高考数学重难点专项复习：三角函数压轴小题（十五大题型）解析版

重难点专题21三角函数压轴小题十五大题型汇总

题型1新文化问题....................................................................1

题型2新定义问题....................................................................6

题型3黄金分割相关问题.............................................................9

题型4扇形相关问题................................................................13

题型5三角函数公式相关问题.......................................................20

题型6三角函数性质问题............................................................26

题型7识图问题.....................................................................35

题型8凑角求值问题................................................................43

题型9最值相关问题................................................................47

题型103相关问题.................................................................53

题型11⑴相关问题..................................................................58

题型12实际应用问题...............................................................61

题型13恒成立问题.................................................................68

题型14零点相关问题...............................................................74

题型15与数列相关问题.............................................................80

题型1新文化问题

【例题1】(2023秋•江苏苏州•高三统考开学考试)我国人脸识别技术处于世界领先地位.所

谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.

假设二维空间中有两个点4(肛％),BQ2,及)，O为坐标原点，余弦相似度为向量雨，而夹

角的余弦值,记作cos(4B),余弦距离为1-cos(A,B).已知P(cosa,sina),Q(cos/7,si呼),R

(cosa,-sina),若P,Q的余弦距离为tana•tan。=则Q,R的余弦距离为()

A.-2RD--3CJ-4D-7

【答案】A

【分析】由题设得诃=(cosa,sina),OQ=(cosS，sin£),旗=(cosa,-sina),利用向量夹角公

式求得cos(P,Q)=cos(a-£),cos(Q,R)=-cos(a+/?),根据新定义及正余弦齐次运算可求

目标函数值.

【详解】由题意得。P=(cos%sina),0Q=(cosB，sin0)QR=(cosa,—sina),

2

则cos(P,Q)==cosacos^+sincrsinjS=

\OP\\OQ\

sinasin/3

又tanatan0=1

cosacosp71

/.coscrcos/?=7sinasinS,

17

/.sinasin/?=—,cosacos^=

1-cos(Q,R)=l-cosgc°s^singsin/?=1

2

故选：A.

【变式1-1】1.（2023•全国•高三专题练习）法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一

个几何定理："以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形

的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点"如图，在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a力

,c,且10（sin等『=7-COS2A以AB,BC,4C为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依

次为。1,。2，。3.则角力=.

【答案】960°

【分析】根据三角恒等变化可得2cos24+5COS4-3=0,进而可得COS4=即可求解,

【详解】10(5吊等)2=7-324,则5(1_COS(B+C))=7-COS24,

故5(1+cos4)=8-2cos2从，所以2cos24+5COS4-3=0,

可得COSA=1(负值舍),由4G(0,n),所以A=i.

故答案为：?

【变式1-1】2.（2023•全国•镇海中学校联考模拟预测）天文学家、数学家梅文鼎，为清代

"历算第一名家"和"开山之祖"，在其著作《平三角举要》中给出了利用三角形的外接圆

证明正弦定理的方法.如图所示，在梅文鼎证明正弦定理时的构图中，。为锐角三角形4BC外

【答案】D

【分析】由已知得2/OBC=T[-2ZBXC,再根据诱导公式和二倍角的余弦公式求解即可.

【详解】已知NBOC=2NB4C,因为。B=OC,所以NOBC=NOCB,

因为NOBC+/.OCB+NBOC=H,

所以2408c+/.BOC=n,所以2/OBC=n-Z.BOC=n-2/.BAC,

因为sin/Bac=苧，

所以cos2z_OBC=cos（jx—2Z.BAC）=—cos2/-BAC

2

=2sinzS4C-1=2x俘7_i=_1

故选：D.

【变式1-1】3.（2023春・河北石家庄•高三校联考阶段练习）古希腊毕达哥拉斯学派在公元

前6世纪研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618,这一数值也可

....__、i_,.acosl8o

以表小为。=2cos72。，则女不=.

【答案】|/0.5

【分析】利用三角恒等变换化简即可求解.

