高一数学重难点专项复习：巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围与最值问题 （三大题型）解析版

重难点07巧妙借助复数的几何意义求与模有关的范围

与最值问题

【题型归纳目录】

题型一：单模长最值问题

题型二：多模长之和差最值问题

题型三：模长的范围问题

【方法技巧与总结】

求复数模的范围与最值问题是热点问题，其解题策略是：

（1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围

内，求模的范围与最值问题来解决；

（2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解

答；

（3）利用三角函数解决.

【典型例题】

题型一：单模长最值问题

【典例1-1】（2024.江西.模拟预测）已知复数z满足|z-i|=|z|,则忖的最小值为C）

13

A.—B.~C.—D.1

424

【答案】B

【解析】设2=彳+W（苍、€11）,

^|z-i|=|z|^>：|x+（y-l）i|=|x+yi|,/.x2+（_y-l）2=x2+/,

整理可得：y=g,；.z=x+；i,

.'.|z|=^2+|>!（当且仅当x=0时取等号），.1z|的最小值为

故选：B.

【典例1-2】（2024.全国.模拟预测）设z是复数且|z-l+2i|=l,则目的最小值为（）

A.1B.73-1C.V5-1D.75

【答案】C

【解析】根据复数模的几何意义可知，|z-l+2i|=l表示复平面内以（1,-2）为圆心，1为半径的圆，而目表

示复数z到原点的距离，

由图可知，|z|mh1M+（-2）2一1=6一1.

故选：C

【变式1-1］（2024•陕西榆林•高二陕西省神木中学校考阶段练习）已知复数2=犬+何（羽》€11"为虚数单

位）满足|z-4i|=2,则目的最小值为（）

A.2B.1C.72D.4

【答案】A

【解析】因为|z—4i|=2,

所以复数z对应的点的轨迹是以（。,4）为圆心，2为半径的圆，

所以ML1n=4-2=2.

故选：A

【变式1-2］（2024.全国•高一专题练习）已知复数z满足：|z|=|z-（2+2i）|,则目的最小值是（）

A.1B.&C.V3D.2

【答案】B

【解析】由复数模的几何意义知满足忸=|z-（2+2i）|的z对应的点Z在以点0（0,0）和A（2,2）为端点的线段的

中垂线/,Q4的中点为3CM）,

|z|的最小值就是原点到直线I的距离即为|。目=屈,

故选：B.

【变式1-3］（2024•上海闵行・上海市七宝中学校考模拟预测）若|z+l-i|=l,则目的最大值与最小值的和

为.

【答案】2夜

【解析】由几何意义可得：复数z表示以为圆心的半径为1的圆，

贝U*[0+n〔九*2万

故答案为：20

【变式1-4](2024.高一课时练习)已知复数z=cose+isin6(0vew27T),求。为何值时,|l-i+z|取得最

大值和最小值，并求出最大值和最小值.

【解析】11-i+z1=1cos0+1+i(sin-1)|

=J(cose+l)2+(sine_1)2

=J2(cos夕一sin夕)+3

二J近cos"：)+3.

V0<6><2^-,

7_____________

.•.当e=W不时，li-i+z|111ax=也0+3=J(3+i)2=应+1；

当。=与时，11-i+zL.=J(工I)「近-2

题型二：多模长之和差最值问题

【典例2-11著名的费马问题是法国数学家皮埃尔・德费马(1601-1665)于1643年提出的平面几何极值问

题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为

费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当，的三个内角均小于120。时，则使得

NAaB=ZBPC=NCR4=120。的点尸即为费马点.根据以上材料，若zeC,贝ij|z-2|+|z+2|+|z+2i|的最小

值为()

A.273-2B.2A/3+2C.73-1D.6+1

【答案】B

【解析】设2=%+/(毛yWR),则|z-2|+|z+2|+|z+2i|表示点Z(x,y)到ABC三顶点A(-2,0)、8(2,0)、

C(0,-2)的距离之和.

依题意结合对称性可知的费马点P位于虚轴的负半轴上，且44尸8=120,则/P49=/P3O=30.

此时1PAi+|P@+|PC|=x2+(2-2tan30)=2退+2.

故选：B.

