福建省福州市某校2024-2025学年高一年级下册3月月考数学试题

福建省福州市某校2024-2025学年高一下学期3月月考数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知向量3=0,2），b=（x,\-x）'若d而，则工=（）

12

A.2B.-C.3D.-

2.向量a=（_l,2），b=（-3,xy若力力则（

3.在VN8C中，角A,B,C所对的边为“，b，。，/=60。，a=g，c=2,那么6的

大小是（）

A.V3C出

4-在V/BC中，"asiiU=6siiR”是"VABC为等腰二角形”的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知向量。=（1，-6）,问=1,且（"2孙（2,+彼）=3.则在"方向上的投影向

量的坐标是（）

_L3也

试卷第11页，共33页

6.在△/BC中，若，,A42C的面积贝I」()

4=60。6=15=73a_

sin4

A.36B.-C,2垃D.2底

333

7.在V/8C中，/。为8c上的中线，G为/。的中点，M，N分别为线段/C上

的动点（不包括端点4B,C）,且跖N,G三点共线，若翔=4次，痂=〃就，

则2+4〃的最小值为（）

A.-3B.52C.2D.9-

224

8.圆0为锐角VN3C的外接圆，NC=2”=2,点尸在圆。上，则而.而的取值范围为

（）

A.B,[°>2）C._；,2）D.94）

二、多选题

9.设向量万=化2）石=（1,-1），则下列叙述正确的是（）

A.若左=_3，则&与*的夹角为钝角

B.同的最小值为2

c.与“垂直的单位向量只能为（正YT

-5.

试卷第21页，共33页

D.若同=2网，则4=±2A/2

10.已知v4Bc的内角/、B、C所对的边分别为。、b、c,下列说法正确的是（：

A.若。=币，b=2,/则c=3

B,右sin/>sin8'则a>b

C.若就1.刀>0，则V4BC是锐角三角形

D.若sin/:sin8:sinC=2:3:4'则V4BC是钝角三角形

中,内角B，的对边分别为，c9为的面积,且〃:

ILV45cA,ca6,SV45c2'

.~^Q_2y/3Sf下列选项正确的是（）

A.A=-

6

B.若6=2，则V4BC只有一解

C.若V。为锐角三角形，贝广取值范围是（2石，4］

D.若。为8c边上的中点，则ND的最大值为2+G

三、填空题

12.已知向量［,［不共线，如果在=］+2晟，BC=-5el+6^^无=74-国，则共

线的三个点是—.

13.已知向量兄」满足同=3,问=2,侬+3）石=1,贝|］怩+*___

试卷第31页，共33页

14.如图，某山的高度BC=300m,一架无人机在0处观测到山顶C的仰角为15。，地面上

N处的俯角为45。，若N5/C=60。，则此无人机距离地面的高度尸。为m.

四、解答题

15.平面内给定三个向量£=(3,2)，6=(-1,2),[=(4,1)•

⑴求满足£=病+症的实数以n.

⑵若2满足2〃R+9,且口1=5,求2的坐标.

222

16.在V/8C中,^a-c+b=ab-

(1)求角C的大小；

⑵若°=6=3，求v/BC的面积•

17.如图，在平行四边形48CD中，AB=\,AD=2,ZBAD=600-BD'相交于点

O,〃为80中点.设向量方=々，AD=b-

(1)求归一可的值;

试卷第41页，共33页

(2)用1,B表示而和而；

(3)证明：ABA.BD-

18.已知在锐角V/8C中，明b,c分别为内角4B,。的对边，2acos8=2c-b-

⑴求角A；

⑵若c=2,。为BC中点，AD=W求必

(3)若q=2,求6+c的取值范围•

19.在直角梯形N8C。中，已知ABHCD，ZBAD=90°>4B=6,AD=CD=3,对角线

NC交5D于点。，点M在48上，S.OM1BD-

⑴求痂•丽的值；

(2)若N为线段ZC上任意一点，求丽.而的取值范围.

试卷第51页，共33页

《福建省'福州市?良校2024L-2025学年高一下学期3月月考娄攵学试题》参考省嗦

题号12345678910

答案BDDAADDCABABD

题号11

答案ABD

1.B

【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解即可.

【详解】若书区，则2%=l—x,解得工」.

3

故选：B.

2.D

【分析】根据向量垂直的坐标运算求解即可.

【详解】因为a=（-1,2），6=aA-bf

所以（T）x（—3）+2x=0,即x=_2.

2

故选：D.

3.D

【分析】运用余弦定理进行求解即可.

【详解】因为/=60。，0=J7，c=2>

所以有/=1）2+c2-2bccosAI=b2+4-2b=b=3,或6=-l舍去，

故选：D

4.A

【分析】根据题意，结合小范围可以推出大范围，而大范围推不出小范围，即可求解.

【详解】asin4=bsin5na2=〃na=6nVN2C为等腰三角形，即充分性成立

MABC为等腰三角形=>a=6或6=<;或。=。，

答案第11页，共22页

不一定得到asm”加i®即必要性不成立，

“asiMisi—是"尤为等腰三角形”的充分不必要条件，

故选：A

5.A

【分析】根据向量数量积的运算及向量的坐标运算可得数量积限6的值，再根据投影向量

的运算公式求解即可得答案.

