广东省广州某中学2023-2024年高三数学大湾冲刺卷一（新高考1）试卷+全解全析

广东广州执信中学2023-2024高三数学

大湾区冲刺卷一全解全析

数学（新高考I卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（本题5分）定义全集R,A={x|x\l},8={y|y=e，,xeA},则q（AuB）=（）

A.（-co,l）B.（-s,e）C.（0,1）D.（0,e）

【答案】A

【分析】根据指数函数性质求集合8,进而结合集合间的运算求解.

【详解】因为y=e'在定义域内单调递增，且4={尤1%21},

可得y=e—e,即8={y|yNe},

则AU8=[l,+s）,所以

故选：A.

2.（本题5分）若虚数z是关于x的方程x2-2x+〃z=0（机eR）的一个根，且口=血，则加=（）

A.6B.4C.2D.1

【答案】C

试卷第1页，共22页

【分析】设复数z=a+6i,将其代入方程求得。=1,1n=1+廿,然后利用复数忖=/即可求解.

【详解】依题意，设2=。+历(a,beR且bwO),

代入方程x?-2尤+/"=0，得(。+历)2-2(。+历)+根=。,

整理得/一〃-2a+m+(2ab-2b)i=0.

a2-b2-2a+m=0m=l+b2

所以,解得

2ab-2b=0ci—\

因为目="万=e,即〃+/=2,所以〃=i,%=2.

故选：C.

3.(本题5分)已知向量2=(2,-3),后=(1,2),Z=(9,4),若正实数〃z,〃满足2+恁，则'+：的值

为()

A.—B.-C.-D.-

10777

【答案】A

【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得利"，从而得解..

【详解】因为2=(2,-3),加=(1,2),2=(9,4),

所以c=ma+nb=(2m+n,—3m+2nj=(9,4),

2m+n=9m=2

所以，解得

-3m+2〃=4n=5

UL711117

所以一+-=7+匚=丁.

mn2510

故选：A.

4.(本题5分)已知函数/(x)=sin尤+6cos尤+1在x«0,2可上有两个零点a,户(a<?)，则sin(a-夕)=()

【答案】B

【分析】先利用辅助角公式化一，再令/(月=。求出a，A，进而可得出答案.

兀

【详解】因为/(x)=sinx+6cosx+l=2sinX+-+1在尤e[0,2可上有两个零点,

所以171兀7K

sin]x+?J=—.XH-----G

23i'T

试卷第2页，共22页

所以X+9?或半，所以x=¥或当，

36662

-r-tQ।r57rc3兀I»02兀

又a</3,故。=^,^=—故。一夕=一-—,

623

故sin（a一夕）=

故选：B.

5.（本题5分）《周碑算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气署长损益相同（辱是按照日影测定时刻

的仪器，号长即为所测量影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大

雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为

16.5尺，这卜二节气的所有日影子长之和为84尺，则大雪的日影子长为（）

A.1尺B.1.5尺C.11.5尺D.12.5尺

【答案】D

【分析】设夏至的日影长为4,公差为d,根据题意，列出方程组，求得％=1.59=1,结合等差数列的通

项公式，即可求解.

【详解】夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二节气，

其日影之长依次成等差数列，

设夏至的日影长为％,公差为d,

经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺,

这十二节气的所有日影子长之和为84尺,

4+q+4d+。［+8d=16.5

所以

L12x11J0,解得4=L5,d=1,

S=12c21H---------d=84

、122

所以大雪的日影子长为%=L5+llxl=12.5（尺）.

故选：D.

6.（本题5分）我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.

若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增

长9%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：

lgl.09x0.037,lg2x0.3010,lg3®0.4771

A.2024年B.2023年C.2026年D.2025年

【答案】C

【分析】根据指数函数模型列不等式求解.

