高考数学重难点专项复习：函数的奇偶性、周期性、对称性（原卷版）

重难点专题01函数的奇偶性、周期性、对称性

一、重难点题型归纳............................................

题型1利用函数性质解不等式....................................

题型3构造奇偶函数求函数值....................................

题型4对称性、奇偶性的运用....................................

♦类型1对称轴...........................................

♦类型2中心对称+轴对称构造周期性.......................

♦类型3“类”周期函数...................................

♦类型4对称性解决恒成立................................

题型5三角函数中的对称性问题..................................

题型6复杂奇函数问题..........................................

题型7函数的旋转问题..........................................

题型8两个函数的对称问题......................................

二、最新真题、模考题组练......................................

final

题型1利用函数性质解不等式

划f占

1、对于任意8,0](均内2)，均有血返成立，注意功能用来判断函数的

1X]—%2

单调性(有具体函数时，直接求导可求单调性)；

2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配图解不等式

3、涉及到偶函数时：如果口朝上：谁离对称轴(%=0)远，谁的函数值就大；如果口朝下:

谁离对称轴(%=0)远，谁的函数值就小.

【例题11（2023•江西宜春・校联考模拟预测）已知函数〃%+2）=1鸣（3*+3-区）,若

“a-1）2f（2a+1）成立，则实数a的取值范围为（）

A.(-00,-2B.

C.(-8,-2]U"+8)D.(-8,-2]UL，+8)

【变式1-1]1.（2023•湖南常德•常德市一中校考模拟预测）定义在R上的可导函数f（x）

满足/(%)-f(-x)=x(ex+e-x),且在(0,+8)上有/■'(%)+宗<。若实数a满足/'(2a)-

/(a+2)-2ae-2a+ae~a~2+2e-a~2>0,则a的取值范围为()

A.卜Q]B.0,+8)C.(-8,—|]u[2,+8)D.(-8,2]

【变式1-112.(2023・全国•高三专题练习)设函数f(x)=sin(x-1)+e"[—e1^-x+4,

则满足f（x）+f（3-2x）<6的久的取值范围是（）

A.（3,+8）B.（1,+8）C.（一8,3）D.（-8,1）

【变式1-1]3.（2023•湖北武汉・统考模拟预测）已知函数〃%）=e=+e]—+x2-2x,

若不等式-ax）</（%2+3）对任意xeR恒成立，则实数a的取值可能是（）

A.-4B.-3C.V2D.3夜

【变式1-114.（2021•广西•广西师范大学附属外国语学校校考模拟预测）设f（x）是定义在

R上的偶函数，且当X>0时，/■（%）=ax（a>1）.若对任意的％e[0,b+1],均有f（尤+b）>

产（x）,则实数匕的最大值是（）

A.--B.--C.0D.1

34

【变式1-1】5.（2020•湖南邵阳•统考三模）已知函数“X）是定义在R的偶函数,且在区间[0,+

8）上单调递减，若实数a满足/（欧3或+/（log铲）22/⑴，则实数a的取值范围

是.

题型2利用奇偶性、周期性对称性求值

X，."、-轲r.1云•占、、、

函数周期性的常用结论与技巧

设函数y=f(x),xeR,a>0.

①若/(%+a)=/(x-a),则函数的周期T=2a；

②若/(%+a)=-/(x),则函数的周期T=2a；

③若f(x+a)=则函数的周期T=2a；

④若f(久+a)=则函数的周期T=2a；

J"(犯

⑤/'(x+a)=/(x+b),则函数的周期T=|a-b\

【例题2】(2022•全国•高三阶段练习)已知函数/(x),g⑺是定义在R上的偶函数,g(3)=2,

若对任意XeR,都有f(久+6)=/(%)+f(3),对任意m,nGR且m+n=4,都有g(m)=g(ji),

则f(99)+g(99)=.