「、子的】acosl8。_2cos72°・cosl8。_2sinl80・cosl80_sin360__1

［评解J-V2-2cos72°-V2-2（l-2sin236°）-2sin36°-2'

故答案为：I.

【变式1-1】4.（2023•浙江•校联考二模）数学里有一种证明方法叫做

Proofwithoutwords,也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的

数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条

理.如下图，点c为半圆。上一点，垂足为记贝!］由tan/BCH=瞿可

Ln

以直接证明的三角函数公式是（）

A.tan；=-^-B.tan；=-f^-

21—cos^2l+cos^

1-COS。c.1+cos。

Urta%=F^D.ta%=多厂

【答案】C

【分析】根据直角三角形中的定义写出sinacos。，用9表示出NBC”，然后分析可得.

【详解】由已知NC0B=9,则NCB。ABCH=

又ta*=等，sin。=霏，cosB=穿，BH+0H=0B=0C,

ZCnUCUC

因此甯=墟=翳—皿

oc

故选：c.

【变式1-1］5.（2023•江苏南京・南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）我国古代

数学家僧一行应用"九服号影算法”在《大衍历》中建立了暑影长I与太阳天顶距。

（0。<8<90。）的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表.根据三角学知识可

知，暑影长度I等于表高h与太阳天顶距。正切值的乘积，即Z=htan8,对同一"表高"两

次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为a、p,若第一次的“号影长"是"表高"的3

倍，且tan(a—S)则第二次“号影长"是"表高"的()倍.

A.1B.|C.|D.\

【答案】A

【分析】由题意可得tana=3,tan(a-0)=，再根据tan/?=tan[a-(a-£)]结合两角差

的正切公式即可得解.

【详解】由题意可得tana=3,tan(a-/?)=

所以tan6=tan[a—(a—£)]=卷需需琴=熹=】，

即第二次的"号影长"是"表高"的1倍.

故选：A.

【变式1-1】6.(2022秋・安徽合肥•高三校考期中)数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶

公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边

长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高

的数学水平，其求法是："以小斜幕并大斜幕减中斜幕，余半之，自乘于上.以小斜幕乘大

斜幕减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积若把以上这段文字写成公式，即5=

J强2c2_(七)],其中&b、c分别为△ABC内角4艮c的对边.若宗等=熹,

b=2,则△ABC面积S的最大值为()

A.V3B.V5C.2D.V2

【答案】A

【分析】将已知等式结合tanC=黑进行化简，得至UsinC=V3(sinBcosC+cosSsinC)=V3

sin(B+C)=V^sinA,并利用正弦定理可得c=板斯代入"三斜求积"公式S=

出,2c2_(四污]并将a?看成整体并利用二次函数性质得解.

【详解】1—KCOSB_1

V3sinB-tanC'

每inB

•••tanC

l-V3cosBJ

又tanC=当

E二I”y/3sinBsinf

所以1-6COSB=就'

所以V^sinBcosC=sinC(l—gcosB),

所以gsin8cosc=sinC—V3sinCcosBz

所以sinC=V3(sin^cosC+cosBsinC)=V3sin(^+C)=V5sinA,

由正弦定理得c=V3a,

b=2,

△ABC的面积S=科a2c2—=加a4_(2a2—2灼,

=—a4+8a2—4),

将。2看成整体并利用二次函数性质得，当(^=4即a=2时，△ABC的面积S有最大值

为

故选：A.

题型2新定义问题

【例题2】(2023•湖南长沙•长沙市实验中学校考二模)正割(Secant)及余割

(Cosecant)这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔・威发首先引入，sec,esc这两

个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中,

定义正割seca=高，余割csca=熹.则函数f(x)=*+a的值域为()

A.[-1,1]B.[-V2.V2]

C.[—2,2]D.[—y/2,—1)U(—1,1)U

【答案】D

【分析】根据新定义及辅助角公式化简，然后根据三角函数的性质求得答案.

【详解】/(%)=±+点=COSK+sinx=V2sin(x+勺，其中sinx中O,cosx丰0,

所以-V2<f(x)<V2,且/(x)丹1,

即f⑶的值域为［—V2,-1)U(-1,1)U(1,V2］.