【典例2-2](2024.高一课时练习)已知复数z满足|z|=3,贝UIz+41+1?-4|的取值范围是.

【答案】[8,10]

【解析】复数z满足|z|=3,表示以原点为圆心，以3为半径的圆，

则|z+4|+|z-4|的表示圆上的点到(-4,0)和(4,0)的距离,

由图象可知，

当点在E,G处最小，最小为:4+4=8,

当点在D,尸处最大，最大为2行百=10，

则|2+4|+|2-4|的取值范围是[8,10],

故答案为：[8,10]

【变式2-1](2024.全国.高三专题练习)若复数z满足目=2,则|z+3|+|z-3|的取值范围是.

【答案】[6,2拒]

【解析】由于复数z满足忖=2,故复数z对应的点在圆心为原点，半径为2的圆上，设圆上任意一点的坐

标为(2cose2sin6),ee[0,27t)[z+3|+|z-3|表示圆上的点到(3,0)和(-3,0)两点距离之和,即

^(2cos6»-3)2+(2sin6>)2+J(2cos6»+3『+(2sin行=J13-12cos6+J13+12cos6①，①式平方得

26+27169-144cos2>由于cos?6>e[0,l],169-144cos2Qe[25,169],所以

V169-144COS26»e[5,13],所以26+2,169-144cos26e[36,52],所以

J13-12cosd+J13+12cos，F16,2^/13J.

故答案为：[6,2岳].

【变式2-2](2024.辽宁沈阳.高一东北育才学校校考)已知复数2=。+历(02eR)满足|z+l|=|z+l—8i],求

|z+l+i|+|z-5-i|的最小值_____.

【答案】10

【解析】复数z=a+bi(a,beR),由|z+l|=|z+l-8i|,即|(a+l)+回=|(a+l)+(6—8川,

于是得Jm+iy+b?=J(a+1)?+(6—8)2,整理得6=4,oeR,即z=a+4i,

|z+1+i|+|z—5—i|=|(£?+1)+5i|+|(G—5)+3i|=J(a+1)?+5~+J(a—5)~+(—3)2表示点尸(a,0)与点A(—1，-5)、

8(5,3)距离的和，

显然点尸在x轴上，而线段与无轴相交，因此，|z+l+i|+|z-5-i|HB4|+|PSHAB|=10,

当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时取“=”，

所以|z+l+i|+|z-5-i|的最小值是10.

故答案为：10

题型三：模长的范围问题

【典例3-1】(2024.高三.江苏南通.开学考试)设复数z=l-i,Z2=cos6+isin6,其中。€[0,相，若复数

z=[-Z2为实数，贝,匕+Zzl的范围为.

【答案】手[拒-1,问/卜1+及，石]

【解析】因为Z=l-i,所以)=l+i，

所以z=4•Z2=(l+i)(cos8+isin0)=(cos6—sin，)+i(cos8+sinff),

因为复数z为实数，所以cos6+sine=0,即应sin(e+?)=0,

4

所以6+4=也(左eZ),因为6日0,兀],所以。=包，

44

因为4+Z2=(1+cos0)+i(sin0-1),所以

12

|Zj+z21=yl(l+cos6)+(sin0-1)=13+2cos6-2sio0=J3-20sin(6-；),

因为6e[0,兀],[-；，当，所以$皿6-?)€-^,1],

44442J

所以L+Z2|e[®_l,括]

故答案为：彳；[^2-1,^5].

【典例3・2】(2024・高一•全国・单元测试)(1)4=(2x-l)+i,z2=-l-xi(xeR),若㈤>"1，求犬的取值

范围.

(2)已知复数马=cos。-i,z2=sin+i,求卜.的最大值和最小值.

【解析】(1)由题意得(2%—I)?+1>l+f,gp3x2—4x+1>0>得或%>1,

所以X的取值范围(1,+8).

(2)-z2|=|l+sin^cos^+(cos^-sin^)i|

=^(1+sin0cos^)2+(cos6-sin6)1

=V2+sin2^cos20=^2+-^-sin220,

因为sir?2,£[0,1],所以j2+：sin22。£后]，

故1zjZzI的最大值为i，最小值为0.

【变式3-1](2024.全国.高三专题练习)已知复数z满足|z+l-i|W2,则|z-l|的取值范围是.

