高考物理一轮专项复习讲义：追及相遇问题（含解析）

微点突破-追及相遇问题

【目标要求】1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧。2.会在图像中分析追及相遇问题。3.熟

练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题。

考点一追及相遇问题

追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。追及相遇问题

的基本物理模型：以甲追乙为例。

1.二者距离变化与速度大小的关系

(1)无论/甲增大、减小或不变，只要“产/乙，甲、乙间的距离就不断增大。

(2)若/甲=/乙，甲、乙间的距离保持不变。

(3)无论/甲增大、减小或不变，只要“6/乙，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小。

2.分析思路

可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。

(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，

也是分析、判断问题的切入点；

(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题

的突破口。

3.常见追及情景

(1)初速度小者追初速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。

(2)初速度大者追初速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时

追不上，二者之间有最小值。

物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距犹，当m=%时，若XB>XA+XO，则能追上；若

XB=XA+XO,则恰好追上；若XB<XA+XO，则不能追上。

特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停

止运动。

【例1】(2023,广东汕头市质检)某一长直的赛道上，一辆赛车前方200m处有一安全车正以

10m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2m/s2的加速度追赶。求：

(1)赛车出发3s末的瞬时速度大小；

⑵赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小;

⑶追上之前两车的最大距离。

答案(1)6m/s(2)20s40m/s(3)225m

解析(1)赛车出发3s末的瞬时速度大小为

H=Q"I=2X3m/s=6m/so

⑵设经亥时间追上安全车，由位移关系得

W2+2OOm=~ait21,解得扬=20s

2

此时赛车的速度片012=2X20m/s=40m/s

(3)方法一物理分析法

当两车速度相等时，两车相距最远

由4=4也得两车速度相等时，经过的时间

t3=—=^S=5S,追上之前两车最远相距

a\2

As=%/3+200m--6Z1/32

2

2

=(10X5+200-1x2X5)m=225mo

方法二二次函数法

As=X/+200—10^+200—Z2

2

—h—10

当，=---=-------^=5s时，As有极值，相距最远，将/=5s代入解得Asmax=225m。

2a2X(-1)

方法三图像法

从图像可知，当赛车速度等于安全车速度时，即4=。"=10m/s,得，=5S时相距最远，Asmax

%.

=I4)t——,+200m=225m。

2

拓展若当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4m/s2的加速度做匀减速直线

运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰，用物理分

析法和图像法两种方法解题)

答案20s

解析方法一,：物理分析法

假设再经〃时间两车第二次相遇(两车一直在运动)，由位移关系得(44—1«2^42=W4

解得〃=15s

\z40

赛车停下来的时间t'==—s=10s

。24

所以〃=15s不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动

一砂

设再经时间为两车第二次相遇，应满足——=/玄，解得，5=20S。

2a2

方法二：图像法

赛车和安全车的广£图像如图。由图知/=1OS,赛车停下时，安全车的位移小于赛车的位移,

由段)，5=——,得，5=20S。

2a2

【例2】(2023•湖南长沙市南雅中学检测)现有A、B两列火车在同一轨道上同向匀速行驶，A

车在前，其速度以=10m/s,B车速度%=40m/s。因大雾能见度低，B车在距A车d=

900m时才发现前方有A车，此时B车立即刹车，但B车要减速2000m才能够停止。

(1)B车刹车后减速运动的加速度多大？

(2)B车刹车力=20s后，两车距离多少？

(3)B车刹车，2=30s后，A车开始匀加速，则至少以多大加速度QA加速前进才能避免事故？

答案(1)0.4m/s?(2)380m(3)0.5m/s2

解析(1)设B车减速运动的加速度大小为42,

则有0——2〃加1

l/h2402

解得。2=——=-----------m/s2=0.4m/s2

2xi2X2000

(2)设B车从刹车到停止的时间为，，

则YKs=ioos

B车刹车九=20s运动的位移为

xi=怎介―1。202=720m

2

B车刹车九=20s,A车运动的位移大小

X2=%九=10X20m=200m

B车刹车九=20s后，两车的距离Ax=d+i2一修=900m+200m—720m=380m

(3)B车刹车/2=30s后，B车运动的速度

%'=0一。2勿=40m/s—0.4X30m/s=28m/s

B车运动的位移

工3=%打―1。2勿2=1020m

2

A车运动的位移X4=^2=300m

A、B两车的距离为/=d+x4-%3=180m

为保证两车恰好不相撞，则B车追上A车时两车速度恰好相等

设B车减速，秒时两车的速度相同，有

修'—at=x=M+-a^t2

2A2

2

XB=t~~a2tXB—XA=d'

