勾股定理的应用（十一大题型）-2024-2025学年人教版八年级数学下册题型专练（含答案）

专题02勾股定理的应用（十一大题型）

题型归纳________________________________________

【题型1：求梯子滑落高度】

【题型2：求旗杆高度】

【题型3：求小鸟飞行距离】

【题型4：求大树折断前的高度】

【题型5：解决水杯中筷子问题】

【题型6：解决航海问题】

【题型7：求台阶上地毯长度】

【题型8：判断汽车是否超速】

【题型9：判断是否受台风影响】

【题型10：选址使到两地距离相等】

【题型11：求最短路径】

流题型专练

【题型1：求梯子滑落高度】

（24-25七年级上•山东泰安•期中）

1.某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端/到左

墙的距离/E为0.7m,梯子顶端。到地面的距离DE为2.4m,若梯子底端/保持不动，将

梯子斜靠在右墙8c上，梯子顶端C到地面的距离C2为2m,则这两面直立墙壁之间的安全

C.1.5mD.2.5m

试卷第1页，共18页

（24-25八年级上•全国・期末）

2.如图，在一宽度EC为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙/C上,

顶端/被固定在墙上，这时8到墙底端C的距离为0.7米.程师傅为了方便修理，将梯子

的底端举到对面。的位置，问此时梯子底端离地高度长为（）

B.0.9米C.1.2米D.1.5米

（24-25七年级上•山东淄博•期中）

3.在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相.小明买了一个年画风筝，并进行

了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离8。

为15m；根据手中余线长度，计算出NC的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离N3

为1.5m.已知点48,C,。在同一平面内.

卜

（1）求风筝离地面的垂直高度CD；

（2）在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m,请问能否成功？请

说明理由.

（24-25八年级上•江苏盐城•期中）

4.小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的

横杆点。处用根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的

位置.当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到08位置，此时过点8作8cl.cM于

点C,（图中的A、B、。、C在同一平面上），测得4C=2ctn,BC=8cm.求08的长.

试卷第2页，共18页

（23-24八年级下•山西朔州•期末）

5.《国务院关于印发全民健身计划（2021—2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场

地设施供给，进一步增加全民健身的热情.我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广

场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直

接测量，设计方案如下：

课题测量照明灯灯板的长

工具竹竿、米尺

方案及图示■K

方案及说明竹竿长度为10m,灯板垂直地面于点。，线段

AM,8N表示同一根竹竿.第一次将竹竿的一个端点

相关数据及说明与点M重合，另一个端点落在地面的点A处，第二次

将竹竿的一个端点与点N重合，另一个端点落在地面的

点B处已知AO=6m,BO=8m

计算过程...

请根据上述方案中的内容，计算的长.

【题型2：求旗杆高度】

（24-25八年级上•山东青岛•阶段练习）

6.如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端8离地面0.6m,荡秋千到

的位置时，下端3距静止位置的水平距离仍等于2.4m,距地面1.4m,则秋千N3的长为—

试卷第3页，共18页

m

A

（24-25八年级上•陕西咸阳•期末）

7.2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载

人飞行任务取得圆满成功！为此，某校组织了一次以“指尖上的航模•蓝天下的梦想”为主题

的航模飞行表演.如图，小炜控制的无人机在距离地面18米高的点。处（。=18米），空中

点A处有一只风筝，无人机上的测距仪测得=17米，点A与点。之间的水平距离AE=15

米，已知/E1CD于点E,AB=CE,请你求出风筝离地面的高度48.

（24-25八年级上•河南周口•期末）

8.某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案,

并利用课余时间完成了实地测量.测量结果如下表.

测41;实物图：

项

■

假如图1,某校八年级数学兴趣小组自主开展

目

测量学校旗杆高度的项目研究.他们制订了

背

测量方案，并进行实地测量.

景

1颤

项测量过程：

目步骤一：如图2,线段"N表示旗杆高度，

测量示意图：

方九W垂直地面于点N.将系在旗杆顶端的绳

案子垂直到地面，并多出了一段地，用皮尺

试卷第4页，共18页

31测出AE的长度.