试卷第3页，共22页

【详解】依题意，第w(〃eN*)时投入资金为120x(1+9%)"亿元，

设2020年后第N*)年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，

则120x(1+9%)”>200,得1.09">|,

两边同取常用对数，得Q^1£2酒3J_0,3；%04771—9973,所以〃26,

lgl.09lgl.090.037

所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.

故选：C.

7.(本题5分)设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率为

1一1-(/QPQ,+…+/或72+/QP0)其中=1,2,3,…,k,kN3),为多面体M的所有与点

271

户相邻的顶点，且平面。2尸。3，…，QklPQk-QP。遍历多面体M的所有以尸为公共点的面，如

图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体(每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体),

若它们在各顶点处的离散曲率分别是“，4C,d,则a,6,c,d的大小关系是()

正四面体正八面体正十二面体正二十面体

A.a>b>c>dB.a>b>d>c

C.b>a>d>cD.c>d>b>a

【答案】B

【分析】根据所给定义，结合图形，分别计算出mb,c,d的值即可

【详解】对于正四面体，其离散曲率佰义31=1；

对于正八面体，其离散曲率6=1-：佟'"二；

对于正十二面体，其离散曲率c=l仅兀义31=上；

2兀15)10

对于正二十面体，其离散曲率"=1但义51=3

2兀13)6

因为彳>彳>Z>7^,所以

23610

故选：B.

试卷第4页，共22页

13

8.(本题5分)设〃=sin0.2,b=0.16,c=/lnw，贝U()

A.a>c>bB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【分析】构造〃x)=sinx-(x-x2),xe[0,0.2],二次求导，得到单调性，得到sin0.2-0.16>0,再变形得到

故构造Mx)=：[ln(l+x)-ln(17)]-sinx,xq0,0.2],求导得到其单调性，比较出c>〃，得

到答案.

【详解】设/(%)=sinx-(x-尤2),尤e[0,0.2],/'(x)=cosx-1+2尤，

设g(x)=7'(x),g，(x)=-siiu+2>0,所以g(x"g(O)=O,

所以函数在［0。2］上单调递增,

所以〃0.2)=sin0.2-(0.2-0.22)=sin0.2-0.16>/(0)=0,即a>尻

,1l―.,,曰1-31-1.211+0.2

根nr据已知得,

2220.821-0.2

可设Mx)=g[ln(l+x)-ln(17)]-sinx,x<0,0.2],

则〃（尤）总1+x1一1尤

L+-COSX=--COSX>0,

1-X2

所以函数/?（x）在［0,0.2］上单调递增,

所以〃（0.2）>/2（0）=0,即c>a.

综上，c>a>b.

故选：D.

【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出

函数的单调性，从而比较出代数式的大小.

二、多选题（共20分）

9.（本题5分）2022年7月下旬，某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐赠5000万

元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐，如图为该品牌服饰某分店1〜8月的销量（单位：件）

情况.以下描述正确的是（）

试卷第5页，共22页

销量/件

6000

4844

5000

4000

3000

2000

1000

0

12345678月份

A.这8个月销量的极差为4132

B.这8个月销量的中位数为2499

C.这8个月中2月份的销量最低

D.这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份

【答案】ACD

【分析】根据题图结合极差，中位数的计算来判断各选项即可.

【详解】对于A,这8个月销量的极差为4844-712=4132,故A正确;

对于B,这8个月的销量从小到大依次为712,1433,1533,1952,2822,3046,4532,4844,

1Q59J.OR??

所以这8个月销量的中位数是°=2387,故B不正确；

对于C,由题图可知，这8个月中2月份的销量最低，故C正确；

对于D,由题图可知，这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份，

增加了4532-2822=1710,故D正确.

故选：ACD.

10.(本题5分)己知直线/的方程为"7+1=0,aeR,则下列说法正确的是()

A./与直线x+ay+l=。有唯一的交点

B./与椭圆三+y2=i一定有两个交点

2-

C./与圆(x-l)2+y2=4一定有两个交点

D.满足与双曲线看-丁=1有且只有一个公共点的直线/有2条

2

【答案】AC

【分析】判断出直线过定点MOM),然后根据定点与其他曲线的位置关系判定正误.