【详解】因为及=（1，一G）,问=1,则同="T3=2,

所以（&-23〉（23+3）=2»2—3/石一2庐=8-3限3_2=3,贝［|展3=1,

所以@+23在1方向上的投影向量为

故选：A.

6.D

1ca

【分析】先利用S=^6csin/求出,再利用余弦定理求，进而可得匚n二

2sin4

【详解】由已知S=，6csin,=』xIxcx——=-73J

222

可得c=4，

Q?—b?+c?—2bccos24—1+16—8x—=13,

2

a='

答案第21页，共22页

.a_V13_2739

sinZ百3

~T

故选：D.

7.D

【分析】利用平面向量的基本定理，用不，衣表示前，设应d=后而，0<x<b再用

含参的方式用“民NC表示就，得到关于参数的方程组求得工［1+工］=1，最后应用基本

从23

不等式“1”的代换求；L+4〃的最小值，注意取值条件.

【详解】由题意就三刀三（刀+而卜（赤+；而）［万+；（就-通

=；在+/，

^MG=xMN'°〈尤<1，

=4(1-x)AB+juxAC'

答案第31页，共22页

所以4（1_切=；,/得;=

所以4+=++=+?++（当且仅当“=；〃=1

时等号成立）.

故选：D

8.C

【分析】把丽万转化为前.前+丽.而，由余弦定理、数量积的定义得

BO-AO=r2--,讨论的位置得瓦•刀e[-：,2/一（],结合锐角三角形

8C=2rsin/A4c（石恒成立，即可得范围•

【详解】由V4BC为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，

又丽•而=（丽+砺）.亚=而•而+而•而，而"=2"=2,若外接圆半径为心

则2/"cos4O5)=2/"cos2C)=l,故侬2c=1-上，且"立即…

2a

由南.亚=|团||亚卜osAAOB=r2cos2C=r2-1,

对于方•正且尸在圆。上，当4尸为直径时方.就=/,当4P重合时而.而=一,，

答案第41页，共22页

所以而•前e[-/,/卜

________11

综上，BP-AO&[--,2r2-^],

锐角三角形中乙£4C<90。，则8C<JzC2+Ag2=逐‘即8c=2r也/R4。<6恒成立，

所以则2<2恒成立，

22

—>.1

综上，BP-AOe[--,2).

故选:C

9.AB

【分析】求出方与5夹角的余弦值可判断A；向量的模可判断B；单位向量可判断c；向

量模相等列出方程求解可判断D.

Ak=-3,,a-b-55726-l<cos仿而<0

【详解】对，当时，3(“力)=丽=而至=一文，因为

所以Z与袱的夹角是钝角，故A正确；

对B,同=护百22,当且仅当“=°时取等号，所以同的最小值为2,故13正确；

对C，设与B垂直的单位向量为(x,y)，

-正

--V1

O-2-2

正

包

-

-2-2

答案第51页，共22页

与6垂直的单位向量为也］或（正一变］,故0错误；

〔2，2J12；2J

对。，若同=2问，可得："'4=20,

解得后=±2,故口错误.

故选：.

10.ABD

【分析】A利用余弦定理即可；B利用正弦定理即可；C数量积运算可得“为锐角，但无

法保证其余角也为锐角；D先利用正弦定理得出q：6：c=2：3:4,再利用余弦定理即可.

【详解】对于A,由余弦定理得.2=^+°2_2庆cos/，

得7=4+°2_2X2CXL,得，故A正确；

2

对于B,由smQsin'及正弦定理，得&>幺，解得故B正确；

2R2R

对于C,因为”C>°,所以/0/8=卜。'/4cos/=bccos/>°,

所以cos/>0,所以/为锐角，但无法确定8和C是否为锐角，故C错误；

对于D,因为V48C的三个角满足sin/:sin3:sinC=2:3:4'

所以由正弦定理化简得°力"=2:3:4，

设a=2k'b=3k'c=Ak'0为最大边，

由余弦定理得cosC=+6-2=4k、9k276k2=」<0，

lab12k24

答案第61页，共22页

所以c为钝角，所以V/3C是钝角三角形，故D正确；

故选：ABD.

11.ABD

【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A,直接解三角形可判定B,

利用角的范围结合正弦定理可判定C,利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定

理、基本不等式可判定D.

【详解】对于A,因为“"NC=2GS,所以6ccos/=26x』6csin/,则tan/="，

23

因为“e（O,兀），所以N=巴，故A正确；

6

对于B,因为6=2=",则8=/=四，C=—,故V"'。只有一解，故B正确;

63

对于C,若"/SC为锐角三角形，则台小鼻，Ce,，5,

兀兀兀nm

B<5<、

0<<-T2sin5e—,1

则，贝U，即I2)

八兀兀—J

0欣--------B<—

162

由正弦定理可知：6="2=4sin8e(2班,4),故C错误；

对于D,若。为边上的中点，则益=；(方+%),

所以行=^A82+2A8-l4C+l4C2)=^[Z>2+c2+V3^c)

2222

由余弦定理知/_/)+c-2bccosA=b+c-y/3bc=4，得6?+c?=66c+4'

答案第71页，共22页

又b2+d=®c+422bc,所以6c+

2-V3

当且仅当6=C=行+后时取得等号，

所以而2=；伊+°2+扬°）=；（4+2扬小：［4+2房（4用8）］=7+4君，

即⑷WJ7+46=2+6,故D正确.