步骤二：如图3,小丽同学将绳子末端放置

c

L子头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉

■1〕1B

图2图3直为止，此时小丽同学直立于地面点8

处.用皮尺测出点A与点8之间的距离.

测量项目数据

各绳子垂到地面多出的部分0.5m

项

小丽直立位置距旗杆底端的水平距

数

7m

离

据

小丽身IWJ1.5m

请根据表格所给信息，完成下列问题.

（1）直接写出线段"N与之间的数量关系：.

（2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求出学校旗杆的高.

【题型3：求小鸟飞行距离】

（23-24八年级下•河北邯郸•期末）

9.如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为12m,竖直距离为5m,树的高度

都是2m.一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（）

A.12mB.13mC.14mD.15m

（24-25八年级上•浙江•期中）

10.如图，一■条路的两边有两棵树，一"棵树图4s为11米，另一■棵树iWiCD为6米，两树的

距离8。为12米.若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢C,则小鸟至少要飞

行米.

试卷第5页，共18页

（23-24八年级上•全国,单元测试）

11.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000m处，

过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000m,则飞机每秒飞行了—m.

（2024八年级下•全国•专题练习）

12.有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树

高11m,且巢离树顶部1m.当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为

5m/s,那它至少需要时间_s才能赶回巢中.

（2024八年级下•全国•专题练习）

13.如图，一只小鸟旋停在空中/点，N点到地面的高度/8=20米，/点到地面C点（B,

C两点处于同一水平面）的距离/C=25米.

⑴求出5c的长度；

（2）若小鸟竖直下降到达。点（。点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距

离相同，求小鸟下降的距离.

【题型4：求大树折断前的高度】

（23-24八年级下•广东中山•期中）

14.《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高十丈，末折抵地，去根九尺，问折者

试卷第6页，共18页

高几何？”题意是：如图，一根竹子原高十丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面

处离竹根9尺.若设折断处离地面的高度为X尺，则可以列出关于X的方程为（）

A.x2+92=（10-x）2B.x2+（10-x）2=92

C.x2+92=（100-x）2D.x2+（100-x）2=92

（24-25八年级上•全国,期中）

15.如图，台风过后，一旗杆在8处断裂，旗杆顶部/点落在离旗杆底部C点10m处，已

知旗杆原长20m,则旗杆在离底部米的位置断裂.

（23-24八年级•全国・假期作业）

16.如图所示，一棵大树在离地面9米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部12米处.这棵大

树在折断之前是米.

12米

（24-25八年级上•吉林长春•期末）

17.请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从A处折

断，折断后竹子顶端8点落在离竹子底端。点3尺处，求折断处离地面（即/。）的高度是

多少尺？

试卷第7页，共18页

A

【题型5:解决水杯中筷子问题】

（2024•四川巴中•中考真题）

18.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是

我国数学史上的“葭生池中''问题.即/C=5,DC=1,BD=BA,则BC=（）

A.8B.10C.12D.13

（23-24八年级下•云南昆明・期末）

19.我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生

其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面

是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦

苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是

多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（）

A.x2+52=(x+l)2B.x2+102=(x+l)2

C.(x-l)2+52=x2D.(x-l)2+102=x2

（23-24八年级下•安徽阜阳•期末）

20.如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高为12cm.将一根长18cm的铅笔放置

试卷第8页，共18页

于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为"cm,贝的取值范围是

/口

A.9<«<12B.6<tz<12C.3<。<9D.3<a<6

（23-24八年级上•安徽宿州•阶段练习）

21.如图是一个饮料罐，下底面直径是10,上底面半径是10,高是12,上底面盖子的中心

有一个小圆孔.若一条到达底部的直吸管如图放置，则在罐内部分。的长度（罐壁的厚度和

小圆孔的大小忽略不计）是.

