高考数学重难点专项复习：复数、平面向量（知识清单+易错分析+专项训练）（原卷版+解析）

考前回顾02复数、平面向量(知识清单+易错分析+23年高

考真题+24年最新模拟)

1.复数的相关概念及运算法则

⑴复数z=〃+Z?i(mb£R)的分类

①z是实数0Z?=0；

②z是虚数0AWO；

③z是纯虚数＜4〃=0且Z?W0.

(2)共舸复数

复数z=〃+历(a,/?£R)的共粗复数z=a-bi.

(3)复数的模

复数z=〃+Z?i(〃，Z?£R)的模|z|=,层+廿.

(4)复数相等的充要条件

ci+bi.—'C+4=c且b=d(a，b,c,dGR).

特别地，〃+历=00〃=0且。=om，Z?eR).

⑸复数的运算法则

加减法：(〃+Z?i)±(c+di)—土c)+(b±J)i；

乘法：(〃+Z?i)(c+di)=(ac-M)+(“d+Ac)i；

.ac+bd,bc-ad,

除法：(〃+/?i)：(c+di)=+淤+。2+

(c+diWO).(其中a,b,c,d£R)

2.复数的几个常见结论

(l)(l±i)2=±2i.

1+i.1-i

(2)不=1,币=—L

(3)i4n=l,i4n+1=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4"+i4n+1+i4nrt+i4n*3=0(nGN).

3.平面向量基本定理

如果ei，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数九,

卜2、使。=2通1+/12。2.若也，不共线，我们把｛右，4｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

4.向量〃与方的夹角

已知两个非零向量a,b,。是平面上的任意一点，作而=a,OB=b,则/4。8=仇0・0・无)叫做向量。

jr

与》的夹角.当6=0时，a与》回包；当。=n时，a与b反向.如果a与寸的夹角是］,我们说a与〜垂

直，记作a_LZ>.

5.平面向量的数量积

⑴若a,8为非零向量，夹角为0,则a协=|a|NcosO.

(2)设a=(尤1，yi),6=(x2，>2)，贝Ua仍=xi±2+yi22.

6.两个非零向量平行、垂直的充要条件

若。=(无1，>1),》=(尤2，>2)，贝U

(l)a//b妗a=2b(bW0)<=>xiy2—x2Vi—0.

(2)。_1_60”协=00方》2+丫1丫2=0.

7.利用数量积求长度

(1)若a=(无，y),则

(2)若A(尤i，yi),8(x2，V2)，则

\AB\=^/(X2—XI)2+CV2—yi)2.

8.利用数量积求夹角

设a,6为非零向量，若。=(xi，yi),b=(X2,J2)，6为。与6的夹角，

rnn』a・bxin+yiy?

'C°S⑷向y/xi+yjy/xz+yz

9.三角形“四心”向量形式的充要条件

设。为△ABC所在平面上一点，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,贝h

>>>Z7

(1)0为AABC的外心0|。4|=|。8|=|。。=云亚(

(2)0为△ABC的重心0位+为+沆=0.

(3)。为△ABC的垂心.女

(4)0为△ABC的内心Oa应+b近+c5^=0.

4.找向量的夹角时，需把向量平移到同一个起点，共起点容易忽视.

A易错提醒

1.复数z为纯虚数的充要条件是。=0且6W0(z=a+bi,a,6GR).还要注意巧妙运用参数问题和合理消

参的技巧.

2.复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2=—1化简合并同类项.

,，A一BA一C、

3.若AP=2=十=Q£(0,+8)),则点尸的轨迹过△A3C的内心.

W\\AC\)

易错分析

易错点1对平面向量基本定理理解有误

1.［福建泉州九中2022月考］如图所示，AB,。是圆。上的三点，线段的延长线与的延长线交

于圆O外的一点。，若0。=加。4+〃05,则m十八的取值范围是.

D

易错点2关于向量的夹角的易错点

2.［浙江百校2022开学模拟］在A5C中，是“-ABC为钝角三角形”的。

A充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D既不充分也不必要条件

易错点3记错两个向量平行的坐标关系致错

3.［陕西榆林2023二模］已知向量a=,Z?=（—2,5）.若a〃〃，贝/九=.

