高一数学重难点复习专练：利用几何法求异面直线所成的角（四大题型）解析版

重难点专题12利用几何法求异面直线所成的角

【题型归纳目录】

题型一：利用中位线平移

题型二：利用四边形平移

题型三：补体法

题型四：平移两次

【方法技巧与总结】

异面直线所成的角

①定义：设。是两条异面直线，经过空间任一点（9作直线b'//b,把d与〃所成的锐角（或直

角）叫做异面直线。与。所成的角（或夹角）.

②范围：（0,-]

2

③求法：平移法：将异面直线a,6平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形.

【典型例题】

题型一：利用中位线平移

27t

【典例1-1]（2024•全国•模拟预测）如图，在圆锥尸。中，尸0=4,8,C为圆。上的点，且03=2,ZBOC=T，

若。为尸C的中点,E为。3的中点，则异面直线DE与依所成角的余弦值为（）

C

.11V35口7665

7070

C.且D.W

43

【答案】A

【解析】如图，取CO的中点G,取PO的中点尸，连接EG,EF,DF,DG,

p

c

则DGIIPO,旦DG=^PO=2,EFUPB厕NDEF就是异面直线DE与PB所成的角或其补角.

易知「01平面BOC,所以DG，平面BOC,所以。G_LGE.

因为/86^=年,。6=0后=：08=1,所以6£=2。651114=2*1*¥=石，

所以由勾股定理得QE="xF+GE?=12?+（省『=屿，

又EF=；PB=^PO2+BO2=1V42+22=45,DF=^CO=1,

所以在△DEF中,由余弦定理得cosZDEF=（⑺+（灼一干=口底,

2x^7xy/570

故异面直线3E与PB所成角的余弦值为卫运.

70

故选:A.

题型二：利用四边形平移

【典例2-1]（2024・高二.重庆•期末）在长方体ABC。-A4GA中，AB=AA,=l,AD=2,则异面直线

AC,AQ的夹角余弦值为（）

A.典B.1C.2D.逅

10536

【答案】B

【解析】连接用。，A用，根据正方体ABC。-AgCQ,得到AQBXC

所以异面直线AC，4。的夹角为AC4。的夹角，

又>15=例=1,AD=2,所以AC=5G=亚，AB]=e.,

—阴25+5-24

则cos/31cA=

2ACB.C2x百x百5

4

则异面直线AC,A.D的夹角的余弦值为

【典例2-2】（2024・高二.辽宁沈阳・期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱

ABCD-^QD,中，AA=2AB=2,则异面直线AtB与AR所成角的余弦值为（）

D--1

【答案】A

【解析】连接AG，BG，

因为AB〃G2，A3=G2，所以四边形ABG2是平行四边形，

所以AR//BQ,所以异面直线AtB与A2所成角为NABG或其补角,

又因为A4,=2AB=2且四棱柱为底面是正方形的直四棱柱,

所以=BC]=J1+4=^5,4G-Jl+1—\/2,

4巧2+巧°]2-4。]2_5+5-24

所以cos443G

12A.BXBQ-2x石x石5

故选：A.

【变式2-1］（2024・高二•内蒙古呼和浩特•期末）在正方体ABCD-ABCQ中，。为AC的中点，则异面直线

CG与。片所成角的余弦值为（）

R也「73

A。—2D.---------

23D-T

【答案】D

【解析】设正方体棱长为2,连接。片,。8,如图,

因为CCJ/5耳，所以/3耳。（或其补角）即为异面直线CG与。片所成的角,

在直角三角形。8片中，cosNBBQ=^=A/6

-V，

故选：D

题型三：补体法

【典例3”】在正方体ABC。-A4GA中，石为42的中点，平面AGB与平面C石£的交线为/，贝心

与所成角的余弦值为（)

。.9

A.-B.-

B

【答案】D

【解析】在正方体ABCD-4用GR上面补上一个正方体482c22-A4G2，

易证AB//GR,，NGCR为1与AB所成的角.

设CQ=1,GR=字GG=JGD；+QD；=?

."GCQ口」逆

GQ763

2

【典例3-2】在三棱锥PABC中，|PA|=|ABHBC|=1，\AC\=\PB\=yf2,|PC|=G,则异面直线PC

与A8所成角的余弦值为（）

A.B凡由「变…

【答案】A

【解析】根据题给睾件，可以朋、AB,8C为棱将原图补成正方体，显然，正方体蛛长为1,则体对角

线尸C=6，NPCD即为所隶异面直线的平面角，cosZPCD=—=4=＞故选A.