1/

【题型6：解决航海问题】

（24-25八年级上•广东梅州•期中）

22.如图，甲乙两船同时从/港出发，甲船沿北偏东35。的方向，航速是12海里/时，2小

时后，两船同时到达了目的地.若C、8两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？

（24-25八年级上•辽宁本溪•期中）

23.某海岛海域争端持续，我国海监船加大该岛附近海域的巡航维权力度.如图，

。/，。2,。4=72海里，08=12海里，海岛位于。点，我国海监船在点2处发现有一不明

国籍的渔船，自/点出发沿着/。方向匀速驶向海岛所在地点。，我国海监船立即从8处出

发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船.

试卷第9页，共18页

B

OA

⑴请用直尺和圆规作出c处的位置；

（2）求我国海监船行驶的航程2c的长.

（23-24八年级下•全国•期末）

24.如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时拉紧的绳子8c的长

为13m,此人把绳子收紧4m后船移动到点。的位置（即绳子的长为9米），问船向岸边

移动了多少米?（结果保留根号）

（23-24八年级下•重庆铜梁•阶段练习）

25.如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在/处观测到在它的东北方向（北

偏东45。）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点3处，突然收到渔船的求救信号，此

时观测到渔C位于点B的北偏东15。方向上.

⑴求的度数；

（2）轮船收到求救信号后，立即沿以每小时500海里的速度赶往C处救援，那么轮船需

多少小时赶到C处？

【题型7：求台阶上地毯长度】

（24-25八年级上•山西•阶段练习）

26.如图是一段楼梯，高是8米，斜边4C是10米，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需

要地毯______米.

试卷第10页，共18页

c

（22-23八年级上•广东深圳・期末）

27.某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯.已知楼梯总高度5米，楼

梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购

买地毯至少需要一元.

（23-24八年级下•全国•单元测试）

28.如图，在高2米，坡角为30。的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需米.

（23-24八年级下•全国•单元测试）

29.某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯.已知台阶宽2.8m,其剖面图如图，需要购买多少

平方米的地毯才能铺满所有台阶？

【题型8：判断汽车是否超速】

（24-25八年级上•河北邯郸•期末）

30.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过

70km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速

检测仪A处的正前方60m的C处，过了4s后，测得小汽车与车速检测仪间距离48为100m,

这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：lm/s=3.6km/h）

试卷第11页，共18页

小汽广车三一小子汽车

____________-

观测点

（24-25八年级上•河南郑州•阶段练习）

31.《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过

120km/h.高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，A点装有一

车速检测仪，它到公路边的距离/N=90米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达N点时开

始计时，离开M点时停止计时，依此计算车速，已知NM=150米.

（1）若一辆汽车以108km/h时速匀速通过监控区域，共用时几秒？

（2）若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由.

（23-24八年级下•安徽阜阳•期中）

32.超速行驶是引发交通事故的原因之一.上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所

学的知识检测车速，观测点设在到公路/的距离为100m的点尸处.这时，一辆轿车由西向

东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得ZAPO=60°,

NBPO=45°.

⑴求48的距离，（百取1.73）

（2）试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？

（23-24八年级下•河北廊坊•阶段练习）

33.“为了安全，请勿超速”.如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时,

为了检测车辆是否超速，在公路"N旁设立了观测点C,从观测点C测得一小车从点N到

达点2行驶了5秒，已知/CBN=60。，8c=200米，/C=100几米.

试卷第12页，共18页

⑴请求出观测点C到公路的距离；

(2)此车超速了吗？请说明理由.(参考数据：V2«1.41,73^1.73)

【题型9：判断是否受台风影响】

(23-24八年级下•重庆大足•期末)

34.如图，在一条笔直的东西方向的公路上有/、8两地，相距1000米，且离公路不远处

有一块山地C需要开发，已知C与/地的距离为600米，与2地的距离为800米，在施工

过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径520米范围内不得进入.

(1)山地C距离公路的垂直距离为多少米？

(2)在进行爆破时，A,8两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求出需

要封锁的公路长.