【详解】直线/过定点MOM),

对于A,ax—y+1=0,〃£R法向量为々-1),%+@+1=。法向量为%，

试卷第6页，共22页

因为屋后=。-°=0,所以两条直线垂直，有唯一交点，故A正确；

对于B,M为椭圆的上顶点，则直线/与椭圆相交或相切，有一个或两个交点，故B错误；

对于C,因为(O-iy+F=2<4,所以M在圆内，/与圆一定有两个交点，故C正确；

对于D,如图，满足题意的直线/有4条，两条与双曲线相切，两条与渐近线平行，故D错误.

故选：AC.

11.(本题5分)在边长为1的正方体中，动点M满足

AM=xAB+yAD+(l-x-y)-AAl(x>O,y>O,x+y<l).下歹l］说法正确的是()

A.四面体AffipDC的体积为!

0

B.若40=或，则M的轨迹长度为逆E

33

C.异面直线3M与4G所成角的余弦值的最大值为亚

3

D.有且仅有三个点，使得AM，AM

【答案】AC

【分析】对于A,由题意可得点M的轨迹在□A3。内，利用等体积法转换即可；对于B,点M的轨迹是以

P为圆心，Y1为半径的圆弧，利用解三角形知识求出圆心角弧度即可；对于C,由题意为异面直线

3

与，。所成的角，故只需求出其正弦值的最小值即可；对于D,由题意点M在以Af为直径的圆上，

由此即可判断.

【详解】如图所示，

试卷第7页，共22页

连接4民,由AM=xAB+yAD+(1-x-y)-(x>0,y>O,x+y<l),

可得点M的轨迹在口48。内(包括边界).

因为平面48。4平面C4R,

所以％一即，C=匕厂8向C1Pngx'Xlxlx」)，故A正确.

易知AG，平面A3。，设AG与平面48。相交于点P.

V

由于匕.4BD=B-AtDlBi=%—A*,=q，

1

-J7

则点A到平面4孔》的距离为”=—青-----=—.

L丹x(扬23

34

若AM=y,贝ljMP=变，即点M的轨迹是以P为圆心，也为半径的圆,

333

如图所示，

在口4“中，4尸=坐，PE=^,ZEAiP=~,设AE=x>0,

336

由余弦定理得八.x母母心解得,昌吗

JT

则Z\PE=ZEAP=-,

X6

所以M的轨迹长度为二x6x«l=正1,故B错误.

633

因为2GoAB,所以/ABM为异面直线BM与2c所成的角,

试卷第8页，共22页

则sin/ABM2”=且，所以cos/ABMw",故C正确.

AB33

由三垂线定理可知，又API平面48。，要使得

则点M在以4尸为直径的圆上，所以存在无数个点，使得故D错误.

故选：AC.

【点睛】关键点睛：本题的解题关键是利用空间向量推得M的所在位置，从而得解.

12.（本题5分）已知〃0）=sin40+sin3d,且用，02,4是在（°，兀）内的三个不同零点，则（）

1T12

A.ye{6>p^2,6>3}B.4+劣+4=兀

C.cosacos&cos0.=—D.cosft+cosft+cosft=--

12381232

【答案】BCD

【分析】根据题意结合正弦函数的图像性质，解出4,。2,4,即可判断选项A、B,将cos'cosacosa根

rr9IT47rIT

据诱导公式化为-cos^cos与cos:，分子分母同乘sin2，结合倍角公式即可判断C,将cosa+cos%+cos^3

分子分母同乘sinTT1,结合积化和差公式进行化简即可判断D.