易错点4认为a与人的夹角为锐角（钝角）匕＞0（＜0）致错

4.［辽宁名校2023联考］已知向量a=（4,2）,b=（4l）.若a+2b与a—b的夹角是锐角，则实数X的取值

范围为（）

A（1-而2）（2,1+而）

B.（-2,5）

C.（1-而,1+何

D.（-00,1-而）L0+而,+勾

易错点5复数的相关概念理解不清致误

5.［四川乐山2022第一次调研］若zr.=l+i,则Z的虚部为（）

AB.—iC.1D.-1

6.［湖南湘潭2023二模］在复平面内，复数＜,z,对应的点分别是（2,7）,（0,5）,则复数上的虚部为（）

zi

A.2B.-2C.-2iD.2z

易错点6忽视复数相等的条件致误

7、［河北2022第六次省级联测］已知复数满足条件z；+z=6+27，则目=（）

A.A/5B.2A/2C.迅或2血D.非或娓

8.［广西桂林、崇左2023一调］已知，为虚数单位，若［;=a+4（abeR）,贝i］a+b=.

日高考真题

一.选择题（共14小题）

1.（2023•新高考H）在复平面内，（l+3i）（3-z）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第二象限D.第四象限

2.(2023•新IWJ考I)已知z=」——,贝|z—N=()

2+2z

A.—iB.iC.0D.1

3.(2023•北京)己知向量a,b满足a+b=(2,3),a-6=(-2,l),则⑷2一出『=()

A.-2B.-1C.0D.1

4.(2023•甲卷)向量1a1=1。1=1,|c|=^2,且a+Z?+d=0,则cos〈a-c,b-c〉=()

22

A.--B.--C.-D.i

5555

5.(2023•甲卷)已知向量。=(3,1),b=(2,2),则cos3+6,a-b)=()

B.姮C.6D,正

A.—

171755

6.(2023•全国)设向量a=(2,x+l),b=(x-2,-l),若Q_L6，则X=()

A.5B.2C.1D.0

7.(2023•甲卷)若复数3+，)(1一5)=2,CLGR,则a=()

A.-1B.0C.1D.2

8.(2023•北京)在复平面内，复数Z对应的点的坐标是（-1,君），则Z的共辗复数2=（）

A.1+73/B.1-后C.-1+GD.-i-B

9.(2023•乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是筋的中点，则EC-ED=()

A.A/5B.3C.2A/5D.5

10.(2023•新高考I)已知向量d=(1,1),另=(1,-1).若3+沈〃)，3+〃6'),贝)

A.4+4=1B.X+"=—1C.4〃=1D.A.JU=—1

>n2+i

11.(2023•乙卷)设z二——^则2=()

1+z+i

A.l-2iB.1+2,C.2-iD.2+i

5(1+z3)

12.(2023•甲卷)；)

(2+0(2-0-

A.-1B.1C.1-ZD.1+z

13.(2023•全国)已知(2+i»=5+5i,贝i||z|=()

A.加B.MC.5点D.5q

14.(2023•乙卷)|2+产+2户|=()

A.1B.2C.也D.5

二.填空题（共8小题）

15.（2023•上海）已知向量3=（3,4）,。=（1,2）,则a-2b=.

16.（2023•上海）已知复数z=l-i（z•为虚数单位），则|1+0=.

17.（2023•天津）已知i是虚数单位，化简四生的结果为

2+3z------

18.（2023•新高考H）已知向量3,。满足|。一6|=百，\a+b\=\2a-b\,则出|=.

19.（2023•上海）已知向量3=（—2,3）,b=（l,2）,则eb=.

20.（2023•天津）在AABC中，ZA=60°,IBC|=1,点。为他的中点，点E为CD的中点，若设=

AC=b,则AE可用a,b表示为；若BF=LBC,则尸的最大值为

3

21.（2023•上海）已知4,Z?eC且％=海0为虚数单位），满足-1|=1,则|q-z?|的取值范围为.

