高考数学重难点专项复习：概率与统计的创新题型（2大考点+强化训练）（原卷版+解析）

培优点06概率与统计的创新题型（2大考点+强化训练）

概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，主要考查学生的

阅读理解能力和数据分析能力.要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、

各事件间的关系，建立相应的数学模型求解.

知识导图

❶考点一：概率和数列的综合问题

★概率与统计的创新题型

❷考点二:概率和函数的综合问题

ill

考点一：概率和数列的综合问题

规律方法概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：

⑴求通项公式：关键是找出概率2或均值以左）的递推关系式，然后根据构造法（一般构造等比数列），求

出通项公式.

（2）求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和.

（3）利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.

[例1]（2024•山东荷泽•一模）若数列｛4｝的通项公式为4=（-1严”，记在数列｛%｝的前〃+2（〃wN*）

项中任取两数都是正数的概率为则（）

2

A.—B.P9<Pl0C.6o<%D.<当

【变式1】（2024•黑龙江•二模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为：，从第二题开

始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为。；若前一题答对，则此题答对的概率为;.记甲同学回答

第〃题时答错的概率为A，当“22时，恒成立，则M的最小值为（）

,9749八47八49

A.---B.---C.—D.—

1321326666

【变式2】（2023•晋中模拟）晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源，其中有保存完好的大院

人文景观（如王家大院，常家庄园等），也有风景秀丽的自然景观（如介休绵山，石膏山等）.某旅行团带游客

2

来晋中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游览.若每位游客选择人文景观的概率是可，选

O

择自然景观的概率为:，游客之间选择意愿相互独立.

（1）从游客中随机选取5人，记5人中选择人文景观的人数为人求才的均值与方差；

（2）现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记2分，选择自然景观记1分，记已调查过的累计得分为〃分

的概率为只，求匕

【变式3］（2023•邯郸模拟）某市为了让广大市民更好地了解并传承成语文化，当地文旅局拟举办猜成语大

赛.比赛共设置〃道题，参加比赛的选手从第一题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所

有题目.设某选手答对每道题的概率均为P（0〈KD,各题回答正确与否相互之间没有影响.

⑴记答题结束时答题个数为其当〃=3时，若£（力>1.75,求0的取值范围；

（2）①记答题结束时答对题的个数为匕求双力；

②当时，求使£（10>4的n的最小值.

参考数据：1g2=0.301,1g3—0.477.

考点二:概率和函数的综合问题

规律方法构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制.

【例2】（2024高三•全国•专题练习）设mN*,。“为（2x+3）"-（x+l）”的展开式的各项系数之和,

c=2/-3,feR,〃=华］+学］++瞪］（㈤表示不超过实数x的最大整数），则（“一1+电+4的最小值

为.

【变式1］（2024•黑龙江•二模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为从第二题开

始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为:；若前一题答对，则此题答对的概率为《记甲同学回答

第〃题时答错的概率为匕，当时，恒成立，则〃的最小值为（）

97「49「47「49

A.B.C.—D.—

1321326666

【变式2】（2023•浙江金丽衢十二校联考）某公司生产一种大件产品的日产为2件，每件产品质量为一等的

概率为0.5,二等的概率为0.4,若达不到一、二等，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立.己

知生产一件产品的利润如下表：

—­住

等级一等一寺—二«生寸

利润（万元/每件）0.80.6-0.3

（1）求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；

（2）求该公司每天所获利润J（万元）的均值；

（3）若该工厂要增加日产量，需引入设备及更新技术，但增加〃件，其成本也将相应提升〃一In〃（万元）,

假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请回答，并说明理由.

（In2^0.69,In3^1.1）

强化训练

一、选择题

1.（23-24高三上•江西宜春•阶段练习）从1-20中随机抽取3个数，记随机变量4为这3个数中相邻数

组（a,a+l）的个数.如当这三个数为11,12,14时，小=1；当这三个数为7,8,9时，&=2.则E（J）的值

约为（）

A.0.22B.0.31C.0.47D.0.53

2.（22-23高二下•江苏常州•阶段练习）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次

传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（）

A.2次传球后球在丙手上的概率是:B.3次传球后球在乙手上的概率是!

