高考数学重难点专项复习：平面向量数量积的最值与范围问题（原卷版+解析）

微重点04平面向量数量积的最值与范围问题

平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系

数等的最值、范围.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，

平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法.

知识导图

❶考点一：求参数的最值（范围）

★平面向弓四空管最值与-----❷考点二求向量模、夹角的最值（范围）

范围问题

考点三：求向量数量积的最值（范围）

考点分类讲解

考点一：求参数的最值（范围）

规律方法利用共线向量定理及推论

（1）a//b0a=几人（Z?W0）.

⑵应=儿应+〃龙（4,〃为实数），则4B,C三点共线o4+〃=L

[例1]（2023•漳州模拟）已知△48G点2满足反'=|砺，点£为线段切上异于C,，的动点，若瀛=AAB

+n~AC,则〃+的取值范围是.

【变式1】设非零向量a"的夹角为心若㈤=2|引=2,且不等式|2a+引2|a+才引对任意的。恒成立，

则实数A的取值范围为（）

A.[-1,3]B.[-1,5]

C.[—7,3]D.[5,7]

【变式2】（23-24高三上•黑龙江佳木斯•阶段练习）在“1BC中，点。在线段AC上，且满足

莅=g正，点Q为线段8。上任意一点，若实数满足通=x1g+y/，则2*+4〉的最小值

为

【变式2】.（2023高三•全国•专题练习）已知向量方,5满足|万|=1,方=（2友,1）,且而+5=C（2eR）,则函

数/0）=3》+必-0>-1）的最小值为______.

1+X

【变式4】（2023•深圳模拟）过△被7的重心G的直线/分别交线段46,2。于点£,F,若亚=［葩，AF=

PAC,贝!J1+〃的最小值为（）

A"B—

4

C-D.1

O

考点二：求向量模、夹角的最值（范围）

易错提醒找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是［0,n］.若向量a,6的夹角

为锐角，包括a・6〉0和a,b不共线；若向量a,的夹角为钝角，包括a•6〈0和a,Z）不共线.

1

【例1】（2024•吉林长春•模拟预测）己知向量。，区为单位向量，且。r为r=-金1，向量与5r+36共线，

则I方+*的最小值为.

【例2】（1）己知e为单位向量，向量a满足（a—e）•（a-5e）=0,则|a+e|的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

⑵平面向量a,6满足|a|=3|6|,且Ia—3=4,则a与a—6夹角的余弦值的最小值为.

4

【变式1】（2023•安庆模拟）已知非零向量46的夹角为夕，|a+b|=2,且|司||引》可，则夹角J的最小

O

值为（）

JIJIJIJI

A-TB-Tc-上万

【变式2］（2023•杭州模拟）已知a=（1,2）”6=（1,1）,且a与a+且6的夹角为锐角,则实数4的取值范

围为.

【变式3】（2024•吉林长春•模拟预测）已知向量a5为单位向量，且。为=-万，向量^与5+36共

线，则|5+*的最小值为.

考点三：求向量数量积的最值（范围）

规律方法向量数量积最值（范围）问题的解题策略

⑴形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征

直接进行判断.

⑵数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等

问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.

【例3】（1）（2023•开封模拟）等腰直角三角形/6C的直角顶点力在x轴的正半轴上，点8在y轴的正半

轴上，点。在第一象限，且43=1,。为坐标原点，贝烟的取值范围是（）

B.I0,

（2）（2023•全国乙卷）已知。。的半径为1,直线以与。。相切于点4直线阳与。。交于8,C两点，D为

况的中点，若刃|=4，则行•丽勺最大值为（）

A.1+^B.I+；也C.1+72D.2+72

【变式1】（2023•台州模拟）已知户是边长为2的正六边形/况娇内（含边界）一点，〃为边6c的中点，则

筋•初取值范围是（）

A.[—2,6]B.[-1,9]

C.[-2,4]D.[-1,6]

【变式2]（2023•邵阳模拟）已知四边形/腼是边长为1的正方形，尸为对角线上一点，则潮•（PB+

的的最小值是（）

11

O----

A.B.4C.2D.12

【变式3】（2024高三•江苏•专题练习）己知点〃为直角AABC外接圆。上的任意一点,

ZABC=90°,AB=1,BC=y[3,贝1|（次一砺）•两的最大值为.