故选：D.

【变式2-1】1.(多选)(2023・安徽安庆・安庆一中校考模拟预测)正割(Secant)及余割

(Cosecant)这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔•威发首先引入，sec,esc这两个

符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定

1111

义正割seca=—,余割csca=/京.已知函数/"(%)=京+玄，给出下列说法正确的是

()

A.f(x)的定义域为｛x|x丰k-nkez｝；

B.f(x)的最小正周期为2n；

C.f(久)的值域为［-V2,-1)U(-1,1)U(1,V2］；

D./(x)图象的对称轴为直线久=-7+kn(kGz).

【答案】BC

【分析】由辅助角公式化一，再根据cosxH0,sinx40,即可求出函数的定义域，即可判断

A;根据正弦函数的周期性即可判断B;根据正弦函数的值域结合函数的定义域即可判断C;

根据正弦函数的对称性即可判断D.

【详解】/(%)=白+点=cosx+sinx=Vising+?,

由cos%H0,sinxH0,得％W^(fc上Z)，

即f(x)的定义域为卜卜力一,keZ］,故A错误；

久久)的定义域关于原点对称,

故/（X）的最小正周期与函数y=V^sin（%+勺的最小正周期一致，均为2TT,故B正确；

当x=0,却考时，y=V2sin（%+9的值分别为1,1,一1,一1,

而函数y=鱼sin（%+乎的值域为[一岳回

再结合周期性可知，/⑶的值域为[-V2,-1）u（-1,1）u（1,V2],故C正确；

令%+£=5+kn（kez）,彳导x=£+ez）,

即打乃图象的对称轴为直线无=£+fcn（fcez）,故D错误.

故选：BC.

【变式2-1]2.（2023・全国•高三专题练习）一般地，存在一个a次多项式〃（久），使得cosnx

22

=TnCcosx）,这些多项式7n（久）称为切比雪夫多项式.由cos2x=2cosx-1,知72。）=2x

-1,通过运算，可以得到COS3X的切比雪夫多项式73（W=—,结合上述知识计算COS

36°=.

【答案】4x3—3”竽

【分析】方法一：把3支变为2“+X,然后利用两角和余弦公式及二倍角公式化简即可得到

73（%）=4/—3x;结合%（%）=4/—3%及cosl08。=—cos72。，建立cos36。的方程求解即

可.

【详解】[方;去——]:cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx—sin2xsinx

=(2cos2%—l)cosx—2sinxcosxsinx=4cos3x—3cos%,

/.73(%)=4x3—3%;

设cos36°=x,/cosl08°=—cos720,

32

:Ax—3x=—(2x—l)z即(％+1)(4/—2%—1)=0z

.•.%=-1（舍去）或%=苧或久=平（舍去）,

.-.cos36°=巨四

4

故答案为：©3—3X；空

［方法二］:cos3a=4cos3a—3cosa,

,.sin36°=sin(90°—54°)=cos54°,

3

/.2sinl80cosl8°=4cos18°—3cosl8°z

2

.cosl8°H0,.*.2sinl8°=4cos18°—3Z

22

2sinl8°=4(l-sin18°)-3r4sin18°+2sinl8°-1=0,

解得sinl8。=匚严或sinl8。=嗨四＜0（舍去）,

.•.疝18。=与1,,36。=1-2疝218。=竽.

故答案为：钮3—3x;竽.

题型3黄金分割相关问题

【例题3】（2022・贵州安顺•统考模拟预测）黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得

较长部分与整体线段的长的比值为亨的点.利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角

星，如图所示，已知C,D为AB的两个黄金分割点，研究发现如下规律：第=等=器=

亨.若等腰ACDE的顶角=则cose=（）

A.怨B,害C.誓D.噌

【答案】B

【分析】设AB=血，根据已知可求出BC=得m,CD=（通-2）恒取CD中点为匕在Rt△

EFC中，求得siW=与l,然后根据二倍角的余弦公式，计算，即可得出答案.

【详解】设力B=m,由已知可得AC=BD=

则8c^AB-AC-m-

所以，CD-BD-BC=(V5-2)m.