C.3次传球后球在甲手上的概率是。D.〃次传球后球在甲手上的概率是：

3.（2023•河北唐山•二模）抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a,第二次得到的点

数为6,则函数/（x）=；x3+62+bx+c没有极值点的概率为（）

A.1B.Ac.HD,1

418363

4.（22-23高二下•四川眉山•阶段练习）先后任意地抛一枚质地均匀的正方体骰子两次，所得点分别记

为。和6,则函数办2+云存在极值的概率为（）

,13”17八19八23

A.—B.—C.—D.—

36363636

5.（22-23高三•宁夏吴忠•阶段练习）设='尤<°，若函数〃尤）的最小值为b

x—QIn%,x>0

是从0,1,2,3,4,5六个数中任取一个，那么。恒成立的概率是（）

3325

A.—B.-C.-D.一

5436

6.（22-23高三上•贵州铜仁•期末）已知,，。是方程（产―5，+4）（/—5/+6）=0的根，则函数

g（X）=P%3+/2+%_］在（――+⑹上是递增函数的概率是（）

B.L79

C.——D.

A.1121616

7.（22-23高三上•江苏苏州•阶段练习）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a,b,则“在函数

/（尤）=ln（尤2+⑪+24的定义域为R的条件下，满足函数g（x）=,一：：为偶函数”的概率为

\Cl十L/JJi

（）

A.—B.—C.-D.-

171396

8.（2023高三•全国•专题练习）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、

乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复〃（〃eN*）次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X.，

恰有1个黑球的概率为P,,恰有2个黑球的概率为工，则下列结论不正确的是（）

.167

A.p=—，%=—

227227

B.数列｛2°“+%-1｝是等比数列

C.数列｛0“+2%-1｝是等比数列

D.X*的数学期望矶x“）=l+（gJ（”eN*）

二、多选题

1.（23-24高三上•重庆渝中•期中）甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一

人是等可能的.从一个人传球到另一个人称传球一次.若传球开始时甲持球，记传球〃次后球仍回到甲手

里的概率为则下列结论正确的是（）

比二B.C.匕。“）D.

2.（22-23高二下•河南许昌•阶段练习）下列结论正确的有（）

A.公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有IO,种.

B.两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是g；

C.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11,若这组数据的平均

数、中位数，众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为12.

D.若随机变量X服从二项分布X~,则尸=

3.（23-24高三下•浙江•开学考试）日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性.假设在一

定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量X,根据统计数据，它近似满足如下规律：

对任意正整数"，寿命恰好为”的植物在所有寿命不小于九的植物中的占比为10%.记“一株植物的寿命为

为事件4,“一株植物的寿命不小于"”为事件纥.则下列结论正确的是()

A.尸⑷=0.01

B.尸(4)=0.9"-

c.设巴=尸(4/%)，则｛4｝为等比数列

D.设工=〃尸(A),则£果<10

k=\

三、填空题

1.(2023•江苏南京•二模)一个袋子中有〃(〃eN*)个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个

球.若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为O(〃)，则P(〃)的最大值为.

2.(23-24高二上•四川成都•期末)已知〃个人独立解决某问题的概率均为且互不影响，现将这〃

4

9

个人分在一组，若解决这个问题概率超过—,则〃的最小值是

三、解答题

1.(2024•辽宁•一模)近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了

两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.

(1)该校学生甲、乙、丙三人某周均从A,2两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、乙、丙该周选择A

健身中心健身的概率分别为求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率；

(2)该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，

其中周六选择A健身中心的概率为。.若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为I；

24

若周六选择3健身中心，则周日选择A健身中心的概率为(求丁周日选择8健身中心健身的概率；

(3)现用健身指数上(左€[0,10])来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定左值低于1分的学

生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其上值低于1分的概率为0.12.现从

全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到

一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过".若抽取次数的期望值不超过3且〃>7,求〃的

最大值.