强化训练

单选题

1.（2023•陕西咸阳•模拟预测）已知向量Z,b,且同明=5,|£+4=6,贝川扇+而一）的最小值为

（）

A24n,「16「12

A.—B.4C.—D.—

555

—.3—>

2.（23-24高三上•江西吉安•期中）AABC中，。为AC上一点且满足C£>=：C4,若P为BD上一点,

且满足衣=2而+〃记，九〃为正实数，则下列结论正确的是（）

A.M的最小值为]

B.加的最大值为1

lo

c.J+；的最大值为16D.J+的最小值为4

X4〃X4/j

3.（2024•内蒙古呼和浩特•一模）在"IBC中，O为线段AC的一个三等分点，|AD|=2|DC|.连接8。，

在线段8。上任取一点E,连接AE,若通=“恁+6而，则的最小值为（）

,13”5八4八2

A.—B.—C.—D.一

42135

4.（2023•安徽安庆•二模）已知非零向量Z,B的夹角为巴麻@=2,且同雁；则夹角。的最小值

为（）

7Cc兀c兀r兀

A.—B.-C.-D.一

6432

5.（2024•全国•模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量满足|阖+|5|=6,若d在B方向上的投影

与5在日方向上的投影之和等于（无5），则百石夹角的余弦值的最小值为（）

A.2B,C,1D.2

272733

6.（23-24高三下•北京海淀•开学考试）已知A3是圆。：炉+,=1的直径，C、。是圆。上两点，且

/COD=60。，则（碇+而）,砺的最小值为（）

A.0B.C.—3D.—2\/3

7.在AABC中，点。为AC边上的中点，点E满足反=3而，点P是直线80，AE的交点，过点尸做一条

直线交线段AC于点M,交线段BC于点N（其中点M,N均不与端点重合）设由'=机而，CN=,iCB,

贝的最/］、值为（）

A.B.廿至C.-D.-

5555

8.（23-24高三上•陕西安康•阶段练习）已知。是AABC所在平面内一点，若

函+砺+云=6,丽7=%顺,标=以花,该均为正数，则W的最小值为（）

144

A.—B.—C.1D.一

293

二、多选题

1.（2024•河南•模拟预测）已知。是坐标原点，平面向量£=西，b^OB，c=OC，且Z是单位向量，

—1

a-b=2,a-c=-,则下列结论正确的是（）

A.

-2-1-

B.若4B,。三点共线，则。=彳力+彳。

33

C.若向量54与工_£垂直，则B+"-24的最小值为1

D.向量与弓的夹角正切值的最大值为史

4

—.2—►

2.（2024•广东•模拟预测）如图所示，在边长为3的等边三角形A3c中，AD=-AC,且点尸在以AD

的中点。为圆心，Q4为半径的半圆上，若丽=%丽+丁元，则下列说法正确的有（）

—.—.13

B.BDBO=—

2

C.丽•瓦存在最大值

D.x+y的最小值为毡+1

9

3.（2023•全国•模拟预测）如图，在直四棱柱ABCD-4与CQ］中，底面/题?为菱形，ZR4D=60°,

AB=AD=AAi=2,户为cc,的中点，点O满足双=2成+〃西（几《0』，〃«。』），则下列结论中正确

的是（

A.若X+〃=g,则四面体A0P。的体积为定值

B.若△ABQ的外心为。，则4原即为定值2

c.若石，则点。的轨迹长度为叵

D.若4=1且〃=g,则存在点EeA3,使得AE+EQ的最小值为也+2回

三、填空题

1.（2024•湖北•模拟预测）已知向量万，B满足向=2,何=1,且日，B的夹角为2，则归-闷（/leR）

的最小值是.

2.（23-24高三上•山西太原•期末）已知非零向量Z，B夹角为",则庄网的最小值为.

