高考数学重难点复习专练：数列通项公式 二十三大题型（原卷版）

重难点专题25数列通项公式二十三大题型汇总

题型1公式法....................................................................1

题型2累加法....................................................................2

题型3累乘法....................................................................4

题型4已知前n项和Sn消Sn型.....................................................5

题型5已知前n项和Sn消an型....................................................7

题型6待定系数法................................................................8

题型7与概率结合问题...........................................................10

题型8倒数法...................................................................11

题型9同除型...................................................................12

题型10因式分解型..............................................................14

题型11新数列前n项和型........................................................14

题型12取对数型................................................................16

题型13三阶递推型..............................................................17

题型14前n项积求通项..........................................................18

题型15函数递推型..............................................................19

题型16周期数列型..............................................................21

题型17奇偶讨论型..............................................................21

题型18不动点法................................................................23

题型19重新组合新数列型........................................................23

题型20重新排序型..............................................................24

题型21整除相关................................................................25

题型22斐波那契数列............................................................26

题型23数学文化相关............................................................28

题型1公式法

【例题1】（2023秋•湖北武汉•高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知S”是等比数列

n

{an}的前n项和,且Sn=2+1+a,则由。2+a2a3+…+刖0由1=()

A.?B.宁C.亨D.亨

【变式1-111.（2023•河北秦皇岛•统考模拟预测）北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首

创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层

有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物

的个数为斯，则使得即>2n+2成立的n的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

【变式1-1】2.（2023秋・江苏南通・高三统考开学考试）已知数列｛an｝满足%=1,且

0+1=（1数列两足历=bn+l—6n=an+l1则；的最小值为（）.

nn+2,｛6n｝:1,

A.yB.5C.4V2D.y

【变式1-1】3.（2023•四川校联考模拟预测）在数列｛an｝中，VneN*,即+i=蜡，且

2<ai<3,则下列结论成立的是（）

A.112022<a2020B.C12020+a2022>a2021+a2023

C.CL2022+a2023<2a2021D.«2023>a2021

【变式】全国高三专题练习）数列的前项和为满足2S

1-14..（2023••｛an｝riSn,S.-n=1-

n,且Si=3,则｛在｝的通项公式是____」

【变式1-115.（2023•新疆喀什・统考模拟预测）已知等比数列｛即｝的前n项和为Sn,且又=

A-3"-l,则a5=（）

A.54B.93C.153D.162

【变式1-1】7.（2023・河南•校联考模拟预测）若｛斯-是等比数列,且劭=5,a4

=89,则若理)

A.3"-2B.3"-1C.3"+2D.3"+1

题型2累加法

就可以利用这种方法;

【例题2】（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛斯｝满足取=2,做九=做九-L+3九

（MN*）,%+1=期+（-1尸1（十叱）,则数列｛陶第2023项为（）

A310125B310123

31°ii_531011-3

J252

【变式2-1】1.（2023秋•辽宁沈阳•高三沈阳二中校考开学考试）已知数列｛册｝中，的

=1，a+九1-；=（1+。心，n£N*.若对于任意的te[1,2],不等式学＜一2t2_（a+l）t+a2

—a+2恒成立，则实数a可能为（）

A.-4B.-1C.0D.2

【变式2-1】2.（2023秋•江西宜春・高三江西省宜丰中学校考阶段练习）已知定义数列

｛an+i—即｝为数列｛an｝的"差数列"，若的=2,｛斯｝的"差数列"的第九项为2,则数列｛an｝

的前2023项和52023=（）

A.22022—1B.22022c.22024D,22024—2

【变式2-1]3.（2023•全国•高三专题练习）北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙

积术"，就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货

物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为

On,贝媵攵歹小等｝的前2023项和为（）

A2[1-盛）]B.2”（/）]

U巾-品）]小—金）]

【变式2-1】4.（2023.全国•高三专题练习）已知数列｛七｝满足：册=

f1刀=1,2冠+a外送+…+确

右。10=则m=

la九+a九_2，几之3a-m)