【变式2-1】1.(2023•全国•高三专题练习)已知定义域为R的函数f(x)存在导函数尸⑺，

且满足f(一为=/(%),/(4-%)=/(-%),则曲线y=在点(2022,f(2022))处的切线方程

可能是()

A.y=xB.y=0C.y=x+1D.y=—x+1

【变式2-112.侈选)(2022•山东潍坊七中高三阶段练习)设函数y=/(%)的定义域为R,

且满足fQ+X)-,f(x-2)+/(-x)=0,当％e[T用时，f(x)=-|%|+1,则

下列说法正确的是()

A.y=八久+2)是偶函数B.y=f(x+3)为奇函数

C.函数y=f(%)-回幻有不同的零点D.滥以k)=1

【变式2-113.(2023•浙江温州•模拟预测)定义在R上的函数〃x)满足/'(x+1)+/(%-1)=

“2022),f(-2x+乃=f(2x+5),若/G)=/贝叶(2022)=,灌kf［k-

".

题型3构造奇偶函数求函数值

?!>卡］#«5

.五•八、

对于/(%)本身不具有奇偶性，通过构造(通常将尾巴常数变为0),构造奇函数，利用奇函

数的对称性，求函数值.

【例题3】(2023•全国•高三专题练习)已知函数f⑺=ln(x+V7+P)+《+4在［—8,8］上

的最大值和最小值分别为M、m,则M+m=()

A.8B.6C.4D.2

【变式3-1】1.(2023•全国高三专题练习)已知函数f(%)=ax3+bsmx+3,若及m)=1,

则/■(—■»!)=()

A.-1B.2C.5D.7

【变式3-1］2.(2022・河南•高三阶段练习(理))已知函数f。)=。喑+bsinx+3,若

f(m)=1,则/'(—m)=()

A.-1B.2C.5D.7

【变式3-1】3.(2022•河南省淮阳中学高三阶段练习(文))已知函数/(%)=(岛-

1)sin(%+?)-3,则f(x)在卜TT,IT］上的最大值与最小值之和为.

【变式3-1】4.(2022•江西•贵溪市实验中学高三阶段练习(文))已知函数

f(%)=aln(Vx2+l-x)+hsinx-2(abW0),若/(m)=2,贝!］/(-租)二.

【变式3-1】5.若函数/。)=X'n%(t＞。)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,

则实数的勺值为.

题型4对称性、奇偶性的运用

函数对称性(异号对称)

(1)轴对称：函数/0)对于定义域内任意实数x满足/(a+x)=/(b-x),则函数/(X)关于

直线久=手对称，特别地当/0)=/(2a-幻时，函数/(%)关于直线％=a对称；

2.如果函数y=/(x)满足/(a+%)=f(a-%),则函数y=/(%)的图象关于直线x=a对称.

3.y=f(a-x)与y=(x-b)关于直线x=早对称.

(2)点对称：若函数"X)关于直线(a,0)对称，贝U

①/(a+%)=—/(a—%)

②f(x)=-/(2a-x)

③/(-%)=-/(2a+%)

(2)点对称：若函数/(%)关于直线(a,b)对称，则

①/(a+%)=—/(a—%)+2h

②/(%)=—/(2a—x)+2/?

(3)/(—%)=—/(2a+%)+25

♦类型1对称轴

【例题4-1】(2022•宁夏银川一中高三阶段练习(文))已知函数y=/。)的定义域为(-8

,l)u(l,+8),且/(x+1)为奇函数，当》<1时，/(X)=-X2-4%,则f(x)=羊勺所有根之

和等于()

A.4B.2C.-12D.-6

【变式4-1】1.已知函数/'(x)=2/-2I一1(2"2+22T)-有唯一零点,则负实数a=()

A.-2B.C.-1D.-;或T

【变式4-1】2.已知函数/'(x)(xeR)满足f(x)=f(a-久)，若函数y=|小一a尤一5|与y=f(x)

的图像的交点为(如月),(x2,y2),(xm,ym),且2乜%i=2m,则。=

A.1B.2C.3D.4

【变式4-1】3.已知函数/(x)=(*+■笑2X+2)，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的

有

①函数f(x)是周期函数；

②函数f(x)既有最大值又有最小值；

③函数f(x)的定义域为R,且其图象有对称轴；

④对于任意的xe(-20),f'(久)<。(/■'(>)是函数/■(>)的导函数)

A.②③B.①③C.②④D.①②③

♦类型2中心对称+轴对称构造周期性

即：轲f占

关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论

1.若函数有两个对称中心(a,0)与(b,0)),则函数具有周期性,周期T=2|a-b|.