如图，取CD中点为F,连接EF,贝忸FlCD.

在《△EFC中，有CF=MD=§4,CE=BC=^-m,ACEF=

rni|sin£一竺一亨--匹=1

则si4—仁石一上巡山-

24

所以，cose=1-2sin21=1—2x(41)2=空.

故选：B.

【变式3-1】1.（2023•江西•校联考二模）被誉为"中国现代数学之父”的著名数学家华罗

庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学,之后又被美国伊利诺依大学聘为终

身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难,

终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀，使许多年轻人受到

感染、受到激励，其中他倡导的"0.618优选法"在生产和科研实践中得到了非常广泛的应

用，0.618就是黄金分割比1=号的近似值，黄金分割比还可以表示成2sinl8。，则

A.-4B.4C.-2D.2

【答案】D

【分析】利用三角恒等变形及诱导公式化简可得结果.

【详解】由题意可得t=2sinl80,

T4T2_2sinl8W4-4sin218°_2sinl8°+2cosl8°_2sin36°_2sin36°_?

cos2270-sin227°-cos227°-sin227°-cos54°-cos54°-sin36°-,

故选：D.

【变式3-1】2.（2023・全国•高三专题练习）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研

究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618,这一数值也可以表示为4=2

sinl80,则偿u=（）

A.1B.1C.孝D.空

【答案】B

【分析】利用两角和与差的三角函数求解.

【详解】解：因为4=2sinl8。，

cr-p।V3sinl2°+/l_V^~sinl20+2sinl8°

所以~cosl20--cosl2°，

_V^sinl20+2sin（30。-12。）

-cosl20'

_V^sinl20+cosl2。一后inl2。

-cosl20'

=£^=1

cosl20'

故选：B

【变式3-1]3.（2023・全国•高三专题练习）黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中.在

三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形,

它是两底角为72。的等腰三角形.达・芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一

个黄金三角形.如图，在黄金三角形力BC中，益=亨，根据这些信息，可得sin540=

（）

A2V5-lg返+1

•4°4

C店+4D店+3

•8°8

B

【答案】B

【分析】由题意cos72。=与1,结合二倍角余弦公式、平方关系求得cos36。=号1,再根

据诱导公式即可求sin54。.

【详解】由题设，可得cos72°=1—2sin236°=cos236°+sin236°=1,

所以COS236。=等,又cos36。6(日岁,

所以cos36°=cos(90°-54°)=sin54°=号i.

故选：B

【变式3-1]4.(2023•辽宁・大连二十四中校联考三模)随着智能手机的普及，手机摄影越

来越得到人们的喜爰，要得到美观的照片，构图是很重要的，用"黄金分割构图法”可以让

照片感觉更自然.更舒适，"黄金九宫格"是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各

分三部分，以比例1：0.618:1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用4BCD

表示黄金分割点若照片长、宽比例为4:3,设=a,则告等-tana=()

DC

AB

1B

A.8-Ic.一套口.看

【答案】D

【分析】由题意得到tana=总结合二倍角公式及同角三角函数关系求出答案.

一c0.6180.618BC3

【详解】4

由施忌•（导BC=3X1+0.618+114B=4x1+0.618+1,故tana=诟=『

ULI、11+COS

2a2cos2a.1-tana=-4-3=-7

所以sin2a—tana=2sinacosa-tana=—i

故选：D

题型4扇形相关问题

【例题4]（2023秋・贵州•高三统考开学考试）已知"水滴"的表面是一个由圆锥的侧面和

部分球面（常称为"球冠"）所围成的几何体.如图所示，将"水滴"的轴截面看成由线段

AB,AC和优弧BC所围成的平面图形，其中点B,C所在直线与水平面平行，AB和AC与

圆弧相切.已知"水滴"的"竖直高度"与"水平宽度"（"水平宽度”指的是平行于水平

面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为£则sinzB4C=（）

【答案】D

【分析】设圆心为O,连接OA,OB,OC,设球冠的半径为R,根据几何性质可得。力=：

R,从而可得sinNBA。，根据平方公式与二倍角公式即可得sin/BAC的值.