A.8B.9C.10D.11

【变式2-1】5.（2023・全国•高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法

通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前

后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究,

在杨辉之后一般称为“垛积术"现有高阶等差数列，其前7项分别为1,4,8,14,23,

36,54,则该数列的第19项为（）

（注：I2+22+32+.••+n2=n（n+1^2n+1））

A.1624B.1198C.1024D.1560

【变式2-1】6.（2023・全国•高三专题练习）如图，有一列曲线P。，Pi,P2,…已知Po所围

成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+i是对外进行如下操作得到：将外的每条边三等分，

以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（fc=0,1,

2,…）。记又为曲线4所围成图形的面积。则数列讲"的通项公式

题型3累乘法

中f我1占

累乘法：当数列｛an｝中有念=f（n）,即第n项与第n-1项商是个有规律的数列，就可以

利用这种方法；

【例题3]（2023•河南•模拟预测）已知数列满足若瓷=2n,ai=l,则。2。23=

（）

A.2023B.2024C.4045D.4047

【变式3-1]1.（2023•全国•高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了

高阶等差数列的问题，即一个数列｛斯｝本身不是等差数列，但从｛斯｝数列中的第二项开始,

每一项与前一项的差构成等差数列｛勾｝（则称数列｛斯｝为一阶等差数列），或者仍„｝仍旧不是

等差数列，但从｛%｝数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列&｝（则称数

列｛斯｝为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，

我们亦可定义高阶等比数列，设数列1,128,64,…是一阶等比数列，则该数列的第8项是

（）

A.25B.2C.221D.228

【变式3-1]2.（2023•河南驻马店•统考模拟预测）设数列｛布的前加页和为方,=4,

且右2Sn+12>怛成AZ,贝!的最大值是（）

A.2V10+1B.yC.yD.8

【变式3-1]3.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛而满足由=1,心=（n-1）疯二

（n>2,nGN*）,且册“=sin^（nGN*）,则数列｛时｝的前18项和为（）

A.—3B.—54C.—3y/3D.—54V3^

【变式3-1】4.（2023秋湖北•高三校联考阶段练习）定义：在数列｛an｝中，器-誓=

d（n€N*）,其中d为常数，则称数列｛总为“等比差"数列.已知"等比差"数列｛党中,

a1=a2=1,a3=3,则替=（）

A.1763B.1935C.2125D.2303

题型4已知前n项和Sn消Sn型

、।,5^

中上划重点

S,与血的关系式法：由S,与血的关系式，类比出Sn_i与加_1的关系式，然后两式作差，最后

检验出的，是否满足用上面的方法求出的通项；

【例题4】（2023秋•湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列｛an｝的前几项和为

Sn,若ai=l,a』=2Sn(neN*),则有()

A.｛即｝为等差数列B.｛即｝为等比数列

C.｛S.｝为等差数列D.｛Sn｝为等比数列

【变式4-1]1.（2023・全国•高三专题练习）已知正项数列｛an｝的前n项和为Sn,且血=2,

71

Sn+l(Sn+i—3)=Sn(Sn+3"),贝！JS2023=()

32023+13如22+1

A.32023—1B.32023+1CD.

22

【变式4-1】2.（2023春・湖南长沙•高三校联考阶段练习）数列｛斯｝的前几项和为方,满足

Sn+i+S『i=2Sn-Wo>2）,的则下列结论中错误的是（）

n

a?<1

Zi=l

n1

——<271D.CL>—T-

Zi=l-七nn+2

【变式4-1]3.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛总的前几项和%满足S„+i+Sn=n,

有结论:

①若的=-1,则S2023=1010;

②数列｛即+1+即｝是常数列.

