二次函数的图像与性质（解析版）-2023-2024学年人教版九年级数学上学期复习分类汇编

专题03二次函数的图像与性质

经典基础题

题型01比较大小

1.已知抛物线y=-f+2x+c,若点（0,%）,。,力），（3,%）都在该抛物线上，则%、%、%的大小关系

是（）

A.B.C.%D.必<%<%

【答案】D

【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小.

【详解】解：；y=-x2+2x+c=-（x-l）2+l+c,

,.抛物线开口向下，对称轴为直线x=l,

.・点（0,%）,（1,%），（3,%）者在B该抛物线上，1-1<1-0<3-1,

；•%<%<%，

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性.

2.已知二次函数y=2f-4法一5。2-1）,当—时，函数的最小值为一13,则b的值为（）

53

A.-B.2C.-D.1

22

【答案】A

【分析】先求出二次函数开口向上，对称轴为直线x=b,则离对称轴越近函数值越小，再分当

-14W1时，当匕＞1时，两种情况根据二次函数的性质结合当时，函数的最小值为-13进

行求解即可.

【详解】解：.•・二次函数解析式为＞=2——4桁-5。2-1）,

—4Z?

・•・二次函数开口向上，对称轴为直线=6,

2x2

离对称轴越近函数值越小，

当一1V6W1时，

•.•当一3VXW1时，函数的最小值为-13,

•1.2/72-4/?2-5=-13,解得6=±2（舍去）；

当6＞1时，IjJiJ&-1＜Z?-（-3）=b+1,

•.・当-3VxWl时，函数的最小值为-13,

当尤=1时，_y=2A:2-4bx-5=-13,

2xl2-4ft-5=-13,

解得b=|;

综上所述，b=1,

故选A.

【点睛】主要考查了二次函数的最值问题，正确得到离对称轴越近函数值越小是解题的关键

3.若点A（-2,yJ,3（1,%），。（帆,力）在抛物线＞=2加+4内+。上，且％＜为＜%，则加的取值

范围是（）

A.-3＜zn＜-2B.-3＜根＜-2或0＜m＜1

C.〃?＜-3或勿＞1D.-3＜«7＜0或-2＜机＜1

【答案】B

【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线》=-半=-1,根据/＜为＜必，

4a

根据离对称轴越远，函数值越大，可得。〉0,进而可得优的范围

【详解】解：.••抛物线y=2o?+4分+C,的对称轴为直线％=-芋4/7=-1,

4Q

点A（-2,yJ,B（l,y2）,口〃?,％）在抛物线y=Zox?+4ax+c上，且

而一1-（-2）<1-（-1）,%哽为，a>0,

<,1<机一（一1）<2或1<一1一机<2

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

4.已知（一2,%）、［J，％］、（1,%）是二次函数y=gx2+x+c图象上的三点，则%、%、%的大小

关系为（）

A.%>%>%B.必<%<%C.>2<丫3<必D.力<必<必

【答案】A

【分析】根据函数关系式可得抛物线的开口方向和对称轴，根据点与对称轴的距离即可求解.

【详解】解:二次函数的关系式为y=；/+x+c,

,抛物线开口向上，对称轴为直线x=-l,距离对称轴越近，函数值越小，

1O

•.•卜2-（-1）|=1,-1--=-,|-1-1|=-2,

二T-g<|-2-（-1）|.\%>%>%，

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，当抛物线开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小,

当抛物线开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大.

5.二次函数、=办2+以的图象如图所示，当-i<x<小时，y随尤的增大而增大，则加的取值范围

A.7Z7>1B.-1<m<1C.m>0D.—l<m<2

【答案】B

【分析】结合二次函数图象和性质进行判断即可.

【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为彳=1,

.•.当xvi时，y随x的增大而增大，

又,当-1<%<小时，y随x的增大而增大，

-1<m<1,

故选：B.

【点睛】此题考查了二次函数图象和性质，利用数形结合思想和性质是解题的关键.

II

题型02图像的平移问题

■।

6.二次函数y=/+l的图象平移后经过点(2,0),则下列平移方法正确的是()

A.向左平移2个单位，向下平移2个单位B.向左平移1个单位，向上平移2个单位

C.向右平移1个单位，向下平移2个单位D.向右平移2个单位，向上平移1个单位

【答案】C

【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可.