【答案】[A/5-2,75+2]

【解析】由|z+l-i|<2,则z在复平面内对应的点Z是以(-1,1)为圆心，2为半径的圆上及圆内，

所以匕-1|表示Z到。,0)的距离，故其范围为[石-2,遥+2].

故答案为：[君-2,如+2].

【变式3-2](2024.全国•高一假期作业)设复数z满足|z+2i|+|z-2i|=4,则|z-1-i|的取值范围是

【答案】口,出可

【解析】设复数z在复平面上的对应点为Z,复数1+i的在复平面上的对应点为尸(U),

由|z+2i|+|z-2i|=4,可知点Z的轨迹为以A(0,2),3(0,-2)为端点的一条线段，又表示点Z到点

(1,1)的距离，观察图象可知当z=i时，取最小值，最小值为1,当z=-2i时，|z-l-i|取最大值，

最大值为M，

所以|z-l-i|取值范围为[1,回].

故答案为：

【变式3-3］(2024•全国•高一期末)已知复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么Iz-3|的取值范围为.

【答案】［3,A/W］

【解析】设z=_x+yi(x,yeR),由Iz+i|+1z-i|=2可得|x+(y+l)i|+|x+(y-l)i|=2

即］尤2+(。+1)2+［-+(。_1)2=2,表示点(x,y)到点(。，-1),(0/)的距离之和为2.

又点(0,-1),(0,1)之间的距离为2,所以|z+i|+|z7|=2表示z对应的点的轨迹是以(0,-1),(0,1)为端点

的线段

|z-3|=J(x-3)2+y2表示z对应的点与(3,0)的距离，

如图在z取(0,0)时有最小值3,z取(0,-1)或(0,1)时有最大值JiG,

故取值范围为［3,如］.

故答案为：

【过关测试】

1.(2024・高三•江苏盐城•阶段练习)已知复数z满足|z-2-制=1,当z的虚部取最小值时，z=()

A.2+3iB.2-3iC.-3+5iD.-3+3i

【答案】A

【解析】设z=x+M(x,yeR),则z—2—4i=(x-2)+(y—4)i,

所以，|z-2-4i|=J（x-2）2+（y-4）2=1,即（x—Z）?+（y-4）2=1,

所以，（y-4）*l,可得-My-441,解得33V5,

当z的虚部取最小值时，即当y=3时，!UlJ（x-2）2+（3-4）2=l,解得X=2,

故z=2+3i,

故选：A.

2.（2024・高一・河北石家庄•期末）复数z满足［=1（i为虚数单位），则|z-4+3i|的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】卜卜

...忖=1,Z对应的点在以原点为圆心1为半径的圆上,

|z-4+3i|=|z-（4-3i）|表示复数z对应点和"3i对应的点间距离,

又上肥旧+㈠1=5,

所以|z-4+3i|的最小值是5-1=4,

故选：B.

3.（2024・高一•河南郑州•期末）已知复数z满足|z+3i|=|z-i|,贝中+1+型的最小值为（）

A.1B.3C.上D.75

【答案】A

【解析】设复数z在复平面内对应的点为Z,

因为复数z满足|z+3i|=|z-i|,

所以由复数的几何意义可知，点Z到点（0,-3）和（0,1）的距离相等，

所以在复平面内点Z的轨迹为，=-1,

又|z+1+2i|表示点Z到点（-1,-2）的距离，

所以问题转化为y=-1上的动点Z到定点（-1,-2）距离的最小值，

当Z为时，到定点的距离最小，最小值为1,

所以|z+l+2i|的最小值为1,

故选：A.

4.（2024・高一•山东荷泽・期末）已知复数4/2/3，z2=1,z3=2i,且|zj=2,在复平面内对应向量为

OZt,OZ2,OZ3,（。为坐标原点），则Z|Z；-Z|Z3的最小值为（）

A.4+2A/5B.4-2上C.472-4D.4-472

【答案】B

【解析】由题意，

z?=l，z3=2i>且㈤=2,

所以得OZ2=(1,0),OZ3=(0,2),

设OZX-2(cosa,sina),

ZtZ2=(1—2cosa,—2sina),

Z1Z3=(—2cosa,2—2sina)，

22

ZjZ2•Z14=-2cos6r(l—2cosa)—2sina(2—2sincr)=4coscr+4sincr—2(2sina+cosa)=4—2/sin(cr+cp)

其中tan^=1,

.・.sin（a+夕）=1时，,Z；・也取最小值为4-275.

