勾股定理（4大易错+4大压轴）解析版-2024-2025学年人教版八年级数学下册

勾股定理（4大易错+4大压轴）

01思维导图

目录

【易错题型】...................................................................................1

易错题型一利用勾股定理求解边长的多解问题....................................................1

易错题型二利用勾股定理求解折叠问题的多解问题...............................................7

易错题型三利用勾股定理求两条线段的平方和（差）............................................15

易错题型三勾股定理及逆定理与网格问题.......................................................17

【压轴题型】..................................................................................22

压轴题型一利用勾股定理证明线段平方关系....................................................22

压轴题型二勾股定理的证明方法...............................................................27

压轴题型三勾股定理逆定理的拓展问题.........................................................32

压轴题型四应用勾股定理解决几何图形中最短路径问题..........................................37

02易错题型

易错题型一利用勾股定理求解边长的多解问题

例题：（24-25九年级上•全国•假期作业）是直角三角形，AB=2道,乙43c=30。，则/C的长为.

【答案】6或2

【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形

【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理，本题中只说明了A/BC是直角三角形、

/ABC=30。,并没有说明直角是哪个角，所以要分两种情况讨论.当乙4c3=90。、乙4尤=30。时，根据

直角三角形中30。的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可以求出==当448c=30。、

4/C=90。时，设2C=x,则3C=2x,根据勾股定理可以求出ZC的长度.

【详解】解：如下图所示，

若448c=30°,ZACB=90°,

在比A/BC中，ZACB=90°,ZABC=30°,

:.AC=-AB=-x2y/3=V3；

22

若//8C=30。，ZBAC=90°,

设/C—x,

则3c=24C=2x,

在火以/5。中，AB2=BC2-AC2,

（2A/3）2=（2X）2-X2,

解得：x=2或x=-2（舍去）；

综上所述，NC的长为板或2.

巩固训练

1.（24-25八年级上•河南关B州•期中）如图，在△4BC中，已知N48C=90。，48=4,BC=3,在平面内有

一点。，8=2,连接N。，当A/CO是直角三角形时，AD的长为.

【答案】回或万/"［或回

【知识点】用勾股定理解三角形

2

【分析】本题主要考查了勾股定理，注意分类讨论的思想：

利用勾股定理求出5,再分类讨论，分别利用勾股定理求解即可.

【详解】解：•・•/A8C=90。，AB=4,BC=3,

AC=y]AB2+BC2=5，

当/ZCD=90。时，如图：

•••AD=y]AC2+CD2=V29;

当/4DC=90。时，如图：

A

•••AD=^AC2-CD2=V21；

AC>CD,

综上所述，当A/CD是直角三角形时，AD的长为扬或在'，

故答案为：回或同.

2.（24-25九年级上•北京通州•期末）小明同学想利用“44=30。，AB=6cm,BC=5cm,这三个条件作

LABC.他先作出了//=30。和42=6cm,再作2C=5cm,那么/C的长是cm.

3

【答案】3百-4或3百+4

【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形

【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分//C5为钝角和锐角，两种情况进行讨论

求解.

【详解】解：过点B作

/.A-30°,AB-6cm,

.-.BD=-AB=3,

2

•••AD=S!AB--BD2=373，

在Rt^SCD中，CD=^BC2-BD2=4：

当//C5为钝角时，贝l|：AC=AD-CD=34；

当//C5为锐角时，贝l|：/C=4D+CD=3百+4；

故答案为：3G-4或36+4.

3.（24-25八年级上•浙江杭州•期末）已知在△N8C中，48=17,AC^IO,8c边上的高线40=8,则3c

边的长为.

【答案】9或21

【知识点】用勾股定理解三角形

【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是能够分两种情况考虑，不要遗漏.由勾股定理可分

别在RtA48D和RRDC中求出2DDC的长，然后分两种情况考虑：（1）当高/。落在△N3C内部时；

（2）当高/。落在△N8C外部时；根据D点的不同位置可得8DDC,8c三条线段不同的数量关系，从而

得到3c的值.

