根据平行线的性质与判定证明大题（解析版）

专题13根据平行线的性质与判定证明大题

1.如图，点8,C在线段的异侧，点£,尸分别是线段A3,8上的点，己知/1=N2,Z3=ZC.

⑴求证：ABCD；

(2)若N2+N4=180°,求证：ZBFC+ZC=180°；

⑶在(2)的条件下，若ZBFC-3(T=2Z1,求—3的度数.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

⑶ZB=50。

【分析】(1)根据对顶角相等结合已知条件得出/1=/C,根据内错角相等两直线平行即可证得结

论；

(2)根据对顶角相等结合已知得出N3+4=180。，证得BF〃EC,即可得解；

(3)根据平行线的性质和已知得出/班C=130。，最后根据平行线的性质即可求得々=50。.

【详解】(1)证明：0Z1=Z2,Z3=ZC,N2=/3,

IZ1=ZC,

ABCD；

(2)证明：0Z2+Z4=18O°,N2=N3,

Z3+Z4=18O°,

BF//EC,

ZBFC+ZC=180°；

(3)解：0ZBFC+ZC=180°,

Z.BFC-30°=2N1=2ZC,

IZBFC=2ZC+30o,

团2NC+300+NC=180。，

团NC=50。，

团Z.BFC=2ZC+30°=130。，

国ABCD,

0ZB+ZBFC=18O°,

0ZB=18O°-ZBFC=5O°.

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记"内错角相等，两直线平行"、"同旁内角互补，两直

线平行"及"两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键.

2.如图，已知AB〃CD,Z1=Z2.

⑴求证：EF//NP-,

(2)若FH平分/EFG,交CD于点H,交NP于点。，且/1=40。，ZFHG=10°,求/FGD的度数.

【答案】⑴见解析

(2)60°

【分析】(1)根据平行线的性质及等量代换得出N3NP=N1,即可判定跖〃NP；

(2)过点/作根据平行公理得出AB〃FN〃CD,根据平行线的性质及角平分线定义

得到/GEH=ZEFH=50°,根据三角形外角性质求解即可.

【详解】(1)证明：回AB〃CD,NGFH=NEFH=50。

aNBNP=N2,

EIZ1=Z2,

SZBNP=Z[,

0EF〃NP；

(2)解：如图，过点P作

^AB//CD,

^AB//FM//CD,

0ZE™=Z1=4OO,ZHFM=ZFHG=10°,

SZEFH=ZEFM+ZHFM=50°,

回厂“平分/EFG,

0NGFH=NEFH=50°,

0ZFGD=ZGHF+ZHFG=60°.

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟记平行线的判定与性质是解题的关

键.

3.如图，B,E,G,。在同一条直线上，AC//EF,ZA=ZF,AB=DC.

⑴求证：AB//DC.

⑵若DG=6,GE=2,求BE的长.

【答案】⑴见解析

(2)4

【分析】(I)根据平行线的性质得到西CD=M,进而推出a4co=m，即可证明AB〃r)c；

(2)利用AAS证明EL42Gaaa)G,得至U3G=Z)G=6,据此求解即可.

【详解】(1)解:SAC//EF,

aEL4CD=0F,

014=BF,

0EL4CZ)=EL4,

^AB//DC-,

(2)解：在,ABG和3cDG中，

ZA=ZDCG

，ZAGB=ZCGD,

AB=CD

ABG回△CDG(AAS),

:.BG=DG=6,

GE=2,

:.BE=BG—GE=6—2=4.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知平行线的性质与判

定条件，全等三角形的性质与判定条件是解题的关键.

4.已知，直线点尸为平面上一点，连接/尸与CP.

⑴如图1,点尸在直线48、CD之间，当回8/尸=60°,0£>CP=2O°时，求西PC.

⑵如图2,点P在直线45、CD之间，回54P与ELDCP的角平分线相交于点K,写出蜘KC与EUPC

之间的数量关系，并说明理由.