故选：B.

5.（2024.高一.河南濮阳.期末）复数z满足=1（i为虚数单位），则|z-3+倒的最小值为（）

A.3B.4C.275D.5

【答案】B

【解析】设z=o+历，力eR,

^^\=\^^\=\b-ar=4b^=l

复数z的对应点Z在以原点。（0,0）为圆心，半径厂=1的圆上运动,

|z-3+4i|表示Z点与复数z°=3-4i的对应点Z0（3,-4）的距离,

22

Q|OZ0|=73+（-4）=5

」z-3+旬"%一厂=5-1=4

故选：B.

6.（多选题）（2024•高一・广东清远•阶段练习）已知复数4=2-2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为

复数Z?满足同-i|=l,则下列结论正确的是（）

A.耳点在复平面上的坐标为（2,2）B.Z]=2+2i

C.|z「Z2|的最大值为JR+1D.I4-Z2I的最小值为石一1

【答案】BC

【解析】％=2-2i,则爪2,-2）,故A错误；

因为4=2-21,所以ZI=2+2i,故B正确；

设Z2=x+yi（尤,yeR）,则|z2T=|x+yi-i|=Jd+ER=],即/+（,_1）2=],所以，复数z2在复平面

内对应的点8在圆炉+（>-1）2司上,其圆心为C（O,1）,半径厂=1,

区-zJ表示的是复数Z]和Z2在复平面内对应的两点之间的距离，即由耳.

而出国的最大值是『（+'=，（2-0）2+（-2-1）2+1=历+1:出回的最小值是山。-厂=炉-1.所以

卜-4的最大值为JB+1,最小值为屈-1,故C正确，D错误.

故选：BC

7.（多选题）（2024.高三・湖南•阶段练习）已知复数Z=2-2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为片,

复数Z2满足|z2-i|=l,则下列结论正确的是（）

A.匕点的坐标为（2,-2）B.]=2+2i

C.区-zJ的最大值为而'+1D.区-马|的最小值为20

【答案】ABC

【解析】对于A选项，因为马=2-方，则勺（2,-2）,A对；

对于B选项，由共辗复数的定义可得]=2+2i,B对；

对于C选项，Z1-i=2-3i,则1d22+（_3『=屈,

1+

Iz2-Z1|=|（z2-i）-（zi-i）|^lz2-i|+|zi-i|=^,

当且仅当N=-等+]誓+l]i时，等号成立，即艮-目的最大值为旧+1,c对；

13I13J

对于D选项，同-zj=弧-i）-（4-i）|>|z1-i|-|z2-i|=V13-l,

等号成立,即区-zj的最小值为JR-1,D错.

故选：ABC.

8.（多选题）（2024•高一•河北张家口•阶段练习）已知z为复数，则下列说法中正确的有（）

A.z+彳为实数

B.若复数z满足z•彳=0,贝Uz=0

C.|z|2=z2

D.若|z+i|=|z-[,则|z+l|的最小值为日

【答案】ABD

【解析】设2=〃+〃（。,/?£氏），则N=Q-历.

对于A,Z+乞=々+历+（々一历）=2々为实数，A正确；

对于B,z-z=（«+Z?i）（6Z-/?i）=6Z2+Z?2=0,于是〃=0=0,z=0,B正确；

对于C,取Z=l+i,则|z|2=|l+i|2=12+12=2,z2=（l+i）2=l+2i+i2=2i,

此时|2『人件《不正确;

对于D,在复平面内|z+i|=|z-l|表示复数z对应的点到（OT）与（1,0）距离相等，

则复数z对应的点Z到（-1,0）的距离最小值为*,D正确.

故选：ABD.