关于以上两个结论，正确的判断是（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

【变式4-1】4.（2023・甘肃张掖・高台县第一中学校考模拟预测）已知数列｛总的前n项和

为％,若劭=2,Sn=Sn+1-3an-2,S20=()

A.?B.3--20C.D.9号

【变式4-1】5.（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知又是各项均为正

数的数歹U｛%i｝的刖”■项和，S+i=2（Gtn+'!5„）若1—2又寸

n,a3a5=64,4cnSn—65W0neN*

恒成立，则实数屈勺最大值为（）

A.8V2B.16C.I6V2D.32

【变式4-1】6.（2023春•江西鹰潭・高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知数列｛斯｝的前n

2n—1

项和s九满足S九=2册-4,数列｛.｝满足g=则下列各式一定成立的是（）

A.bn>foiB.bn>b2C.bn<b2D.bn<b3

【变式4-1】7.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛an｝的前n项和为Sn,an+1-

3sn=g（neN*）,设与=[叫（因表示不超过如勺最大整数），则数列｛g｝的前2023项和

2023

42024-2027D42024—6073-42023—2027c4-6073

题型5已知前n项和Sn消an型

S,与斯的关系式法：由S,与血的关系式，类比出Sn_与册_1的关系式，然后两式作差，最后

逑鲤眼L是否满足用上面的方法求出自勺通理

【例题5】（2023•全国•高三专题练习）已知各项都是正数的数列｛册｝的前疝页和为Sn,且Sn=

詈+土，则错误的选项是（）

A.｛S*是等差数列B.Sn+Sn+2<2Sn+1

C.an+i>anD.Sn——>Inn

【变式5-1]1.（2023・全国•高三专题练习）设外是数列｛*的前n项和，且的=-l,an+1

=SnSn+ll则下列选项错误的是（）

—1,71=1

A-a=~—B.=U_l>*

nkn—1n）n2）nGN

c.数列g｝为等差数列D.卷+专+..+氏=-5050

【变式5-1】2.（2023•全国•高三专题练习）数歹11｛即｝的前几项和为Sn,«i=|,若该数列

满足册+2SnS『i=0（n>2）,则下列命题中错误的是（）

A.｛J是等差数列B.S**

1

C-厮=—丽口D-｛S2"｝是等比数列

【变式5-1]3.(2023•河南・郑州一中校联考模拟预测)已知数列｛即｝的前n项和为Sn,

口1=1,且(Vn2—1+l)Sn=7iSn_i+an(n>2且n6N*),右又=则k=()

A.46B.49C.52D.55

【变式5-1】4.(2022秋•宁夏・高三六盘山高级中学校考期末)已知立为数列｛即｝的前几项

和，％=1,an+i+2Sn=2n+l,贝(IS2022=()

A.1011B.2022C.3033D.4044

【变式5-1】5.(2023•四川攀枝花•统考二模)已知正项数列｛an｝的前n项和为Sn,且2即5„

=1+说设勾=1咤2米，数歹U｛6n｝的前n项和为Tn,则满足7“22的n的最小正整数解

为()

A.15B.16C.3D.4

题型6待定系数法

【例题6】(2023•全国•高三专题练习)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一,

享有"数学王子”的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数f(x)=[x],其中国表示不超

过x的最大整数.已知正项数列｛斯｝的前n项和为%,且%=*即+*),令“=小匕,

则[历+Z?2+…+=()

A.7B.8C.17D.18

【变式6-1]1.(2023・全国•高三专题练习)已知数列｛册｝的前几项和为S九，若S九+an=n

(nEN*),则Iog2(l—•。2023)=()

A.-2023B.—c—D2023

20232023

【变式6-1]2.（2023・全国•高三专题练习）数列｛而满足臼=4,%1=3册—2,WiEN*

,2（册—1）〈册—28,则实数加勺取值范围是（）

A.(—8,—9)B.(—oo,—8)

C.（-12,-9）D.（-12,-7）

【变式6-1]3.（2023・全国•高三专题练习）在正三棱柱力BC-4/1的中，若4点处有一只

蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点

移动的概率相同，设蚂蚁移动九次后还在底面4BC的概率为Pn,有如下说法：①Pi=三②?2

=g；③卜—与为等比数列；4P“=—卷*（—gz+其中说法正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式6-1]4.（2023•全国•高三专题练习）在数列｛*中,臼=14,黑=含-3,则（）

A.除+3｝是等比数列B.俣—3｝是等比数列

C.偿+|｝是等比数列D.便—|｝是等比数列

题型7与概率结合问题

【例题7】（2023•全国•高三专题练习）某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，

已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套

餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种

类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为Pn,给出以下

论述：

①23=052;

@Pn=O-4P„-1+0.6(1-Pn_i)(?i>2,neN)；

③Pn=0.4+0.5x(-0.2)1

④前k天甲午餐总费用的数学期望为15k+|-|（-1）".

