/42
2,解得:3.
m+—>—m+3
当2—2时,则〃叱5,与题意矛盾,舍去;
m+—<2m—1
当2时,则2,
3,,8
—<m<—
此时,23,
当x=2加-1时,函数有最小值,
2
."min=(2加-1)--(2m+l)(2m-1)+m-m+9=5
解得:加=2或加=3(舍去);
2m+—<—m+3m<—
当22时,则2,
3
m<—
此时,2,
x=m+—
当2时,函数有最小值,
m+—m+—+m2—m+9=5
2
m=——>—
解得:82(舍去);
综上,加的值为2.
17.(I)"-。);8(1,°)
(2)的最大值为4
1+V7
⑶存在,点N的横坐标为2,2或2
此题考查了二次函数面积问题、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与坐标轴的交点问题等知识,
数形结合和分类讨论是关键.
23/42
(1)解方程/+2-3=0得到%=1,%=-3,即可得到答案;
(2)求出直线/C的表达式为y=-x_3,设苏+2加-3),则£(加,一机-3),求出一3(加<0,
DE=-[m+^\+-m=---
I2)4,则当2时,的最大值为4;
(3)分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况进行解答即可.
(1)解:令代入了=x2+2x-3得:X2+2X-3=0,
解得网=1,%=-3,
./(-3,0);5(1,0)
(2)设直线/C的表达式为丁=履+〃,把"(一3,0)、0(0,-3)代入得:
f0=-3A:+n[k=-1
1-3=",解得储=一3,
••・直线NC的表达式为y=r-3,
设+2加-3)则
•・•点。位于第三象限,
DE=—m—3—(m2+2加一3)=—m2—3m=—\m+—\+—
...-3<m<0,V)I2)4,
39
m=———
.,.当2时,DE的最大值为4.
24/42
(3)①当为平行四边形的边时,DN//OB
.■.D,N关于直线x=-l对称
...DN=OB=\
_3
.•.点N的横坐标为一5或-5.
②当为平行四边形的对角线时,设点而了+2"3),贝。点。(1-,-厂-2/+3),
•・•点。在抛物线上
.-f2-2z+3=(l-/)2+2(l-r)-3
•・•点。在第三象限
.••点N在第一象限
1+V7
・••点N的横坐标为2
25/42
_!_2i+近
综上所述:点N的横坐标为-5,一5或I-
1
CL——
18.(1)4
n\m<n<P
本题考查二次函数的图像与性质,待定系数法求二次函数解析式,解题的关键是掌握二次函数相关
的性质.
(1)由“3),BC=10,得C(-7,3),把C(-7,3)代入%="X+3)2-1即可求得华
(2)利用力求出/(1,3),即可可得抛物线"一56一")+"的对称轴是直线x=2,利用二次函数的
性质即可得出可得加<〃<尸;
(3)利用抛物线解析式求出I2人I4人从而得出结果.
⑴解1(3,3),叱=10
:.C(-7,3)
2
把。(一7,3)代入%=a(x+3)2-1得:3=«(-7+3)-1;
解得:”,
**——1
(2)解:,4,
■-y2=;G+3)2-1
,3=-(X+3)2-1
令y=3得,4、
解得x=l或x=-7,
26/42
,1+3、
/.h=----=2
2
y,=—(x-/z)2+k
,抛物线2、的对称轴为直线》=2,
...点(2,%),(3,〃)及(4,P)都在抛物线必上,抛物线”=5(xf开口向上,
二在对称轴右侧,y随x的增大而增大,
:.m<n<P.