【详解】由题知仇，2，4是sin46+sin36=0的三个根,

sin40+sin36=0可化为sin46=—sin30,即sin46=sin（3。+兀），

所以可得46=36+兀+2左兀或46+36+兀=兀+2左兀,ZeZ,

解得0=TI+2kli或8=---，%eZ,

7

因为同0,兀），所以8—或年或与,

故可取&=冷，％=，，a=与，

所以选项A错误；

127r

因为，+%+。3=力一，所以选项B正确；

八八八2兀4兀6兀2兀4兀

COSc/.COSc/oCOSC/o=coscoscos=cos—cos—cos

12377777

八.兀兀2兀4兀

2sin—cos—cos——cos——

7i2K4兀

=-coscoscos7777

777

2sin7

试卷第9页，共22页

c.2兀2兀4兀_.4K4兀

2sin——cos-cos——2sin—cos——

777二77

..7C0.兀

4sin—8sin一

77

sin^sinJ+兀-sin—1

=7-D)=7=1

8sin—8sin—8sin—8

777

故选项C正确；

而cos0x+COS2+cos03=cos—+cos—+cos—

.712K4兀6兀

sin—+cos-----1-cos

777

.兀

sin—

7

(.712兀,714兀.716兀1

sin—cos----Fsin—cos-----1-sin—cos——

_(777777J

二，

.兀

sin—

7

根据积化和差公式：sinacos^=；[sin(a+4)+sin(a—夕)],

所以原式可化为:

1

2

.71

sin—

7

1.5兀1.

+—sin----F—sin

272

.兀

sm—

7

1.3兀1.7i1.5兀1.3兀1.7兀1.5兀

—sin--------sin—+—sin———sin+—sin——sin—

272727272727

.71

sin—

7

1.兀

——sin—]

=―—-=故选项D正确.

.712

sin—

7

故选：BCD.

【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有:

(1)利用诱导公式将角化为关系比较接近的；

(2)遇见cosacos2acos3acos4a的形式，分子分母同乘sina,再用倍角公式化简；

试卷第10页，共22页

(3)积化和差公式：sinacos/3=；[sin(a+4)+sin(a-0],cosasin(3=；[sin(a+夕)一sin(”夕）］，

sinasin〃=；[cos(a+P)-cos(a一4)],cosacos尸=^[cos(<z+y0)+cos(cif-y0)].

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

三、填空题（共20分）

13.（本题5分）2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行.在“一带一路”欢迎

晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化.这次

晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”.假设

在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为.

【答案】1/0.25

【分析】根据元素相邻关系进行捆绑并结合排列问题得出结果.

【详解】服务员随机上这八道菜有A：种排法，

“沙葱牛肉”，“北京烤鸭”相邻有A；种排法，

A2.A71

所以所求概率尸

A；4

故答案为：—.

4

14.（本题5分）我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题.如果

a“+「a”=6”（〃eN*）,且数列也,｝为等差数列，那么数列｛1,｝为二阶等差数列.现有二阶等差数列的前4

项依次为1,3,6,10,则该数列的第10项为.

【答案】55

【分析】根据二阶等差的定义可得2=〃+1,进而利用累加法即可求解.

［详解］由题意可得%=1,出=3,%=6,%=1°,%-/=4=2,a3-a2=b2=3,

故｛2｝为等差数列，且公差为仇-4=1,首项为2,所以或=〃+1,

ika„+l-an=bn=n+l,

因此g-q=4=2,

试卷第11页，共22页

a3—a2=b2=3,

〃io—〃9="9=1°，

累力口RT彳导“io—4=2+3+4+5+6+7+8+9+10,

所以=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55,

故答案为：55

22

15.（本题5分）已知过原点的直线与双曲线台方=1（。>01>0）交于M,N两点，点M在第一象限且与

―►4——►

点。关于x轴对称，=直线NE与双曲线的右支交于点P,若则双曲线的离心率为

【答案】空/马亚

33

1

【分析】先设出相关点的坐标，利用-M--E--=74M---。--求得点E坐标，推理证明如“•0'=」h（二阶结论），再利

3a

用kpM-kMN=-1和卜-产kNE=-hMN整体代入即得a,b的齐次式，计算即得离心率.