参考数据：0.8829b0.025,0.8830~0.022,0.8831»0.019,ln0.88~-0.128.

2.(2023•上海长宁•一模)己知等差数列｛凡｝的前〃项和为S“，公差d=2.

⑴若几=100,求｛4｝的通项公式；

⑵从集合｛%外,%,%，如3｝中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件A,求事件A发生的概

率尸(A).

3.(23-24高三上•广西柳州•阶段练习)假设L市四月的天气情况有晴天，雨天，阴天三种，第二天的

天气情况只取决于前一天的天气情况，与再之前的天气无关.若前一天为晴天，则第二天下雨的概率为

了，阴天的概率为：；若前一天为下雨，则第二天晴天的概率为了，阴天的概率为楙；若前一天为阴天，

则第二天晴天的概率为:，下雨的概率为g；已知L市4月第1天的天气情况为下雨.

⑴求L市4月第3天的天气情况为晴天的概率；

⑵记。“为L市四月第n(neN+,»<30)天的天气情况为晴天的概率，

(i)求出。”的通项公式；

(ii)L市某花卉种植基地计划在四月根据天气情况种植向日葵，为了更好地促进向日葵种子的发芽和生

长，要求提前3天对种子进行特殊处理，并尽可能地选择在晴天种植.如果你是该花卉种植基地的气象顾

问，根据上述计算结果，请你对该基地的种植计划提出建议.

4.(2024高三•全国•专题练习)将连续正整数1,2,L,〃("eN*)从小到大排列构成一个数123n,

网”)为这个数的位数(如当”=12时，此数为123456789101112,共有15个数字，尸(12)=15),现从这个

数中随机取一个数字，。(〃)为恰好取到0的概率.

⑴求P(IOO).

(2)当“V2021时，求尸(〃)的表达式.

(3)令g(〃)为这个数中数字。的个数，/⑸为这个数中数字9的个数，〃(")=/(")-g(”)，

S=|h(n)=1,«<100,«eN*j,求当“eS时p(n)的最大值.

5.(2024•广东汕头•一模)2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高

中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科

学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并

且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以

没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到〃颗番

石榴(不妨设“颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能

在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前%颗番石榴，自

第k+1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设左=仞，记

该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P.

(1)若〃=4,左=2,求尸；

(2)当〃趋向于无穷大时，从理论的角度，求尸的最大值及P取最大值时r的值.

(取工+,++」一=ln3)

kk+1n-1k

6.(2023•石家庄模拟)国家在《中小学生健康体检管理办法》中规定：中小学校每年组织一次在校学生健

康体检，现某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占麻，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病

毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种

化验方法：随机按照4个人进行分组，将各组4个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这次个

人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别化验

一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.

(1)若勿=0.4,记每人血样化验次数为才，当A取何值时，才的均值最小，并求化验总次数；

(2)若"=0.8,设每人血样单独化验一次费用为5元，“个人混合化验一次费用为A+4元.求当“取何值

时，每人血样化验费用的均值最小，并求化验总费用.

参考数据及公式：，诃心3.16,(1+X)"-1+〃X(AGN*,A22,01).

7.(2023•广州模拟)随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机

也频频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活

动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广.

⑴公司内部测试的活动方案设置了第/(/GN*)次抽奖中奖的名额为3/+2,抽中的用户退出活动，同时补

充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活

动结束.参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中.

①求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率；

②求甲参加抽奖活动次数的分布列和均值；

(2)由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广.报名参加第一次抽奖活动的有20万

9+—1'

用户，该公司设置了第，/GN*)次抽奖中奖的概率为“=——-——,每次中奖的用户退出活动，同时补

充相同人数的新用户，抽奖活动共进行2〃(AGN*)次.已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这2〃次抽奖活

9

动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于

培优点06概率与统计的创新题型(2大考点+强化训练)

概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，主要考查学生的

阅读理解能力和数据分析能力.要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、

各事件间的关系，建立相应的数学模型求解.