29

2r

(%/-l^)-2a2d

解付QA=---------------------------=0.5m/s2

Id,o

■总结提升一

解答追及相遇问题的三种方法

抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，建立物

物理分析法体运动情景图，分析两物体的速度大小关系，利用速度相等时两物体的

位置关系，判断能否追上、二者相距最近或最远

设经过时间看，二者间的距离AX=XB+XO—XA,假设追上，Ax=0,方程

函数方程判

中八="一4这，A<0,追不上；A=0,恰好追上，一解；A>0,两解或发

断法

生了相撞；或利用函数极值求解二者距离最大值或最小值

将两个物体运动的速度一时间关系或位移一时间关系画在同一图像中，

图像法

然后利用图像分析求解相关问题

考点二图像中的追及相遇问题

1.X—,图像、上，图像中的追及相遇问题:

（1）利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。

（2）有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。

2.利用图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作

出巾f图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。

3.若为x—t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a—t图像，可转化

为f图像进行分析。

【例3】（多选）（2024・广东省四校联考）两车在不同的行车道上同向行驶，f=0时刻，乙车在甲

车前方25m。两车速度一时间（片-力图像分别为图中直线甲和直线乙，交点坐标图中已标出，

则（）

tw/Cm-s-1）甲/

10t/s

A.乙车的加速度是0.6m/s2

B.第5s末两车相距40m

C.相遇前，甲、乙两车的最大距离是55m

D.25s末时甲车追上乙车

答案BD

6—4

解析y-t图像中图线的斜率即为物体运动的加速度，所以乙车的加速度为a乙=----m/s2

10

=0.2m/s2,故A错误；由题图可得第5s末时，两车的速度分别为，甲=纣2m/s=3m/s,

2

4+6

/乙=----m/s=5m/s,广，图像中图线与/轴所围成图形的面积表示物体运动的位移，所以

一2

0+34+5

由x=-------7,可得0〜5s内两车运动的位移分别为x甲=----X5m=7.5m,x乙=----X5m

222

=22.5m,所以第5s末两车相距Ax=x乙一x甲+xo=4Om,故B正确；当两车速度相等时，

两车相距最远，由题图可知，第10s末时，两车速度相等，之间的距离最大。0〜10s内两

车运动的位移分别为x甲/=°七10m=30m,x」—4+6^m=50m,所以第10s末

22

两车相距Ax'=x」—x甲'+%o=45m,故C错误；由题图可得甲车的加速度为a甲=

6］。。m/s2=0.6m/s2,设经过时间，甲车追上乙车，则x甲"一x乙"=xo,x甲"=；Q甲/2=0.3巴

XJ=依+匕/2=4/+0.］产，联立解得/=25S,所以25s末时甲车追上乙车，D正确。

2

［例4］（2024•山东德州市月考）物理兴趣小组的同学用两个相同的遥控小车沿直线进行追逐

比赛，两小车分别安装不同的传感器并连接到计算机中，A小车安装加速度传感器，B小车

安装速度传感器，两车初始时刻速度大小均为4=30m/s,A车在前、B车在后，两车相距

100m,其传感器读数与时间的函数关系图像如图所示，规定初始运动方向为正方向。下列

说法正确的是（）

A./=3s时两车间距离为25m

B.3〜9s内，A车的加速度大于B车的加速度

C.两车最近距离为10m

D.0〜9s内两车相遇一次

答案C

解析在0〜3s内A车做匀减速运动，A车减速到零所需时间以=匕=3s,故在/=3s时

6ZA1

A车减速到零，A车前进的位移为XA="£A=45m,B车前进的位移为冲=WA=90m,t=

2

3s时两车间距离为Ax=d+xA—XB=55UI,故A错误；由题图可知在3〜9s内A车的加速度