2.若函数有两条对称轴x=a与x=b,则函数具有周期性，周期T=2|a-b|.

3.若函数有一个对称中心(a,0)与一条对称轴x=b,,则函数具有周期性，周期T=4|a-b|.

【例题4-2］已知函数7•(>)为定义域为R的偶函数，且满足/G+x)=/G-,当％e

［-1,o］时，/(%)=-x.若函数FQ)=/。)+黑在区间卜9,20］上的所有零点之和

为.

【变式4-2】1.定义在R上的奇函数/(%)满足f(2-x)=f(x),且在［0,1)上单调递减，若方

程7•⑺=-1在［0,1)上有实数根，则方程/⑺=2在区间［-1,11］上所有实根之和是()

A.30B.14C.12D.6

【变式4-2］2.已知定义域为R的函数/(尤)的图像关于原点对称，且f(3-x)+/(-%)=0,

若曲线y=f(久)在(6,f(6))处切线的斜率为4,则曲线y=久久)在(-2022厅(-2022))处的切

线方程为()

7ini171011

A.y=-4X-8088B.y=4x+8088C.y=—%-詈D.y=%+半

【变式4-2】3.若函数y=f(x)是R上的奇函数，又y=/(%+2)为偶函数，且-2<x2<x2<

1时，［/(M)—/(均)］(%2—打)>0,比较/'(2017),f(2018),“2019)的大小为()

A.f(2017)<f(2018)<f(2019)B./(2018)<f(2017)<f［2019)

C.f(2018)<以2019)<f(2017)D.f[2019)<以2018)<f(2017)

【变式404.侈选)(2023福建福州福建省福州第一中学校考二模)定义在R上的函数f⑺

、g(x),其导函数分别为/''O)、g(%),若/O)=f(-x),g(-1)=Lf(x)+g(%-1)=/一

1,/(%)+g(x+1)=%-sin^x,则()

A.f'(%)是奇函数

B.g(x)关于(-1,1)对称

C.g(x)周期为4

D.g(l)+g(3)+g(5)+-••+g(99)=-1225

♦类型3“类”周期函数

型，.、冏r.f五•八占、

"似周期函数"或者"类周期函数"，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：

1.是从左往右放大，还是从右往左放大.

2.放大(缩小)时，要注意是否函数值有0.

3.放大(缩小)时，是否发生了上下平移.

【例题4-3］设函数y=的定义域为D,如果存在非零常数T,对于任意xeD,都有〃x+

T)=T"(x),则称函数y=f(久)是"似周期函数"，非零常数T为函数y=f(x)的"似周期".现

有下面四个关于"似周期函数”的命题：

①如果"似周期函数"y=f(x)的"似周期"为-1，那么它是周期为2的周期函数；

②函数f(x)=2,是"似周期函数"；

③如果函数TO)=costox是"似周期函数"，那么％=2kn,kEZ或3=(2k+1)兀,keZ".以

上正确结论的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【变式4-3】1.已知函数/'(%)满足当x<0时,2/(%-2)=/(%),且当x£(一2,0]时，f(x)=

\x+1\-1；当久〉。时，f(x)=logflx(a>。且a中1).若函数/'(x)的图象上关于原点对称的

点恰好有3对，贝必的取值范围是()

A.(625,+司B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)

【变式4-3】2.设函数道工)的定义域为R,满足f(久+0=2/(%),且当％e(0用时，f。)=

-1).若对任意Xe都有/'CON—5则/77的取值范围是()

3z1

ABV2

%-(-%O-4

-2\

C5DzO+

--/-%V2

2k

【变式4-3】3.定义在R上函数满足+1)=且当xe[0」)时，fM=l-\2x-l\.

则使得f。)w卷在M，+可上恒成立的血的最小值是()

9C

B137157

一2D.

