高一数学重难点专项复习：轻松解决空间几何体的体积问题（四大题型）（解析版）

重难点10轻松解决空间几何体的体积问题

【题型归纳目录】

题型一：直接法

题型二：割补法

题型三：换底法

题型四：祖迪原理

【典型例题】

题型一：直接法

【典例1-1】(2024・高三•四川・期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面BID，平面

ABCD,△口是边长为2的正三角形，延长DP至点E,使得尸为线段DE的中点.

(1)证明：3E7/平面PAC.

(2)若ACLPB,求四棱锥E—ABCD的体积.

【解析】(1)连接80,交AC于点。，连接尸O,

因为底面ABCD为矩形，所以。为线段班)的中点.

又尸为线段。E的中点，所以PO//BE,

因为尸Ou平面PAC,平面PAC,所以3E//平面PAC.

因为AHW是边长为2的正三角形，所以PM_LA£>.

又平面R4D_L平面ABCD,且平面E4Dc平面?1BCD=AD,且尸A/u平面PAD,

所以尸ML平面ABCD,则尸MLAC.

又AC_LP3,PM[}PB=P,所以AC_L平面PMB,

则ACA.MB.

因为四边形ABCD为矩形，所以NACB=NAaW,

则tanZACB=tanZABM,

AR1_

即然=士，解得=

因为尸为线段OE的中点，所以E到AO的距离等于P到AD的距离的2倍，

所以四棱锥E-ABCD的体积V6TBe0=；x（2xsin60o）x2x（2xC）=21.

【典例1-2】（2024.高三•内蒙古锡林郭勒盟•期末）如图，在四棱锥S-ABCD中，&4,平面ABCD,

AB//CD,NCZM=60。，AB=2AD=2CD=?,,尸为棱&4上的一点，且AP=2PS=4.

（1）证明：SC〃平面。尸3；

⑵求四棱锥s-ABCD的体积.

【解析】（1）连接AC交。2于点。，连接。尸.

在底面A3CD中，因为AB〃OAB=2CD,

AnAR

由AABOSACD。，可得而=而=2,

Ap

因为AP=2PS,即一=2,

PS

AQAp

所以在△CAS中，——=——=2,故OP//CS,

OCPS

因为OPu平面。尸8,SC<Z平面£>尸3,

所以SC〃平面。尸3；

（2）取C。的中点连接AN,由NCQ4=60。，AD=CD,

得△ADC为等边三角形，所以A"_LCD.

在等边三角形△ADC中，AD^CD^AC^A,

所以AH=26.

因为％—3.皿*544>(8+<)”">必=3111^>6=24如.

【变式1-1］（2024・高二・陕西咸阳•阶段练习）如图,在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是正方形，且PB=PD.

⑴若PA，平面ABCD,AB=2PA=2,求三棱锥P-BCD的体积;

（2）求证：BDLPC.

【解析】（1）

S3=)X2X2=2,PA=1,

:Vp-BCD=§X2X1=§;

(2)如图，连接AC,交80于点0,连接PO,

•四边形ABCD为正方形，.•.3DJ_AC,

又=为的中点，.〔BZUPO,

-POr>AC=O,且尸O、ACu平面PAC,

，BD_L平面PAC,

又尸Cu平面以C,r.BD，PC.

题型二：割补法

【典例2-1】（2024•全国•高三专题练习）在多面体4S2CG乌中，四边形BCC由为矩形，O,M分别为

AC,BC的中点，AS//BB\,AS=gg瓦，CCX=8,4月=用£=4,=90°.

r.

(i)求多面体ASBCGBI的体积；

⑵求三棱锥M-OA耳的体积.

【解析】(1)将多面体ASBCG4补形得到直三棱柱A8C-A片G，如图①,

11132

因为旦，即S为4A的中点，所以匕_ABC=§X/X4x4x4=甘，

图①图②

(2)如图②，将多面体ASBCG用补形为长方体ABC。-A4G2,连接耳。，则4。门4夕=。，

易知SQX=SgB,=；SDCB1A=4逐，又点。到平面MDC的距离为h=4,

所以%-a4f4=%-8c=%-MOC=]SAM£>C*力=§*5*4><2X4=可.

【典例2-2】(2024•广东东莞•高一校考阶段练习)如图，在棱长为2的正方体ABC。-4月60中，截去三

棱锥A-48。，求

(1)截去的三棱锥4-A3。的表面积；

(2)剩余的几何体44GA-0BC的体积.