【详解】设优弧BC所在圆的圆心为O,半径为R,连接OA,OB,OC,如图所示.

A

易知"水滴"的"竖直高度"为。4+R,"水平宽度”为2R,

由题意知鬻=解得。4=孤

因为AB与圆弧相切于点B,所以。B1AB.

riDRQ

在Rt^ABO中,sin^BAO=^=p=|,

又NBA。e（0,^）,所以COSNBAO=又一sin2NB4。=

由对称，敞口，^BAO=ACAO,贝!UB4C=2乙BAO,

所以sinNBAC=2sinNB4OcosNB4。=2x|x|=||.

故选：D.

【变式4-1】1.（多选）（2023•全国•高三专题练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，

其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爰.古人曾有诗赞日："开合清风纸半张,

随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图2的扇形COD,

其中“。。=手，。。=3。4=3,动点P在而上（含端点），连接0P交扇形04B的弧丽于

点Q,=xOC+yOD,则下列说法正确的是（）

图1图2

A.若y=2x,则而•丽=一|7^B.x+ye[|,|]

C.PA-PB>^D.AB-JQ>-2

【答案】BC

【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设Q(cos6,sin。),。€[o,副可得P(3cos0,3

sin。)，由丽=花？+丫而，结合题中条件可判断A,B,表示出相关向量的坐标，利用数

量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C,D.

【详解】如图，作。E1OC,分别以OC,OE为x,y轴建立平面直角坐标系，

则4(1,0),C(3,0)凤-怨),。(-1,苧)，

设Q(cose,sin。),。G[o,寺],则P(3cosO,3sinO),

由。Q=xOC+y。。可得cos。=3%—|y,sin0=,且x>0,y>0,

若y=2x,则cos。=3x—|y=0,sin0=1,所以而=(0,3),而=(一孚),

所以赤・市=竽，故A错误；

r+n21,1.

由丫=3^smd'*=3COS0n+忘sin。n，

所以％+y=-4=sin0+|cos0+-A=sin0=—sin0+：cos6

3V333V333

=t(T$也。+1cos。=|sin(e+»

因为oe[o,纵所以。+凯恒却，所以疝,+皆需]],

所以％+yet，|],故B正确；

由于PZ=(1—3cos0,—3sin6),PB=(—；—3cos0^—3sin。)，

故尸Z-PB=(1—3cos4—3sin6)•(—g—3cos仇3sin0)

*3sin0+9,而8+凯忸部所以sin(0+骷朋,

所以方.丽=9-3sin（e+92?-3=/,故C正确，荏•而=（―|#•（—2cos0

,—2sin0）=—V3sin0+3cos6

=-2V3sin（0_^）,由于8e［o,争］,故e_聂［_或同，

故一3W-2V3sin（0-j）<3,故D错误；

故选：BC

【变式4-1］2.（2023春•广东深圳•高三校考阶段练习）以乙4cB的顶点C为圆心作圆交角

的两边于A,B两点；取线段4B三等分点O,D;以B为焦点，A,D为顶点作双曲线，与

圆弧交于点E,连接CE,贝此力CB=3NBCE.若图中CE交4B于点P,SAP=6PB,贝［|cosN

ACP=.

【答案】

【分析】根据正弦定理及二倍角的正弦公式，得NBCE的余弦值，再由二倍角的余弦公式即

可求出cos乙4cp.

【详解】设NBCE=a,则N4CB=34BCE=3a,AACP=2a.

在△依「中，由正弦定理，得篇=占；

在ABCP中，由正弦定理，得黑=焉而

又因为CN=CB,L.APC+Z.BPC=TI,

所以一生一=一生一所以一尸一=空-

rn

「八八sinzjlPCsin乙BPC'八sin2asina'

oAPsin2a

即n而==2cosa-

又因为5而=6而，所以或=2cosa=今故cosa=5.