【详解】••,48=17,/C=10,8c边上的高线40=8,

.•.在RM4BD中,由勾股定理得，

BD=>JAB2-AD2=V172-82=15，

在必A/CD中，由勾股定理得,

4

CD=^AC2-AD2=7102-82=6，

分类讨论：

①当高落在aABC内部时，

8C=8D+CD=15+6=21,

②当高落在A/BC外部时，

BC=BD-CD=15-6=9,

综上所述：边BC的长为9或21.

故答案为：9或21.

4.（23-24八年级下•江西景德镇•期中）如图，在RM4BC中，NACB=90°,4C=4,BC=3,现将

拓展为等腰ANBD,且使得点。在射线2c上，贝北。的长为.

7

【答案】3或;或2

6

【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形

【分析】A/BC是直角三角形，要把A/BC拓展成等腰因为等腰三角形是有两条边相等的三角形,

所以本题需要分三种情况考虑：当=时，当28=40时，当时.

【详解】解：•.,在RMNBC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,

AB=y）AC2+BC2=A/32+42=5，

若将A/8C拓展为等腰，

当时，如下图所示，

5

B

--------------HC

则有&)=ZB=5,

又「BC=3,

:.CD=BD-BC=5-3=2；

当43=4。时，如下图所示,

在Rt^ABC和RtA^DC中

(AD=AB

[AC=AC，

:心ABC%ADC,

CD=BC=3；

当。/时，如下图所示,

D

AD=y/AC2+CD2=M+m，

BC+CD=AD,

.-J42+CD2=3+CL»，

两边同时平方得：16+C£)2=9+6CD+CD2,

7

解得：CD=~.

o

6

故答案为：3或（7或2

6

【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握利用方程根据勾股定理建立方程求解

以及进行全面思考、分类讨论是解题的关键.

易错题型二利用勾股定理求解折叠问题的多解问题

例题：（24-25八年级上•河南郑州•期中）如图，RtN4C3中，4c8=90。，AB=5,8C=4,点。为线段

CB上一个动点，连接4D,将△/口沿直线AD翻折得到△4DE,线段NE交直线C2于点尸.若力EF为

直角三角形，则2。的长是.

【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形

【分析】根据题意可分三种情况：当/EDE=90。时，当〃用=90。时，利用勾股定理来求解.

【详解】解：当/FDE=90。时，过点E作EGL/C,交/C的延长线于点G,如图

ZG=ZEDC=ZDCG=90°,

四边形CDEG是矩形，

CD=EG,CG=DE。

■■■将AADB沿直线AD翻折得到△4DE,

DB=DE,AE=4B=5.

在RtZX/BC中

AC=yjAB2-BC2=A/52-42=3.

设。3=x,

贝lJ/G=3+x,CD=GE=CB-DB=A-x,

（3+x）2+（4-x）2=52,

7

整理得X?7=0,

解得尤1=1,%2=0（舍去）,

所以AD=1.

当ND废=90。时，此时点尸与点C重合,

将AADB沿直线AD翻折得到△4DE，

DB=DE,AE=AB=5,

设DB=x,

贝UE尸=5-3=2,CD=CB-DB=4-x,

22+（4-X）2=X2,

整理得-8x+20=0,

解得x=g，

即AD=g.

因为在RtZ\4BC中，ZACB=90°,

所以W90。，翻折后，4DE厂不可能为90。，此种情况不存在.

综上所述，8。的长是1或3.

【点晴】本题考查了翻折的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握分类思想是解

答关键.

巩固训练

1.（24-25八年级上•浙江宁波•期中）如图，在RtZ\/8C中，ZA=90°,ZB=30°,BC=百+1,点E,F

分别是3C,/C边上的动点，沿班'所在直线折叠/C,使点C的对应点C'始终落在边A8上，若

是直角三角形时，则3E的长为.

8

A

【答案】省或冬生工

3

【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、用勾股定理解三角形

【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含30。角的直角三角形的性质，分情况讨论：①当4£。=90。

时，根据含30。角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出3C，=2EU=2EC,根据勾股定理可求出

BE=^3EC'=^EC,然后结合线段的和差求解即可；②当=90。时，根据含30。角的直角三角形的性

质和折叠的性质可得出BE=2EU=2EC,然后结合线段的和差求解即可.