22.（2023•上海）已知04、08、OC为空间中三组单位向量，且。4_LOB、OA±OC,02与0c夹角为

60。，点尸为空间任意一点，且I。尸1=1,满足10Poe|剥0P|。尸・。4|,贝IJIOPOCI最大值为

最新模拟

一.选择题（共14小题）

1.(2024•昌乐县校级模拟)已知向量04=(3,-4),02=(6,-3),OC=(2m,m+1).若ABIIOC,则实数加

的值为（）

131

A.-B.——C.-3D.——

557

2.（2024•海珠区校级模拟）已知单位向量q与e2的夹角为《，则e；+2弓与26-30；的夹角为（）

2冗TTTTTT

A.——B.—C.-D.—

3324

3.（2024•沙依巴克区校级模拟）已知向量a=（3,-1）,6=（-1,2）,则-3a-2》的坐标是（）

A.（7,1）B.（-7,-1）C.（-7,1）D.（7,-1）

4.（2024•平邑县校级模拟）若平面向量4,b,c两两所成的角相等，且同=1,出|=1,|c|=3,则|a+6+c|

等于（）

A.2B.5C.2或5D.友或行

5.（2024•重庆模拟）在同一直角坐标平面内，已知点0（0,0）,A（2,0）,8（0,2）,点尸满足尸4P8=0,OPOB

的最小值为（）

A.2-20B.20-2C.20+2D.-20-2

6.（2024•江西模拟）如图，已知圆O的半径为2,弦长AB=2,C为圆O上一动点，则AC4C的取值范

A.[0,4]B.[5-4^,5+473]

C.[6-4点6+4我D.[7-467+4我

7.（2024•鼓楼区校级模拟）如图1,儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”

字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿

折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的

角向下翻折，这样,纸风车的主体部分就完成了，如图2,是一个纸风车示意图，贝！）（）

B.OAOB>0C.OA+OD=2OED.OA+OC+OD=Q

8.（2024•芝景区校级模拟）已知|。|=2,闻=3,\a+bhV19,则|。一6|等于（）

A.5B.715C.D.5

9.（2024•重庆模拟）过直线2尤-y+1=0上一点P作圆（无-2）?+丁=4的两条切线孙，PB,若PAPB=。,

则点尸的横坐标为（）

D.士孚

A.0B.-c

5-4

10.（2024•南宁模拟）AABC的外接圆圆心为O,S.2AO=AB+AC,|OA|=|AC\,则向量C4在向量CB

上的投影向量为（)

B--枭D.,CB

A.--CBC.-CB

44

11.（2024•佛山模拟）已知a与6为两个不共线的单位向量，则（)

A.(a+b)l/aB.a±{a-b)

C.若〈a,b〉=三,则〈。一6,石〉=（D.若〈〃+匕,々〉=工则〈a、b〉=]

4

12.（2024•平罗县校级一模）已知向量4=（1,〃）,万=（-1,〃），若2a-。与》垂直，则|〃|=（）

A.1B.夜C.2D.4

13.(2024•山东一模)已知|a|=|b|=l,ab,c=,d=(n,T-n)(m,neR).存在a,b,对于

2

任意实数〃7,〃，不等式|a-c|+g-d|..T恒成立，则实数T的取值范围为（）

A.(-oo,73+^]B.[百+夜,+8)C.(―oo,g—五]D.[73-72,+oo)

14.（2024•汉滨区校级模拟）已知AABC中，AB=6,C=-,若AABC所在平面内一点。满足

3

DA+DB+~DC=O,则的最大值为（）

198

AR99r6633

25252525

二.多选题（共2小题）

15.（2024•泰安模拟）已知复数z,w,则下列说法正确的是（）

?

A.若2=可，贝！l2=w

B.若z=3+i,w=-2i,贝Iz+w在复平面内对应的点在第二象限

C.若z?=l,则z=N

D.若|z-2|=l,复数z在复平面内对应的点为Z,则直线OZ（O为原点）斜率的取值范围为

16.（2024•如皋市模拟）已知复数Z],z?是关于x的方程无2+&c+l=0（-2<6<2,beR）的两根，则（)

B.三eR

A.Z]=z2

Z2

C.匕|=匕|=1D.若。=1,则z；=z；=l

三.填空题（共4小题）

17.（2024•陕西模拟）已知单位向量满足|a+26|=|a-2b|,贝”3a+4b|=

18.（2024•芝聚区校级模拟）过抛物线V=4x的焦点的直线交抛物线于A、3两点，O为坐标原点，则

OA.OB=.

19.（2024•浦东新区校级模拟）平面直角坐标系中，P、。两点到直线4:y=x和小>=-尤+6的距离

之和均为20.当|。尸|最大时，Q。•。尸的最小值为.