⑶如图3,点尸落在CD外，054P与前CP的角平分线相交于点K,西KC与0Ape有何数量关系？

并说明理由.

【答案】⑴0APC=8O°；

(2)mKC=|■豳尸C,理由见解析

(3)酎KC=gfflAPC,理由见解析

【分析】(1)先过P作尸的45,根据平行线的性质即可得到EAPE=I血尸，^CPE^WCP,再根据

'^APC=^APE-^CPE=^BAP+^DCP进行计算即可；

(2)过K作KEEWB,根据KEEL4施CD,可得^CKE^DCK,进而得到

SAKC=^AKE+SCKE=^BAK+^DCK,同理可得，^APC=^BAP+^DCP,再根据角平分线的定义，得出

WAK+^DCK=-WAP+-ELDCP=-^BAP+^\DCP)=-^APC,进而得至l]EUKC=L|a4PC；

22222

(3)过K作KEEL45,根据在EL4施CO,可得0B/K=EL4KE,SDCK^CKE,进而得到

SAKC^KE-SCKE=SBAK-^DCK,同理可得，^PC=^BAP-^DCP,再根据角平分线的定义，得出

^BAK-^DCK=-^BAP--0£>CP=-Q^BAP-^DCP')=-^APC,进而得至!|EL4KC=La4尸C.

22222

(1)

图1

EL450CD,

aP£l?L4BECD,

^3\APE^BAP,SCPE^^DCP,

EIEL4尸C=EUPE+EICPEWA4P+ELDCP=60°+20°=80°；

(2)

解：EL4KC=；EL4尸C.

理由：如图2,过K作K51148,

SiKESABSCD,

^EAKE=SBAK,^CKE^DCK,

^KC^AKEV3\CKE=^AK+WCK,

过尸作PT迥48,

同理可得，^APC=^\BAP+^DCP,

回血尸与0DCP的角平分线相交于点K,

^BAK+^DCK^-WAP+-WCP=-(SBAP+EDCP)=-EL4PC,

2222

^AKC=-^APC-,

2

(3)

解：EUKC=；EL4PC.

理由：如图3,过K作KEEL45,

B

图3

EL450CZ),

^KE3\AB3\CD,

^BAK^AKE,^DCK^CKE,

^AKC=^AKE-^\CKE=^BAK-^DCK,

过尸作PR34B,

同理可得，^APC^\BAPWCP,

团034P与EDCP的角平分线相交于点K,

^BAK-^\DCK=-^\BAP--0£>CP=-(.^BAP-^DCP)=-EL4PC,

2222

EEL4^C=-EL4PC.

2

【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构

造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算.

5.如图，AB//CD,点£、厂分别在直线48、CD上，点。在直线48、CD之间，回£。尸=100。.

图1图2图3

(1)求回5后0+0£)下。的值；

(2)如图2,直线"N交回BE。、I3CFO的角平分线分别于点M、N,求回£“乂一加2\函的值；

⑶如图3,EG在EL4E。内，^AEG=n^OEG,FK在回。尸。内，^DFK=riS\OFK,直线MN交FK、

EG分别于点M、N,若MW—El£W=50。，则〃的值是

【答案】(1)05£,O+ELDFO=26OO；

(2)0EMN-0FMl/的值为40°；

【分析】(1)过点。作OPS48,易得/施0p0a),利用平行线的性质可求解；

(2)过点〃■作过点N作延长尸。交48于点。，由角平分线的定义可设

SBEM=SOEM=x,BCFN=^OFN=y,由三角形的外角性质可求x,=40。，进而求解；

(3)设直线厂K与EG交于点〃，FK与48交于点K,根据平行线的性质即三角形外角的性质及

^FMN-SENM=50°,可得酿尸D-EAEGuSO。，结合a4KG="回。EG,DFK=nSOFK,ELBEO+0Z)尸。=260°,

可得EAEG+LEUEG+lg。。-砍砍即=100。，即可得关于„的方程，计算可求解n值.