其中正确的是（）

A.②③④B.①②④C.①③④D.①②③

【变式7-1】1.（2023•全国•高三专题练习）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲

将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球

后球在甲手中的概率为.

【变式7-1】2.（2023•全国•高三专题练习）有人玩都硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正

反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第8站，一枚棋子开始

在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从k

到k+1）.若掷出反面，棋子向前跳两站（从k至收+2）,直到棋子跳到第7站（胜利大本营）

或跳到第8站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为「小则P7

【变式7-1】3.（2020春・河北衡水•高三河北衡水中学校考期中）在庆祝新中国成立七十周

年群众游行中，中国女排压轴出场，乘坐“祖国万岁"彩车亮相国庆游行，"女排精神"燃

爆中国.某排球俱乐部为让广大排球爱好者体验排球的训练活动，设置了一个"投骰子50米

折返跑”的互动小游戏，游戏规则：参与者先进行一次50米的折返跑，从第二次开始，参

与者都需要抛掷两枚质地均匀的骰子，用点数决定接下来折返跑的次数，若抛掷两枚骰子所

得的点数之和能被3整除，则参与者只需进行一次折返跑，若点数之和不能被3整除，则

参与者需要连续进行两次折返跑.记参与者需要做n个折返跑的概率为

（1）求Pi,P2,P3；

证明出是一个等比数列；

（2）n—Pn7｝

（3）求益,若预测参与者需要做折返跑的次数，你猜奇数还是偶数？试说明你的理由.

题型8倒数法

彳菱轲f占

倒数变换法，适用于即+1=表（45C为常数）；二、取对数运算；三、待定系数法：1、

构造等差数列法；2、构造等日数列法：

①定义构造法。利用等比数列的定义4=詈通过变换，构造等比数列的方法.

②0n+1=力即+B（4B为常数）型递推式可构造为形如。„+1+2=4（即+4）的等比数列.

③册+广人册+⑶产（4B,C为常数，下同）型递推式，可构造为形如册+/屁'+1=4（即+屁"）

的等比数列.

【例题8】（2023•重庆统考模拟预测）已知数列｛an｝满足斯（3斯+2一。九+1）=2azi+1。九+2,

且3al=。2=1,则。8=（）

A--击B.一言C.+D•击

【变式8-1]1.（2023•湖南永州•统考三模）已知正项数列｛a“｝满足的=1,即=

母手，其前200项和为S2oo,贝4（）

Van寸%1+1

A.<S200<|B.1<S2oo<1

q443

C.-<45*200<3D.3<*^200<2

【变式8-1】2.（2023秋•四川成都•高三石室中学校考阶段练习）已知数列｛a“｝中，肉

=1,若册=弥;O>2,neN*）,则下列结论中正确的是（）

A.a3=-|B.

5^n+ia?i2

111

C.an-ln（n+l）>1D.—~~<2

【变式8-1】3.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛册｝的各项均不为零，且满足ai

=1，an=i；：a：T（nN2,neN*）,则｛an｝的通项公式即=-

【变式8-1】4.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛册｝满足的=1&+1=尚

（neN*）.记数列｛斯｝的前疝页和为Sn,贝11（）

A.|<5loo<3B.3<S100<4

99

C.4<S1Oo<2D.5Vsioo<5

题型9同除型

#«5

用"同除法"构造等差数列

(1)形如an+i=qan+pq"+i=(nGN*),可通过两边同除勺"+】，将它转化为部=券"+

P,从而构造数列有｝为等差数列，先求出

角的通项，便可求得｛册｝的通项公式.