【详解】解：、・折叠，

EC'=EC

BC'=2EC'=2EC,

BE=4BC'--EC'1=百EC'=拒EC，

y.BC=BE+EC=y/3+l,

■■y/3EC+EC=y/3+l-

・•.EC=1,

■■■BE=BC~EC=43;

②当/BCE=90。时

9

VZB=30°,

BE=2EC'=2EC,

又BC=BE+EC=6+1,

・•.2EC+EC=6+1,

:.EC=,

3

BE=BC-EC=2y^+2.

3

综上，BE的长为G或3+2.

3

2.（24-25八年级上•浙江•阶段练习）如图，在△N3C中，AB=AC=9,44=90。，点。在边48上运动,

点E在边8c上运动.将△48C沿折叠，当点8的对应点"恰好落在边/C的三等分点处，此时

BD=.

【答案】5或6.5

【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题

【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，分两种情况：当/B'=g/C=3时，如图，当

2

=6时，设BD=B，D=x,再利用勾股定理建立方程求解即可.

【详解】解：如图，当N"=g/C=3时，

AD=9-x,

•・•N4=90°,

.«.X2=32+（9-X）2,

10

解得：x=5,即BQ=5,

2

如图，当/〃=§/C=6时,

设BD=B，D=x,

AD=9-x,

•・・N/=90°,

.-.X2=62+（9-X）2,

解得：x=6.5,即50=6.5,

综上：为5或6.5,

故答案为：5或6.5.

3.（24-25九年级上•江苏•期中）如图，在中，AC=BC=4cm,/48C=30。，点P是线段AB上一动

点,将ABCP沿直线C尸折叠，使点3落在。处,CD交/尸于点£当A/CE是直角三角形时，8尸的长为.

【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形

【分析】分两种情况：当/ZEC=90。时；当//C£=90。；然后分别利用等腰三角形的性质，勾股定理以及

折叠的性质进行计算，即可解答.

【详解】解：分两种情况：

①当//EC=90。时，如图：

11

ZAEC=ZDEP=90°

设BP=xcm,

：AC=BC=4cm,CE1AB,/ABC=30°,

：.CE=-BC=2cm,AE=BE=NBC?-CE?=打―2?=26cm，

由折叠得：BC=CD=4cm,BP=PD=xcm,

:.DE=CD—CE=4—2=2cm,PE=BE-BP=(273-x)cm,

在RQDEP中,DE2+PE2=DP2^

22+(2V3-X)2=X2,

解得：、=生8,

3

BP=^^-cm.

3

②当/ZCE=90。，如图:

过点。作垂足为H,

ZAHC=ZCHE=90°

-/AC=BC=4cm,CHLAB,

由①知CH=2cm,AH=BH=2>/3cm,

由折叠得：5C=CD=4cm,/BCP=/DCP,/B=/D,

ND=NA,

•「ZECH+ZHCA=90°,ZHCA+ZA=90°,

/.ZECH=乙4,

ZECH=ZB,

••・ZCPH是ABCP的一个外角，

12

：.ZCPH=ZB+ZBCP,

ZPCH=ZDCP+ZECH,

：.APCH=ZCPH,

HC=HP=2cm,

BP=BH-HP=（2道-2）cm,

综上所述：BP的长为殍cm或（2G-2）cm,

故答案为：殍cm或（2g-2）cm.

【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，分

两种情况讨论是解题的关键.

4.（23-24八年级下•河南平顶山•期中）如图，在等边三角形/3C中，AB=4,BDL4C于点D,点、E,F

分别是8C,NC上的动点，沿止所在直线折叠△口?尸，使点C落在5。上的点C'处，当△3EC是直角三

角形时，2C'的长为.

【答案】4G-4或1百

【知识点】等边三角形的性质、折叠问题、二次根式的除法、用勾股定理解三角形

【分析】由等边三角形的性质可得/D3C=30。，由△2EU是直角三角形，分两种情况讨论：①若

/BEC'=90°,②若NBC'E=90。,由直角三角形的性质分别求解即可.