♦类型4对称性解决恒成立

”一划f«5

常见不等式恒成立转最值问题：

(1)VxeD,/'(%)>巾=/(x)min>m；

(2)3%eD,f(x)>m=f(x)max>m；

(3)VxeD,f(x)>g(x)=(f(x)-g(x))min>0；

(4)3xeD,f(x)>g(x)=(/(x)-g(x))max>0；

(5)VXieD,X2eM,/(%1)>g(%2)=(Ol)min>9(尤2)max；

(6)3%IeeM,/(%1)>g(x2)=>g(x);

D,X22mm

(7)V%1GeM,fOi)>g(%2)OfOJmin>g(%2)min；

D,3X2

(8)3%1GP,VX2GMIf(%i)>g(%2)Of(%l)max>g(%2)max；

【例题4-4】已知函数/(%)=lg(x+V%2+1),且对于任意的％G(12],/(=)+

zX—1

f[>。恒成立，则小的取值范围为()

(2

A.(一8,o)B.(一8,0]

C.[4,+8)D.(12,+oo)

【变式4-4】1.已知函数/(%)=玄詈(0<x<1),函数9(%)=(根一1)工(1<%<2).若

任意的打£10.1},存在%2e[1,2],使得/(打)=03)，则实数机的取值范围为()

A.(词B.[2,3]C,[2,|]D,[羽

【变式4-4]2.已知f(X)是定义在R上的函数,且/(x+1)关于直线X=-1对称.当X>0时，

/(x)={2",，°W”<2,若对任意的久e[m,7n+4,不等式f(2-2x)2/(%+?n)恒成立,

2-log2x,x>2

则实数m的取值范围是()

A.[-j,0)B.[j,l]C,[1,+od)D.百+8)

【变式4-4】3.已知/(x)=一1一sin|7ix[,g[x}=|lnx|-y[2m,若对于Wx]€一

Sin|7TX|LJoj

3%2e[eT,e2]使得/(x])>g(X2)，则实数6的取值范围是.

题型5三角函数中的对称性问题

1.三角函数的对称性，周期性，奇偶性，单调性，考查时可能单独考，也可能以多选的形式

综合在一个题目中考查.

2.三角函数的奇偶性

(1)函数y=Zsin(3%+9)是奇函数=攵兀(/ceZ),是偶函数=9=Mr+](k£Z)；

(2)函数y=Acos(a)x+9)是奇函数09=kn理(k£Z),是偶函数09=kn(fceZ)；

(3)函数y=2tan(3x+0)是奇函数op=/ot(fcGZ).

3.三角函数的对称性

(1)函数y=4sin(3x+s)的图象的对称轴由3X+0=/ot+g(fcGZ)解得，对称中心的

横坐标由3X+9=/OT(kez)解得；

(2)函数y=2COS(3X+0)的图象的对称轴由ax+<p=kn(keZ)解得，对称中心的横

坐标由ax+cp=kn+(fcGZ)解得；

(3)函数y=4tan®x+⑴)的图象的对称中心由cox+<p=ykeZ)解得.

4.基本规律

1.三角函数的对称中心(对称轴)有数个，适当结合条件确定合适.

2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心.一般情

况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点

【例题5】(2022湖南长沙一中高三阶段练习)已知函数/'(X)=cos(a)x+9)(3>0,0<<p<

兀)的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为将/■(%)的图象向右平移£个单位

4b

长度得到函数9(%)的图象.若函数9(%)的图象在区间玲*］上是增函数，则3的取值范围为

()

A［羽B.椁陷C.［由D.再］

【变式5-1］1.(2023•天津•统考二模)设函数f(x)=singx,g(x)=e-f.当

［-2023,2025］时，f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为()

A.4051B.4049C.2025D.2023

【变式5-1］2.已知函数y=sinx+1与y=乎在［-a,a］(aeZ,且a>2017')上有爪个

交点(右，为)，(切，、2)，……，(xm,ym),贝U(巧+%)+。2+乃)+・“+。m+

ym)