【解析】(1)由正方体的特点可知三棱锥A中，AA?。是边长为2a的等边三角形，AAA。、

△AAB、△ABD都是直角边为2的等腰直角三角形，

所以截去的三棱锥A-A3。的表面积

，

S=SARn+SAAn+S..„+S,BO=^x(2>/2V+3xlx2x2=6+2^

AABD△AAL)A&A/yI^ADL)4\'/2、

(2)正方体的体积为23=8,

1114

三棱锥4一48。的体积为§*5/皿*胡=1*6*2*2*2=1，

420

所以剩余的几何体A4G。-DBC的体积为8-§=y.

【变式2-1](2024•辽宁沈阳•高二学业考试)过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去

一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为()

A.4B.6C.—D.—

33

【答案】C

【解析】截去的三棱锥的底面是直角边为2的等腰直角三角形，高为2,

114

三棱锥的体积为^=jx^x2x2x2=-,

正方体的体积为％=8,

则该正方体剩余几何体的体积为

fi=8一户

故选：C

题型三：换底法

【典例3-1】(2024•高一・湖南张家界•期中)如图，在四棱锥尸-ABCD中，ZABC=ZACD=90°,

ZBAC=ZCAD=6O°,R4_L平面ABC。，PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.

(1)求证：平面C^W〃平面上4B；

(2)求三棱锥C-PAB的体积.

【解析】(1)证明：N分别为尸£),AD的中点，；."///%,

又肱VU平面24<=平面八记，，加乂〃平面丛5.

在RtZiACD中，ZC4D=60°,CN=AN,：.ZACN=60°.

又ZB4C=60。，/.CN//AB.

：CTVcz平面BIB,ABu平面BIB,C7V〃平面RW.

又CNcMN=N,...平面C^W〃平面PLB.

(2)VAB=1,ZABC=90°,Zfl4C=60°,:.BC=6,

三棱锥C-PAB的体积匕PAB=VPASC=-x-xlxV3x2=—.

【典例3-2】(2024・高三・四川成都・期末)如图，四棱锥P-ABCD中，AD//BC,BCLCD,

BC=2CD=2AD=2叵,平面ABCD4平面PAC.

(1)证明：PC1AB；

(2)若PA=PC=@AC,M是R4的中点，求三棱锥C-PBM的体积.

2

【解析】(1)在四棱锥P-ABCD中，AD//BC,BC1CD,BC=2CD=2AD=2近,

四边形ABCD是直角梯形，ZADC=90。，AC=>JCD2+AD2=2-AB=ylCD2+(BC-AD)2=2,

AC2+AB2=8=BC2，即ABIAC,而平面ABC。，平面PAC,

平面ABCDc平面PAC=AC,ABu平面ABCD,则AB2平面PAC,又PCu平面PAC,

所以PCLAB.

(2)取AC的中点E,连接尸E,由尸A=PC=¥AC=J5,得PELAC,PE=y/PA2-AE2=2-

由平面ABCD1平面PAC,平面ABCDc平面R4C=AC,PEu平面PAC,得尸E_L平面ABCD,

由M是上4的中点，得点加到平面ABC。的距离d=gp£=l,XSiASC=|AB-AC=2,

12

显然S.PBM=S“ABM，所以三棱锥C-PBM的体积VC_PBM==-S.C・d=§.

B

【变式3-1］（2024・高三•全国•阶段练习）如图，在五面体ABCDE中，四边形ABCD的对角线交于

点、F,AABC为等边二角形，AB±AD,BC±CD,AE=CE=----,AB—2.

3

⑴证明：AC_L平面BDE；

(2)^ABACE,求五面体的体积.

【解析】(1)

连接ER

在和△CBD中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=BC,BD=BD

所以Rt^ABD^Rt^CBD,

所以NABF=NCBF,

又AB=BC,BF=BF,所以aABF咨VCBF,

则尸为AC的中点，所以3DJLAC.

在ZVICE中，AE=CE=—,又尸为AC的中点，

3

所以AC_L£F,

因为EFu平面BDE,皮)u平面BDE,EFcBD=F,BDLAC,ACYEF,

ACmBDE

(2)取A8的中点连结CM,与8尸交于点G,连结GE.

因为AC_L平面GEi平面3DE,所以AC_LGE,

又AB^CE,CM1AB,CM^CE=C,所以ABI平面CEM,

又Gfi平面CEM,所以AB_LGE,

又45门4。=4所以6£，平面ABCD.