nn

(1)

^AB^OP^CD,

[WEO+的9尸=180°,血七+即"=180°,

酿5EO+赃。尸+0Z)/O+0FO尸=360°,

即^BEO^EOF+^DFO=360°,

团蛇。9二100。，

^BEO+^DFO=260°；

(2)

解：过点M作过点N作N砸CD,延长尸。交48于点0,

蛇M平分泌£O,m平分团。/O,

设鲂区0=团。⑹^CFN=^\OFN=yf

[145回CD,^\EOF=WO°,

^\BQF=^\COF=2y,蛇。0=180°-100°=80°,

^BEO=^BQF+^EOQ,

必二2产80°,

0X-y=4O°,

^MK^AB,NH^CD,AB^CD,

^AB^MK^NH^CD,

^\EMK=BBEM=X9WNF=BCFN=y,轨MN=WNM,

^\EMN-^FNM=^EMK^KMN-QWJNM+WiNF)

=x^KMN-WNM-y

=x-y

=40°,

故血W-0FM悦的值为40°；

(3)

解：如图，设直线FK与EG交于点“，FK与4B交于点、K,

图3

EL4BEICD,

^EAKF^FD,

^KF=^EHK+SHEK=^EHK+^AEG,

^KFD=^EHK+^AEG,

^EHK=^NMF-^ENM=50°,

^KFD=50a+BAEG,

即砍FD-EL4KG=50。，

^EG=n^OEG,尸K在0Z)R?内，SDFK=n^iOFK.

^\CFO=180°-^DFK-SOFK=180°-^KFD--^KFD,

n

^\AEO=BAEG^OEG=BAEG+-^\AEG,

n

团勖£O+配甲0=260°,

回回/£。+团。尸0=100°,

H2L4EG+-^AEG+1?>O°-^KFD--EKED=100",

nn

即（1+工）（团长尸。-西£6）=80°,

n

EI(l+-)x50°=80o,

n

解得77=(.

故答案为：—

【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键.

6.已知，直线尸。〃MV,点C是直线PQ和之间的一点.

图3

（1）如图1,点。，E分别在尸。，MN上,和02为锐角，求证：EC=01+02；

⑵把一块三角板/8C（其中船=30。，0C=9O）按如图2放置，点。，£分别是三角板的两直角边分

别与平行线的交点，若S4EN=a4,求SB。。的度数；

⑶如图3,将（2）中的三角板进行适当的转动，把射线EN沿直线/C翻折，交BC于点、F,试判

断西。。和0FEN有何数量关系?写出你的结论并说明理由.

【答案】⑴见解析

（2）60°

⑶0BDQ=；NbEN,理由见解析

【分析】1）过C作CH3P。，依据平行线的性质，即可得出回。=回1+回2；

（2）根据（1）中的结论可得，0C=EMEC+EPDC=9O°,再根据对顶角相等即可得出结论；

（3）根据邻补角的定义以及翻折的性质，可得/FEN=180。-2NMEC,由（1）的结论可得回C=0A"C

+即DC=90。，再根据对顶角相等即可得出结论.

(1)

如图1,过C作CH3PQ,

^PQ^\MN,

团团1=即)。〃，02=0£CH,

^BDCE=^DCH+^\ECH=01+02.

(2)

团财EN=EU=30°,

dWEC=30°,

由(1)可得，回。=(WEC+团产DC=90°,

^\PDC=90°-团MEC=60°,

团勖。0=即。。=60°；

B

^\BDQ=g/FEN,理由如下

射线EW沿直线4。翻折，交BC于点F,

:.ZFCE=ZMEC

ZFEN=180°-2ZMEC

即AMEC=90°-1/FEN

团C=0MEC+回PDC=90°,

^\BDQ=^\PDC=900-ZMEC

=90°-^90°-1zF£^

=-ZFEN

2

:.他DQ=£/FEN

图3

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及翻折的性质，对顶角相等，邻补角的定义等知识的综

合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解.