(2)形如即+1=kan+qn+1(new*),可通过两边同除qn+1,将它转化为券=篙+1,

换元令：6n=会，则原式化为：6n+i=55+q'+i,先利用构造法类型1求出加，再求出

｛即｝的通项公式.

(3)形如a„+i—an=人即£1„+1(k/0)的数列，可通过两边同候以anan+i,变形为*一专

=-k的形式，从而构造出新的等差数列｛?｝,先求出｛2｝的通项，便可求得｛厮｝的通项公式.

【例题9】(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛an｝满足的=1,an-an+1=nanan+1

(neN*).则即等于()

A.宁B,C,义D.2

22nz-nn2—n+2

a

【变式9-1]1.(2023秋・江西宜春•高三校考开学考试)已知正项数列｛an｝中ii=2,an+i

n

=2an+3x5,则数列｛an｝的通项即=()

A.-3x2"-1B.3x271-1

C.5n+3x2"-1D.5n—3x2n-i

【变式9-1]2.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且%—2=2

n

(an-2),则an=()

A.(n+1)-2n+1B.2nC.n-2n+1D.n-2n

【变式9-1]3.(2023春・河南洛阳•高三栾J11县第一高级中学校考开学考试)在正项数列｛斯｝

中，«i=1,前几项和%满足Sn•JSn_i-S—•后=2西•Sn_iO22),贝!|%0=()

A.72B.80C.90D.82

【变式9-1】4.（2023•全国•高三专题练习）设数列｛即｝的前n项和为Sn,且臼=2,

Sn+i,Sn=an+i,则a；,=.

【变式9-1】5.（2023・广西南宁•南宁三中校考一模）已知数列｛即｝满足曲n+i—5+1）诙=2,

ai=l,则数列的通项公式为.

题型10因式分解型

【例题10】（2023秋・江西宜春•高三江西省丰城拖船中学校考开学考试）已知正项数列｛即｝

2

的前疝页和为Sn,满足4Sn=an+2an-3,则普的最小值为

【变式10-1】1.（2023・全国•高三专题练习）已知正项数列｛an｝,其前疝页和为Sn,且满

足（an+1）2=4（Sn+l）,数列｛g｝满足6n=（—1尸+1黑，其前疝页和心,设4eN,若

Tn<4对任意n£N*恒成立，则屈勺最小值是.

【变式10-1]2.（2023・全国•高三专题练习）记5n为正项数列｛an｝的前n项和，若2Sn=成

-

5T1100

+an-2,则〉二—=

乙」[=1QMi+1

【变式10-U3.（2023•全国•高三专题练习）设数列｛an｝的前n项和为片,且即>0,4Sn

=W+2an—8,则S九—3a九的最小值是.

【变式10-1】4.（2022秋•四川•高三统考阶段练习）设数列｛册｝的前几项和为外,%=1,

斯>0,且蹑一（2n-l）Sn=S"+（2n-l）Sn-i（n>2）,则=嘉的最大值是.

【变式10-1】5.（2022・全国•高三专题练习）设｛斯｝是首项为1的正项数列，且O+2）an+/

2

-nan+2an+1an=0（neN*）,求通项公式」=

题型11新数列前n项和型

【例题11】（2023•全国•高三专题练习）数列｛斯｝的前1357项均为正数,且有：

a+a2+-+an）2=山+蝮+…+碌则山°23+成023+…+a翡先的可能取值个数为（）

A.665B.666C.1330D.1332

【变式11-U1.（2023•四川校联考模拟预测）已知数列｛an｝满足2al+22a2+23a3+-+

n

2an=n-2",则｛an｝的通项公式为（）

Al,n=1D

aA

n~\n+i,n>20册—2

C.an=nD.an=｛n>2

【变式11-1】2.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛an｝满足臼=1,%+：+…+*=

2（n+l）<令%=盛仁-1）,则错误选项是（）

A.aw=100B.数列｛%｝是等差数列C.g021为整数D.数歹U｛以+2cos2Gbj｝

的前2022项和为4044

【变式11-1]3.（2022秋福建宁德•高三福建省福安市第一中学校考阶段练习）对于正项

数列5｝中，定义：Gn=曲+2a2+3：+…+n.为数列｛即｝的"匀称值"已知数列｛总的“匀称值"