因为A6=2,△ABC为等边三角形，

因为A3_LAD,3C_LCD,所以/BAD=NBCD=90。

而NR4C=N5C4=60。，

ZDAC=ZBAD-ZBAC=ZBCD-ZBCA=ZDCA=30°

24r-

在中，BD=——=-V3,

sin603

在等边AABC中，8月是AC的中线，CM是A3的中线,

所以G是等边AABC的重心,

所以CG=2CM=-AB-sin60°=-x2x—=—

33323

在加△CEG中，EG=yjCE2-CG2=J—--=2,

V33

则四边形ABCD的面积为SmABCD=^ACxBD=?.

故五面体的体积为L侬=?s四边MXGE=^GE=^.

题型四：祖晅原理

【典例4-1】（2024・高一・安徽合肥・期中）我国古代数学家祖晒求几何体的体积时，提出一个原理：塞势即

同，则积不容异.意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若

截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这

两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为上则两个几何体的体积比也为人.已知线段长为4,

直线/过点A且与A8垂直，以8为圆心，以1为半径的圆绕/旋转一周，得到环体/；以A,8分别为上

下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N；过且与/垂直的平面为口，平面M/力，且距离为〃，

若平面a截圆柱体N所得截面面积为S-平面。截环体M所得截面面积为邑，我们可以求出券的比值，

进而求出环体M体积为

【答案】87?

【解析】画出示意图，可得H=241-/-4=8/1-/？，5?=兀碇一兀若，

其中,=（4+&_»），$=（4-Ji—//?）,

,----S,1

故星.兀=2%与，Bp—=—,

环体M体积为2兀嚓=2nx4兀=8兀上

故答案为：8K2

【典例4-2】（2024•高一・河北邢台•阶段练习）祖晒（g加g）（5世纪—6世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳

郡道县（今河北省流水县）人，南北朝时期的伟大科学家.他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体

积计算原理：“事势既同，则积不容异”.这就是“祖晒原理”用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间

的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积

相等”.例如可以用祖瞄原理推导半球的体积公式，如图，半径为R的半球与底面半径和高都为R的圆柱放

置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R,高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个

平行于底面的平面a去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体

2

的体积相等.若球心到平面a的距离为则平面a截半球所得的较小部分的几何体的体积等

【解析】由题意知，

〜柱=兀笈】可=］炉，

以圆锥=g无R2.R=g无尺3,%、圆锥=g兀||氏］］|=点71K

所以%台=4■锥-%、圆锥=鼻兀"一*万氏3=-7t/?3,

Joio1

所以该平面a截半球所得的较小部分的几何体的体积为:

V=%柱一%台=：就旅3=:欣3

JO1O1

Q

故答案为：—.

81

【变式4-1］（2024.江西九江.二模）根据祖晅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于

这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图1所示，一个容器

是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两

个容器的容积相等.若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同.如图2,一个

圆柱形容器的底面半径为4cm,高为10cm,里面注入高为1cm的水，将一个半径为4cm的实心球缓慢放入

【答案】1.48

【解析】设铁球沉到容器底端时，水面的高度为人，

由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，

由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于圆柱的体积，

故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水的体积为腺=兀X42X1=16兀,

相应圆台的体积为gx71x42x4—?rx（4—//Jx（4—7z）=—㈢_~~,

所以］6兀=弛E_（4一〃）兀,解得〃=4-诟=4-2次34-2x1.26=1.48cm,

33

故答案为：1.48

【过关测试】

1.（2024.高二.贵州六盘水•期末）我国南北朝时期的数学家祖唯提出了一个原理：“累势既同，则积不容

异”.也就是说“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两

个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现有某几何体和一个圆锥满足祖眶原理的条件，若

该圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该几何体的体积为.

【答案】WI兀

3

【解析】圆锥的底面周长为：义2万x4=4万，

所以圆锥的地面半径为厂=2,高为h=4#=26，

所以圆锥的体积为丫=4//='万'22*26=还%，

333

故答案为：述兀

3

2.（2024•四川泸州・三模）如图，已知直四棱柱ABC。-4464的底面是边长为2的正方形，E,尸分别

为AA，A2的中点.

(1)求证：直线2片、CF、D4交于一点；

(2)若A4,=4,求多面体BCD.EF的体积.