20.（2024•芝聚区校级模拟）。是面a上一定点，A,B,C是面a上AA5c的三个顶点，ZB,NC分别

是边AC,AB的对角.以下命题正确的是—.（把你认为正确的序号全部写上）

①动点尸满足OP=OA+PB+PC,则AABC的外心一定在满足条件的P点集合中；

AC

②动点P满足OP=OA+2（——+——）（2>0）,则AABC的内心一定在满足条件的P点集合中；

\AB\\AC\

ADAC

③动点尸满足OP=+〃-------------+--------------）（2>0）,则AABC的重心一定在满足条件的尸点集合中;

|AB|sinB|AC|sinC

40AT

④动点P满足。尸=。4+2(--------------+---------------)(2〉0),则\ABC的垂心一定在满足条件的。点集合中.

|AB\cosB|AC|cosC

⑤动点尸满足OP=0B+0C.+2(———+———)(2>0),则AABC的外心一定在满足条件的尸点集

2|AB|cosB|AC|cosC

合中.

考前回顾02复数、平面向量(知识清单+易错分析+23年高

考真题+24年最新模拟)

知识清单

1.复数的相关概念及运算法则

(1)复数z=〃+/?i(〃，的分类

①z是实数0/?=0；

②z是虚数

③z是纯虚数且＞#0.

(2)共物复数

复数z=〃+bi(〃，beR)的共舸复数z=a~bi.

(3)复数的模

复数z=〃+历(〃，/?£R)的模|z|=N层+"2

(4)复数相等的充要条件

ci+b\~~c+d代^a:=c且Z?=d(〃,b,c,dGR).

特别地，“+历=00〃=0且b=0(〃,b£R).

(5)复数的运算法则

加减法：(a+Z?i)土(c+di)=土c)+(。土J)i；

乘法：(a+bi)(c+di)=Z?J)+(〃d+bc)i；

,ac+bd,be-ad

除法：(a+bi)：(c+di)=+屋+。2+屋i

(c+diWO).(其中a,b,c,d£R)

2.复数的几个常见结论

(1)(1土i)2=±2i.

1+i.1-i

⑵有=1,币=—1.

4,!4n+l4+24+344n+

(3)i=l,i=i,i«=-l,i«=-i,i«+i1+j4«+24-j4n+3=0(neN).

3.平面向量基本定理

如果ei，02是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数九,

A2，使〃=41«1+22。2.若ei，02不共线，我们把｛幻，％｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

4.向量。与方的夹角

已知两个非零向量a,b,。是平面上的任意一点，作宓=a,OB=b,则NAOB=6»(OW6»W7r)叫做向量a

7T

与》的夹角.当(9=0时，a与1同向;当8=71时，a与」反向.如果“与方的夹角是］,我们说a与6垂

直，记作a_Lb.

5.平面向量的数量积

⑴若a,，为非零向量,夹角为仇则a协=|a|时cos6.

(2)设a=(尤1，ji),b=(X2,>2)，贝Ua仍=xi±2+yi\2.

6.两个非零向量平行、垂直的充要条件

若a=(无1，yD，》=(无2，>2)，贝!1

(1)0/7b0a—Xb(bW0)<=>xiy2—x2Vi—0.

(2)a_LZ>Oa协=0<4xix2+yiy2=0.

7.利用数量积求长度

(1)若a=(无，y),则|a|=<^=,/+;/.

(2)若A(无i，%),8(x2，y2)>则

\AB\=N(X2—尤I)2+)2一州产

8.利用数量积求夹角

设a,Z>为非零向量，若a=(xi,yi),b=(x2,竺)，8为。与6的夹角，

皿I』a-b九功+丫出

'C°S㈤向y/xj+yjy/xz+yz

9.三角形“四心”向量形式的充要条件

设。为△ABC所在平面上一点，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,贝U：

⑴。为AABC的外心0|力|=|而|=|次?|=端彳

(2)0为△ABC的重心O近+协+沆=0.

(3)0为△ABC的垂心㈡宓•协=初・沆1ndbdl

(4)0为△ABC的内心Oa应+b近+c女=0.

4.找向量的夹角时，需把向量平移到同一个起点，共起点容易忽视.

A易错提醒

1.复数Z为纯虚数的充要条件是。=0且6W0(z=a+bi,a,6GR).还要注意巧妙运用参数问题和合理消

参的技巧.

2.复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2=—1化简合并同类项.

一、

,A3AC

3.若A尸=4=+=Q£(0,+8)),则点尸的轨迹过△ABC的内心.

l|AB|\AC\)

易错分析

易错点1对平面向量基本定理理解有误

1.［福建泉州九中2022月考］如图所示，A5,C是圆。上的三点，线段。。的延长线与84的延长线交

于圆O外的一点。，若OC=加。4+〃05,则m+〃的取值范围是.