(23-24八年级下•重庆开州•期中)

35.如图，/市气象站测得台风中心在4市正东方向300km的2处，以80km/h的速度向北

偏西60。的B尸方向移动，距台风中心250km范围内是受台风影响的区域.

(1)请通过计算说明4市是否会受到台风的影响？

(2)如果N市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长?

(23-24八年级下•湖北荆州•期中)

试卷第13页，共18页

36.如图，某沿海城市N接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿8c

方向以20km/h的速度移动，已知城市A到2c的距离40为160km.

B

（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？

⑵如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么/市受到台风影响的

时间持续多少小时？

【题型10：选址使到两地距离相等】

（22-23八年级上•辽宁朝阳•期末）

37.如图，铁路上“、。两点相距25千米，B,C为两村庄，ABIAD^A,COL4D于

D,已知48=15km,C£>=10km,现在要在铁路ND上建一个土特产品收购站P,使得2、

C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A千米.

（22-23八年级下•山西朔州•期末）

38.根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工作推进会”要求，扎实推进建设100

所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示的直线上，新建一所幼儿园，该区域有

两个小区所在的位置在点C和点。处，C4_L48于DBL4B于B.已知/2=2.5km,

C4=1.5km,D8=1.0km求该幼儿园E应该建在距点/为多少km处，可以使两个小区到幼

儿园的距离相等.

试卷第14页，共18页

（2024八年级上•全国•专题练习）

39.小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住/，小川家住瓦两家相距10公里，小渝

家N在一条笔直的公路NC边上，小川家到这条公路的距离为6公里，两人相约在公路

D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家/到见面地点D的距离.

（2024八年级上•江苏•专题练习）

40.为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目

标，我市准备在铁路N2上修建一个火车站E,以方便铁路同旁的C、。两城的居民出

行，如图，。城到铁路N8的距离/C=20km，。城到铁路的距离D8=60km,48=100km,

经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、。两城距离相等的E处修建火车站.求/£、BE

各是多少.

（22-23八年级下•河南南阳•期中）

41.为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路％上修建一个天然气站E,同时向

DC两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭.已知如图:。到道路用的距离D/=2km,

C到道路m的距离CB=1km,A,B两地距离AB=5km.气站E应建在道路m的什么位置，

使得C,。两居民区到气站£的距离相等？

Df

（1）请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点E,不写作法，保留作

图痕迹）；

⑵计算出气站E到N处的距离.

试卷第15页，共18页

【题型11:求最短路径】

（24-25八年级上•重庆大渡口•期末）

42.如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm,底面周长为12cm,在圆柱的下底面的内壁A

处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点£处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最

短距离（）

E

A.2两'emB.12cmC.4A值cmD.10cm

（24-25八年级上•甘肃兰州•期末）

43.如图：长方体的长、宽、高分别是12,8,30,在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫

从£处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（）

（24-25八年级上•云南昭通•期末）

44.足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员N向边线传球，传球落点在边

线C©上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员2,图中四边形

48CD为直角梯形，AD=5,AB=BC=IQ,ZB=60°,则两次传球中皮球飞过的最短路

径为（）

试卷第16页，共18页

A.15B.10A/3C.20D.20A/3

（24-25八年级上•四川成都•期末）

45.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高15cm,在容器内壁离容器底部

4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿3cm的点A处,

若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为21cm,则该圆柱底面周长为—cm.

（24-25八年级上•江西吉安•期末）

46.如图，圆柱形容器的高为120cm,底面周长为100cm,在容器内壁离容器底部40cm的

点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处,

则壁虎捕捉蚊子的最短距离为.

（24-25八年级上•河南郑州•期末）

47.如图所示，地面上铺了一块长方形地毯/8CD,因使用时间长而变形，中间形成一个半

Q

圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为—m,已知/E+BFuZOm,5C=10m,一只蚂蚁从A点

兀

爬到。点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走m的路程.