【详解】解：••・△N3C是等边三角形，

ZABC=60°,BC=4B=4,

■-BD1AC,

ZDBC=30°,

由折叠可得CE=CE',分两种情况：

①若/BEC=90。，如图所示：

13

BC'=ICE,

在Rt^BEC'中，根据勾股定理，可得BE=^C'E=^CE,

又,；BE+CE=BC=4,

•••也CE+CE=4,

：.CE=C'E=1^3-2,

BC'=2CE=4艮4；

②若/BCE=90。，如图所示：

BE=ICE,

-：BE+CE=BC=4,

.-.3C£=4,

4

・•.CE=C'E=—,

3

综上所述，2C的长为4#-4或g6,

14

故答案为46-4或

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质的运用，勾股定理的应用，二次根式的运算，熟练掌

握折叠的性质是解题的关键，注意分情况讨论.

易错题型三利用勾股定理求两条线段的平方和（差）

例题：（23-24八年级上•江苏盐城•阶段练习）中，斜边43=1,则的值是

【答案】2

【分析】先画图，再利用勾股定理可求2c2的值，从而易求/82+5C2+/C2的值.

【详解】解：如图所示，

在RtZ\48C中，AB2=BC2+AC2,

又•••AB=1,

BC2+AC2=AB2=1,

B2+BC2+AC2=\+\=I.

故答案是：2.

【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.

巩固训练

1.（23-24八年级下•河南郑州•期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四

边形A8CD,对角线4C,3。交于点。，若/。=3,BC=8,贝必1+⑺②=.

【答案】73

【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键.

15

222

在RtZ\C08和RtZ\/O8中，根据勾股定理得8。2+。。2=。82,OD+OA=AD,进一步得

BO2+CO2+0D1+OA1=+9=,再根据//=302+/疗，CD2=OC2+OD1,然后根据等量代换即可

解答.

【详解】解：•••ADL/C,

ZCOB=NAOB=ZAOD=ZCOD=90°,

在Rt/XCOB和RtZUOB中，根据勾股定理得：BO2+CO2=CB2,OD~+OA1=AD2,

■-CB2+AD2=BO2+CO-+OD2+OA2=M+9=^,

■：AB1=BO2+AO2,CD-=OC2+OD2,

AB2+CD2=BO2+AO2+OC2+OD2=(BO2+OD2)+(^O2+OC2)=CS2+AD2=73.

故答案为：73.

2.(22-23八年级下•山西大同•期末)如图，“3C和AECD都是等腰直角三角形，CA=CB=；,

CE=CD=3,AABC的顶点/在AECD的斜边DE上，则AE2+AD2的值为.

【答案】8

【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解.

【详解】解：连接80,如图所示：

因为A/8C和AECO都是等腰直角三角形，CA=CB=；,CE=CD=3

NACB=NECD,NE=NADC=ZCAB=ZABC=45°

•••NACB=2ECD=90°

ZACB-ACD=NECD-ACD

即NACE=ZBCD

■：AC=BC,EC=DC

:.AACE沿ABCD

16

/.AE=BD,/AEC=ZBDC=45°

...ZADB=/ADC+ABDC=90°

tAAE2+AD2=BD2+AD2=AB2=AC2+BC2=2x^=y

故答案为：-

【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用.掌握相关几何知识是解题的关键.

3.（23-24八年级上•辽宁沈阳•阶段练习）如图，四边形/3CZ）的对角线AC,BD交于点、O.若AC，BD,

4B=4,CD=4S,贝汁叱+血八.

【答案】21

【分析】根据勾股定理即可解答.

【详解】解：AB=4,CD=45,

.,.在RtZUOB中，OA2+OB2=AB2=42=16,

■.在RtACOZ)中，+OD2=必=(6)2=5,

又：在RUAOD中，0/2+0D2=AD1,

在RtABOC中，OB2+OC2=BC2,

：.BC2+AD2

=(OB2+OC2)+(OA2+OD2)

=(OB2+0/2)+(OC?+OD2)

=AB2+CD2

=16+5

=21.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键.