3\b\------

3.（2024高三•全国•专题练习）在四边形A3CD中，AB=AC=AD=，ABLAD,则赤•也的最小

值为.

四、解答题

1.如图，在△/回中，AB=2,AC=y/n,cosZBAC=^~,2为欧的中点，£为"边上的动点（不

22

含端点），与方交于点。，AE^xAB.

⑵求前•豆的最小值，并指出取到最小值时x的值.

2.（22-23高三•北京•阶段练习）已知非零平面向量Z,石的夹角为,，忖=B+W=1.

（1）证明：忖_石卜退w；

⑵设teR,求％+词的最小值.

3.（22-23高三上•河南安阳•阶段练习）己知@=（sinx+cosx,2cos0）,5=12sin6»,；sin2x

⑴若Z=（-3,4）且x=：,9e（O,无）时，£与"的夹角为钝角，求cos。的取值范围；

⑵若。音函数=£区求“X）的最小值.

4.（2023•四川成都•模拟预测）如图，A,6是单位圆（圆心为。）上两动点，C是劣弧A8（含端点）上

的动点.记反=彳西+〃砺（A,〃均为实数）.

（1）若。到弦力8的距离是4.求2+〃的取值范围；

（2）若13次-砺向量2丽+砺和向量瓦+砺的夹角为6，求cos?。的最小值.

5.（2022高三•全国•专题练习）如图，已知点G是边长为1的正三角形ABC的中心，线段DE经过点G,

并绕点G转动，分别交边AB,AC于点。E,设而=机；岳，通=”工，其中0<%41,0<〃41.

⑴求'的值；

mn

⑵求VADE面积的最小值，并指出相应的"7,〃的值.

微重点04平面向量数量积的最值与范围问题

平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系

数等的最值、范围.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，

平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法.

❶考点一：求参数的最值（范围）

平面向量数量积的最值与

❷考点二：求向量模、夹角的最值（范围）

范围问题

考点三：求向量数量积的最值（范围）

考点分类讲解

考点一：求参数的最值（范围）

规律方法利用共线向量定理及推论

⑴a//b<^a=46（6W0）.

⑵应=/龙+〃花（3〃为实数），则4B,。三点共线0八十〃=1.

【例1】（2023•漳州模拟）已知△/品点，满足瓦=［砺，点£为线段切上异于G，的动点，若港=儿诵

+NAC,则1“+的取值范围是.

【答案】（1，］

【解析】由题意设市=加/，（0,1）,

,一3->

因为8C=w劭，

所以为=标上;（jc-AB）>

OO

ll.-►—*■—►―*■777（_\（.1J1\―►IU_►

所以/£=/C+6F=ZC+g\AC~AB）13^

又诵=才荔+idAC,

99

所以A2+〃2=]++2

oy

又因为me（0,1）,由二次函数的性质得

所以的取值范围是『，-J.

【变式1】设非零向量a,6的夹角为%若㈤=2㈤=2,且不等式|2a+引2|a+力引对任意的Q恒成立,

则实数4的取值范围为（）

A.[―1,3]B.[-1,5]

C.[—7,3]D.[5,7]

【答案】A

【解析】•••非零向量a,b的夹角为心若®=21引=2,

/.|a|=2,Z»|=1,

a,Z>=2XIXcos9=2cos9,

•.•不等式|2a+引N|a+4人对任意的夕恒成立，

(2a+6)°》(a+=6)2,

4a2+4a,b+6'Na'+24a•b~\~,

整理可得(13—42)+(8—44)cos。三0恒成立，

cosJe[—1,1],

[13—4~+8—4X20,

【变式2］（23-24高三上•黑龙江佳木斯•阶段练习）在AABC中，点。在线段AC上，且满足

历=；恁，点。为线段上任意一点，若实数x，y满足而=xI5+y/,则2*+4了的最小值

为.

【答案】20

【分析】根据题意，由B,。,。三点共线可得无+2y=l,x>0,y>。，再由基本不等式，即可得到结果.

由B,。,。三点共线可得x+2y=l,x>0,y>0,

则2*+4y=2工+22y>2y]2x-22y==2应，

当且仅当2,=22y时，即x=时，等号成立，所以2,+4>'的最小值为2vL

故答案为：2亚.

