广东省高州市2023-2024学年高二年级下册期中考试数学试题（含答案）

广东省高州市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（）

A.60种B.80种C.100种D.120种

2.下面给出四个随机变量：

①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数，；

②一个沿支轴进行随机运动的质点，它在久轴上的位置小

③某派出所一天内接到的报警电话次数X；

④某同学上学路上离开家的距离K

其中是离散型随机变量的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

3.函数/Q）=炉一久—1的图象在点处的切线方程为（）

A.y=2x—3B.y=x—2C.y=­xD.y=-2x+1

4.若随机变量的分布列如表，则P（|X-2|=1）的值为（）

X1234

111

Pa

443

D.

5.设点P是函数/（%）=?、-百％图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为a,则角a的取值范围是（）

A.[0号）B.[0£）U（等，兀）

C第D.[0*u[李，兀）

6.Q-1）2（久2一2%+2）的展开式中，/的系数与常数项之差为（）

A.—3B.-1C.5D.7

7.已知函数/（%）=xlnx-2%+a?一Q,若f（%）<0在％e[1,e?]上恒成立，则实数a的取值范围是（）

A.[—1,2]B.[0,1]C.[0,2]D.[—1,1]

8.已知函数/（%）满足/（%）lnx+1/（%）<0（其中/'（%）是/（%）的导数），若q=f（e；）,b=f（e^yc=

/（房），则下列选项中正确的是（）

1

A.6a<46<3cB.6a<3c<4bC.46<6a<3cD.4b<3c<6a

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

18

9.对于(％-；)的展开式，下列说法正确的是()

A.展开式共有8项

B.展开式中的常数项是70

C.展开式中各项系数之和为0

D.展开式中的二项式系数之和为64

10.如图是导函数、=尸(%)的图象，则下列说法正确的是()

A.函数y=/(久)在区间(1,3)上单调递减

B.函数y=/在区间(-8,0)上单调递减

C.函数y=/(久)在％=1处取得极大值

D.函数y=f(%)在久=—2处取得极小值

11.袋中装有6个相同的小球，分别编号为1,2,3,4,5,6.从中不放回的随机抽取两个球，4表示事件

“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，B表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正

确的是()

A.事件A与事件B不相互独立

B.事件力与事件B互斥

C.在事件2发生的前提下，事件B发生的概率为生

D.在事件B发生的前提下，事件4发生的概率为*

三'填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙

地可选择的出行方式有种.

13.有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出

来的零件混放在一起，已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的20%,30%,50%,现从加工出来的

零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为.

14.已知函数/(%)=靖一？一久一%,若/■(/+。+/(3t)V0成立，则实数t的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

2

15.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量f,T）,已知甲、乙两名射手在每次射击中

射中的环数分别为7,8,9,10,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为2a,0.2,a,0.2,乙射中10,9,

8,7环的概率分别为0.3,0.3,b,b,求f,〃的分布列.

16.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用4B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（nCN*）

个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集

团，全是大集团的概率为2.

14,

（1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；

（2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为X,求X的分布列.

3

17.已知函数/（%）=多■比2—M-g片0>

（1）若a=l,求/'（久）的极值；

（2）讨论函数/（久）的单调性.

18.已知函数/'(%)=a(e久-1)—t(a力0).

(1)若a=1,证明：/(%)>0；

1

/（勺）2一/（比2）>4,求实数a的取值范围.

(2)若\/久16(0,+8),肛C(0,+8)(久1力久2)，都有1-

3

1

19.已知函数/Q）=：+alnK（aeR）.

（1）求函数/（久）的单调区间；

（2）若函数g（x）=%—〃%）有两个极值点久Ox2.

①求实数a的取值范围；

②若打6弓,1）（e为自然对数的底数，且e=2.71828…），求。（巧）—"（小）的取值范围.

答案解析部分

L【答案】D

【解析】【解答】解：从6个人选出3人在安排在三种不同类型工作中共有廉=120种.

故答案为：D.

【分析】理解题意，根据排列数计算即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：①中，经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量；

②中，质点在直线上的位置不能一一列举出来，不是离散型随机变量；

③中，报警电话次数可以一一列举出来，是离散型随机变量；

④中，离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量,

所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.

故答案为：B.

【分析】根据定义理解离散型随机变量直接判断即可.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：因为/(%)=3%2—1>•由f(l)=—1,

所以切线的斜率为f'(l)=3xl-l=2

所以切线的方程为y+1=2(%-1)=>y=2%-3,

故答案为：A.