易错题型三勾股定理及逆定理与网格问题

17

例题：（24-25八年级上•贵州贵阳・期中）如图所示的4x3方可格网格纸中，小正方形的边长为1,有A,B

两个格点，试取格点C,使得"BC是直角三角形，则8c的长为

A\：B

III）

till

【答案】1或2或正或出或2夜

【知识点】勾股定理与网格问题

【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是确定点C的位置.先确定点C的位置，分四种情况：当

ACYAB,且ZC=1时，当且ZC=2时，当8C1N8时，当2c时，根据勾股定理求解

即可.

【详解】解：如图，点C的位置如下，使得4ABC是直角三角形，

当/CJ_N8,且/C=l时，BC=\lAC2+AB2=Vl2+22=V5；

当NC_LN8,且NC=2时，BC=\）AC2+AB2=722+22=78=272；

当3clz8时，BC=1或3c=2；

当/CJ.8C时，点C在48的垂直平分线上，且/C=8C,

AC2+BC2=AB2,即23c2=22,

BC=V2;

综上所述，8C的长为1或2或正或6或2五，

故答案为：1或2或正或行或2夜.

巩固训练

1.（24-25八年级上•全国•期中）如图所示的是正方形网格，贝！—°（点A,B,C,

D,M为网格线交点）.

18

M

【答案】45

【知识点】勾股定理与网格问题、格点图中画等腰三角形、在网格中判断直角三角形

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并数形结合.在

直线上取点£,使得=连接。E,过点E作交CD的延长线于点。，得到

AMAB=AEDF,推出/=根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，结合

EM=DM,即可求解.

【详解】解：如图，在直线48上取点E,使得及W=连接DE,过点E作所/CD,交CD的延长

线于点尸，

ZMDC-NMAB=ZMDC-ZEDF=ZEDM,

VME2=A/D2=12+22=5,DE2=l2+32=10,

EM2+DM2=DE2,

是直角三角形，

EM=DM,

NEDM=45°,即ZMDC-ZMAB=45°

故答案为：45.

2.（23-24八年级下•广东湛江•阶段练习）如图，在4x4的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1,

点4、B、C都在格点上，4D/BC于点、D,则的长为

19

【答案】2

【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积

【分析】本题考查勾股定理、勾股定理得逆定理和直角三角形斜边高的求法，掌握勾股定理及其逆定理是

本题关键.根据勾股定理计算8c的长，再利用面积差可得三角形N8C的面积，由三角形的面积公式即可

得到结论.

【详解】由勾股定理得：AC2=22+12=5,AB2=22+42=20,5C2=42+32=25.

AC2+AB2=BC2,BC=5,AC=45,AB=2y[5,

是直角三角形，NA4c=90。,

ADIBC,

S=-BCAD=-ABAC,

"ARC22

,nAB-AC275x75、

BC5

故答案为：2.

3.(23-24八年级上•浙江宁波•期中)如图，在6x8的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,每个小

格的顶点叫做格点，格点△42。如图所示，请用无刻度的直尺在给定网格作图，不写画法，保留作图痕迹.

图1图2图3

(1)在图1中，作出△/BC的高CH,并直接写出的长为—

(2)在图2中，在边AC上找到点D，使得NABD=45°；

(3)在图3中，作△/斯，使尸和ZUBC面积相等但不全等.

【答案】(1)3.2

(2)见解析

(3)见解析

【知识点】勾股定理与网格问题、无刻度直尺作图、等腰三角形的性质和判定

【分析】本题是三角形综合题，考查了作图的应用与设计、勾股定理、三角形面积公式、网格线的特点、

等腰直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形面积是解题的关键,

属于中考常考题型.

(1)取格点。，连接交于点〃，线段即为所求，再由三角形面积求出纸的长即可；

20

(2)以4B为直角边作一个等腰直角三角形，即可解决问题;

(3)根据等底同高的三角形面积相等，即可作出△/£尸.

【详解】⑴解：如图1,取格点。，连接C。交N3于点

AB=43?+4?=5>S/UBC=]X4X4=8,SAABC=—AB-CH,

—x5CH=8,

2

解得：CH=3.2,

故答案为：3.2；

(2)解：如图2,以48为直角边作一个等腰直角三角形/BE,BE交AC于点D,

图2

则a4AD=45。，即为所求;

图3

4.(24-25八年级上•江苏苏州•期中)如图，正方形网格的每个小方格边长均为1,A/3C的顶点在格点上.