9.（多选题）（2024.高一.广东湛江•阶段练习）设复数z=x+yi（其中x,yeR）,1是z的共辗复数，则下

列结论正确的是（）

A.若忖=1,贝z?=1B.若忖=1,贝ljz.2=1

C.z+W必为实数D.若|z-2i|=l,则目的最大值为3

【答案】BCD

【解析】对于A,z=x+yi,贝lj目=Jx?+丁=]eR,而z?=（x+阳?=x?-y2+2以eC,故A错误，

对于B,|z|=yjx2+y2=1eR,z-z=（x+yi）（x-yi）=x2+y2=1,故B正确,

对于C,z+z=%+yi+x-yi=2%eR,故C正确，

对于D,|z-2i|=l可以看作复数z对应的点G（x,y）至U（0,2）的距离为1,故复数z对应在复平面内的轨迹为

以点（0,2）为圆心，以1为半径的圆，故当点G（x,y）运动到与y轴的交点，且向上的位置时，此时

IW=|oq最大,为3.故D正确,

故选:BCD

10.（2024・高一•全国・专题练习）设z是复数且|z-l+2i|=l,则忖的最小值为.

【答案】A/5-1/-1+V5

【解析】根据复数模的几何意义可知，|z-l+2i|=l表示复平面内以。，-2）为圆心，1为半径的圆，而目表

示复数z到原点的距离，

由图可知，LL=jF+（一2『一1=君一1.

故答案为：书-1.

11.（2024.高一.河南郑州.期末）已知复数4和z?满足匕+4|=区—4|,且卜+5—3i|=1,则>—2]的最小值

是.

【答案】4

【解析】设Z[=a+bi,a,beR,由用+4]=?—4|可得++由=-4）。+/=>°=0,

即为=历，

又上+5-到=1,则Z?在以（-5,3）为圆心，1为半径的圆上，

如图所示，当Z?=-4+3i，z=3i时，此时区一21的最小值为4.

故答案为：4

12.（2024.高一.江西景德镇.期末）已知复数z满足上+1卜忆-1|=2,则|z-i|的最小值为.

【答案】A/2

【解析】设27+同，

因为卜+1|-归一1|=2,所以J(x+iy+y2一41)2+9=2,

即点a,y)到点(-i,o)和(i,o)的距离之差等于2,

所以方程7(x+l)2+/-7(x-l)2+/=2表示射线y=0(x21),

|z-i|=J/+(y_])2表示点(x,y)到(0,1)的距离.

由图可知，|z-i|的最小值为|AB|=夜.

13.(2024.高一.云南曲靖.期末)设〃是实数，复数z=l+2i,z2=(a+i)(l-2i)(i是虚数单位).

(1)若Z2在复平面内对应的点在第二象限，求。的取值范围；

⑵求,+zJ的最小值.

【解析】(1)由己知可得，z2=(a+i)(l-2i)=a+2+(l-2a)i.

[a+2<0

因为Z2在复平面内对应的点在第二象限，所以有1)，

一[1一2〃>0n

解得a<—2.

(2)由已知可得，4=1-2i,

所以Z]+z2=1—2i+a+2+(l—2a)i=a+3—(l+2a)i,

2

所以，卜1+z2卜J(a+3)2+(l+2a)2=+10«+10=^5(a+l)+5>\/5,

所以，当。=-1时，卜i+z?1有最小值为人.

14.(2024・高二・浙江.开学考试)设。是实数，复数4=1+2/,z2(i是虚数单位).

(1”2在复平面内对应的点在第一象限，求。的取值范围；

(2)求,i+Zz|的最小值.

/\/\/、]a+l〉0

【解析】⑴z2=(«+i)(l-i)=«+l+(l-a)i,则I”〉。,解得一1＜。＜1;

222

(2)4=1+2，，则4=l—2i,.Z[+Z2=a+2-(a+l)i,/.|^+z2|=^(tz+2)+(d!+l)=^2a+6a+5,当

a=-m时，肉+zj的最小值为变.

22

15.(2024・高一•全国・单元测试)已知复数z满足|z+2-2i|=2,且复数z在复平面内的对应点为M.

(1)确定点M的集合构成图形的形状；

⑵求Iz-1+2i|的最大值和最小值.

【解析】(1)设复数-2+2i在复平面内的对应点为尸(-2,2),

贝lj|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=|MP\=2,

故点M的集合是以点尸为圆心，2为半径的圆，如下图所示.

(2)设复数1-2i在复平面内