⑶解:把8(3,3)代入XT—)』
k=—
解得:2,
9
y——
令x=0,2,
■'-pH
在力TN?-1
中,
5
y——
令x=0,4
尸。4-鸿
19.⑴。=1,k=-l
(2)抛物线的对称轴上存在一点N,使4/8"为直角三角形;点"的坐标为(2,1)或(2,2)或(2,4)或
(1)根据直线N=-3x+3与x轴、了轴分别交于点/,B,得令、=0,令》=°,进行计算得
现1-2了+左=0
4(1,0),5(0,3),根据抛物线夕=°(X_2)一+左经过点儿.(0-2)2+左=3,进行计算即可得;
B得
27/42
⑵设N(2,〃),根据/(1,0),3(0,3)得A82=IO,A«2=«2-6/7+13,NA2=l+n\分情况讨论:①
当是以42为斜边的直角三角形时,由勾股定理得,NA2+NB2=AB2,②当AABN是以NA为
斜边的直角三角形时,由勾股定理得,AB2+NB2=NA2,③当A/BN是以NB为斜边的直角三角形时,
由勾股定理得,AB2+NA2=NB2,进行计算即可得.
(1)解:•.•直线、=-3X+3与x轴、V轴分别交于点N,B,
.•.令x=0,则
令产0,则-3x+3=0,解得x=l,
8(0,3),
•••抛物线厂"。-2)2+4经过点N,B,
,(1-2)2+后=0
.L(0-2)2+A:=3
ftz=1
解得在=T;
(2)抛物线的对称轴上存在一点N,使为直角三角形,理由如下:
解:设N(2,"),
...4(1,0),3(0,3),
...AB2=12+32=10,
NB2=22+(n-3)2=«2-6n+13
2222
A^=(2-l)+n=l+n;
①当是以48为斜边的直角三角形时,由勾股定理得,
N^+NB^AB2,
l+n~+n2-6n+13=10,
28/42
2n2-6n+4=0,
n2-3n+2=0,
(n-l)(w-2)=0
=1,T?2=2
...N(2,l)或N(2,2);
②当是以M4为斜边的直角三角形时,由勾股定理得,
AB2+NB2=NA2,
10+n2-6〃+13=1+〃2,
-6n=-24,
〃=4,
...N(2,4);
③当是以NS为斜边的直角三角形时,由勾股定理得,
AB2+NA2=NB2,
10+1+w2=n2-671+13,
6n=2f
N(2$
综上,点N的坐标为(2/)或(2,2)或⑵4)或
20.⑴/J,。),8(1,。),。(0,2)
⑵尸(一3,2)或尸(5,-18)
29/42
⑶。(一⑹或(-3,2)或Si
123
八—x—x+2=0_A_1c
(1)当y=°时,22,解得:再=-4,%=1,当无=0时,>=2,由此即可得出答
案;
AOc爪,—+2
tan/ACO=二2
(22,则"3°),则
(2)求得OC,作轴于",设
」』+2
L3+2PH22
PH=AH=n-(-)=n得到tanNPZ-而
224+4)n+4,从而可得
-92+2
=2
n+4求解即可得出答案;
12—^m+2吁3石
Q\m,-—mDEj----------
(3)设点I2,求出8C=石,则5,待定系数法求出直线8c的解析式
__y=_2cx—1m2H—1加+2C
为:y=-2x+2,8所在直线的解析式为22,NC所在直线的解析式为
,从而得出
13c
y=——x2——x+2
(1)解:.•・抛物线22与x轴交于点4B(点A在点3的左侧),与y轴交于点C,
13
八——x29——x+2=0
二.当昨0时,22
解得:再二-4,x2=l
-4,0)5(1,0)
当x=0时,了=2,
,0(0,2)
30/42
(2)解:由(1)可得/J4"
.Q=4,OC=2f
AC)
tanZACO=—=2
oc,
如图,作轴于H,
图1
2〃+2
P\n,-
设I22,则“(〃”
103
:.PH=——n2——n+2
22AH=H-(-4)=H+4
-2
22
/.tanZPAB=—
AH〃+4
要使ZPAB=NACO,贝(jtan/PAB=tan/ACO,
3〃+2
22
=2
n+4
13
—n92—〃+2=2几+8
22
13
——n29——〃+2=2〃+8
当22时,
整理得:/+7〃+12=0,
解得:"=-4或〃=-3
•・・4(一4,0)
31/42
尸(-3,2).
整理得:»2-«-20=0,
解得:〃=-4或〃=5,
-4,0)
..尸(5,-18).
当点P在点A的左下方时,乙以3>90。恒成立,而CO<90。恒成立,故点尸不能在点A
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