21

(1)直接写出A8=,BC=,AC=；

(2)判断的形状，并说明理由；

(3)直接写出AC边上的高=.

【答案】(1)2石，石，5

(2)A/5C是直角三角形，理由见解析

(3)2

【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形、与三角形的高有关的计算问题

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的

关键.

(1)利用勾股定理，进行计算即可解答；

(2)利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；

(3)利用面积法，进行计算即可解答.

【详解】(1)解：由题意得：AB2=22+42=20,BC2=12+22=5,^C2=32+42=25,

:.AB=25BCf,4c=5；

(2)解:△ABC是直角三角形，

理由：VAB2+BC2=25,AC2=25,

AB-+BC2=AC2,

:“BC是直角三角形；

(3)解：设/C边上的高为〃，

&ABC的面积==；AB-BC,

:.AC-h^ABBC,

51=2岳石,

h=2.

03压轴题型

压轴题型一利用勾股定理证明线段平方关系

22

例题：(23-24八年级下•安徽蚌埠•期中)如图，在“8C中，AD1BC.

⑴求证：AB2-AC2=BD2-CD2；

(2)当/3=8,BC=6,/C=2旧时，求4D的值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)/。=45

【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股

定理是解决问题的关键.

(1)在Rt△极)和RM40c中，分别运用勾股定理可得48?―方+瓦月AC2=AD2+CD2,利用4D边

相等，联立两式移项即得证.

(2)根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合3C=BD+S=6,可求得

BD-CD,而3D+CD=6,由此可求得8。、CD,由勾股定理即可求出ND.

【详解】(1)证明：；AD1BC,

在Rt△曲和RM4DC中，根据勾股定理得，

AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+CD2,

AB2-BD2=AD1=AC2-CD2,

移项得：AB2-AC2=BD2-CD2.

i^AB2-AC2=BD2-CD2.

(2)解：AB2-AC2=BD2-CD2,AB=8,AC=2屈

BD2-CD2=AB2-AC2=82-(2V13)2=64-52=12,

BD2-CD2=(BD+CD)(BD-CD)=12,

BC=6,即8O+CD=6,

BD-CD=2,

23

BD+CD=6BD=4

[BD-CD=2,解得]cD=2，

初=/笈一BA?=82-42=64-16=48,

AD=4y/3.

巩固训练

1.（23-24八年级上•江西吉安•期末）如图，已知。3c与都是等腰直角三角形，其中

ZACB=Z.DCE=90°,。为4B边上一点.

（1）试判断4。与班的大小关系，并说明理由;

⑵试说明AD2,BD2,DE2三者之间的关系.

【答案】（1）/。=3后，理由见解析

（2）AD2+BD2=DE2，理由见解析

【分析】（1）证明△4C02SCE即可；

（2）根据（1）可得△/CD会A8CE,得到4D=8E,ZABC=AA=ACBE=45°,得到ADBE是直角三角

形，根据勾股定理证明即可.

【详解】（1）AD=BE.理由如下：

05c与ACDE都是等腰直角三角形，

：.AC=BC,CE=CD,ZACB=ZDCE=90°,

ZACD=/BCE=90°-/BCD.

.•.△/CD丝A8CE（SAS）,

**-AD=BE.

(2)AD2+BD2=DE2.理由如下：

由(1)可得"CDABCE,

AD=BE,/ABC=/A=NCBE=45。，

/.ZDBE=90°f

24

■-BE1+BD1=DE-，

■■AD2+BD2=DE2.

【点睛】此题综合运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、以及勾股定理，关键是根据

全等三角形的性质得出AD=BE.

2.(23-24九年级上•安徽•开学考试)如图，在RtZS/BC中，已知乙4=90。，。是斜边2c的中点，DELBC

交AB于点、E,连接CE.

(1)求证：BE2-AE2=AC2;

(2)若NC=6,BD=5,求的周长.

【答案】(1)见解析

⑵14

【分析】(1)由线段垂直平分线的性质可得=在RM/CE利用勾股定理建立线段的平方关系，再等

量代换即可求证；

(2)在RtZ\/5C中，由勾股定理得42的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解.