知识导图

❶考点一：概率和数列的综合问题

★概率与统计的创新题型

❷考点二:概率和函数的综合问题

ill考点分类讲解

考点一：概率和数列的综合问题

规律方法概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：

⑴求通项公式：关键是找出概率2或均值£(&)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求

出通项公式.

(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和.

(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.

【例1】(2024•山东荷泽•一模)若数列｛〃”｝的通项公式为%=(-l)a〃，记在数列｛4｝的前〃+2(〃eN*)

项中任取两数都是正数的概率为匕，则()

2

A.=~B,月<耳。C.<耳D.耳<当

【答案】C

【分析】利用分类讨论及通项公式的特点，再利用组合数公式和古典概型的概率的计算公式求出概率的通

式即可求解.

【详解】〃为奇数时，前〃+2项中有彳个奇数项，即有彳个正数，

22

Q1〃+3〃+1

P_等_FF_("+3)5+1)_九+3,[=:，故A错误；

nC；+2(n+2)(n+l)4(n+2)(n+l)4(〃+2)?

”为偶数时，前”+2项中有〃三+2个奇数项，即有〃三+2个正数，

22

「2(n+2\n

p一等.〔。丁仅+2”“，

"C+2(”+2)5+1)4(n+2)(n+l)4(M+1)

f'『热吟'故B错误；

147

耳=7~瓦=宝＞&),故C正确；

4x1326

%=1E2=白3＜晶，故D错误.

4x1313

故选：C.

【点睛】关键点点睛：根据数列的通项公式的特点分类讨论，利用组合数和古典概型的概率的计算公式求

出概率的通式即可.

【变式1】(2024•黑龙江•二模)某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为：，从第二题开

始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为:；若前一题答对，则此题答对的概率为;.记甲同学回答

第〃题时答错的概率为A，当〃22时，匕4〃恒成立，则M的最小值为()

97「49八47649

A.B.C.—D.—

1321326666

【答案】D

【分析】

写出甲同学回答第〃题时答错的概率匕=*匕T+|，构造得到数列［匕-1,是等比数列，从而利用等比数

列通项得到数列｛5｝递减，由函数单调性即可得到答案.

【详解】因为回答第n-1题时有答对、答错两种情况，则回答第〃题(“22)时答错的概率

=+1pp

P»1^-i~(~n-i)=~n-i，

所以『『卷■「"

1nQ9

由题意知耳=乎则勺_»，

所以1匕-是首项为5、公比为'的等比数列,

.8_21_821

所RCI＞以D匕一五二十声’H即nD尺一十隶^^.

显然数列｛舄递减，所以当"22时，^,<^=-Q^+-9x—1=-4QJ,

11111266

所以M的最小值为4?9.

66

故选：D.

【变式2】（2023•晋中模拟）晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源，其中有保存完好的大院

人文景观（如王家大院，常家庄园等），也有风景秀丽的自然景观（如介休绵山，石膏山等）.某旅行团带游客

2

来晋中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游览.若每位游客选择人文景观的概率是勺，选

择自然景观的概率为游客之间选择意愿相互独立.

（1）从游客中随机选取5人，记5人中选择人文景观的人数为工求X的均值与方差；

（2）现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记2分，选择自然景观记1分，记已调查过的累计得分为〃分

的概率为凡，求

,2、210

【解析】⑴由题可知可（或者列出分布列），于是亚万=5X§=g,

/入2110

〃（乃=5X-X-=—

OOc/

（2）方法一由题可知

一+二」

23339,

12

当〃23时，Pn=-Pn-l+-Pn-2,

22

即Pn~\-^Pn-\=Pn-\+~Pn-2,

.《2十；只为常数数列，

22721

且Pn+-Pn-i=P2+-Pi=-+-X-=1,

ooz)oo

"-362<

I-

f31Q49

.•.2—二是以a—£=—2为首项，一斜公比的等比数歹u,

[oj5153

.34/2\_1

方法二由题可知A=:，

0

2117

23339,

12

当〃23时，Pn=-Pn-l~\--Pn-2,

2

即PLPn-1=—q(Pn-LPn-D，

O

49

｛只一只-J是以2—为首项，一可为公比的等比数歹!J,

yo

又也满足上式,

【变式3](2023•邯郸模拟)某市为了让广大市民更好地了解并传承成语文化，当地文旅局拟举办猜成语大

赛.比赛共设置〃道题，参加比赛的选手从第一题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所

有题目.设某选手答对每道题的概率均为0(0〈仄1),各题回答正确与否相互之间没有影响.