7.已知：直线EF分别与直线48,CD相交于点G,H,并且酎GE+0T）//E=18O。.

（1）如图1,求证：ABSCD；

（2）如图2,点/在直线48,CO之间，连接GW,HM,求证：^M=^AGM+^CHM-,

（3）如图3,在（2）的条件下，射线G8是勖GM的平分线，在MZ的延长线上取点N,连接GN,

若职=EL4GW,^M=SN+^SFGN,求ELM”G的度数.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）60。

【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等即可证明；

（2）如图2,过点M作MR0A8,可得480。。斯四.进而可以证明；

（3）如图3,令EL4GM=2a,则固V=2a,0M=2a+P，过点//作〃713GN,可得

=EW=2a,EIG77T=EIFGN=2B，进而可得结论.

【详解】（1）证明：如图1,12a4GE+ELD"E=180°,^AGE=^BGF.

团的3户+即»汨=180°,

的施CZ)；

(2)证明：如图2,过点刊作出15,

又西施CZ),

^AB^CD^MR.

^\GMR=^AGM,WMR=^\CHM.

^\GMH=⑦GMR+国RMH=团/GM^CHM.

(3)解：如图3,令HL4GM=2a,回CHM=B，则lW=2a,团以=2a+B，

图3

团射线G"是勖GM的平分线，

团ZFGM=|ZBGM=1(180°-ZAGM)=90°-af

GH=GM+^FGM=2a+90°-a=90°+a,

⑦NM=NN+L/FGN,

2

团2a+万=2i+；N尸GN,

加FGN=20,

过点H作SIGN,

则画必"T=EW=2a,团G〃T=MGV=2B，

^GHM=^MHT+^\GHT=2a+2^,

^CHG=^\CHM+^MHT^GHT=p+2a+2p=2a+30,

的施CD,

0EL4G/7+0CZ7G=18O°,

EI90°+a+2a+30=180°,

0a+p=3O°,

^\GHM=2(a+P)=60°.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角的性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌

握平行线的判定与性质.

8.如图1,M3D=90°,EB=EF,CB=CD.

(1)求证：EF^CD；

(2)如图2所示，若将尸沿射线8尸平移，即EGEL8C,回尸8。=90。，EG=EF,CB=CD,请问

【分析】⑴连接阳，根据等腰三角形的性质和平角的定义得出团即8+国CD2=90。，根据直角三角

形两锐角互余得出勖阳+05。尸=90。，进一步得出05FD+EICD尸=180。，即可证得ER3CD；

(2)连接ED,延长C8到〃，根据平移的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性

质证得站阳+回。。尸=180°,即可证得EFSCD.

【详解】解：(1)证明：如图1,连接ED,

图1

⑦EB=EF,CB=CD,

^\EBF=^\EFB,^\CBD=^CDB,

团即加0=90°,

团蛇5户+团C8D=90°,财/Q+泌。尸=90°,

回团岳必+团。。5=90°,

回回石厂。+团。£)b=180°,

团£殂。£)；

(2)成立,

延长CB到H,

^EGF=WBF,

酿FBZ)=90°,

^\HBF^CBD=90°,团8尸。+勖=90°，

团回EGN+回。助=90°,

⑦EG=EF,CB=CD,

^\EGF=^EFB,^CBD=^CDB,

团蛇必+国COB=90°,

回曲Z>+回C£/=180°,

^EF^CD.

【点睛】本题考查了平移的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的判

定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

9.已知，直线AB〃DC,点尸为平面上一点，连接AP与CP.

（1）如图1,点P在直线45、8之间，当/5针=60。，4X7=20。时，求—APC.

图1

（2）如图2,点P在直线A3、8之间AC左侧，NS4P与/DCP的角平分线相交于点K,写出

NAKC与NAPC之间的数量关系，并说明理由.

图2

（3）如图3,点P落在8下方，NR4P与4DCP的角平分线相交于点K,/AKC与/APC有何

数量关系？并说明理由.