【详解】(1)证明：是斜边3c的中点，DE1BC,

DE是线段BC的垂直平分线，

BE=CE.

在RtA/CE中，由勾股定理得

■■■BE1=AC2+AE2,

BE2-AE2=AC2.

(2)解：•・•£＞是斜边BC的中点，BD=5,

■,BC=1BD=1Q.

在RtZXZBC中，由勾股定理得AB=^BC2-AC2=A/102-62=8，

AB=BE+AE-8.

又・；BE=CE,

；.CE+AE=8,

25

••.△ZCE的周长为CE+4E+/C=8+6=14.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点.熟记相关结论是解题关键.

3.(23-24八年级上•辽宁沈阳•阶段练习)如图，在等腰RtZX/BC中，ZACB=9Q°,AC=2,点尸是直线

N8上一个动点，作等腰Rt^FCP,且NPCE=90。，连接4P.

(1)找出图中全等三角形.

(2)如图求证：FB2+AF2=PF2-,

(3)若N尸=8，则尸尸=______.

【答案】⑴APC/GA尸C2

(2)见解析

(3)2

【分析】(1)可证=从而得证APC4知FCB(SAS)；

(2)由全等得，AP=FB,APAC=AFBC=45°,得NPAF=NPAC+NC4B=90。,根据勾股定理得证结论;

(3)RtzX/C8中，勾股定理求得4B=2也，得BF=也，于是PF=JAP。+AF?=2•

【详解】(1)解：如图，ZACB=ZPCF=90°,

NACB-ZACF=NPCF-ZACF.

ZPCA=ZFCB.

又PC=FC,4C=BC,

APC的AFCB(SAS).

故全等三角形为APC4四A尸CB.

(2)解：•；APC4%FCB,

.-.AP=FB,APAC=NFBC=45°.

ZPAF=APAC+ZCAB=90°.

■-PA2+AF2=PF2.

■■FB2+AF2=PF1.

26

（3）解：RtAZCB中，AC=2,

■■■AB=41AC=141.

AF=C，

■■BF=AB-AF=yf2.

AP=42-

•••PF=ylAP2+AF2=2•

【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质；由全等三角形推证线段相等、角相等是解题的关

键.

压轴题型二勾股定理的证明方法

例题：（23-24八年级下•辽宁葫芦岛•期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古

国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献.特别是定理的证明，据说方法有400余种.其中我国汉代的赵爽

在注解《周髀算经》时给出了证明.请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理：

如果直角三角形N3C的两条直角边长分别为。/，斜边长为。，那么/+/=02.

【答案】见解析

【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式等知识.熟练掌握勾股定理的证

明，完全平方公式是解题的关键.

由弦图可知，Rt/GBQRtABDM空RLMEN咨KANFA,则四边形和四边形DErG是正方形，由

S正方形DEFG=S照那MN+4国微，可得（。+6）2=C2+4X、6,整理得/+〃=C2.

【详解】证明：由弦图可知，RUAGB^RUBDM^RUMEN^RUNFA,

27

・•・四边形ABMN和四边形DEFG是正方形,

•••（Q+6）2=。2+4X；,

a2+2ab+b2=c2+2ab，

a2+b2=c2.

巩固训练

1.（23-24七年级下•全国•假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积

法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积

法”来证明勾股定理.

下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中/D/5=90。.求证：a2+b2=c2.

【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键.证明勾股定理时,

用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整

理即可得到勾股定理表达式.

【详解】证明：如图（1）,连接D8,过点。作2C边上的高。尸，则。尸=EC=b-“.

121

S四边形ZOCB=S2CD+S^ABC=56+—ab,

S四边形ZDCB=SjDB+S、DCB=/C+/4（6一°），

28

一b~H—cib——H—a(b—a

2222、

：.a2+b2=c2■

2.（23-24八年级下•河南平顶山•期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象.数与形也

是有联系的，这种联系称为“数形结合”.利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算.