【解析】(1)连接所、\B,

因为E、尸分别为AA、A3的中点，所以且跖

因为A3CD-A耳GA是直四棱柱，且底面是正方形，

所以BC//AD//AA，S.BC=AD=AtDl,即四边形是平行四边形，

所以A8//〃C且AB=RC,所以瓦7/QC,且E尸力RC,

所以四边形EFCQ为梯形，所以RE与CF交于一点，记为P,

即PeRE,PwC尸，且RE平面ADRA,C5u平面ABCD,

所以Pe平面ABC。，Pe平面ADRA,

又因为平面ASCDc平面AOQA=A。，则Pe直线AD,

所以直线。E、CF、D4交于一点P.

(2)连接，尸，

由题思可得：^BCr\EF=^B-EFD,+%-CDjF=%-BEF+%-BCF=~x-xlx2x2+—X-xlx2x4=2.

Pb

3.(2024.高一.陕西西安•期中)如图甲，在直角三角形ABC中，已知ABLBC,3c=4,AB=8,D,E分别

是AB,AC的中点.将△ADE沿。E折起，使点A到达点A的位置，且平面&DE_L平面。8CE,连接

AtB,AtC,得到如图乙所示的四棱锥A-O8CE,M为线段AQ上一点.

图甲图乙

(1)证明：A。，平面。BCE；

(2)过8,C,M三点的平面与线段4E相交于点N,直线EM与8C所成角的大小为45。，求三棱锥

A-BCN的体积.

【解析】(1)因为分别是AB,AC的中点，贝UZ)E〃BC,

且AD13C,则AD_!_£>£■,即AO1OE,

又因为平面平面。BCE,平面ADEC平面=AQu平面人。石，

所以平面BDEC.

因为BC〃。区则直线与BC所成角为4ffiD=45。,

且AD1DE,可知DE=DM=2,则M为4。的中点，

因为BC〃OE,BCZ平面AOE，DEu平面4。石，所以BC〃平面

又因为过8,C,M三点的平面与线段AE相交于点N,

可得平面&WNCc平面=3Cu平面BMNC,所以BC〃AfN,

所以N为AE的中点，

又因为MNU平面ABC,BCu平面ABC,可得MN〃平面ABC,

所以匕-BCN=VN—AJBC-%-ABC-^C-\BM，

由(1)可知：4。，平面瓦汨C,BCu平面BDEC,则

且3D上BC,BDIAD=D,。民AQu平面AB。，

所以5。1平面AB。，

可得三棱锥A-BCN的体积为％7刖=|S®M•BC=gSAA]BD.Be=gX8X4=g,

所以三棱锥A-BCN的体积为费.

4.（2024・高一・陕西渭南•期末）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD1平面,

AF//BE,AB工BE,BE=2,AF=1.

⑴求证：ACmBDE；

（2）求三棱锥A-OCF的体积.

【解析】（1）：AB±BE,平面ABCD1平面AB£F,

又平面ABCDQ平面ABEF=AB,BEu平面ABEF,

：.BE^nABCD.「ACu平面ABC。，AACLBE.

由四边形ABCD是正方形，可知AC430.

,:BDcBE=B,且平面加比，AC_L平面BDE.

（2）由（1）知m_L平面ABCD,又AF/ABE,AF_L平面ABCO.

^A-DCF=^F-DCA=^^ADCA'4尸=耳*/*2*2[*葭].

5.（2024.高一•福建宁德•阶段练习）点E,尸分别是边长为6的正方形45co的边AB,3C的中点，沿图

1中的虚线DE,EF,FD^NADE,ABEF,^CDF,折起使A,B,C三点重合，重合后的点记为点

P,如图2.