【详解】解：A、平移后的解析式为y=(x+2y+l-2=(x+2)Jl,当x=2时，y=15,本选项不符

合题意；

B、平移后的解析式为y=(x+iy+l+2=(x+l)2+3,当x=2时，y=12,本选项不符合题意；

C、平移后的解析式为y=(x-l)2+l-2=(x-l)2一1,当x=2时，y=0,本选项符合题意;

D、平移后的解析式为y=（x—2y+l+l=（x—2）2+2,当尤=2时，y=2,本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握基

本知识，属于中考常考题型.

7.将抛物线y=-2/向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为.

【答案】y=-2x2+3/y=3-2x2

【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，写出解析式即可.

【详解】解：将抛物线y=-2一向上平移3个单位长度得y=-21+3

故答案为：y=-2%2+3.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利

用顶点的变化求解是解题的关键.

8.将抛物线丫=2/+以-1向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的解

析式为.

【答案】y=2f

【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解.

【详解】解：；y=2x2+4x-l=2（x+l）2-3

丁=2/+4.*-1向右平移1个单位长度，

再向上平移3个单位长度后，函数的表达式为：y=2x2+4x-l=2（x+l-l）2-3+3=2^2.

故答案为：y=2/.

【点睛】本题考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规

律：左加右减，上加下减.

系数a,b,c与图像的关系

9.二次函数丁=0^+笈+4。彳0）的图像如图所示，下列说法:

①2。+》=0；②当—l<xV3时，y<0；③若（工,%）、（%，%）在函数图像上，当玉时，％<〉2；

【答案】C

【分析】根据抛物线的对称轴判断①，由图像判断②，根据抛物线的性质判断③，根据x=3时，

、=。判断④，根据已知条件可判断⑤，由此即可求解.

【详解】解：根据题意，>=◎?+乐+《。工0）的图像开口向上，与x轴的交点为%=-1,%=3,

与y轴的交点在y的负半轴上，

a>0,对称轴为x=：*+%==],c<0,

22

・・.①由图像可知，抛物线的对称轴是直线尤=1,

=1,即2〃+b=0,①正确；

2a

②由图像可知，当一l<x<3时，）<0,②错误；

③在对称轴左侧，当玉<%时，%>为；在对称轴右侧，当％1<%2时，M<%，③错误；

④当犬=3时，y=。，

9〃+3/?+c=0,④正确；

2a+b=0,9〃+36+。=0,

「.3a+6a+3〃+c=0,即3〃+。=0,

\a=-^c,⑤正确；

故选：C.

【点睛】本题考查的是二次函数图像与系数的关系，二次函数丁=。/+法+。系数符号由抛物线开口

方向、对称轴、抛物线与V轴的交点抛物线与无轴交点的个数确定，掌握二次函数图像的性质是解

题的关键.

10.在平面直角坐标系中，已知二次函数〉=加+泳+4。7（））的图象如图所示，有下列5个结论:

①必。>0；②2a-b=0；③9a+36+c>0；®b2>4ac；⑤“+c<b.其中结论正确的是（填

序号）.

【答案】④⑤/⑤④

【分析】①由图象的开口方向，与y轴的截距，对称轴的正负，即可求解；②由-==i，即可求

2a

解；③-「.2<X2<3,当元=3时，即可求解；④图象与％轴有两个交点，即可求解；

⑤当％二—1时，a-b+c<Q,即可求解.

【详解】解：①由图象得：图象开口向下，,。<0,与y轴的截距在正半轴上，c>o,-->o,

2a

b>0,abc<0,故此项错误；

如图，-1<%<0,;.2<X2<3,.・.当天=3时,9a+3b+c<0故此项错误;

④图象与x轴有两个交点，.•.廿-4碇>0,；»2>4的,故此项正确；

⑤由③得，当x=-l时，a-b+c<Q,:.a+c<b,故此项正确；

故答案：④⑤.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象判断式子的符号，掌握判断方法是解题的关键.