【分析】利用导数的几何和直线的点斜式方程，从而求解.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：根据概率之和为1得a=<

115

P(|X—2|=1)=P(X=I)+P(X=3)=G+4=爻

故答案为：A.

【分析】根据概率之和为1求得a,代入计算即可.

5.【答案】B

x

【解析】【解答】解：由已知可得：/(%)=e-V3.易知/(%)>-8

,•・设点P处切线的倾斜角为a,tana>-g.aC[0,兀),

所以ae[0,U(^-,TT).

故答案为：B.

【分析】根据导数的几何意义和倾斜角的关系，即可求得取值范围.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：由已知(久一1)2(——2久+2)=0—1)4+(久一1)2,

展开式中/的系数为以+1=7,

取x=0,得常数项为2,

故/的系数与常数项之差为7-2=5.

故答案为：C.

【分析】利用二项式定理展开结合赋值法计算即可.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：因为/(久)=仇％-1，令/'(x)>0，解得e<x<e2,

令f'(X)<0，解得lW%<e.所以/'(%)在［l,e)上单调单减，在(e,e2］上单调单增，

又fQ)<0在XG”2］上恒成立，所以L(⑴：2―22n解得0<«<1.

故答案为：B.

【分析】根据导数的正负判断原函数的单调性，得到关于a的不等式，即可求得范围.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：因为/(%)加x+打(久)<0,所以/(%加工丫<0令g(K)=f(久)m％,

则g'(x)<0在(0,+8)上恒成立，故。(久)在(0,+8)上为减函数，

111111111

所以g(e2)<g(e§)<g(e4)，则/,2)仇e2</(e3)/ne3</(e4)/ne4,

故/a<gb<"c,即6a<4b<3c.

故答案为：A.

【分析】利用已知条件构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用不等式的性质即可求解.

9.【答案】B,C

18

【解析】【解答】解：对于A：由二项式定理可知(久一》展开共有9项，故A错误；

对于B：常数项为《x%4X(-3=70，故B正确；

对于C：令％=1,则展开式中各项系数之和为(1-1)8=0,故C正确；

对于D：展开式中的二项式系数之和为28=256,故D错误.

故答案为：BC.

【分析】根据二项式定理内容和性质直接判断即可.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：对于A.因为在(1,3)上/(久)<0成立，所以y=/(%)的单调递减区间(1,3),故A正确;

B.因为当一2<久<0时，/(%)>0»当X<-2时，/(%)<0>所以y=6%)在(一8,0)上不单调，故B错

误；

6

C.因为当一2<%<1时，f(K)>0，当1<久<3时，f(x)<0>函数y=/'(%)在％=1处取得极大值，故c

正确；

D.因为当％<-2时，/(%)<当一2<%<1时，/(%)>0，所以函数y=/(久)在X=-2处取得极小值，故

D正确，

故答案为：ACD.

【分析】

利用已知导函数图象函数值正负，得到函数的单调性逐项判断即可.

n.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A选项：因为2(4)=1—P(3),故「(4)=1—

C6

33

事件B的概率P(B)=2=可，事件AB的概率PQ4B)==中

因为P(4B)。P(A)•P(B),所以事件A与事件B不相互独立，选项A正确；

B选项：“取出的两个球的编号均为奇数”既在事件4中，也在事件B中，

故事件力与事件B不互斥，选项B错误；

1

-1

5

c选项：P(BM)=号簿=---

44选项C正确;

5-

1

-1

5

=---

D选项：P(4|B)：22

-

5

故答案为：ACD.

【分析】利用条件概率和古典概型的概率计算公式进而分析选项即可判断.

12.【答案】12

【解析】【解答】解：由已知甲地去丙地共有3X4=12(种).

故答案为：12.

【分析】根据分步乘法直接计算即可.

13.【答案】A

【解析】【解答】解：零件为第2=1,2,3)台车床加工记为为事件

事件B“任取一个零件为次品”，

由已知P(4)=0.2,P(&)=0.3,pg)=04,

由全概率公式可知所以P(B)=P(A1)P(B|41)+P(712)P(B|42)+P(A3)P(B|A3)=0.2X0.04+0.3X0.05+

0.5X0.05=0.048,

所以呻2⑸=5^.

7

故P(&⑻=噎罂=余

故答案为：金.

【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求得结果.

14.【答案】(-4,0)

【解析】【解答】解：因为函数的定义域为R.且/(—%)=e-久-e久+x=-/(久)，

所以/'(久)是奇函数.又因为f(久)=ex-e~x-x.f'(x)=ex+e^x-1>2y/ex-e-x-1=1>0.