（1）顶点尸在平面DE尸内的正投影为点。，点0在平面PEF的正投影为点连接PM并延长交E尸于点

G证明：G是E尸的中点；

（2）作出点M在平面PE犷的上的正投影R（说明做法的理由）并求四面体PQMR的体积

【解析】（1）;PQ-L平面。£尸，斯匚平面力后凡二所,尸。，又加，平面PE尸，EFu平面尸EF,

EFYQM,PQC\QM=Q,二跖_L平面尸QM,尸Gu平面尸QM,

s.EFLPG,又！PE尸是等腰直角三角形，尸ELPF,；.G是E尸的中点；

（2）在平面PEP内过M点作PE的平行线，与PF交于R,即必，尸尸，则R是M点在平面PDF的正投

影，即平面尸。尸，理由如下：

E

由条件知：DP=6,PE=PF=3,PE工PFEF=3五,DG工EF,PG=EG==EF=,

22

OE=VAE2+AD2=375-DG=《DE，-EG。=誓,DG2=DP2+PG2,

即DPLPG,由（1）的分析知：EFI平面DPG,£＞尸u平面。PG,:.DPLEF,

PG,EFu平面PEF,?6。所=6,;.£＞「_1平面「£尸，A^Z?u平面PE/，.^.Aff?_LQP,

又。P,PFu平面PDF,DPC\PF=P,平面PDF,即M点在平面PDF的正投影是R,

连接MF,Q?如上图，

|DP.PG=1DG-PQ,:.PQ=2,QG=1PG-PQ。=与,

在RtAPZX?中，

|PQ-QG=|PGQM,QM=1,:.PM=^PQ2-QM2=^,

在R3PQG中，

2233

4

在RLJWPR中，PR=RM=—，

3

S#MR=gPR，MR=：,VQ-PMR=1S/MR-QM=/；

综上，四面体PQWR的体积为77.

6.（2024・高一.湖南永州•阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，底面ABCZX设平面

PAD与平面PBC的交线为I.

p

/-----乂

⑴证明：△平面PDC；

(2)0为/上的一点，当PD=4)=2时求三棱锥。-ABC的体积；

【解析】(1)由底面是正方形，贝IJAD//BC,ADu面尸AO,面PA。，

所以8c〃面上M>,而BCu面P3C,且平面与平面P2C的交线为/,

所以3C//K

P£)_L底面ABC。，BCu底面ABC，则尸。_LBC,又BCLCD,

PDC\CD=C,PD,CDu面PDC,故BC，面PDC,

所以以平面PDC,得证.

(2)由(1)知：BCHl,3Cu底面ABC。，底面ABC。，则/〃底面ABC。，

。为/上的一点，又P在面PBC、面PAD,平面B4。与平面P2C的交线为/,

所以Pe/,又PO_L底面48C。，则/上任意点。到面48CO的距离为尸£>=2,

114

^AB=BC=AD=2,ABLBC,所以9^BC=~PDX-XABXBC=-.

7.(2024•高一・广东深圳•期中)如图，在三棱柱ABC-AB©中，侧面ACGA为菱形，ZA,AC=60°,

AC=2,侧面C8gC1为正方形.点M为AC的中点，点N为A3的中点，点a为AC的中点，且

AyH1AB.

(1)证明：MN〃平面BCC4；

(2)证明：BC7,平面ACC]A；

(3)求三棱锥的体积.

【解析】(1)连接A£,BG，如图所示:

G

因为ACCM为菱形，点M为AC的中点，所以AC|CAC=M,

又点M为4。的中点，点N为48中点，所以MN//B4,

而BQu平面BCQBi,MNU平面BCC.B,,

所以MN〃平面BCC4.

(2)由于侧面ACC、为菱形，Z4AC=60°,

所以AA41c为等边三角形，AA,=A,C=AC=2,则AHLAC.

又”_LAB,BC(^AC=C,

所以A8，平面ABC,3Cu平面ABC,可得AHL8C；

又CBBCi为正方形，因此BC^CG.

显然CCJ/AA，因此BCLAA

又A4c=4，

所以BC_/_平面ACC[A.

(3)易知△A4]G的面积S=gx2x2xsinl20°=6.

由(2)可知，5C即为三棱锥吕-AAG的高，BC=2,

所以匕，ABC=%AAC=1X6X2=.

rlj—/IDCID-/l|AC|3'3

8.(2024・高三・河南•阶段练习)已知四棱锥P-ABCD,底面ABC。为菱形，平面A8C。,

JT

PD=AD=CD=2,ZBAD=~,E为尸C上一点.

⑴平面ELDc平面P3C=/,证明：BC//1.

TT

(2)当直线BE与平面BCD的夹角为二时，求三棱锥尸-5DE的体积.

6

【解析】(1)因为改平面PARADu平面RW,

所以BC//平面上4£>,BCu平面尸3C,

又因为平面上4£>c平面尸2C=/,所以BC///.