(1)记答题结束时答题个数为由当〃=3时，若以力＞1.75,求o的取值范围；

(2)①记答题结束时答对题的个数为匕求£(D；

②当0.时，求使£(力〉4的〃的最小值.

参考数据：1g2«0.301,1g3心0.477.

解(1)根据题意，才的所有可能取值为1,2,3,

P(X=1)=l—p,〃(1=2)=0(1一夕)，

户（才=3）=/,

所以MX）=1一夕+24（1一4）+3p=p+4+1,

由E（#=p+p+l>l.75得夕>；,

又0</?<1,

所以0的取值范围是1).

(2)①尸(六啰=//(1—4，

其中4=0,1,2,…，72—1,P{Y=n）=p.

方法一V的均值£（D=p（l—p）+2p（l—p）-\------F（〃一p）+np

=（1—p）[p+2/?2+3p-\------1-（77—I）/?77-1]+np,

设Sn=p+2p+3pH------1-（〃-

利用错位相减可得（1一0）S=〃+夕2+p-\-----F,"f—（〃一1）夕”,

所以£（力=〃+/+6H------（77—1）p+np

__n+l

।2i3iin~\\nPP

=夕十P+P।------\P十夕—-!Z一.

方法二£（D=（夕一夕2）+（2/—2夕3）+（3p-3p）H------1-[（77—1）p~l—（〃-1）p~\+np

=p+p+p~\-----\-p~x-\-p

]一夕•

5_f5Y+1

6⑹

②依题意，———>4,

5

1

/

即n+1^

b

1lg6

即/?+l>log

'57lg6—lg5

i6

lg2+lg3

~9.848,

21g2+lg3-1

所以〃>8.848,又〃eN*,故〃的最小值为9.

考点二:概率和函数的综合问题

规律方法构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制.

【例2】(2024高三•全国•专题练习)设MN*,a"为(2x+3)"-(x+l)"的展开式的各项系数之和,

c=2t-3,2=年］+华］++瞪］（㈤表示不超过实数x的最大整数），则（”T）2+S.+C）2的最小值

为.

【答案】1/0.2

yinv）n

【分析】赋值法求出%=5”-2"，结合导数判断〃〈等〈〃，确定黄=〃-1.结合等差数列求和公式得

%,将（〃-r）2+S“+c）2转化为点点距的平方进而求解.

【详解】令x=l可得,

设〃》）=—（无刈，贝U尸（司=上誉,

令/'（x）=0,得％=巳

当x«l,e）时，/r（x）＞0,函数人%）单调递增;

当x«e,+8）时，/（无）＜0,函数/（X）单调递减.

贝U<-<—=ln^<ln—.

xe22

।-1“f乩-Inn.5

故对任后的〃之1,-----<ln—.

n2

故0<〃0<1,i^n—1<<n,即=n-1.

2母堂++瞪］

_/八〃2一n

=1+2++(〃-1)=一--,

2_

则(〃t)2+电+C)2的几何意义为点伽,^1)5eN*)到点(t,3-20的距离的平方,

最小值即点(",2^)(〃eN*)至Uy=3-2x的距离的平方，

2

y=；(/-尤)与y=3-2x的交点横坐标尤。=叵口e(1,2),

22

|2—3I1

且点(1,0)到直线y=3-2尤的距离4=J—L=忑,

1

点(2,1)到直线y=3-2尤的距离d2=,J=不，

22

(n-t)+(bn+c)的最小值为:

故答案为：/

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决函数最值及点点距的应用，关键是利用导数判断出

rin

进而确定么.