97

所以cosz■力CP=cos2a=2cos2a—l=2x——1=——

故答案为：一高

【变式4-1】3.(2023・河南焦作•统考模拟预测)如图，已知P,Q分别为乙40B两边上的点,

^AOB=f,PQ=3,过点P,Q作圆弧，R为所的中点，且NPQR=£则线段OR长度的最大

【答案】3+2V3

【分析】设"Q。=9,在△OPQ中由正弦定理可得。P=6sin6,在由余弦定理求出

PR、QR,在AORP中由余弦定理表示出OR?,再结合三角恒等变换公式及正弦函数的性质

求出0R2的最大值，即可得解.

【详解】解：设4PQO=8,贝［|0＜。＜等，在△OPQ中，由正弦定理知焉=焉而=A

=6,

所以。P=6sin9,因为R为所的中点，所以“PR=NPQR=£,

则PR=QR,在△RPQ中由余弦定理PQ2=PR2+QR2_2pR•QRcosAPRQ,

解得PR=QR=y/3,

在△ORP中，乙OPR=乙OPQ+Z.QPR=^—e+£=n—e,

由余弦定理可得°R2=OP2+PR2-20P-PReos乙OPR=36sin20+3-2V3x6sinJXcos

(n-0)

=18(1-cos20)+3+6V3sin20=12怎in(20-y)+21

所以当8=空时，OR?取得最大值21+12V3,

即。R的得最大值3+2V3.

故答案为：3+2V3

【变式4-1】4.（2022・全国•高三专题练习）为创建全国文明城市，上饶市政府决定对某小

区内一个近似半圆形场地进行改造，场地如图，以。为圆心，半径为一个单位，现规划出

以下三块场地，在扇形AOC区域铺设草坪，△OCD区域种花，△OBD区域养殖观赏鱼，

若乙4OC=NCOD,且使这三块场地面积之和最大，则cos乙4。。=.

【分析】设出乙4。。=。，表达出三块场地的面积和S=软+颉皿+9128,通过求导研究

其单调性，求出最大值所对应的乙4。。的余弦值.

【详解】设=贝”C0D=e,根据题意易知ee（o,。

：0D=OB,△为等月要三角形，贝！=Z.OBD

5lj:Z.AOD=DDB+乙。8。,

:./-COD=Z.ODB=Z.OBD=6

:.0C||DB

.•则三块场地的面积和为S=知+1sin0+jsinCn-28)=*+1sin0+|sin20,06(0,?

则S=[+|cos^+cos20=2cos2。+|cos0—9e（0,?

令S=0,COS0=窄1或cose=二察（舍）

oo

设（P为cose=今二所对应的角，

''y=cos。在。«o,以上单调递减，

e（0,S）时，S单调递增.

时，S单调递减.

二当cose=等时，面积最大.

故答案为：当」.

O

【变式4-1】5.(2022・湖北・恩施市第一中学校联考模拟预测)共和国勋章，是中华人民共

和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功

勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”.

某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，0为图中

两个同心圆的圆心，三角形ABC中，AB=AC,大圆半径。4=2,小圆半径。8=。。=1,

记S为三角形OAB与三角形OAC的面积之和.设阴影部分的面积为S,当S，-S取得最大值

时cosNBOC=.

挂电结构示意图

【答案】2-V5

【分析】设NBOC=e(0,兀)，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式得到S=万-/也

a,S，=2si或，构造函数/'(a)=S'-S=2sig/+|sina,ae(O,TT),利用导数求函数的单

调性与最值即可得到答案.

【详解】过点O作。D1BC于点D,则点D为BC的中点，又力B=4C,，A,O,D三点

共线，

(X

设乙BOC=a,aE(O,TT),Z.AOB=Z-AOC=TI

11a11Ctcc

22

则S=TX(XX1--xlxsina=---sina,S'=2x-xlx2xsin(；T—7)=2sinTz

从而S'—S=2sin^—5+gsina,

aa]oc11aa

令/(a)=2sin---+-sina,aG(Ojr),/'(a)=cos---+-cosa=cos2-+cos--1,

由r(a)=0,解得：(：(^=雪1或《^=卒(舍去)，

记cos。=与4c(0^)

・・・/⑷在(0,8)上单调递增，在(仇乡上单调递减，故当cos£=与时，/⑷取得最大值，此

时cosa=2cos2^—1=2x—1=2—V5.