为%=九+2,则该数列中的=（）

A£R工「2n£1

A.1B.5U4D.]（）

【变式11-1】4.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛而满足厮+1=成—即+1

（nGN*）,且臼=2023,若存在正偶数m使得（-谥+（-十+•••+（-l）ma^+m

=2022aid2…成立，则机=（）

A.2016B.2018C.2020D.2022

【变式11-1】5.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛an｝满足…+第=n（neN*）

2

,bn=2（an-l）-n+4n,若数列｛%｝为单调递增数列，则%的取值范围是（）

A-G，+8)B.&+8)C.(,+8)D,[1)+CO)

【变式11-1】6.（2023春・广东东莞・高三东莞实验中学校考开学考试）设数列｛即｝的前疝页

和为Sn,ai=1,且2Sn=c1n+i-l（neN*）•若对任意的正整数凡都有右星+«2^-1+a3bn_2

n

+…+anbx=3-n-1成立,则满足等式/+b2+b3+■■■+bn=斯的所有正整数n为

（）

A.1或3B.2或3C.1或4D.2或4

【变式11-1】7.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛斯｝满足2%+2『%2+…+Han_i

n

+2册=2-]一1,若cn=行嘉区:，则数列｛c,J的前n项和Tn=.

题型12取对数型

【例题12】（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛而，即=。昌（n22）,ai=e,则数列

｛&J的通项公式为a“=.

【变式12-1]1,（2023•全国•高三专题练习）设正项数列｛而满足的=1,册=2碎—何>2）,

则数列｛册｝的通项公式是.

【变式12-1】2.（2020春•上海浦东新•高三上海市进才中学校考期末）数列｛“｝中，若

a）i+i=成（71eN*）,cii=3,则｛册｝的通项公式为.

【变式12-1】3.（2023・全国•高三专题练习）土壤中微量元素（如N,P,K等）的含量

直接影响植物的生长发育，进而影响植物群落内植物种类的分布.某次实验中，为研究某微

量元素对植物生长发育的具体影响，实验人员配比了不同浓度的溶液若干，其浓度指标值可

近似拟合为e,e,e2,e3,e5,e8,ei>“，并记这个指标值为g,则乙尸必产=（）

A.Inb19lnfo2oB.Inb201n历1C.lnb19+lnb2oD.lnfo2o+ln^2i

【变式12-1】4.（2023・全国•高三专题练习）有限数列｛an｝中，S“为｛党的前几项和，若把

Si+Sz；+s”称为数列3J的“优化和"，现有一个共2019项的数列:卬％%…以2019,若其"优

化和"为2020,则有2020项的数列：lggg，…,。2019的优化和为()

A.2019B.2020C.2021D.2022

【变式12-1】5.(2023・全国•高三专题练习)已知数列｛而满足的=1,箸=2a“C；,+nz,

则a8=

题型13三阶递推型

・

【例题13](2023全国•高三专题练习)在数列｛an｝中，的=l,a2=9,an+2=3an+1-2an-

10,则｛陶的前加页和Sn的最大值为()

A.64B.53C.42D.25

【变式13-1】1.(2023•全国•高三专题练习)已知数列®｝的前n项和为Sn,国=1,若

n

对任意正整数n,S“+i=—3册+1+即+3,Sn+an>(-l)a,则实数a的取值范围是

()

A.(-1,|)B.(-1,|)C.(―2,|)D.(-2.3)

【变式13-1】2.(2023秋•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习)

符号团表示不超过实数%的最大整数，如[2.3]=2,[—1.9]=—2.已知数列｛册｝满足的=1,

a若6=[|og2an+i]>为数列｛言的刖n项和，贝WS2025]=

2=5,cLn+2+4an=5an+i.nSn

()

A.2023B.2024C.2025D,2026

【变式13-1】3.(2023•全国•高三专题练习)高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基