如图，设则。（%,-%）,可-%,-%）,颐2）,根据该4版可得：

:0,-2丫0）,故（七,一gy。1,

2222

因点均为双曲线上的点，则勺一二=l,g-4=1,

abab

由k.k一"％

hpM%PN一

22

m-xQm+xQm-XQm-片

222222222

(b2m2-ba)-(bx^-ba)_b(m-x0)_b

2222

tz(m-XQ)tz(m-%Q)a21

试卷第12页，共22页

因为PM，MN,所以即“MMN

b-

将②,③两式代入①式得：7

故答案为：巫.

3

【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的方程与几何性质以及关于双曲线的二阶结论。^上取=」/,2是否熟

a~

悉.关键在于能否建立四条直线P加，PN,NE,MN的斜率之间的数量关系，通过代入消去未知量，得出。,6的

齐次式.

3e、,

----px>-l।

16.(本题5分)已知函数/(》)=：+1,,g{x)=x+-+a.若g(7(尤))=0有三个不同的根，贝！的取

11X

—+—,%<-1

lx2

值范围为.

【答案】一

【分析】利用导数研究函数单调性，画出草图，然后数形结合解出结果.

【详解】当x〉-l时，r(x)=-^-,所以/(%)在(-1,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

又/(0)=3,Xf+00时，/(x)f+oo,xf-1时，/(尤)f+8,所以/(x)£[3,+8)；

当xWT时，易知/⑴在(-应-1]上单调递减，所以/(x)e-[[J.

作出函数的大致图象如图所示.

令f=/(x),则数形结合可知方程gQ)=0有两个不同的实数根，分别记为小L，

且ae。⑶，Lw(3,+8),而方程g⑺=0有两个不同的根等价于函数y=f+1与>=的图象有两个

不同的交点，且两个交点的横坐标分别为小巧.

试卷第13页，共22页

数形结合可知％efo,1Le(3,+^).

2令夕⑺=f+解得Q<一■—.

。⑶<-a

故答案为：[—"，一1]

四、解答题（共70分）

17.（本题10分）在DABC中，内角A,B,。的对边分另lj为。，b,c,且2G〃csin8=9+c+〃）（b+c-〃）.

⑴求角A的大小；

（2）若sinC=4sin3,a=5,求043。的面积.

【答案】⑴5

⑵6

【分析】（1）利用乘法公式及余弦定理得到2j*csinB=2A+2bccosA,再由正弦定理将边化角，即可得

到有sinA-cosA=1,最后由辅助角公式计算可得；

（2）由正弦定理可得c=4b,由余弦定理求出b、c,最后由面积公式计算可得.

【详解】（1）因为26acsinB=（b+c+a）（b+c-a）,

所以2y[3acsinB-b2+c2+2bc-a2,

+c2-a1=2Z?ccosA，

所以2cacsinB-2bc+2bccosA,

所以sinB=b+Z?cosA,

由正弦定理可得y/3sinAsin3=sinB+sinBcosA，

又3£（0,兀），所以sinB>0,所以GsinA-cosA=l,即"”（人-，）=5,

又人£（0,兀），所以A—21-1,等],所以=9则A=g.

（2）因为sinC=4sinB,由正弦定理可得。=46,Xa=V13,由/=/十^一？^^A,

所以13=〃+16/—4/,解得人=1或6=一1（舍去），

试卷第14页，共22页

所以c=4,所以8口金。=^-Z?csinA=^-xlx4x=^3.

18.（本题12分）已知数列｛%｝的前〃项和S“满足5.=若虫，且数列｛%｝中的第2项、第5项、第14

项依次组成某等比数列的连续3项（公比不等于1）.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵若2=上过2，且数列｛2｝的前"项和为求（的最大值与最小值.

aa

nn+X

【答案】（1）。〃=2〃-1,nGN*;

（2）最大值；,最小值y.

【分析】（1）分〃=1和〃>2两种情况，利用4,S”关系及等差数列定义，再由等比中项、等差通项公式列

方程求公差，即可得通项公式.