故答案为：2—V5

【点睛】方法点睛：本题考查利用导数求三角函数的最值，考查三角函数的值域时，常用的

方法：

(1)将函数化简整理为"%)=4sin(3x+0),再利用三角函数性质求值域；

(2)利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.

(3)关于三角函数的二次型，利用换元法结合二次函数求值域.

题型5三角函数公式相关问题

【例题5】(2023秋•江苏南京•高三统考阶段练习)已知aWQn),且3tana=10cos2a,则

cosa可能为()

AR_Vs(-VWDV5

u

A.10D-5J10-5

【答案】B

【分析】由3tana=10cos2a得3tana=10x隹需，化简后可求出tana,再利用同角三角函

数的关系可求出COSa.

【详解】由3tana=10cos2a,得3tana=10(cos2a-sin2a),

所以3tana=10x，cos2^-sin2^

cos2«+sin2az

所以3tana=1°x鬼，

整理得3tar)3a+10tan2a+3tana-10=0,

(tana+2)(3tan2a+4tana-5)=0,

所以tana+2=0或3tan2a+4tana-5=0,

所以tana=-2或tana=^E,

①当tana=-2时，器=2兀)，

因为siMa+cos2a=1,所以5cos2a=1,

所以COSa=±g,

因为aW(?),所以cosa=-g,

②当ta皿丁时，器=呼,回0,J

因为siMa+cos2a=1,所以(^|^cosa)2+cos2a=1,

由于a《o,9,所以解得COSa=口三，

\，2，勺32-4V19

③小当小+t”an-a-二-2-V一l9n时-4.,-sin«_-2-Vl9\

因为siMa+cos2a=1,所以3个“cosap+cos2a=1,

由于ae自兀)，所以解得cosa=-后需，

综上,3-亨，或COSA石条，或3。=-后焉，

故选：B

【变式5-1】1.(2023•全国•高三专题练习)已知0<a<6<2兀，函数f(x)=5sin

(%—力，若/'(a)=/(0)=1,则cos(0—a)=()

A里D_里C—3

-D.

252555

【答案】B

【分析】由已知条件,结合三角函数的性质可得？<a<y,y<^<^,从而利用cosQ?-a)

=cos[(s_g_(a_g]即可求解.

【详解】解：令f(x)=5sin(x-j=0,0<%<2TT,则x=(或无=笈

令/'(x)=5sin(x一看)=5,。<x<2兀，贝！]尤=y,

又0<a<£<2兀，/(a)=/(/?)=1,

所端<。<*，sin(a-^=|,sin(/?-^=|,

因为0<a-(<5\<S-、<兀，

所以cos(a―力=等,cos(£—0=-等

所以cos(jg—a)-cos(S_：)_(a—=cos(0—巡)cos(a—：)+sin(£—：)sin(a—

=_辿乂2+1*[=_空

55T5525'

故选：B.

【变式5-1】2.(2023•全国•高三专题练习)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的

7__

边分别是a,b,C,且4>B,若sinC=2cos4sinB+元，则tanB的取值范围为.

【答案】(评)

【分析】由题可得tan(4-B),将tanB用含tand的式子表示，然后根据角4的范围，求tanB

的取值范围.

7

【详解】.sinC=2cos>lsinB+―,

77

...sin(4+B)=sirh4cos8+cos/sinB=2cosZsinB+―,即sin(4—^)=—z

047

,又4>B,且48都为锐角,故cos(4—8)=元，tan(/—B)=%,

因为锐角三角形48C,所以tanA>0,tan8>0,tanC>0,

7

LLi\i,tanM—S)+tan5—4-tanB

所以tan”=tan[(A-B)+B]=匚鬲屋诉而=匚声i>°

774

所以1-—•tanS>0,所以tanB<―,

又因为tanC=—tan(4+B)=tanA.tanB_{>°

7

一—…—FtanB

所以tanZ•tanB-1=-----tanB—1>0

1——,tano

24

所以IZta/B+7tanB—12>0,解得tanB>域tanB<—去舍去)

故;<tanB<今

故答案为：G，粉

【变式5-1】3.(2023秋•黑龙江七台河・高三勃利县高级中学校考阶段练习)在“BC中,

已知sin&sinBsin(C-0)=Asin2C,其中tan。=|(0<0<5若高+高+高为定值，则

实数4=.