【变式2].（2023高三•全国•专题练习）已知向量万方满足|川=1石=（2后,1）,且须+5=0（4eR）,则函

数/0）=3_¥+必-0>-1）的最小值为______.

1+X

【答案】3

【分析】根据向量的线性关系及已知求得回=3,代入已知函数并利用基本不等式求函数最小值，注意取

值条件.

【详解】VAa+5=0(2eR),：.Aa=-b

33

贝！I/(x)=3x+------=3(l+x)+--------3,由于I>—1,则

1+X1+X

故/(x)=3(1+x)+-------3>2,3(1+x),-------3=3,

当且仅当3(x+l)=土即l=0时取等号，

・・・函数””的最小值为3.

故答案为：3

【变式4】（2023•深圳模拟）过△/回的重心G的直线,分别交线段四，然于点/F,若砺=4诵,AF=

PAC,则，I+〃的最小值为（）

A.|十斓口2+2/

B-3

4

C-3D.1

【答案】C

9

【解析】如图，若〃为比1的中点，又G为的重心，则4G,〃三点共线，且加=可质,

0

因为五七<诵+J否=37瀛+;亦，所以玩=上诵+4亦即花=3荔'+4万,

NNN/N〃LJN/N〃J/J〃

又瓦G,尸三点共线，所以3+4=1,

故几+〃=(4+〃)[YT+TTJ

当且仅当/=〃=1时，等号成立.

考点二：求向量模、夹角的最值(范围)

易错提醒找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0,n].若向量a,6的夹角

为锐角，包括a・6〉0和a,6不共线；若向量a,8的夹角为钝角，包括a•6〈0和a,。不共线.

【例1】(2024•吉林长春•模拟预测)已知向量商，B为单位向量，且向量与5+36共线，

2

则IB+刊的最小值为.

【答案】叵

14

【分析】令"=«£+3B)JeR,利用向量模的计算公式把|5+刊表示成力的函数，求出函数最小值即可.

【详解】因向量下与5+3力共线，令三而+3&JeR,

____rr1

则B+C=〃+(I+3，)B,而向量互，B为单位向量，且。为二-'，

于是得b+c=J,a+(l+3/)J)=+2«]+3/)〃石+(]+3/)2很2

=J7t2+5t+l=J7(^+—)2+—>-，

Y十DEV142814

当且仅当好小时取J”

所以|5+*的最小值为变.

14

故答案为：叵

14

【例2】（1）已知e为单位向量，向量司满足（a—e）•（a—5e）=0,则|a+e|的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】可设e=(1,0),a=(x,y),

贝!J(a—e),(a-5e)=(x-1,y)•(x—5,y)

=/—6x+5+/=0,

即(^―3)2+y=4,

则1WXW5,—2WJ<2,

2

Ia+e\=«~x+1~~+y=yl8x—4f

当x=5时，,8x—4取得最大值6,

即|a+e|的最大值为6.

(2)平面向量a,b满足|a|=3|引,且|a—引=4,则a与a—6夹角的余弦值的最小值为

【答案】七

【解析】如图所示，设a=洒,b='而,

A

匕

贝ija-b=BA,

设|引\a\=3777,

又|a—引=4,则1＜加2,

­=3工互

2\OA\•\BA\

W+16-ffl,2jm22y[2

=24^—二三+五厂2\j三.指=3

当且仅当1/，即片小时，等号成立•

4

【变式1】（2023•安庆模拟）已知非零向量46的夹角为夕，|a+引=2,且|司|引2可，则夹角。的最小

值为（）

【答案】C

【解析】由|a+引2=4,

得㈤2+|6「+2|a|,|b\cos0=4,

即4221al,|b\(1+cos9)^^(1+cos9),

当且仅当㈤=|引时,等号成立，

1

兀

又-

e/V-e-n

10JI3

2,

JI

所以夹角。的最小值为

【变式2】(2023•杭州模拟)己知a=(1,2),6=(1,1),且a与a+A6的夹角为锐角，则实数4的取值范

围为.