（2）由（1）得功通项公式，裂项相消求（，分〃为奇数和偶数两种情况讨论求最值.

【详解】（1）当〃=1时，q=，=上彳=>%=1；

当心2时，Sa.=S「%/（l+a，，）_（"D（l+%）,

i222

贝”5—2）。〃一（九一1）。〃_1+1=0①,故+1=0②,

由②—①得（〃—D%+i+5-一2（〃一1）。〃=0,即an+l+an_x-2an=0,

所以氏+1-%=%-%-1（〃22,且〃eN*）,数列｛%｝为等差数列，

设其公差为d,则。2=l+d，a5=l+4d,《4=1+134.

又《=494，贝Ml+4d)2=(1+d)(l+13d),解得"=2或d=O(舍去)，

所以4=2九-1,又4=1也符合上式，故数列｛%｝的通项公式为%=2〃-1,„，eN*.

⑵由题得心3-㈠严〃=y+，],

〃anan+l(2〃-1)(2〃+1)4(2〃-12n+lJ

11£]1(-1严

x--------F

2n-l2n+l42n+l

试卷第15页，共22页

当7?为奇数时，+丁二］，当”=1时Z,有最大值。，且看>?；

当"为偶数时，-当〃=2时q有最小值!，且T“<；

412〃+lJ54

综上，（有最大值最小值

19.（本题12分）如图，P为圆锥的顶点，。为圆锥底面的圆心，A8为底面直径，四边形尸OBC是梯形,

目PCUOB,PC=JoB=l,PO=20,。为底面圆周上一点，点M在4。上.

（l）^AM=3MD,求证：PW〃平面CDB；

⑵当/BAD=30。时，求二面角A-尸。-B的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

力4而

33

【分析】（1）取线段08的中点N,连接尸N,证明尸N〃平面CD3,连接MN,证明MN//平面CDB,利

用面面平行的判定定理证明平面PMN//平面CDB,即可证明PM//平面CDB.

（2）建立空间直角坐标系，求出相关点及向量的坐标，分别求出两平面的法向量，求出两向量夹角的余弦

值后利用同角三角函数基本关系求二面角的正弦值.

【详解】（1）取线段的中点N,连接PN.

因为PC//OB,PC=；OB,所以PC//NB且PC=NB,

因此四边形PCBN是平行四边形，所以PN//C8,

又CBu平面C£>3,PN<z平面COB,所以尸N〃平面CDB,

连接MN,因为4V=3NB,AM=3MD,所以MN//BD,

又BDu平面CDB,MNu平面CDB,所以MN//BD平面CDB,

而PNCMN=N,PN,MNu平面PMN,

所以平面PMNII平面CDB,

又PMu平面PMN,所以PM〃平面CDB；

试卷第16页，共22页

（2）由圆锥的对称性不妨取点。为如图所示位置,

以。为坐标原点，所在直线为x轴，0P所在直线为z轴，建立空间直角坐标系,

于是而=卜2,0,2a），丽=（-1,6,-2次）,而=卜2,0,-2&）,

设平面APO的法向量为耳=a，%,zj,

AP-4=0-2演+2A/^Z]=0

则《得＜

PDn,=0+y/3%-=0

取无]=拒，可得％=（血，后』「

设平面PDB的法向量为4=（%,%，Z2）,

PB-n=0-2x1-2A/^Z,=0

则《2

-尤2+^3^2—2V2Z=0

PDn2=02

（[7\

取々=血，可得％="g-1

__n,-n2-1A/33

所以c°s“丽=『=F

3XA/

V3

故二面角4-尸。-2的正弦值为JT-cos%,凡

20.（本题12分）已知甲箱中有4个大小、形状完全相同的小球，上面分别标有大写英文字母A、3和小

试卷第17页，共22页

写英文字母。、b;乙箱中有扭个与甲箱大小、形状完全相同的小球，上面分别标有数字1,2,m(meN+)