者之一，享有"数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数"为：设xeR,用田表示

不超过X的最大整数，贝的=印称为"高斯函数"，WD：[-2.5]=-3,[2.7]=2.已知

数列｛斯｝满足由=1,a2=3,an+2+2an=3an+ll若6“=[log2an+i],Sn为数列（；十广的

前n项和，则52023=（）

.20222024_2023卜2025

zx---BD---（---।j---

2023202320242024

【变式13-1】4.（2023秋•湖北恩施•高三校联考期末）已知又是数列｛an｝的前拉页和，目

=a2=1,an=2an_x+3斯_2（n>3）,贝!|下列结论正确的是（）

A.数列｛斯-斯+1｝为等比数列B.数列｛a„+i+2即｝为等比数列

20

C.540=^（3-1）D.an=3"心厂）”1

【变式13-1】5.（2023春・江西宜春•高三江西省丰城中学校考开学考试）若数列｛an｝满足

111

=l,a2=4,且对于几€N*（n>2）都有a九+1=2an-an_r+2,则/+不？+不?+…+

。2022-1'1

1011

z.x-20-2-1B0-10-1-0（--20-2-2।Cj---

2022202220232023

【变式13-1】6.（2022秋•云南・高三云南师大附中校联考阶段练习）已知数列｛an｝满足臼=2,

。2=6,且0n+2-20n+1+%=2,若[久]表示不超过X的最大整数（例如[1,6]=1,[-1,6]

=-2）,则隹]+目+…+[陋斗=（）

L的」La?」La2021J

A.2019B.2020C.2021D.2022

【变式13-1】7.（2023•上海浦东新华师大二附中校考模拟预测）已知=1，当nN2

时，4+1是线段44.1的中点，点P在所有的线段44+1上，贝期小|=,

题型14前n项积求通项

【例题14】（2023•全国•高三专题练习）设〃是数列国„｝的前几项积，则"〃=3"'是"｛an｝

是等差数列"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式14-1]1.(2023•陕西・西北工业大学附属中学校联考模拟预测)已知数列｛布的前n

项和为5,且斯=竽,首项为1的正项数列｛“｝满足比•3•久••…bn=(an•bn)\则数

歹!]｛0｝的前几项和Qn=.

【变式14-112.(2023・全国•高三专题练习)记又为数列｛在｝的前几项和，“为数列国｝的

前71项积，已知怖+今=2,则｛册｝的通项公式为.

【变式14-1】3.(2023秋・北京通州•高三统考期末)已知数列｛斯｝的前n项和为男

(SnK0),〃为数列｛Sn｝的前n项积，满足Sn+〃=Sn•(neN*),给出下列四个结论：

①的=2;②厮=-五；③｛Tn｝为等差数列；④Sn=中.

其中所有正确结论的序号是.

【变式14-1]4.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛an｝的前几项和为又国丰0)心为数

列｛Sn｝的前几项积，满足Sn+Tn=Sn-Tn⑺为正整数),其中71=«1,给出下列四个结论:

①的=2;②加=思不；③｛〃｝为等差数列；④.其中所有正确结论的序号

是.

题型15函数递推型

【例题15](2023•山东济宁•嘉祥县第一中学统考三模)已知函数y=/(x)(xeR),满足/(£)

32

=乎J(等)=陋.府)5GN*)若a“=log3/(n),函数g(x)=2x-3x+2,则g(晶)+

。(施)+。(上)+…+。(器)=()

A.3036B.3034C.3032D.3030

【变式15-1】1.(2023•安徽铜陵・统考三模)已知函数y=/(%),%£N+,满足以下条件:

①/(a+b)=f(a)+f(b)+a6,其中a,beN+：②/(2)=3.则f(2023)=()

A.2023X2024B.2022x2023C.1013x2023D.1012X2023

【变式15-1]2.(2023・全国•高三专题练习)对任意数列｛an｝,定义函数F(x)=%+a2x+

久2+…+口„久"-1(九6%*)是数列｛4„｝的"生成函数".已知?⑴=足，则尸G)=()