【答案】［一I，o］u(0，+°°)

【解析】因为a=(l,2),b=(1,1),

所以己+几6=(1+几，2+4)，

因为》与a+的夹角为锐角，

所以a,(a+46)>0,且3与a+不共线，

所以I口+1几++A22W+24+4,>0,

5

解得几>一耳且见#0,

O

所以4的取值范围为(一I，o)u(0,+8).

rr1

【变式3】(2024•吉林长春•模拟预测)已知向量万，石为单位向量，且向量］与5r+36共

线，则I方+11的最小值为.

【答案】亘

14

【分析】令)=f(£+35)/eR,利用向量模的计算公式把|万+1|表示成大的函数，求出函数最小值即可.

【详解】因向量e与5+3力共线，令三而+35),feR,

____rr1

则石+c=〃+(l+3/访，而向量石为单位向量，且。2=-5,

于是得B+c=J,Q+（1+3，）B）=不（q+2/（l+3，）aZ+（l+3，）2片

=折+5"1=N答,

当且仅当/=-三时取“=”，

14

所以|B+e|的最小值为变.

14

故答案为：叵

14

考点三：求向量数量积的最值（范围）

规律方法向量数量积最值（范围）问题的解题策略

⑴形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征

直接进行判断.

（2）数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等

问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.

【例3】（1）（2023•开封模拟）等腰直角三角形49C的直角顶点/在x轴的正半轴上，点8在y轴的正半

轴上，点C在第一象限，且46=1,。为坐标原点，则龙•涝的取值范围是（)

【解析】由题意可得△的6为直角三角形,

且26=1,设布与茄的夹角为。，

则/（cosa,0）,6（0,sina）,

其中a£（0,日，

如图所示，则由等腰直角三角形的性质可得。（cosa+sina,cosa）,

％一而44

-coscos

11

--cos-24+-

222

JI兀5JI

又2。十4£了‘T

所以sin"a+2

则取应乳，巧刊.

（2）（2023•全国乙卷）已知。。的半径为1,直线用与。。相切于点4直线处与。。交于8C两点，D为

理的中点，若|如|=十，则行•汤的最大值为（）

A.B.1+产c.1+A/2D.2+A/2

【答案】A

【解析】连接力，由题可知|的|=1,OALPA,

因为|户。|=加，

所以由勾股定理可得|以|=1,

JI

则/加=1.

设直线如绕点尸按逆时针旋转。后与直线加重合,

JIJIJI

则一了〈“＜彳，//联丁+9,

且1勿=/cos9.

所以汤.~PD=\~PA\|^?|cosly+0\

^cosf—+8

=M^COS。

=cos0—sin9cos夕

='1+'|cos29-；sin20

所以当夕=—2时，布•瓦取得最大值，为空位.

oZ

【变式1】（2023•台州模拟）已知户是边长为2的正六边形山?曲内（含边界）一点，〃为边回的中点，则

崩•硼取值范围是（）

A.[—2,6]B.[-1,9]

C.[-2,4]D.[-1,6]

【答案】B

【解析】如图，过户作孙U/〃于儿则淳•存|淳||就cos//W=±|旃•|而，分别过C,尸作呢L

AM,FHVAM,K,〃为垂足，

则当“与"重合（即户与。重合）时，萨•就取得最大值，当从与〃重合（即户与尸重合）时，办•标得最

小值，

因为是正六边形，所以以四为x轴，/£为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则/（0,0）,尔2,0）,C（3,事）,F（-L部）,〃是切的中点，则g,书，

AM=[^,乎;AC=（3,^3）,AF=（—1,小）,

一一1513一一5,3

AM9AC=—+-=9,AM9AF=--^-\-^=—1,

所以淳•硼取值范围是[—1,9].

【变式2]（2023•邵阳模拟）己知四边形/灰力是边长为1的正方形，尸为对角线上一点，则行•（PB+

物的最小值是（）

11

A.0B.——C.——D..2

【答案】B

【解析】作出如图所示的图形，

PA•（PB+Pb）=两•2PO.