PC£

【变式3-1］（2024.湖北•高一统考期末）如图，在三棱锥A-BCD中，

AB=AC=1,ABVAC,AD=2,AD,平面ABC,E为8的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为

()

A.孚B.|C,

【答案】D

【解析】因为ADJL平面ABC,Mu平面ABC,,ACu平面ABC,

所以AD±AC,又AB1AC,

所以AD,AB,AC两两垂直，将三棱锥A-BCD置于一个长方体中，如图所示,

易知BFIIAD,所以直线8E与AD所成角即为正与8E所成角为NEBE（或其补角）,

在,FBE中，由余弦定理，得

BF?+BE?-FE?

cos/FBE=

2BFBE

所以直线仍与AD所成角的余弦值为|.

故选：D.

【变式3-2］（2024・高三・安徽•阶段练习）在长方体（平面4用GR为下底面）中,

2AAi=3AD=6,AB=4,点下为线段G2的中点，则异面直线4。与M所成角的余弦值为.

［答案］7221

221221

【解析】在长方体ABCD-A与GA的上方补一个全等的长方体ABCD-ABZGQ,

所以，由长方体的性质可知：直线4。〃8c2，

因为2AA=3AO=6,AB=4,点/为线段G2的中点

所以=BC2=A/13,FC2=V40.

BF?+BC；-FC；5A/221

所以cosZFBC2

2BFBC2221

所以，异面直线4。与2尸所成角的余弦值为拽

221

故答案为：驾

题型四：平移两次

【典例4-1】（2024・高一•上海杨浦・期末）如图，长方体ABCO-ABIGR中，AB=9=2,A。=1,点E和

F分别为线段CC,和CD,的中点，则异面直线AE与9所成角的余弦值为

【解析】取A8的中点。，连接RQ,

因为点尸为CA的中点，所以2尸=QB,

又。///QB,故四边形。必。为平行四边形,

所以RQ//PB,

连接BE,取BE的中点尸，连接尸。，

因为。为的中点，所以PQ//AE,

所以NPQR或其补角为异面直线AE与即所成角，

过点P作尸G，CG于点G,于点连接RG,QM,RA,

因为AB=A4,=2,AZ)=1,

所以RA=JA£>2+DD；=后,DIQ=JAD*AQ2=-^\=屈，

因为点E为线段CG中点，则9=［匿=1,PG=1BC=1,

2222

C,G=2—=一,BM=—,

222

由勾股定理得：Dfi=^c,2+qG2=J4+1=|,

pp=5G+PG=柠+；=警,MQ/BQ^+BM。

以=回。+尸"=1!=乎，

6式26

_

JQZ^2+z^2P_/)2I61

在，尸。2中，由余弦定理得：cos/PQ2=open：=44

2PQ.RQ2x艮巫6

2

异面直线AE与BF所成角的余弦值为5.

【典例4-2】(2024•全国•模拟预测)如图，在长方体ABCD-ABC。中，AB=3,BC=CG=2,点尸在

矩形内运动（包括边界），M,N分别为BC,CG的中点，若4尸〃平面M4N,当A,取得最小值

时，异面直线与。。所成角的余弦值为（）

【答案】D

【解析】如图，取B片的中点瓦玛G的中点尸，连接所，AtE,\F,所以所//BQ,

又M,N分别为3C,CG的中点，所以MN//BQ,

数EF//MN,所6平面M4N,所以£F〃平面M4N,

又明〃知氏的二加工所以四边形^人加厂为平行四边形，故4斤〃加0,

片歹（z平面跖w,4歹〃平面KW,

又A尸，防＜=平面4现"=F＞故平面A]EF//平面M4N,

所以当APu平面4£尸时，4尸〃平面眩W,则点尸在线段所上,

当APLE/时，AP取得最小值，易知阳召卜区尸仁历三亚，

则此时尸为线段所的中点.（等腰三角形中三线合一）

由。口〃34可得，所以N与BP为异面直线3尸与。2所成的角，

且由平面几何知识可知,\BE\=l,\EP\=^~,|BP|=—＞

侬2+忸*怪尸『_3加

cosZBjBP=

2|BE|x|BP|_10

所以异面直线BP与。。所成角的余弦值为题,

10

【变式4-1]（2024・高一•河南新乡•期末）在正方体中，E,尸分别为棱BC,4月的中点,

则异面直线斯与0G所成角的余弦值为

【答案】B

6

【解析】如图，在正方体ABCD-AMG。中，取他的中点G,连结FG,GE,可知。G〃44〃GF,则异

面直线EF与。G所成的角为/EFG或其补角.

设正方体ABCD-^C^的棱长为2,则FG=5犷+^产=应，EF=FB；+BB；+BE2=底,

EG=y/AG2+AB2+BE2=A,cosNEFG=空=g.