A.0B.mC.2mD.2017

【变式5-1]3.已知函数/(%)=2(%+l)+sinx+ln(Vx24-1+%),若不等式f(3%-9%)+

/(m•3%-3)<4对任意％€R均成立，则m的取值范围为()

A.(-8,20-1)B.(-8,-20+1)C.(―20+1,20-1)口.(-2返+1,+8)

题型6复杂奇函数问题

、L*

岁塾重点

1.若/"(X)满足/'(a+x)+f(b-x)=2c,则/■(%)关于(手,c)中心对称

2.特殊的奇函数：(考试难点)：

①对数与反比例复合：y=loga黑，y=loga鬻，如：噫总，噫黑，

②指数与反比例复合：y=念“窑心需，丫=署

③对数与无理式复合：y=loga(J(kx)+l±kx),如：y=loga(J(x)+1+X

3.形如丫=驾对称中心为(0,军)

a"+l2

【例题6]已知函数/(x)=/+ex-e~x,若不等式/'(ax?)+f(i-2ax)>1对Vx6R恒

成立，则实数a的取值范围是()

A.(0,e]B.[0,e]C.(0,1]D.[0,1]

【变式6-1】1.对于定义在D上的函数〃x）,点4（科九）是f（x）图像的一个对称中心的充要条

件是：对任意X£D都有f0）+f{2m-%）=2n,判断函数/'（久）=x3+2x2+3x+4的对称

中心.

【变式6-1】2.设函数/（无）=ln（，PU-久），若a,6满足不等式/（a?-2a）+f[2b-b2}<0,

则当2<a<4时，2a-b

的最大值为

A.1B.10C.5D.8

【变式6-1】3.已知函数的『一升In言,若/忌）+外急）+…+八翳）+

f（^豹=竿（&+°），其中°>则翥+浮的最小值为

A.-B.-C.V2D.-

442

题型7函数的旋转问题

【例题7]（2021•青岛开学）将函数y=折R-2（%e[-3,3]）的图象绕点（-3,0）逆时针

旋转a（0Wa<。），得到曲线C,对于每一个旋转角a,曲线C都是一个函数的图象，贝驴最

大时的正切值为（）

AJB*C,1D.V3

【变式7-1】1.（2021春•池州期末）设。是含数1的有限实数集，/（%）是定义在D上的函

数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转g后与原图象重合，则在以下各项中fQ）的取值只可能

是

A.V3B.1C.yD.0

【变式7-1】2.（2017春•新华区校级期末）将函数y=-x2+e0刀）图像绕点（1,0）

顺时针旋转。角（0<e<方得到曲线C,若曲线C仍是一个函数的图像，贝盼的最大值为

A.-B.-C.-D.-

64312

【变式7-1]3.（2021•沈河区校级四模）将函数力0）=e«x>0）的图像绕坐标原点逆时针

方向旋转角0（。6（0,汨），得到曲线C,若曲线C仍然是一个函数的图像，贝!的可能取值为

（）

A.-B.-C.-D.7T

424

【变式7-1】4.（多选）（2021•雨花区校级模拟）已知函数）/=/。），xex,且兀64,函

数y=/（%）,%e4的图象绕坐标原点顺时针旋转?所得新的函数图象与原函数图象重合，

其中几可以取任意正整数，则/（兀）的值不可能为（）

A.0B.粤C.7TD.y[3n

题型8两个函数的对称问题

【例题8]（2021•武侯区校级模拟）已知函数/■（£）=ax-"与函数g（x）=xlnx+2的图像

上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（）

A.（e-1,+od）B.（号,+同C.号,+8）D.（-03,6-1）

【变式8-1]1.（2021春•海淀区校级期末）若函数y=x3-x2-l-a,（（xG[j,e],e为

自然对数的底数）与y=——31nx的图象上存在两组关于%轴对称的点，则实数a的取值范围

是

A.（0,/+B.[0,e，-4]

c-e+ze-]D,e+2,+M

【变式8-1】2.（2021•云南模拟）已知函数/（%）=*_皿+3,__L若

ogM=5x4lnXi

函数尸3与g（x）（xeE硝的图象上至少存在一对关于X轴对称的点，则实数6的取值范

围是.

【变式