11.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a^0）的顶点坐标是（2,-2），图像与无轴交于点B（»W）和点C,

且点B在点C的左侧，那么线段BC的长是.（请用含字母，"的代数式表示）

【分析】根据抛物线，=依2+桁+。（a#0）的顶点坐标是（2,-2）可得对称轴是直线A2,根据点

川帆0）和点C关于直线x=2对称可得C（4-桃0）,进行计算即可得到线段BC的长.

【详解】解：,抛物线'=加+法+。（。工0）的顶点坐标是（2,-2）,

.•.抛物线的对称轴是直线x=2,

点3（加0）和点C关于直线x=2对称，

.•・设点C的坐标为（力,0）,

/.H+m=2x2,

,'.n=4—m,

/.C（4-m,0）,

点3在点C的左侧，

BC=4—m—m=4—2m,

故答案为：4-2m.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与不轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解

题的关键.

12.已知二次函数丫=依2+法+《。中0）的图像如图所示，有下列5个结论：

（T）abc>0；②6<a+c；③4a+2b+c>0；④2c<36；（5）a+b>m^am+b）（加力1的实数）.

其中正确的结论有（填序号）

【答案】③④⑤

【分析】由抛物线的开口方向可以得出〃<o,由抛物线与y轴的交点可以判断c>o,由抛物线的对

称轴可以判断>>0,再根据抛物线与*轴的交点情况以及抛物线的顶点进行推理即可得到答案.

【详解】解：①，二次函数丁=以2+及+。（。彳。）的图象开口方向向下，与y轴交于正半轴，对称

轴为直线x=l,

.♦.〃<0,c>0,------>0,

2a

Z?>0,

/.abc<0,故①错误，不符合题意；

②二次函数丁=以2+云+《。。0）的图象与龙轴的交点在（-IQ）的右边，图象开口方向向下，

.•・当时，y<。，

:.a-b+c<Q,

:.b>a+c,故②错误，不符合题意；

③・二次函数丁=加+及+c（〃wo）的图象与X轴的另一个交点在（2,0）的右边，图象开口方向向下,

・二当x=2时，y>0,

:Aa^2b+c>Q,故③正确，符合题意；

④由①得：--=1.

2a

17

ci——b,

2

由②得：a-b+c<0,

/.—b—Z?+c<0,

2

:.2c<3b,故④正确，符合题意；

⑤二次函数,=加+云+c（〃w。）的图象的对称轴为直线％=1,

・•・当x=l时，,取最大值，最大值为a+/?+c,

，当彳="2（根wl）时，am2+bm+c<a+b+c^

:.a+b>m(am+b)[m^i),故⑤正确,符合题意；

综上所述：正确的结论有：③④⑤，

故答案为：③④⑤.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与各项系数符号的关系，根据二次函数的图象判断式子的

符号，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的方法解题，是解此题的关键.

!产型04|二次函数与其他函数共存问题

13.同一坐标系中，二次函数y=(x-a)2与一次函数>+⑪的图象可能是()

【答案】D

【分析】可先根据一次函数的图象判断。，6的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正

误.

【详解】解：A、由一次函数、=。+依的图象可得：两个a的符号不一致，故错误；

B、由一次函数y6的图象可得：a<0,此时二次函数y=(x-a)2的顶点(a,。)，a>0,矛盾，

故错误；

C、由一次函数>=。+以的图象可得：a<0,由其与y轴的交点可知a>0,矛盾，故错误；

D、由一次函数仪的图象可得：a>0,此时二次函数y=(x-a)2的顶点(a,0),a>0,故正

确；

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象

限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等.

14.二次函数丁=以2+版+<?的图象不经过第二象限，则a、b、c的取值范围是()

A.a>0,b<0,。=0B.a<0,b<0,c<0

C.a<0,b<0,c>0D.a<0,b>0,c<0

【答案】D

【分析】根据二次函数y=ax1+bx+c的图象不经过第二象限可画出大致图象，图象开口决定。的符号,

与y轴交点决定c的符号，对称轴所在位置决定。的符号.