(2)过点E作C。的垂线，垂足为M,则尸D//EM,

因为阳，平面ABCD,所以平面BC。，

TT

所以直线BE与平面BCD的夹角为NE5M=-,

6

jr

又乙PCD=—,设CM=x,04%«2,

4

兀

贝1)囹1=羽助02—x2+4—2,2尤cos—=x~—2x+4,

3

.EM~x7i1

所cc以r——7=^----------=tan~2一=—所以x=l,

BM2X2-2X+463

所以M为CD中点，E为PC中点,

因为PD平面ABCD,所以平面ABC。，所以尸

又因为BM_LC£),PDcCD=D,尸口,CDu平面PCD,

所以BM上平面PCD,所以点B到平面PCD的距离为BM=6,

故LBDF=VB=—X1X~J3=.

r-DUtL15—rUPDc,E3^3

9.(2024高一•北京密云•期末)如图，在四棱柱ABCD-AgCQ中，底面是边长为1的正方形，侧棱

44J平面ABCD,44t=2,/是。，的中点.

D}G

(1)求证：BI)//平面AMC；

(2)证明：AC1BDt.

(3)求三棱锥34c的体积.

【解析】(1)证明：设ACn3D=。，连接OM.

AG

在四棱柱A8C。-44GA中，A3CO是正方形，

所以。为8。中点.

又因为M为。2中点，所以。河〃出九

因为OMu面AMC,BDicz面AMC,

所以〃面AMC.

(2)证明：在四棱柱A8CD-A瓦GR中，0A，面A6CD.

因为ACu面ABCD,所以QR_LAC.

在正方形ABCD中，:.BD±AC.

又因为DD、cBD=D,DDu面BDDVBDu面BDDt,

所以AC,面

因为8Ru面所以AC，50.

(3)在四棱柱ABC。—A4G。中，

因为"0_1面488,所以加。是三棱锥M-ABC的高.

^^V_AC=V^c=|sAABC.MD=lxixlxlxl=i.

10.（2024.高一•黑龙江大庆.期末）在四棱锥尸-ASCD中，平面ABC。，四边形A3C。是/ZMB=60。

的菱形，R4=AB=2,点/是PC的中点.

P

⑴证明：B4//平面皿%；

（2）求三棱锥P-ADM的体积.

【解析】（1）设ACn3D=0,连接加，可知：。为AC的中点,

因为点又是PC的中点，则。〃〃以，

且OMu平面MDB,PAcz平面

所以上4〃平面

（2）因为点M是PC的中点，且PCc平面=

则点A、C到平面的距离相等，所以吃一加=匕—，

又因为PAL平面ABCD,则三棱锥M-BCD的高为：尸4=1,

可得匕3=%dco=；xlxgx2x2x#=等,

所以三棱锥尸-的体积为更.

3

11.（2024・高一•河南许昌•阶段练习）如图，正方体ABCD-AB'C'。'的棱长为m连接

AC',AD,AB,BD,BC',C'D,,得到一个三棱锥；求：

D'C

(1)三棱锥A-BC'D的表面积与正方体表面积的比值；

(2)三棱锥A-BCD的体积.

【解析】(1)；ABCD-A'B'C'D是正方体,

六个面都是正方形，

A'C'=A'B=A!D=BC'=BD=CD=缶，即三棱锥A'-BC'D为正三棱锥,

$三棱锥=4xgx(J^aJ=2ga2,s正方体=6c?,

•$三棱锥_C

S正方体3

(2)显然，三棱锥4一48。＜'—28,。-4力'(7',3-42'(7'是完全一样的,

嚏棱锥A-5C7)二/方体—4嚏棱锥A-A5D

12.(9-10高二下•广东佛山・期末)如图，在三棱柱ABC-A用G中，AC=3,BC=4,A5=5,

AA=4,点。是A8的中点，CC1_L平面ABC.

(1)求证：AC1BQ

(2)求证：AG//平面CO用;

(3)求三棱锥G-瓦C。的体积.

【解析】(1)三棱柱ABC-AB1G中AC=3,BC=4,AB=5,

：.AB2=AC2+BC2,：.ACIBC.

；CC|_L平面ABC,ACU平面ABC,Z.AC1CQ,

又BCcCq=C.BC,CC\u平面BCC^：.AC，平面BCCtBt,

又BGu平面BCC4，AC，8G.

(2)设C4与QB的交点为E,连接DE,

•.•三棱柱ABC-AB。中四边形BCG4为平行四边形，

是GB的中点，

又•..。是A8中点，；.DE//AC1,

又：DEu平面CDBi,AC10平面CDB、,

：.AC"/