A.3-鬻B.4—猾

厂,2n+l卜z-2n+3

C-6一后D.6—r

【变式15-1】3.(2023・全国•高三专题练习)高斯(Gauss)被认为是历史上最重要的数

学家之一，并享有“数学王子"之称.小学进行1+2+3+…+100的求和运算时，他是这

样算的：1+100=101,2+99=101,50+51=101,共有50组，所以

50X101=5050,这就是著名的高斯法，又称为倒序相加法.事实上，高斯发现并利用了等

差数列的对称性.若函数y=f(x)的图象关于点G，1)对称，Sn=(n+l)

『(看)+/(京)+•••+/&!)]，S,,为数列｛斯｝的前n项和，则下列结论中，错误的是()

A./(%)+/(I—x)=2

B.Sn=n(n+1)

广_九(1+斯)

J3九——2―

D-.1不1+不1+不+…+不1＜1

【变式15-1】4.(2023春•河北•高三校联考阶段练习)已知Sn为数歹也厮｝的前川页和，若

器+上…+力含，设函数，。)=-snz+cosf,则/岛)+/岛)+f岛)+…+f

I£20221-

V2023/-

【变式15-1]5.(2022秋•广东深圳•高三统考阶段练习)设正整数n=的-7。+的•7+…+

•7”-1+以,7人,其中耿6｛0,1,2,3,456｝,记矶几)=a。+T---卜ak,S(n)=3(1)+3

(2)+,一+3(7n)，当几＜6时，S(n)=(用含九的代数式表示).

【变式15-1】6.(2020秋•江苏扬州•高二扬州中学校考期中)已知g(x)=f(x+3-3是R

上的奇函数，«n=/(0)+/(i)+…+f(*+f(l),九eN*,则数列｛斯｝的通项公式为()

2

A.an=n+1B.an=3n+1C.an=3n+3D.an=n—2n+3

题型16周期数列型

【例题16】(2023•河南开封•统考三模)已知数列｛即｝的前几项和为S",满足2Sn=3an-1

O6N*),函数fO)定义域为R,对任意xeR都有/x+l)=三磊，若/'(2)=鱼—1,贝如

(。2023)的值为()

A.ypl—1B.1—y/2.

C.y/-2.+1D.—1—y/2,

【变式16-1]1.(2023•陕西・西北工业大学附属中学校联考模拟预测)已知首项为3的数

列｛册｝的前几项和为5九，若⑥1s九+i+2=an(Sn+2),贝！JS2023=()

A.1435B.1436C.喈D岑

6.3

【变式16-1]2.(2023•河北•统考模拟预测)已知数列｛即｝的前n项和为Sn,且臼=2,

«2=-1,(Sn+i—Sn)(l+Sn——Sn)=l(n>2,nEN*),贝US2022=()

A.IB.2C.1011D.2022

【变式16-1]3.(2018・全国•高三校联考专题练习)已知数列|｛即｝满足的=1,佝=一

皿„_1,且a"n=cos等，则数列｛bn｝的前59项和为-

题型17奇偶讨论型

【例题17】(2023•上海•高三专题练习)已知数列｛陶满足的=1,an+l一口九=(—，存

在正偶数n使得(册—A)(an+1+Z)>0,且对任意正奇数n有(an—A)(an+1+A)<0,则实

数4的取值范围是()

A.B.(-oo,-|]u(l,+oo)c.(-|)|)D.

【变式17-1]1.(2023・四川遂宁统考三模)已知数列｛an｝的前加页和为Sn,且臼=1,2Sn

=^n+lam贝！JS20=()

A.210B.110C.50D.55

【变式17-1]2.(2023•全国•高三专题练习)设数列｛an｝的前n项和为S.,an+1+an=2

n+3,且兀=1450,若a?<4,则n的最大值为()

A.50B.51C.52D.53

【变式17-1]3.(2023•河南洛阳・统考模拟预测)已知数列｛即｝满足%=l,(m-1)扃工

-=0(m>2,mEN*),且a"n=sing%eN*),则数列也｝的前18项和为()

A.-3B.—54C.-D.—54V3^

【变式17-1]4.(2020・北京•高三校考强基计划)设数列｛册｝的