【详解】解：,二次函数尸以2+法+。的图象不经过第二象限，则大致图象为下图所示，

由图象即可判断出。<0,b>0,c<0,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数>=依2+法+0不过第二象限画出大致

图象是解题的关键.

【答案】C

【分析】先分别根据函数图像确定抛物线、直线的系数，然后看是否一致即可解答.

【详解】解：A.由抛物线可知a>0,b<0,由直线可知。<0,b<0,故不一致，不合题意；

B.由抛物线可知b<0,由直线可知。X),b>0,故不一致，不合题意；

C.由抛物线可知a>0,b>0,由直线可知a>0,b>0,故一致，符合题意；

D.由抛物线可知a<0,b>0,由直线可知。>0,b>0,故不一致，不合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次函数以及一次函数的图像，掌握一次函数和二次函数图像的有关性质

是解答本题的关键.

17.下列图象中，当时，函数＞

【分析】分别根据四个选项中一次函数和二次函数的图象判断出。和6的正负，然后通过比较求解

即可.

【详解】解：A、对于直线y=ax+6,得a＞0,b＜0,与必＞0矛盾，所以A选项错误;

B、由抛物线＞=依2开口向上得到4＞（）,而由直线y=or+b经过第二、四象限得到。＜0,所以B

选项错误;

C、由抛物线y=依2开口向下得到。＜（）,而由直线＞="+6经过第一、三象限得到a＞0,所以C

选项错误；

D、由抛物线开口向下得到。＜0,则直线、=办+8经过第二、四象限，由于仍＞0,则》＜0,

所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次函数图像和一次函数图像的性质，掌握函数关系式的系数与图像的位

置之间的关系是解题的关键.

优选提升题

18.无论加为任何实数，二次函数、=/+（2-7〃）为+必的图像一定过的点是（）

A.(1,3)B.(1,0)C.(—1,3)D.(—1,0)

【答案】A

【分析】无论机为任何实数，二次函数y=d+（2-加卜+加的图像一定过的点，即该定点坐标与加

的值无关，根据整理后式子中（1-x）机，该项中的l-x=O,求解定点坐标即可.

【详解】原式可化为丫=/+2*+（1-力机，

,无论加为任何实数，二次函数丫=*2+（2-加卜+m的图像一定过的点，即该定点坐标与机的值无

关，

/.1—x=0,

解得：x=-l,

此时y=1+2=3,

・••图像一定过的点是（L3）,

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，理解定点坐标与机的值无关，即整理后式子中

（1-力〃7,该项中的1-X=0是解题的关键.

19.已知点々（尤1，5）,鸟（马,火）为抛物线y=aN-4or+c（80）上两点，且巧C巧，则下列说法正

确的是（）

A.若看+巧<4,则”B.若4+々>4,则〃<了2

C.若a（4+巧-4）>0,则y/>y2D.若a（4+4-4）<0,则竺>>2

【答案】D

【分析】根据抛物线的图象与性质，当开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当开口向下

时，离对称轴越近的点的纵坐标越大.

【详解】解：抛物线对称轴为直线x=-?^=2,

2a

当％+马<4时，x2-2<2-xlf

则当a>0时，%>%;当。<0时，％<%;

当王+/〉4时，％-2>2-再，

则当。>0时，%>%;当。<0时，%>为；

故A、B选项都不正确；

若G+XJT）〉。,则。与7+尤2-4同号,由上可知％<必，

故C不正确；

若。(%,+彳2-4)<0,则。与否+%-4异号,由上可知%>%，

故D正确；

故选D.

【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，解题关键是掌握当图象开口向上时，离对称轴越近的点

的纵坐标越小，当开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大.

20.如图是抛物线y=ov2+fct+c(awO)的一部分，抛物线的顶点坐标是A(L3),与尤轴的一个交点

是3(4,0),点P在抛物线上，且在直线48上方，则下列结论正确的是()

B.方程ox?+如+0=3有两个不相等的实数根

C.x(qx+b)<a+b

D.点尸到直线48的最大距离逑

8

【答案】C

【分析】根据图象可知a<0，c>0,再由对称轴可知b=-2a>0,可判断①；根据抛物线的顶点

可知方程62+云+°=3有且只有一个实数根，可判断②；当无=1时函数有最大值a+6+c,由此可

判断③；求出函数的解析式和直线的解析式，当的面积最大值时，P点到的距离最大,

过尸点作PG〃y轴交A3于点G,用同一参数的代数式分别表示点P,G的坐标，表示出PG,运

用二次函数性质，可求得PG的最大值，当PG取最大值时，一^^的面积最大，从而求得尸点到

的距离最大值，由此判断④.