对平面内任意一点O,点。与点共线的充要条件为O£>=〃M+(1—即。4,

OB的系数和等于1.求型如OC=mOA+nOB中参数的值，可通过辅助线构造与向量OC共线且满足

A,昆。共线的向量。。，求解00=左0£>,可得参数的值.

【解析】A,5,。三点共线，存在实数4满足OD=2QA+(1—4)03

设OD=tOC,t<-l,=—即+03

夕1—/?

由OC=mOA+nOB,可得m=—,n=-----

tt

则e(-l,0)

772+〃的取值范围是(—1,0).

易错点2关于向量的夹角的易错点

2.［浙江百校2022开学模拟］在A5C中，“A3-8C<0”是为钝角三角形”的0

A充分不必要条件8必要不充分条件

C.充要条件D既不充分也不必要条件

特别提醒：(1)向量的夹角要将两个向量平移到同起点去观察，首尾相连的向量所呈现的角是夹角的补角；

(2)两个向量的夹角为钝角是两个向量的数量积小于0的充分不必要条件，求参数时需要排除两

个向量反向共线的情况，同理，两个向量的夹角为锐角时，也要注意排除两个向量同向共线时的参数值.

【解析】AB-BC=-BA-BC-BA-BCcosB<Q,即cos6>0,又0<B(兀，

所以0<B<—,不能推出，ABC为钝角三角形，充分性不成立.

2

ji~-

ABC为钝角三角形时，若一<3<"，则AB-BC—氏4-台。=—BA-BCcosB〉。，不能推出

2

ABBC<0,必要性不成立.

所以“AB-BC<0”是".•.ABC为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选D.

易错点3记错两个向量平行的坐标关系致错

3.［陕西榆林2023二模］已知向量a=（7%l）,匕=（一2,5）.若。//匕，贝1］加=.

a=（X，X）,/?=（&,%）是非零向量，=X］%-%%=0在使用公式的时候，切记不要

把公式记混.

2

【解析】已知。=（加,1）,Z?=（-2,5）,a//b,所以5加+2=0,解得m=—

易错点4认为。与〃的夹角为锐角（钝角）oa・“0（<0）致错

4.［辽宁名校2023联考］已知向量a=（4,2）,3=（41）.若a+2。与a—Z?的夹角是锐角，则实数X的取值

范围为（）

A（I-A/11,2）（2,1+而）

B.（-2,5）

c.（i-VTT,i+VTT）

D.卜00,1_^/111++00）

当。2>0（<0）时，。与b的夹角为锐角（钝角）或0（180）度角，所以。与〃的夹角为锐角

（钝角）等价。为>0（<0）且。与〃不共线.

【解析】由题意得a+2b=（4+九4）,a—b=（4—41）.

若a+2b与。一。的夹角是锐角，则。+26与a-Z?不共线，且它们的数量积为正值，4+22^4（4-2）,

且（a+2Z?）・（a—6）=（4+2办4）-（4一九1）=20+4；1—2丸2>0,

解得1—而<4<1+而，且

所以实数；I的取值范围为（1—而,2）,倒,1+而）.故选A.

易错点5复数的相关概念理解不清致误

5.［四川乐山2022第一次调研］若Z-7=1+，，则Z的虚部为()

A.iB.-iC.1D.-1

复数的虚部指的是虚数单位i的实数系，故而不能带上虚数单位，如本题虚部很容易被误认为是

-i

【解析】因为z4=i+，，则=］_，,所以的虚部为—i,故选。

izx(-z)

7

6.［湖南湘潭2023二模］在复平面内，复数对应的点分别是(2,-1),(0,5),则复数二的虚部为()

zi

A.2B.-2C.-2iD.2z

复数的虚部指的是虚数单位z•的实系数，故而不能带上虚数单位，如本题，虚部容易被误认为是

21.

【解析】由题可知4=2—z2=5/,则三=3-二=_］+2,所以复数二的虚部为

"42-i(2-z-)(2+z)Z］

2.故选A.

易错点6忽视复数相等的条件致误

7、［河北2022第六次省级联测］已知复数满足条件zi+z=6+27，贝1］忖=()

A.A/5B.20C.6或20D.小或娓

两个复数z^a+bi,z,=c+由相等的充要条件是"=(a,瓦c,deR),即需要满足实部与

［b=a

虚部同时相等.