令淳=AAC,则Ae[0,1],

一—一i一一n、一

PO=AO-AP=~AC-AAC=h~\AC,

'：PA•iPO=~AAC-

=（24~—4）-24,4e［0,1］,

当4=］时，（翊*2Psmin=一；.

【变式3］（2024高三•江苏•专题练习）己知点〃为直角AABC外接圆。上的任意一点,

ZABC=90°,AB=1,BC=6,贝！］（市一历》两的最大值为.

【答案】j3

【分析】

根据题意，利用正弦定理求得AABC外接圆的半径为r=1,结合向量的数量积，化简得到

（OA-OB^-BM=\BM\COSZABM,结合圆的性质，即可求解.

【详解】

设直角AABC外接圆的半径为,,

由正弦定理得。-AC川3）+1.一故r=1,

r~sinZABC^1一

所以（西-丽卜两=丽.丽=|丽|・（|瓯8$/42M）=|啊（：05/42M,

当过点圆上一点河作平行于BC的圆的切线时，此时|丽|cos/A8M最大,

由于O到BC的距离为d=J网=；,所以忸冈cos/A8M的最大值为d+rg故答案为：!

强化训练

单选题

1.（2023•陕西咸阳•模拟预测）已知向量Z,b,且同帆=5,忖+4=6,贝!］弧+可。eR）的最小值为

B.4

【答案】A

【分析】求出晨B的值，写出M+，（/eR）的表达式，即可求出最小值.

【详解】由题意,

•—►2—2一—►

••a+b+2a・Z7=36，

忖=忖=5,

■--»]2_»2一2

a，b=—7，+b\=t?a+2ta,b+b—25r+2tx（—7）+25—25产—14%+25,

当％=（时，卜。+0取得最小值

・・・卜Ir〃+。1|的最小值为2三4，

故选：A.

—>3―►

2.（23-24高三上•江西吉安•期中）AABC中，。为AC上一点且满足。。二:。4,若。为上一点,

4

且满足衣=丸谷+〃记，九"为正实数，则下列结论正确的是（）

A.%的最小值为丁B.入N的最大值为1

C短布的最大值为16D-万+乐的最小值为4

【答案】D

【分析】AB选项，根据向量基本定理和共线定理得到彳+4〃=1,从而利用基本不等式求出比”的最大值为

上；CD选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值，得到答案.

【详解】AB选项，因为国=之瓦，所以衣=4亚,

故/=2通+〃xe=4费+4〃而,

因为民尸,。三点共线，设PB=mBD，即AB-AP=mAD-mAB，

故AP=(l+m)AB—mAD,

令％=1+m,4"=-m,故X+4//=1,

B

44为正实数，由基本不等式得2+4//=12=414i,解得，—,

16

当且仅当2=上"=：时，等号成立，所以加的最大值为J,AB错误；

2816

.(%+4〃)=1+1+也

CD选项,+U+R2=4,

/I4〃丫X4〃

当且仅当号即八nJ时，等号成立，C错误，D正确.

故选：D

3.（2024•内蒙古呼和浩特•一模）在“RC中，O为线段AC的一个三等分点，|仞|=2]。。.连接3D,

在线段8。上任取一点E,连接AE,若通=“衣+6丽，则力+〃的最小值为（）

,13“5八4八2

A.—B.—C.—D.一

42135

【答案】C

【分析】

根据E在线段8。上得到费=几赤+。-几）通，结合已知条件得到。，。和2的关系式，最后转化为二次函

数求最小值.

【详解】「E在线段8。上，AAE=AAD+（1-A）AB,2e[O,l],

9—

•••。为线段AC的一个三等分点,\AD\=2\DC\,：.AD=-AC,

__2_____.__.__.__.

AE=-AAC+(l-A)AB^aAC+bAB,

,2

由平面向量基本定理得。=§4,b=l-Q

/+//%+(1_42=与2_22+]=3八2]+3,

9v'99I13)13

•・・当4=/9时，〃+〃取得最小值g4

故选：C.