(1)现从甲箱中任意抽取2个小球，求恰好一个小球上面标有大写英文字母、另一个小球上面标有小写英文

字母的概率；

(2)现从乙箱中任意抽取1个小球，设"="所抽小球上面标注的数字”，记事件。="|〃-2归1”，事件£

=“140”，若事件。与事件E独立，求机的值；

(3)在(2)的条件下，现将甲、乙两箱的小球都放入丙箱，充分摇匀，然后有放回地抽取3次，每次取1个

小球，求这3个小球中至少有2个小球上面标有英文字母的概率.

【答案】⑴。；

(2)6；

【分析】(1)利用列举法，结合古典概率公式计算即得.

(2)求出事件£＞、E、DE的概率，再利用相互独立事件的概率公式计算即得.

(3)将所求概率的事件分拆成互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式计算即得.

【详解】⑴依题意,样本空间。〉{(A,B),(AM),(A,6),(BM),(B,圾(a,6)},共包含6个样本点,

记事件C="恰好一个小球上面标注大写英文字母、另一个小球上面标注小写英文字母”，

则C={(A,a),(A,b),(B,共包含4个样本点，

42

所以事件C的概率为尸(C)=-=

o3

321

(2)依题意，事件。={1,2,3},事件E={3,4},P(D)=—,P(E)=—,P(DE)=一,

mmm

371

由事件。与事件E独立，得P(D)P(E)=P(DE),即二,解得,”=6,

mmm

所以加的值为6.

42

(3)由(2)知，丙箱中有10个小球，所抽小球上面标注英文字母的事件为尸，则尸(尸)=而=二，

记事件M=“这3个小球中至少有2个标注英文字母"，则M=FF亍+F了F+了FF+FFF，

所以尸M=3x(|)2x|+守土.

21.(本题12分)如图，椭圆E:1+y=1的四个顶点为A,B,C,D,过左焦点耳且斜率为左的直线交椭

圆E于N两点.

试卷第18页，共22页

⑴求四边形ABCD的内切圆的方程；

⑵设R（1,O）,连结MR,NR并延长分别交椭圆E于P,。两点，设PQ的斜率为玄.则是否存在常数2,使

得左=2玄恒成立？若存在，求出2的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1*2+/==

O

2

（2）A=-

【分析】（1）根据对称性，利用等面积法即可求解半径，进而可求圆的方程,

（2）联立直线与椭圆的方程，可得尸，进而根据两点斜率公式化简即可

求解.

【详解】（1）连接4。,0口",4瓦则四边形485为边长为行两="的菱形，

由对称性可知，当圆与直线BC相切时，则与四边形ABC。的各个边相切，且圆心为坐标原点,

设内切圆半径为r,由于|CD|=y/6,\OC\=y/5,\0D\=1,

则由等面积法可得』CD|•r=』OC"。。，故r=叵,

226

（2）设/（4芳）,可尤2，%）,则：+犬=1，5+£=1，

则直线MP的方程为y=（尤T），

玉一1

试卷第19页，共22页

股长（尤-1）

]+5p^]:_io[上]X+5PM

联立，1可得-5=0

X21J1%TJIxi_1J

——+y=1

l5

5才5y；

即1+%2-10x-\----.-.5=0,

（xf（再-1）2（再-1）2

将才=1一?代入上式可得（x/l）2+51-^|x2-io|lx+511-—5（玉一I）?=0,

5

化简得（6-2$）-—（10-2x；）x-6x；+10再=0,

mi-6x2+10x,3%-5

所以占“二k'所以辱=『

同理可得。

诉I、”,=占一3%-3=2%（%-3）-2%（%-3）

所以P。~3x,-53X2-5一（3为-5）（X2-3）-（3X2-5）（X1-3）

玉一3x?—3

由于直线MN方程为y=攵（%+2）,所以％=4（石+2）,%=+2）,

2M%+2）（9—3）-2%（%2+