【详解】解：由图象可知开口向下，

「•〃<0,

•••函数与y轴的交点在y轴的正半轴上，

。＞0,

对称轴为直线x=l,

b=-2tz>0,

abc<0,

故A不符合题意；

V抛物线的顶点坐标是A(L3),

「•加+fcr+c=3时，方程的解为x=l,

■0•方程成:?+/?x+c=3有两个相等的实数根,

故B不符合题意；

当％=1时，a+b+c=3,

ax1+bx+c<a+b+cBPax2+bx<a+b

故C符合题意；

设直线A5的解析式为丫=履+加，

4%+冽=0

k+m=3

k=-l

解得

m—4

/.y=-x+4,

设抛物线y=Q(x—1)2+3,将点5(4,0)代入,

9〃+3=0，

解得q=--,

y=-—(x-l)2+3=--X2+—X+—,

3333

过P点作尸G〃y轴交A5于点G,

设尸点坐标为9-I"则G(。—+4),

.“1228/八154I,5、23

..PG=--t+-r+--(-t+4)=--r2+-t——=--(t——)+-,

333333324

553

当，=/(lv5V4)时，尸G有最大值a，止匕时

113331

SABP=-PG\XBXA)=-?3PG-PG=-1-为最大值，

2Z2Z4o

由图，AB=4+(4-1)2=30，设点尸到AB的距离为h,则

SARP=-ABlh-?3®

ABP222

当S"BP最大时，力取最大值，

■■■T血砥大值="

解得，〃最大值二卷

二点尸到直线A2的最大距离为变,

24

故D不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息,

结合函数的性质，尤其是配方法求极值是解题的关键.

21.已知A（-3,-2）,3（1,-2）,抛物线、=依2+版+c（a>0）顶点在线段上运动，形状保持不变，

与x轴交于C、。两点（C在。的右侧），下列结论：①c2-2；②当x>0,一定有，随x的增大

而增大；③点。横坐标的最小值为-5,则点C横坐标的最大值为3；④当四边形A5CD为平行四

边形时，«=其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据顶点在线段A3上，抛物线与y轴的交点坐标为（O,c）,可以判断出C的取值范围，得

到①正确；根据二次函数的增减性判断出②的错误；先确定X=1时，点。的横坐标取得最大值，

根据二次函数的对称性求出点C的坐标，即可判断③正确；令y=。，利用根与系数关系与顶点的纵

坐标求出。的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD,然后列出方程求得。

的值，判断出④正确.

【详解】解：•点的坐标分别为（一3,-2）和（1,一2）,

••・线段A8与y轴的交点坐标为(0,-2),

又「抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(o,c),

c>-2,故①正确；

抛物线的顶点在线段A8上运动，开口向上，

••・只有当x>l时，一定有y随X的增大而增大，故②错误；

若点D的坐标最小值为-5，此时抛物线的对称轴直线为x=-3，

由抛物线的对称性可得此时点C的横坐标为T,则8=-1-(-5)=4,

...抛物线的形状不变，当抛物线的对称轴直线为x=l,此时C的横坐标为3,

二C的横坐标的最大值为3,故③正确;

令y=°,则/+区+°=0,设点c,D的坐标分别为(玉,0),(%,0),

b

3十%=----，*元2

aa

1

2b-4ac

CD二上一%2「=(不一/)?

•••顶点的纵坐标为-2,顶点的纵坐标公式为，

4。

,4…、_2,即4*一万―8,

4aa

及一4ac1b2-4ac8

CD2=-------=---------=—,

aaaa

v四边形ABC。是平行四边形，

CD=AB=l-(-3)=4,

o1

?=42=16,解得4=5,故④正确；

・•・正确的是①③