故选：ABD.

12

,ZB，D

【分析】利用共线向量的充要条件化简求解即可.

【详解】因为方=1+21,BD=BC+CD=-5el+6^+7el-2^=2^i+4^=2AB

所以次，而共线，且有公共点3,所以A，B，。三点共线.

故答案为：A，B，D

13.取

【分析】根据数量积的运算律求得2）/=_3,再根据向量模的计算公式，即可求得答案•

【详解】由同=3,村=2,侬+孙彼=1,得2晨行+⑸2=）有2万'=1—4=-3,

贝423++74^+片+4小行=136+4-6=南,

故答案为：后

14.200

【分析】在直角三角形中求出“C，在△NCQ中利用正弦定理求出/0，在中求

答案第81页，共22页

PQ即可.

【详解】根据题意，在RtJBC中，NA4c=60。，5C=300m,

AC=-^―=~=20073

所以sin60°V3m,

~T

在A/C0中，N/QC=450+15°=60°,N0/C=180°—45°—60°=75°,

所以/。&4=180。一//0。一/0/。=45。，

AQAC亚

•.<0=~~7（^200V3X—_

5Sm6

由正弦定理，得.0,即/0=-------r^-=200V2m,

V3

T

m

在RtNP。中，PQ=AQsmA5°=200^x2^1=200.

2

故答案为：200

15.（l）m=—M=—

99

（2）（百2⑹或卜6-2石）

【分析】（1）由向量的坐标运算列方程组，解出即可；

（2）设2="/），由向量共线的坐标表示和模长计算解出即可.

【详解】⑴由题意可得］=一加+4",

\2=2m+n

解得加=—,n=—

99

（2）设2=（%,y）,

答案第91页，共22页

由题意可得Z+B=(2,4)，

因为2〃口+可，则4x-2k°,①

又同=5,所以G+j?=5,②

由①②解得x=45,y=2垂)或x=-#i,y=-2石,

所以2的坐标为(石，2石)或卜石，-2石).

16.(1)-

3

⑵蛀

4

【分析】(1)利用余弦定理求出esc的值，结合角c的取值范围可得出角C的值;

(2)利用三角形的面积公式可得出V/8C的面积.

【详解】(1)解：由题意可得cosC="2+>W=)，；八(0,兀)，故c=2E.

2ab23

(2)解：由三角形的面积公式可得Z/"=；a6sinC=\l-

因此，V"。的面积为名回.

4

17.(1)6；(2)BD=b-atjM=-a+-b；(3)证明见解析

44

【分析】(1)利用数量积公式以及归-彼卜加工『求解即可；

答案第101页，共22页

(2)由向量的加减法进行运算即可用a,B表示前和为7；

(3)利用向量的垂直和数量积的关系证明即可.

【详解】(1)\a-b^=—B)=\la2-2a-b+b2

=‘Bl?_2同.忖cosNB4D+=Jl-2xlx2x|+4=V3

⑵BD=AD-AB=b-a

又；A/'为80中点

——1—•1-

:.BM=-BD=-(b-a)

44

—————1-31-

AM=AB+BM=a+-(b-a)=-a+-b

444

⑶-,-ABBD^a^b-a^a-b-a2

又AB=1,=2,ABAD=60°

@B=1x2xcos60°=l,o2=|a|2=1

:.ABBD=a-b-a2=1-1=0

所以加，丽

【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，利用数量积求模以及利用向量证明线段垂直，

属于中档题.

18.⑴/=60。

⑵6=4

(叫2石,4]

【分析】(1)由正弦定理可得2sin/cos3=2sinC-sin夕根据三角形内角和定理和两角

答案第111页，共22页

和的三角函数即可求解;

(2)由己知可得通=」方+!就，两边完全平方即可求解；

22

(3)由正弦定理可得b=&Asin5,c=^sinC，借助三角恒等变换及三角函数的图象与

33

性质即可求解.

【详解】⑴因为2“os5=2

根据正弦定理,得2sin/cosB=2sinC-sinB'

所以2sin/cos8=2sin(Z+5)-sinB>

所以2sin/cosB=2sinAcosB+2cos^4sin5-sin5'

即2cos/sinJ5=sinB'

因为sinB/O,所以cos/=_1,

又Aw(0,7i)，所以4=60°;

(2)因为。为中点，所以=+

22

所以西『=：(画词画2

+2AB-AC

所以7=；(4+62+2X21COS60°),

所以〃+26-24=0，解得6=4或6=-6(舍去)

故6=4；

答案第121页，共22页

(3)由正弦定理：上=，=_£_=2

sin8sinCsin/sin60°3

所以b考sinB,CM^sinC，

因为/=60°，所以B+C=120°，所以C=120°-8,