【解析】设Z=x+*•(孙£尺)，则2=%-加，所以Z,Z=%2+y2

"22「

—/oO\犬+'+%=O,

所以Z・Z+Z=(JT+y+%)+y，=6+2i,则＜

［丁=2,

解得｛——，或｛—，故z=—2+2i或z=l+2z,因此目=2后或回=百.

、y,、y•

故选u

8.［广西桂林、崇左2023一调］已知i为虚数单位，^-^—=a+bi^abe7?),贝Ija+Z?=.

a=c

;两个复数4=。+万，z?=c+力相等的充要条件是｛'（a,瓦c,deR）,即需要满足实部与

虚部同时相等.

【解析】因为,=a+bi,所以〃+4=----=二­I—i

所以〃=一,b=—,则a+b=—+—=1

对高考真题

选择题（共14小题）

1.（2023•新高考H）在复平面内，（1+3力）（3-，）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答】解：（l+30（3-i）=3-i+9z+3=6+8z,

则在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点的坐标为（6,8）,位于第一象限.

故选：A.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

2.（2023•新图考I）已知z=」~A，贝Uz—5=（）

A.—i

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轨复数的定义，即可求解.

Z-Z=一Z.

故选：A.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共辗复数的定义，属于基础题.

3.（2023•北京）已知向量4,6满足&+方=（2,3）,”6=（-2』）,则|小|必=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【分析】根据向量的坐标运算，向量的模公式，即可求解.

【解答】解：。+。=（2,3）,。一5=（-2,1）,

a=(0,2)»b=(2,1),

22

.-.|fl|-|Z7|=4-5=-l.

故选：B.

【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的模公式，属基础题.

4.(2023•甲卷)向量|a|=|b|=l,|c|=&,且a+6+c=0,则cos〈a—c,。-c〉=()

1224

A.——B.——C.-D.-

5555

【分析】根据题意，用Q、b表示C,利用模长公式求出cos，b>,再计算2-乙与C的数量积和夹

角余弦值.

【解答】解：因为向量|。|=拒，且Q+b+c=0,所以Y=G+8，

所以=〃2+/+2〃・匕，

即2=l+l+2xlxlxcosva,b>,

解得cos<d,b>=0,

所以a_LZ?,

y^a—c=2a+b,b—c=a+2b,

所以(〃一0>(。-0)=(2々+切・伍+2/?)=2/+2/+5々/=2+2+0=4,

\a-c\^b-c\=+4a/+/?2=J4+0+1=逐，

(a-c)-(b-c)44

所以cos〈a-c，b-c)=--------=----=-

\a-c^b-c\正x行5

故选：D.

【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长夹角的计算问题，是基础题.

5.(2023•甲卷)已知向量，=(3,1),6=(2,2),贝i]cos〈a+6,。一力=()

1

A.D,还

17~vT5

【分析】根据题意，求出a+6和的坐标，进而求出|〃+切、和(〃+/?)•(〃-力)的值，进而由数

量积的计算公式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，向量〃=(3,1),。=(2,2),

则a+6=(5,3),a-b=(l,-l),

则有|a+b|=125+9=后,\a-b\=y/l+l=y/2,(a+b)-(a-b)=2,

(d+b)-(a-b)2历

故cos〈4+Z7,a-b)=

\a+b^a-b\A/3417

故选：B.

【点评】本题考查向量的夹角，涉及向量的数量积计算，属于基础题.

6.(2023•全国)设向量a=(2,x+l),6=(无一2,-1),若o_L6,则x=()

A.5B.2C.1D.0

【分析】利用向量垂直的性质直接求解.

【解答】解：向量。=(2,x+l),/?=(%-2,-1),alb,

ab=0,可得2(尤一2)+(尤+1)*(—1)=0,

..x—5•

故选：A.

【点评】本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

7.(2023•甲卷)若复数(a+i)(l-ai)=2,awR,贝!U=()

A.-1B.0C.1D.2

【分析】根据复数的运算法则和复数相等的定义，列方程组求出。的值.

【解答】解：因为复数(a+i)(l—ai)=2,

所以2a+(l-/)i=2,

a=2

gpP2/解得a=L

[1-cr=0

故选：C.

【点评】本题考查了复数的运算法则和复数相等的应用问题，是基础题.