【变式1】（2024•黑龙江•二模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为从第二题开

始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为:；若前一题答对，则此题答对的概率为《记甲同学回答

第〃题时答错的概率为匕，当时，恒成立，则〃的最小值为（）

.97-49八47八49

A.B.C.—D.—

1321326666

【答案】D

【分析】

写出甲同学回答第«题时答错的概率匕=:匕―+g，构造得到数列［匕-是等比数列，从而利用等比数

列通项得到数列｛£｝递减，由函数单调性即可得到答案.

【详解】因为回答第n-1题时有答对、答错两种情况，则回答第"题（"22）时答错的概率

Pn=^Pn-\+:匕-I+|>

所以《一3m

1noo

由题意知片=万，则6-y=五，

所以｛匕-是首项为：、公比为'的等比数列，

所以匕一即匕=*+工*」］.

"111112"-'"111112"-1

显然数列优｝递减，所以当*2时，匕4£=2Q+白9、31=”4Q，

11111266

所以M的最小值为249.

66

故选：D.

【变式2】（2023•浙江金丽衢十二校联考）某公司生产一种大件产品的日产为2件，每件产品质量为一等的

概率为0.5,二等的概率为0.4,若达不到一、二等，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立.已

知生产一件产品的利润如下表：

―-迂

等级一等一寺三等

利润(万元/每件)0.80.6-0.3

(1)求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；

(2)求该公司每天所获利润f(万元)的均值；

(3)若该工厂要增加日产量，需引入设备及更新技术，但增加〃件，其成本也将相应提升〃一In〃(万元)，

假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请回答，并说明理由.

(In2心0.69,In3^1.1)

【解析】(1)设一件产品是一等品为事件4则一件产品不是一等品为事件7,204)=0.5,PU)=0.5,2

件产品至少有一件为一等品事件为AA+AA+7A,

其概率P=P(4A)+爆—(4)PCA)=0.52+2X0.5X0.5=0.75.

(2)设一件产品为一等品为事件4二等品为事件8,次品为事件G

贝!］尸(4=0.5,P{B)=0.4,P(O=0.1,

则f的所有可能取值为1.6,1.4,1.2,0.5,0.3,-0.6,

P(f=-0.6)=［P(O］2=0.01,

户(6=0.3)=娱户(6)户(。=2*0.4X0.1=0.08,

P(f=0.5)=C；?(4)?(0=2X0.5X0.1=0.1,

Plf=1.2)=［户⑸2=0.16,

P(f=1.4)=4—(4)一(面=2X0.5X0.4=0.4,

P(4=1.6)=［尸⑷］』.25,

则f的分布列为

-0.60.30.51.21.41.6

P0.010.080.10.160.40.25

£(§)=-0.6X0.01+0.3X0.08+0.5X0.1+1.2X0.16+1.4X0.4+1.6X0.25=1.22.

(3)由(2)可知，每件产品的平均利润为1.22+2=0.61(万元)，则增加〃件产品，利润增加为0.61〃万元,

成本也相应提高(A—In〃)万元，

所以净利润为0.617?—zz+ln72=Inn~0.39A,〃GN*,

设/'(x)=lnx~0.39x,则f(x)='—0.39,

X

当£〈翳时，/(X)>0，广(X)单调递增，

当工>罂时，/(x)<0,f(x)单调递减，

所以当X=G时，/(X)取得最大值，

▼100

又2<-TT-<3,

因为X只能取整数，所以x=2或x=3,此时F(x)可能为最大值，

f(2)=ln2-0.39X2^0.69-0.78

=-0.09<0,

f(3)=ln3-3X0.39^1.1-1.17=-0.07<0,

即在『(x)取得最大值时也是亏本的，所以不应该增加产量.