所以函数在R上单调递增，/(t2+t)+f(3t)<0等价于+t)<-/(3t)=/(—3t),

所以—3t>+t,>'•+4t<0>-4<t<0.

所以实数t的取值范围为(-4,0).

故答案为：(-4,0).

【分析】根据题意，得到函数的奇偶性和单调性，等价转化不等式即可得答案.

15.【答案】解：由题意得0.2+2a+a+0.2=1,解得a=0.2,

0.3+0.3+2b=1,解得b=0.2,

所以f的分布列为

10987

p0.40.20.20.2

4的分布列为

10987

P0.30.30.20.2

【解析】【分析】(1)根据人〃的可能取值，分别求出每个取值的概率，即可得到分布列.

(2)利用(1)所得的分布列，结合数学期望的计算公式，通过运算即可求解.

16.【答案】(1)解：由题意知共有n+3个集团，取出2个集团的方法总数是以+3,其中全是大集团的情况有

场故全是大集团的概率是乒=(二黑裾3)=/，

整理得到3n2-I3n-10=0,解得n=5,

若2个全是大集团，共有*=10(种)情况，

若2个全是小集团，共有之=3(种)情况，

故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为小集团的概率为七=/

(2)解：由题意知，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,

115

pcx_0)__p(x-n-_

8

pr_2)_2—型—至建丫—_C5c3_10_5

()一飞_一拓一而，P(X_3)_7r_筋一丽,

故X的分布列为

X0123

P115155

56562828

【解析】【分析】(1)利用古典概型的概率计算方法即可求得概率；

(2)由题意知算出分布列，即可求出数学期望.

17.【答案】⑴解：若a=1,/(x)=|x2-lnx,则八支)=久—工=欢二1,

令/(久)=0，解得x=l,所以〃久)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

又/⑴耳，所以/(久)在(0,1)处取得极小值最无极大值；

3

(2)解：/(%)=ax--=矶a*+D3—D,

当a>0时，令/'(%)>0，解得久>\，令f(x)<0，解得0<x<、，

所以/(%)在(0,》上单调递减，在(/+8)上单调递增；

当a<。时，令/'(久)>0，解得0<%令/(久)<0，解得久>一)

所以/(%)在(0,-》上单调递增，在(一,+8)上单调递减.

【解析】【分析】(1)利用导数函数值的正负即可判断原函数的单调性，结合极值点的定义可得极值.

⑵分类讨论a<0和a>0的情况，再利用导数和函数单调性的关系判断函数单调性.

xx

18.【答案】(1)证明：若a=1,/(%)=e-1-x,/(%)=e-1，令/'(%)>0，解得x>0,令/'(%)<

0,解得x<0,

所以f(尤)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以/O)min=f(0)=0,所以/(久)>0;

2)11

八勺)一2/(比2

(2)解：不妨设0<%1<久2，所以X1-X2>2,即久W</(久2)—2后，

所以y=/(x)—在(0,+8)上单调递增，

令g(%)=f(x)—义光2,g(%)-ae"—x—^>0在(0,+8)上恒成立，

令九(%)=令(%),h(x)=aex-1.

,一11一，

当a<。时，h(x)<0在(0,+8)上怛成立，又h(—)=ae~^<0，不符合题思;

当0<。<1时，令h(%)>0，解得%>必工令h(%)V0，解得0<%<加!，

9

所以h(x)在(0,上》上单调递减，在(ln1,+8)上单调递增，

1111

所以h(%)7nin=九(伉—)二1—In———=ITLCL—£+1之0,解得。之1，此种情况无解，

当a21时，,；》(%)=ae*-1>e。-1=0,二八(久)在(0,+8)上单调递增，h(x)>/i(0)=a-^>0»

fi(x)=g'(x)>0在(0,+8)上恒成立，

综上所述a的取值范围为［L+8).

【解析】【分析】(1)依据导数判断单调性求得最值后即可证明不等式，

(2)构造函数gQ)=/(久)-科/根据已知条件得到单调性，分类讨论后求解.

19.【答案】(1)解：由题知，函数/(%)的定义域为(0,+8),/(乃=一1+?=竽，

当aWO时，对任意的久>0,r'(久)M0且/(%)不恒为零，故/(久)在(0,+8)上单调递减；

当a>。时，令f(%)=0，解得％=

所以当久6(0,》时，/(%)<0;当％eg,+8)时，/(%)>0.

此时，函数久久)的单调递减区间为(0,》，单调递增区间为。,+8).

综上，当aWO时，/Q)的单调递减区间为(0,+8),无单调递增区间；

当a>0时，f(x)的单调递减区间为(0,》，单调递增区间为(1+8)