8.(2023•北京)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,月)，贝ijz的共辗复数彳=()

A.1+后B.1-后C.-1+疝D.一1一而

【分析】根据复数的几何意义、共轨复数的定义即可得出结论.

【解答】解：在复平面内，复数Z对应的点的坐标是

z=-1+s/3i1

则Z的共朝复数z=-1-A/3J,

故选：D.

【点评】本题考查了复数的几何意义、共朝复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

9.(2023•乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是A5的中点，则EC・ED=()

A.行B.3C.2^5D.5

【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解.

【解答】解：正方形ABCD的边长是2,E是的中点，

所以E3-£4=-l,EBLAD,EA±BC,BCAD=2x2=4,

贝(JECED=(EB+BC)(EA+AD)=EBEA+EBAD+EABC+BCAD=-1+0+0+4=3.

故选：B.

【点评】本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于基础题.

10.(2023•新高考I)已知向量a=(l,l),b=(l,-l).若(d+")_L(4+筋),则()

A.A+//=1B.几+4=—1C.=lD.A//=—1

【分析】由已知求得。+/1人与。+〃。的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解.

【解答】解：a=(1,1),b=(l,-l),

/.Q+Ab—(A+1,1—A)fQ+/jb—(〃+1,1-〃)9

由(a+劝)_L(a+,得(％+1)(4+1)+(1-2)(1一〃)=0,

整理得：2几4+2=0,即〃/=—1.

故选：D.

【点评】本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题.

11.(2023•乙卷)设2=贝”=()

1+f+i

A.l-2zB.l+2zC.2-iD.2+i

【分析】先对Z进行化简，再根据共朝复数概念写出即可.

【解答】解：・『=_],『=心

2+i

z=-----------

1+z2+/

2+i

=l-2z,

/.z=l+2z.

故选：B.

【点评】本题考查了复数的运算及共轨复数的概念，属简单题.

5(1+广)

12.(2023•甲卷))

(2+0(2-/)-

A.-1B.1C.1-/D.1+z

【分析】直接利用复数的运算法则化简求解即可.

【解答】解：5(1+/3)=^^=1-/.

(2+z)(2-z)5

故选：C.

【点评】本题考查复数的运算法则的应用，是基础题.

13.（2023•全国）已知（2+，），=5+5七则|z|=（）

A.A/5B.VioC.50D.5A/5

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共辗复数即复数的模的概念得答案.

【解答】解：由(2+i»=5+5i,

得

2+i

_(5+50(2-z)

"(2+z)(2-D

15+5z

5

=3+z,

贝Uz=3—i,|Z|=732+(-1)2=A/W.

故选：B.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

14.(2023•乙卷)|2+/+2『|=()

A.1B.2C.^5D.5

【分析】直接利用复数的模的运算求出结果.

【解答】解：由于12+『+2FR1-2i|=JF+(-2)2=3.

故选：C.

【点评】本题考查的知识要点：复数的运算，复数的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题.

填空题(共8小题)

15.(2023•上海)已知向量a=(3,4),b=(l,2),贝!J4一25=_(l,0)_.

【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可.

【解答】解：因为向量。=(3,4),5=(1,2),

所以°一2b=(3-2x1,4-2x2)=(l,0).

故答案为：(1,0).

【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题.

16.(2023•上海)已知复数z=l-i(z•为虚数单位)，则+

【分析】根据复数的基本运算，即可求解.

【解答】解：，z=1-》，

1+iz|=|1+z(l-z)|=|2+i|=6.

故答案为：45.

【点评】本题考查复数的基本运算，属基础题.

17.(2023•天津)已知i是虚数单位，化简史1电的结果为4+i.

2+3z——

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求解即可.

【解答】解：3J5+14…生空E+i.

2+3;(2+3z)(2-3z)13

故答案为：4+i.

【点评】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题.

18.(2023•新高考H)已知向量a,6满足|。一％|=6，\a+b\=\2a-b\,贝力。|=_6_.

【分析】根据向量数量积的性质及方程思想，即可求解.

【解答】解：\a-b\=y/3,\a+b\=\2a-b\,

Q?+b?—2Q,5=3,Q?+b?+2〃.b—+b?—4a,b,

12

/.a=2a,b,/.b=3f

，Ib1=石.

故答案为：逝.

【点评】本题考查向量数量积的性质及方程思想，属基础题.

19.(2023•上海)已知向量a=(-2,3),b=(l,2),则.(=4.

【分析】直接利用平面向量的坐标运算法则求解.