第19讲 空间图形的表面积和体积（原卷版）

第19讲空间图形的表面积和体积目标导航目标导航课程标准课标解读知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式；理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。2.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式；理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。知识精讲知识精讲知识点01空间图形的表面积1.直棱柱及其侧面积和表面积(1)直棱柱、正棱柱的概念侧棱和底面垂直的棱柱叫作。特别地，底面为正多边形的直棱柱叫作。直棱柱的侧棱长就是直棱柱的(两底面所在平面之间的距离)。(2)直棱柱的侧面积和表面积将直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开图的面积就是直棱柱的。如图，直棱柱的侧面展开图是，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h.因此，直棱柱的侧面积是，表面积是。2.正棱锥及其侧面积和表面积(1)正棱锥的概念：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，那么称这样的棱锥为。正棱锥的侧棱长都，侧面均为全等的。(2)正棱锥的侧面积和表面积：正n棱锥的侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成的，如图所示。如果正n棱锥的底面边长为a，周长为c，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h'，则它的侧面积为，表面积为。3.正棱台及其侧面积和表面积(1)正棱台的概念：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作。正棱台的侧棱长都，侧面均为全等的。(2)正棱台的侧面积和表面积正n棱台的侧面展开图是由n个全等的等腰梯形组成的，如图：设正n棱台的上、下底面边长分别是a'，a，斜高为h'，则正n棱台的侧面积，表面积，其中c'，c分别是上、下底面的周长。4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及表(侧)面积公式（1）圆柱；；。其中,r是底面半径,l是母线长。（2）圆锥；；。其中,r是底面半径,l是母线长。（3）圆台；，；。其中,r',r分别是上、下底面半径,l是母线长。【微点拨】求空间几何体的表面积(侧面积)(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何表面积问题的主要出发点。(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积.注意衔接部分的处理。【即学即练1】毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合，圆锥的高为3米，圆柱的高为2.5米，底面直径为8米，则建造该毡帐需要毛毡（

）平方米.A． B． C． D．知识点02空间图形的体积1.柱体的体积(S是底面面积，h是柱体高)，(r是底面半径,h是高).2.锥体的体积(S是底面面积，h是锥体高)，（r是底面半径，h是高).3.台体的体积（S'、S分别是上、下底面面积，h是台体高)，（r',r分别是上、下底面半径，h是高).【微点拨】求空间几何体的体积(1)若所给的几何体是可直接用公式求体积的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解。(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法或补形法等方法进行求解。【即学即练2】已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥的体积为（

）A． B． C．1 D．知识点03球的表面积和体积1.球的表面积设球的半径为R，那么它的表面积。2.球的体积设球的半径为R，那么它的体积。3.解决与球有关的切、接问题的策略(1)“接”的处理①构造正(长)方体，转化为正(长)方体的外接球问题；②空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中，作出适当(过球心或接点等)；③利用球心与截面圆心的连线垂直于截面来确定所在直线。(2)“切”的处理①体积分割法求内切球半径；②作出合适的截面(过球心或切点等)，在平面上求解；③多球相切问题，连接各球，转化为处理多面体问题。【即学即练3】已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（

）A． B． C． D．能力拓展能力拓展考法01空间图形的表面积【典例1】某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为（

）．A． B．C． D．考法02空间图形的体积【典例2】在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示．若在图2中，则在图1中（

）A． B． C． D．考法03球的表面积和体积【典例3】在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，底面，，是棱的中点，点是棱上的动点，则当的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（

）A． B．C． D．分层提分分层提分题组A基础过关练1．长方体的体积是，若为的中点，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．2．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（

）A． B． C． D．3．等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为（）A． B．或C． D．或4．用与球心距离为的平面去截球，截面面积为，则球的体积为（）A． B． C． D．5．已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的母线长为（）A．4 B．8 C．6 D．26．已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为________．7．已知正三棱锥的侧面积为，高为，则它的体积为___________.8．已知正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______.9．如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．10．已知圆柱的体积为，侧面积为．(1)求圆柱底面圆的半径和圆柱母线的长；(2)以上底面圆的圆心和下底面圆构成圆锥，求此圆锥的表面积．题组B能力提升练1．已知A，B，C，D在球O的表面上，为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．2．若圆柱轴截面周长C为定值，则表面积最大值为（

）A． B． C． D．3．如图在RtABC中，AB＝BC＝6，动点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，四边形BDEF为矩形，剪去矩形BDEF后，将剩余部分绕AF所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几何体的表面积最大时，BD＝（）A．2 B．3 C．4 D．34．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中不正确的是（

）A．多面体有12个顶点，14个面B．多面体的表面积为3C．多面体的体积为D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）5．已知某圆锥的内切球的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为__________．6．已知A，B是球O的球面上两点，，C为该球面上的动点，当三棱锥体积最大时的高为6，则球O的表面积为__________．7．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足，平面，，若三棱锥的体积为，则该“鞠”的体积的最小值为______.8．已知圆柱的全面积为，圆柱内有一平行于圆柱轴的截面，截面面积为，且截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为，则圆柱的体积是______.9．如图，直三棱柱中，，，，P为线段上的动点．(1)当P为线段上的中点时，求三棱锥的体积；(2)当P在线段上移动时，求的最小值．10．如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱中有一内接长方体，设矩形的面积为S，长方体的体积为V，，(1)将S表示为x的函数；(2)求V的最大值．题组C培优拔尖练1．已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，求这个四棱台的表面积为（

）A．24 B．44 C． D．2．母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角等于（

）A． B． C． D．3．如图，在长方体中，，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形内一动点（含边界），且直线，EF与平面所成角的大小相等，则下列说法错误的是（

）A．平面 B．三棱锥的体积为4C．存在点F，使得 D．线段的长度的取值范围为4．（多选题）已知正方体的棱长为1，则下列选项正确的有（

）A．若为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为B．若为棱的中点，则过点有且仅有一条直线与直线都相交C．若为以为直径的球面上的一个动点，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为D．若平面，则截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大5．（多选题）如图，正方体中E，F，G分别为的中点，则下列结论正确的是（

）A．直线与直线垂直B．直线与平面平行C．点与点到平面的距离相等D．平面截正方体所得大小两部分的体积比为6．中，，过点A的直线在平面上，且在直线的同一侧，将绕直线旋转一周所得的几何体的体积的最大值为______．7．正多面体与正多边形一样，具有很多优美的性质，也是立体几何学习中的常见模型.在棱长为1的正方体中，分别将6个正方形的中心点依次记为给出下列结论:①正方体的所有截面中，正多边形只有正三角形和正方形;②以为顶点连成一个几何体，这个几何体是正八面体;③三棱锥是正四面体，它的外接球半径是；④将②中多面体MNPQRS的各个面的中心标出，用线段将这些中心点连成几何体，可以得到一个新的正方体，它的棱长是.则其中正确的有________.8．如图所示，四边形为菱形，，平面