【变式4-2］（2024・高二・上海•期末）已知异面直线。、b所成角为。，过空间定点尸与。、6成65角的直

线/共有3条，则a的大小是.

【答案】50

【解析】分别将直线。力平移得到〃毛,使得。'万经过点P,如图所示，

设少所成角的角平分线为。，过点尸垂直于。',少所在平面的直线为d,

因为异面直线。、b所成角为a,所以直线。',加所成角为。，

所以，当直线/经过点P且直线/在直线"”所在平面，垂直于直线c时，直线/与直线所成角相等,

为65时，"一成角为180-2x65=50，即e=50;

当直线/在直线c,d平面内时，若直线/绕着点P旋转，此时直线/与直线。',加所成角相等，且所成角从三

2

Of

变化到90,再从90变化到彳，此时满足条件的直线有两条，

2

所以，国二4=65，解得a=50.

2

所以，过空间定点P与〃、b成65角的直线/共有3条时，a=50.

故答案为：50

【过关测试】

1.（2024・高二•上海普陀•期中）在空间四边形A5CD中，AB=CD=6,分别是对角线的中

点，若异面直线4仇CD所成角的大小为60。，则的长为.

【答案】3或36

【解析】取AD中点为E,连接NE,ME,

因为分别是AC,£>8,D4的中点，

所以，ME//CD,NE//AB,^,ME=-CD=?>,NE=-AB=3.

22

又异面直线AB,CD所成角的大小为60°,

所以，/MEN=60。或120。.

当NMEN=60。时，

在，MEN中，由余弦定理可得，

MN2=ME2+NE2-2xMExNEcos60°=i2+32-2x3x3x-=9,

2

所以，MN=3；

当NMEN=120。时，

在，MEN中，由余弦定理可得，

W2=ME2+A®2-2xAffixA®cos120°=32+32+2x3x3x-=27,

2

所以，MN=3^3.

综上所述，MN=3或MN=3/.

故答案为：3或3后.

2.（2024.高三.江西.阶段练习）达・芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时

起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方胸，在正六边

形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）,把三片这样的达・芬奇方砖形成图2的组合，这个组合再

转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1,则异面直线CQ与尸尸所成角的余弦值

为______

图I图2

【答案】|

【解析】设CQCAQ=O,则。是A"的中点，连接

由于打7/CD,所以NDCO是异面直线CQ与尸尸所成角（或其补角）,

在三角形ocr＞中,

根据正方体的性质可知CD平面ADDJA,ODu平面ADDJA,

所以CZJLOD,所以oc=

所以在直角三角形OCD中,

2

3.（2024•高一・辽宁・期末）如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，AB=2,AD=AF=1,且二面角

C-AB-F^J6Q,则异面直线AC与所成角的余弦值为

【答案】自7/0.7

【解析】连接CE,AE,AEBF=O,取CE中点连接，

.四边形ABCRABE尸为矩形，.：AB13C,ABVBE,

平面ABCC平面ABF=AB,3Cu平面ABC,3Eu平面AflF,

;.NCBE即为二面角C-AB-尸的平面角，.•.NCB£=60,

又BC=AD,BE=AF,：.BC=BE=1,:.Z\BCE为等边三角形，：.BM=巫;

2

分别为AE,CE中点，OM//AC,OM=-AC,

2

ZMOB或其补角即为异面直线AC与BF所成角,

AC=BF=J12+2Z=5/5，MO=OB=-^―，

—5I--5----3

312+052—3^2444=7

cosZMOB=

20MoB5-10

2

7

即异面直线AC与砥所成角的余弦值为二.

7

故答案为：—.

4.（2024・高一・河南郑州•阶段练习）如图，A3是半圆柱底面的直径，B4是半圆柱的高，。是AB上一点，

&PA=AC=BCf。为尸B的中点，则异面直线与3。所成角的余弦值为

C

【答案】B鹏

33

【解析】设PA=AC=BC=1,

如图，取尸C的中点E,连接。E,AE,可得DE//BC,

所以异面直线A。与8C所成的角为-4DE（或其补角）.

又因为R4,平面ABC,3Cu平面ABC,则PA_L3C,

且AC13C,PAAC=A,尸44（7（=平面必。，

所以BC/平面PAC.

且AEu平面B4C,则3C_LAE,所以DE_LAE.

因为。"=生=』,4。="=^^^=立，

22222

所以在RtZXAED中，cosZADE=—=^.

AD3

故答案为：也.

3

P

5.（2024.高一•陕西西安.阶段练习）在四棱锥P-ABCD中，所有侧棱长都为40,底面是边长为2面的

正方形，。是尸在平面4BC。内的射影，M是PC的中点，则异面直线。尸与所成角为

【答案】60

【解析】由题意可知底面ABC