4.（2023•安徽安庆•二模）已知非零向量5的夹角为凡口+@=2,且同忖2^,则夹角6的最小值

为（）

兀c兀21e兀

A.—B.—C.—D.一

6432

【答案】C

【分析】应用向量数量积运算律及题设可得422同./（l+cos，），注意等号成立条件，结合已知不等条件

求6范围，即可得最小值.

【详解】由卜+5]=4有同2+忸『+2同.Wcos6=4,即422同.W（l+cos，）Ng（l+cos，），

前一个等号成立条件为|£|=出|，整理得COS64：.

由于6e[0,可，所以兀，于是夹角为。的最小值为三.

故选：C

5.（2024•全国•模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量。石满足|引+|5|=6,若五在方方向上的投影

与方在万方向上的投影之和等于（无5）2,则商石夹角的余弦值的最小值为（）

2112

AA.—B.—C.-D.-

272733

【答案】A

【分析】

利用基本不等式得到|a|出区9,再利用投影的定义，结合数量积的运算法则得到2石夹角的余弦值关于

I万1,1刈的表达式，从而得解.

【详解】因为孱|+|方1=6,所以|万防区团+叫=9,

I2J

当且仅当I万|=|5|=3时，取等号，

设6,5的夹角为6,由题意得|创cosO+151cos。=（万石）？=|a|2|b|2cos20,

因为向量非零且不垂直，所以|且|四快0且cosdwO,

SI+出I6

所以cos8=>

⑷2出产5一药,

7

所以日石夹角的余弦值的最小值为2.

27

故选：A.

6.（23-24高三下•北京海淀•开学考试）已知A3是圆。：/+/=1的直径，c、。是圆。上两点，且

ZCOD=6Q°,贝I（双+历）•通的最小值为（）

A.0B.—\/3C.—3D.—2-\/3

【答案】D

【分析】由题意设弦C。的中点为E,然后利用平面向量的数量积从而求解.

【详解】由题意知，不妨设弦CD的中点为E,因为NCOD=60。，则ACOD为等边三角形，所以可得

则3+砺=2砺，设砺与血的夹角为6（。3夕《兀），

所以（反'+历）通=2配通=cc|词|明3co夕=«0,

因为cos。e[-1,1],所以（反+而）府的最小值为-2石，故D正确.

故选：D.

7.在AABC中，点。为AC边上的中点，点E满足反=3而，点P是直线BD，AE的交点，过点尸做一条

直线交线段AC于点交线段8C于点N（其中点Af,N均不与端点重合）设国=机b，CN=nCB，

则加+”的最小值为（）

【答案】B

【分析】由题意作跖〃AC交8。于凡可推出不=:，利用向量的线性运算推出CP=zC4+?C2,结

AP455

—.1.3-►13

合题意推出CP=-CW+二CN,根据三点共线可得丁+}=1,结合“1”的妙用，即得

5mjn5m5n

13

机+”=（加+"）（「+F）,展开后利用基本不等式，即可求得答案.

5m5n

EFPE

【详解】作EF〃AC交8。于凡连接CP,则△EFPs/\ADP,故大=不，

ADAP

A

M

BNEC

由于点。为AC边上的中点，故AD=CD,

__"—►BE1DA八―,,EFBE1

EC=3BE，故==：，又MEFSABCD,1^—=—=-,

BC4CDBC4

,,PEEF1

故——=——=-，

APCD4

贝lj方二4+福=互+：亚=夙+：(方一两

1—►43—►1—►3—.

=-CA+-x-CB=-CA+-CB,

55455

由于两=CN=nCB,故存=』-.+?-西，

5m5n

13

因为M,尸,N三点共线，故+三=1,

5m5〃

所以根+〃=(根+〃)(^—+—)=—+-^―+>—+2\m_4+2^/3

5m5n55m5n5)775

当且仅当4=理，结合;+3=i,即根=1±走,"=1!也时等号成立,

5m5njmjn55

即加+〃的最小值为土超目,

5

故选:B

8.（23-24高三上•陕西安康•阶段练习）已知。是AABC所在平面内一点，若

国+岳+灰^。，赤二无通，刀7=＞正,砺=4西x,y均为正数，