口强化训练

四、选择题

1.(23-24高三上•江西宜春•阶段练习)从「20中随机抽取3个数，记随机变量J为这3个数中相邻数

组(a,4+1)的个数.如当这三个数为11,12,14时，4=1；当这三个数为7,8,9时，自=2.则的值

约为()

A.0.22B.0.31C.0.47D.0.53

【答案】B

【分析】

确定随机变量4的取值为0,1,2,结合变量对应的事件写出概率，即可计算出期望.

【详解】随机变量&的取值为0,1,2,

当小=1时，所取的三个数中仅两个数相邻，两数相邻有19种情况，

其中相邻两数取1,2和19,20时，对应取法为17种，

2x1717x16

其余17种情况取法均有16种，=1)=+=2^；

C20114U

1Q1Q

当J=2时，即所取的三个数中两两相邻，取法有18种，，尸(J=2)=k=77不,

C20114U

所以当4=0时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有1140-18-306=798种，

「(9)=篙

.•.E("M+q+2x5=0.3.

v7114011401140

故选：B.

2.(22-23高二下•江苏常州•阶段练习)甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次

传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是()

A.2次传球后球在丙手上的概率是:B.3次传球后球在乙手上的概率是!

24

C.3次传球后球在甲手上的概率是:D.〃次传球后球在甲手上的概率是g

【答案】C

【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC,〃次传球后球

-1

在甲手上的事件即为4,则有4+1=44+1+44M，利用全概率公式可得外包=5（1-。.），再构造等比数

列求解即可判断D.

【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结

果，

它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1个结果，所以概率是故A错误；

第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，

甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，

它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，

所以概率为］故B错误；

O

21

3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为"=:，故C正确；

«次传球后球在甲手上的事件记为4,则有A,+1=44+1+A4+I，

令P.=尸（4）,则p（4+114）=o,m+1IA）=p

-——1

于是得尸（4G=尸（4）尸（4、4）+P（A）尸（AM4）=P„-O+-（I-A）,

故P0+I=g（i—P"），则p”+i—g=—；（0“ig），

而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即月=0,贝ij有

数列｛2-3是以-;为首项，为公比的等比数列，

所以P"一；=一：（一；）1，即必=一（一；）"』，故D错误.

故选：C

3.（2023•河北唐山•二模）抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a,第二次得到的点

数为6,则函数/（月=:无3+加+加；：+<7没有极值点的概率为（）

1

BCD.

--H3

【答案】A

【分析】函数/'(x)没有极值点，转化为尸(x)=0的A40,再列举符合条件的基本事件，得出概率结果.

【详解】f\x)=^+2ax+b,若〃x)没有极值点，

贝1」A=44-4640,BPa2<b.

由题意知,所有的基本事件为36个,其中满足一女的有(U),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,4),(2,5),(2,6),共有9个，

所以P=39=1

364

故选：A.

4.(22-23高二下-四川眉山-阶段练习)先后任意地抛一枚质地均匀的正方体骰子两次，所得点分别记

为〃和力，则函数/(%)=；/+：/+"；存在极值的概率为()

人13「17「19「23

A.—B.—C.—D.—

36363636

【答案】B

【分析】由函数/«=；/+J以2+如存在极值，得标>46,用列举法计算出满足条件的情况，即可得到

本题答案.

【详解】由题意得：f'(x)=x2+ax+b,

若/(x)在R上存在极值点，则/'(X)=0有两个不相等的实数根，

所以，A=/_46>0,即/>46,

当b=1时，。=3,4,5,6共4种，

当6=2时，。=3,4,5,6共4种，

当6=3时，口=4,5,6共3种，

当6=4时，。=5,6共2种，

当6=5时，。=5,6共2种，

当6=6时，。=5,6共2种，

满足条件的("，〃)共有4+4+3+2+2+2=17种情况，总情况有36种，

17

所以函数/(无)在R上存在极值点的概率尸=77.

故选：B

5.（22-23高三•宁夏吴忠•阶段练习）设/（》）=（"-"），%-0,若函数”尤）的最小值为^（aeZ）,b

x-tzlnx,x>0

是从0,1,2,3,4,5六个数中任取一个，那么a<6恒成立的概率是