【答案】

【分析】由仁高+高+高=扁黑标+黑，再根据已知将问题转化为等式恒成

立，即可求参数九

1,1,2cos?lcosB2cosCsinC+2cosC__2cosCJ_

【详解】--------1----------1--------=---------1----------1---------+=

tanAtanBtanCsin/sinBsinCsirvlsinBsinCsirvlsinBsinCsinCsinC

2cosc12A/51V5cosC2cosc

sinCA5A5sinCsinC

.,.2V5sinC—VScosC+102cosC=5k2sinC恒成立，则k=4,%=焉.

故答案为：音

【变式5-1】4.(2023・全国•高三专题练习)在直角坐标系中，△4BC的顶点4(cosa,sina

),8(cos0,sin0),C(竽,2伪,且△ABC的重心G的坐标为(竽，伪,cos(a—0)=.

【答案】|

【分析】由重心的坐标与三个顶点坐标的关系有G(巴上咄笠,亚空炉退)，结合已知列

3J

方程组，得｛“Sa+cos'=管，两式平方相加，即可求c°s(a—£).

sma+sinp=72

【详解】由题意知：G(cosa+8S。+竽,sina+s蜉+2与,

cosa+cos0+竽_2>.D2V3

-3"——即｛“"a+cosB=~

sina+s?+2V^_鱼'sin(z+sin6=&'

/.(cosa+cos/?)2=cos2a+2cosacos/?+cos2jB=

(sina+sin/?)2=sin2a+2sinasinS+sin2^=2,

将两式相加，得：2+2(cosacos^+sinasin/?)=

2

/.cos(cr—/?)=cosacosjff+sinosing=-

故答案为：

【点睛】关键点点睛：利用三角形的重心坐标与顶点坐标关系，结合已知条件列方程组，利

用同角三角函数关系、两角差余弦公式求函数值

【变式5-1】5.（2022・全国•高三专题练习）已知点G是△4BC的重心，目G41GC,若

—+—=1则tanB的值为

tanZtanC'

【答案】,

【分析】由G41GC得到a•元=0,结合G是△ABC的重心，得到5〃=42+©2,结合余

弦定理和正弦定理，求得tanB的值.

【详解】依题意G41GC,所以而-GC=0,所以（而-BG）­（BC-BG）=0®,

因为G是三角形48c的中心，所以BG=+BC）②,

把②代入①并化简得5冠-AC=BC-BC+AB-ABI

即5Z?2=a2+c2,

由余弦定理得小+c2=b2+2accosB,

所以4b2=2accosB,

由正弦定理得Zsi/B=sinAsinCcosB③,

已知意+熹=L

所^^+学=sirk4cosc+cos4sinCsinQl+C)_sinB

sin/sinCsin^sinCsinAsinC

所以sinB=sinAsinC④，

由③④得2sinB=cosB,所以tanB=

故答案为：|

【点睛】本小题主要考查向量线性运算、数量积的运算，考查正弦定理、余弦定理解三角形，

考查同角三角函数关系以及三角恒等变换，属于难题.

【变式5-1】6.(2021秋•四川成都•高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中)在

△4BC中，已知sin4sinBsin(C-0)=Asin2C,其中tan。=|(其中0<8<5)，若高+熹

+高为定值，则实数4的值是()

A.嚼B.夸C.旧D庠

【答案】A

【分析】sin4sinBsin(C-e)=4sin2C,化简彳星岛sin"盍cosC)=^舞，再由高+

++高为定值，化简得到3sinC-cosC=2V102gsinC—cost?)恒成立，列出方程组，即

可求解.

【详解】由tan。=|,(0<^<7),可得sin。=盍，cos。=看，

因为sinAsinBsin。一。)=Asin2