图3

【答案】（1）ZAPC=80°;（2）ZAKC=-ZAPC,见详解；（3）ZAKC=-ZAPC,见详解

22

【分析】（1）过点尸作Afi〃尸E,根据平行线的性质得到ZAPE=NBAP,NCPE=ZDCP,再根据

ZAPC=ZAPE+ZCPE=ZBAP+ZDCP计算即可;

(2)过K作ABKE,根据平行线的性质和角平分线的定义可得出/A”与-APC的数量关系;

(3)过K作ABKE,根据平行线的性质和角平分线的定义可得出NAKC与-APC的数量关系.

【详解】(1)(如图1,过点P作

图1

^AB//CD

^PE//AB//CD

ZAPE=NBAP,ZCPE=ZDCP

ZAPC=ZAPE+ZCPE=NBAP+ZDCP=60°+20°=80°

(2)ZAKC=-ZAPC

2

如图2,过K作ABKE

D

图2

ElAB〃CD

OKEABCD

ZAKE=ZBAK,ZCKE=ZDCK

ZAKC=ZAKE+ZCKE=ZBAK+ZDCK

过点尸作AB〃PF

同理可得ZAPC=ZBAP+ZDCP

NA4P与ZDCP的角平分线相交于点K

ZBAK+ZDCK=1ZBAP+1ZDCP=g(/BAP+ZDCP)=|ZAPC,

ZAKC=-ZAPC

2

(3)ZAKCZAPC

2

如图3,过K作ABKE

BA

^AB//CD

OKEABCD

ZBAK=ZAKE,ZDCK=NCKE

:.ZAKC=ZAKE—NCKE=ZBAK—ZDCK

过点尸作

同理可得ZAPC=NBAP—ZDCP

NBAP与NDCP的角平分线相交于点K

ZBAK-ZDCK=-ZBAP--ZDCP=-1/BAP-NDCP)=-ZAPC

2222

:.ZAKC=-ZAPC

2

【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计

算.

10.已知：AB〃CD,点E在直线A3上，点/在直线。上.

(1)如图，Z1=Z2,/3=/4.

①若N4=36。，求N2的度数；

②试判断与EV的位置关系，并说明理由；

(2)如图，EG平分ZMEF,EH平分ZAEM,试探究NGEH与/EFD的数量关系，并说明理由.

C

F

【答案】(1)①N2=36。，@EMHFN,见解析；(2)ZEFD=2Z.GEH,见解析.

【分析】⑴根据平行线的性质和判定解答即可；

(2)利用角平分线的定义和平行线的性质解答即可.

【详解】解：(1)①AB//CD,

.•.4=/3,

Z1=Z2,/3=/4,

.-.Z2=Z4=36°；

②位置关系是：EM//FN.理由：

由①知，Z1=Z3=Z2=Z4,

ZMEF=ZEFN=180°-2Z1,

:.ZMEF=ZEFN

.'.EM//FN(内错角相等，两直线平行)

(2)关系是：NEFD=2NGEH.理由：

EG平分ZMEF,

ZMEG=NGEH+ZHEF①

EH平分ZAEM,

ZMEG+NGEH=ZAEF+ZHEF②

由①②可得：

:.ZAEF=2ZGEH,

ABI/CD,

:.ZAEF=ZEFD,

;.ZEFD=2NGEH.

【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题关键在于掌握各性质定义.

11.已知直线ABE1CD,

(1)如图1,直接写出E1BME、配、I3END的数量关系为；

(2)如图2,回BME与回CNE的角平分线所在的直线相交于点P,试探究回P与团E之间的数量关系,

并证明你的结论；

11/_p

(3)如图3,回ABM二一团MBE,团CDN二一团NDE,直线MB、ND交于点F,则——=

nn/E

【答案】(1)EIE=EIEND-EIBME；(2)0E+2HNPM=18O°；(3)——

n+1

【分析】(1)根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.

(2)根据平行线的性质，三角形外角定理，角平分线的性质即可解答.