为QA2=5m/s2,在巾，图像中，图像的斜率表示加速度，则QB=—=_5m/s2,故A、B两

△t

车的加速度大小相等，故B错误；，=3s后，A车开始由静止做匀加速运动，B车开始做匀

减速运动，3〜9s的过程中，设经历时间，两者速度相同，则，共=4A2%=解得，=3S,

，立%）+，正

l/*=15m/s,A车在t=3s内前进的位移为Xi=--Z=22.5m,B车前进的位移为X2=-------------t

22

=67.5m,故此时两车相距的最小距离为Axmin=Ax+xi—X2=10m,此后A车的速度大于B

车的速度，两者间的距离开始增大，故不可能相遇，故C正确，D错误。

跟踪训练

1.（2023•重庆市第八中学检测）一运动员将静止的足球沿边线向前踢出，足球获得12m/s的初

速度，同时该运动员沿边线向前追赶足球，速度/随时间/的变化规律如图所示。已知足球

停下时该运动员刚好追上足球，则足球的加速度大小与运动员加速阶段的加速度大小之比为

答案B

解析设运动员加速时间为人，追上时两者位移相等，即广，图像与/轴所围面积相等，有

12

1

-X12X/2=-X8XZI+8X(^2-M,解得力=2九，则加速度之比以=立=又=?,故选B。

22a282t24

2.(多选)如图甲所示，A车和B车在同一平直公路的两个平行车道上行驶，该路段限速

54km/ho当两车车头平齐时开始计时，两车运动的位移一时间图像如图乙所示，0〜5s时间

内，A车的图线是抛物线的一部分，B车的图线是直线，在两车不违章的情况下，下列说法

正确的是()

甲

A.A车运动的加速度大小为1m/s2

B.f=3.5s时，两车的速度相同

C.A车追上B车的最短时间为7.2s

D.两车相遇两次

答案BC

解析由匀变速直线运动规律可知x=奴+与修，由题图乙可知当/=2s时x=10m,当尸

2

5s时x=40m,解得k&=3m/s,a=2m/s2,故A错误；由题图乙可知B车匀速运动的速度

l^=—m/s=10m/s,由匀变速直线运动规律可得以=14)+。/=0,解得/=3.5s,故B正确；

4

A车加速到%ax=54km/h=15m/s后做匀速运动，追上B车的时间最短，由k；nax=

2

可知A车的加速时间t0=6s,A车追上B车满足143?=Wo+|a/o+I6iax(f—?o),解得1=7.2s,

此后A车速度大于B车，不会再相遇，故C正确，D错误。

3.(2024•云南曲靖市检测)5G自动驾驶是基于5G通信技术实现网联式全域感知、协同决策

与智慧云控，相当于有了“千里眼”的感知能力，同时，5G网络超低延时的特性，让“汽车

大脑”可以实时接收指令，极大提高了汽车运行的安全性。A、B两辆5G自动驾驶测试车，

在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小匕=8m/s,B车的速度大小

H=20m/s,如图所示。当A、B两车相距xo=2Om时，B车因前方突发情况紧急刹车，已

知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小。=2m/s2,从此时开始计时，求：

(1)A车追上B车之前，两者相距的最远距离Ax；

(2)A车追上B车所用的时间to

答案⑴56m(2)15s

解析(1)当两车速度相等时，两车的距离最大，设经过时间6两车速度相等，则有％=%

—at\

得t\=6s

在t\时间内A车位移为修=%九=48m

B车位移为工2=侬一，。九2=84m

2

则此最远的距离为AX=%2+M)—X1=56m

⑵设经过时间伍B车停下来，则有0=/一办2

得t2=10S

此过程中A车和B车的位移分别为

x\=H?2=80m

X2'=—atg=100m

2

此时X2'+XO>X1'

说明A车还没追上B车，设再经过时间，3才追上，则有+X0—X1'="3得/3=5S,所

以A车追上B车所用的时间为^=^+^3=15So

4.(2024•黑龙江哈尔滨市第三中学检测)如图所示为车辆行驶过程中常见的变道超车情形。图

中A车车长ZA=4m,B车车长ZB=6m,两车车头相距£=26m时，B车正以他=10m/s

的速度匀速行驶，A车正以以=15m/s的速度借道超车，此时A车司机发现前方不远处有一

辆汽车C正好迎面驶来，其速度为此=8m/s