（1）我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系.请你利用如图对勾股定理

（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：

已知:如图，在RtZ^48C和RtZiCDE中，/8=NZ）=N/C£=90。，（点B,C,。在一条直线上），AB=CD=b,

BC=DE=a,AC=EC=c.

证明：a2+b2=c2;

⑵请利用“数形结合”思想，画图并推算出（a+b+c）2的结果.

【答案】（1）见解析

（2）见解析，a2+b2+c2+2ab+2.bc+2ac

【分析】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键.

（1）利用面积法证明即可;

（2）利用面积法计算即可.

【详解】（1）证明：梯形/5DE的面积=2xgab+gc2,

mne(a+b)x(a+b)

梯形ABDE的面积=——口——L,

2

(q+b)x(q+Z?)

222

29

(2)解：如图所示:

a

nHn

大正方形的面积=(a+b+c『；

大正方形的面积=a2+b2+c+lab+2bc+lac,

(a+b+c)~=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.

3.(23-24八年级下•广西南宁•期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股

定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”(边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分

方法1：S阴影=;

方法2：S阴影=；

根据以上信息，可以得到等式：；

(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2,请利用图2证明勾股定理;

(3)如图3,将图2的2个三角形进行了运动变换，若a=6,6=3,求阴影部分的面积.

【答案】(I),-。)？；c2-A--ab-c2=b2+a2

(2)见解析

(3)阴影部分的面积为52.

【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键.

30

(1)方法1：求得小正方形的边长为伍-。)，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计

算即可；

(2)$大正方形=S阴影正方形+4S^，列式计算即可证明；

(3)先用勾股定理计算出c,再利用S空白=5大正方形-2S△计算面积即可.

【详解】⑴解：方法1：S阴影=伍-。)2；

方法2：S阴影

911

2222222

v[b-a)=c-4--ab,c=(b-a)-\-4--ab=b+a-lab+lab=b+af

故=/+/；

根据以上信息，可以得到等式:c2=b2+a2;

1

故答案为：(6-“)9；c2-4-ab；c2=b2+a2;

(2)解：•・,S大正方形=§阴影正方形+4%,

?1

即(a+b)=c2+4--ab,

整理得a2+2ab+b2=c2+2ab，

故/+〃=，；

(3)解：如图,S阴影=S正方形48c°-，

a=6,b=8,

c=A/62+82=10，

则§正方形=廿=100，

71

/.S阴影—c—2,—cib-100—6,8=52,

故阴影部分的面积为52.

31

压轴题型三勾股定理逆定理的拓展问题

例题：（23-24八年级上•江苏徐州•期中）在。5c中，BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边，当

时，"8C是直角三角形；当/+/片02时，利用代数式/+〃和°?的大小关系，探究“8C的形状（按角

分类）.

⑴当A48C三边分别为6、8、9时，AABC为三角形；当“BC三边分别为6、8、11时，“BC

为三角形；

（2）猜想：当/+〃,2时，“8C为锐角三角形；当/+//时，“8C为钝角三角形；

（填“>”或“〈”或“=”）

⑶判断：当a=5/=12时，

当"3C为直角三角形时，则c的取值为；

当“3C为锐角三角形时，则，的取值范围；

当“3C为钝角三角形时，则。的取值范围.

【答案】（1）锐角；钝角

⑵>；<

（3）①c=13；（2）12<c<13；@13<c<17

【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

（1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形,

反之为钝角三角形；

（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；

（3）当为直角三角形时，可求出0=，7万=13,再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围.

【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边=用+82=10

.•.当"8C三边分别为6、8、9时，AA8C为锐角三角形

当“3C三边分别为6、8、11时，03C为钝角三角形

（2）解：由勾股定理逆定理可得，

当/+62>02时，03C为锐角三角形；

当时，»3C为钝角三角形；

32

(3)解：当为直角三角形时，=3

当。8c为锐角三角形时，a2+b2>c2,

.•.12<c<13；

当。3C为钝角三角形时，a2+b2<c2,

则c的取值范围为c>13,

■■■两边之和大于第三边，

13<c<17.

巩固训练

1.(21-22八年级下•福建厦门•期中)定义：如图，点跖N(点〃■在N的左侧)把线段48分割成

MN,NB.若以NN,MN,NS为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的购