(3)根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.

【详解】解：(1)如图1,EABHCD,

fflEND=0EFB,

EBEFB是AMEF的外角，

fflE=EEFB-回BME=IBEND-EBME,

故答案是：0E=0END-0BME；

(2)如图2,0AB0CD,

EECNP=I3NGB,

EHNPM是AGPM的外角，

00NPM=ENGB+aPMA=[aCNP+0PMA,

I3MQ平分团BME,PN平分I3CNE,

EIEICNE=20CNP,0FME=20BMQ=20PMA,

0AB0CD,

团团MFE二团CNE=2回CNP,

团团EFM中，团E+团FME+团MFE=180°,

团团E+2团PMA+2团CNP=180°,

即团E+2(SPMA+0CNP)=180°,

团团E+2团NPM=180°；

(3)如图3,延长AB交DE于G,延长CD交BF于・H,

团ABR1CD,

RECDG二团AGE,

团团ABE是"EG的外角,

团团E二团ABE-RIAGE二团ABE-团CDE,①

E

nn

11

回团ABM二——团ABE二团CHB，回CDN二——团CDE二团FDH，

n+1n+1

fflCHB是△DFH的外角,

111

回回F二国CHB-回FDH二——回ABE-----回CDE=——(团ABE-团CDE),(2)

H+1几+1n+1

i/F1

由①代入②,可得乐Q既，BP-

n+1

1

故答案是:

n+1

12.如图1,£点在5C上，/A=/D,ZACB+ZBED=180°.

DD

CD

⑴求证：AB//CD；

(2)如图2,AB//CD,BG平分/ABE,与NED厂的平分线交于X点，若NDEB比/DHB大60

求/。£8的度数.

⑶保持(2)中所求的的度数不变，如图3,BM平6/EBK,DN平分/CDE,作BP//DN,

则/依”的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由.

【答案】⑴见解析

(2)100°

⑶/尸2M的度数不变，理由见解析

【分析】(1)如图1，延长。E交48于点厂，根据N/C8+N2ED=180°,ZCED+ZBED=180°,

可得N4CB=NCED,所以/C〃。*可得=又/A=ND,进而可得结论；

(2)如图2,作EW〃C£»,HN//CD,根据/8〃CD,可得AB〃EM〃HN〃CD,根据平行线的性

质得角之间的关系，再根据/D班比NDAB大60°,列出等式即可求NOE3的度数；

(3)如图3,过点E作£S〃CD,设直线。尸和直线BP相交于点G,根据平行线的性质和角平分

线定义可求■的度数.

【详解】(1)证明：如图L延长DE交N8于点尸，

VZACB+ZBED^180°,NCED+NBED=180°,

ZACB=ZCED,

：.AC//DF,

：.NA=NDFB,

,/ZA=ZD,

：./DFB=ZD,

:.AB〃CD；

(2)如图2,炸EM//CD,HN//CD,

,CAB//CD,

：.AB//EM//HN//CD,

：.Z1+ZEDF=18Q°,ZMEB=ZABE,

平分N/BE,

/.ZABG=-ZABE,

2

'：AB//HN,

；.N2=NABG,

'：CF//HN,

Z2+Zp=Z3,

:DH平分NEDF,

：.Z3=-ZEDF,

2

：.J/ABE+Zp=|zEDF,

.*.ZP=1(NEDF-NABE),

：.ZEDF-ZABE=2Z^,

设NDEB=N(x,

,/Za=Z1+ZMEB=1800-ZEDF+ZABE=180°-CZEDF-ZABE)=180°-2Zp,

"?ZDEB比/D//B大60°,

Na-60°=N0,

AZa=180°-2(Za-60°),

解得Na=100°,

防的度数为100°；

(3)/P8M的度数不变，理由如下：

如图3,过点E作£S〃CD,设直线。尸和直线3P相交于点G,

■:BM平分NEBK,DN平分NCDE,

：.NEBM=/MBK=-ZEBK,