试卷第17页，共18页

（23-24八年级上•陕西咸阳・期末）

48.如图，长方体的长、宽、高分别为6,4,4,点/是长方体的顶点，点2是棱CD的中

点，一只蚂蚁由/处沿长方体表面爬到8处，最短路程为.

试卷第18页，共18页

1.A

【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会

数形结合思想的应用.先根据勾股定理求出的长，同理可得出N2的长，进而可得出结

论.

【详解】解：在RbNDE中，NAED=90°,AE=0.7m,DE=2.4m,

•1•AD=^AE2+DE2=2.5>

在Rt/X/BC中，ZABC=90°,BC=2m,AC=AD=1.5,

•••AB=yjAC2-BC2=J6.25-4=1.5，

BE=AE+AB=0.7+1.5=2.2m,

故选：A.

2.B

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

过。作。于根据平行线的性质得到D"=CE=2米，DE=CH,根据勾股定理即

可得到结论.

【详解】解：过。作。于//,

:.DH=CE=2米,

同理可得：DE=CH,

在RtZ\"8C中，AC=^AB2-BC2=72.52-0.72=2.4（米），

在RM4D"中，AH=4AD--DH2=72.52-22=1.5（米）,

DE=CH=AC-AH=0.9（米），

答：梯子底端离地高度。E长为0.9米，

故选：B.

3.（l）9.5m

答案第1页，共26页

⑵不能成功，理由见解析

【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解

决问题.

（1）过点A作/ELCD于点E,在Rta/EC中，根据勾股定理即可求解；

（2）假设能上升12m,作图Rt“瓦"根据勾股定理可得/尸=25m,再根据题意，

17+7.5=24.5<25即可求解.

【详解】（1）解：如图1所示，过点A作/E1C。于点

则NE=3O=15m,AB=DE=1.5m,AAEC=90°,

在RtA^£C中，由勾股定理得CE=^AC2-AE2=7172-152=8（m）,

二.CD=CE+CD=8+1.5=9.5（m）.

（2）解：不能成功，理由如下：

假设能上升12m,如图所示，延长。。至点尸，连接/尸，

则C尸=12m,

.,.M=CE+CF=8+12=20(m).

在RtdEF中，由勾股定理得AF=ylAE2+EF2=7152+202=25(m).

:AC=\ln\,余线仅剩7.5m,

.-.17+7.5=24.5<25,

・••不能上升12m,即不能成功.

答案第2页，共26页

4.17cm

【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，结合勾股定理建立方程是正确解决本题的关

键.

设05的长为xcm,由。炉=BC2+OC?建立方程即可求解.

【详解】解:设08的长为xcm,则O/=xcm,

•/AC=2cm,

0C=x-2,

vBCVOA,BC=8cm,

.•.RtZ\08C中，OB2^BC2+OC2,即/=8?+(x-2)2,

解得x=17,

答：08的长为17cm.

5.MN=2m

【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理，在Rt/XO/M中，根据

勾股定理求出OM,在RtZ\O3N中，根据勾股定理求出ON,即可求解.

【详解】解：由题意可知，ZNOB=90°,

在Rt/\OAM中,AM=10m,OA=6m,

则OM=y]AM2-OA2=8m，

在RtZ\OBN中，3N=10m,08=8m,

则ON=^BN2-OB-=6m-

:.MN=OM-ON=2m.

6.4

【分析】本题考查了勾股定理的应用，涉及到解一元一次方程，解题关键是理解题意，正确

得到其中的三边关系并准确计算，本题根据在Rt^ABE中，AE-+BE2=AB2，得到关于AB

的方程，求解即可.

【详解】解：•••秋千A8在静止位置时，下端3离地面0.6m,荡秋千到A8的位置时，距地

面1.4m,

.•.3'E=1.4-0.6=0.8,

；.4E=AB-0.8,

在用A/BE中，AE2+BE2=AB2,

答案第3页，共26页

.■.(AS-0.8)2+2.42=AB2,

・•.AB=4,

故答案为：4.

7.风筝离地面的高度48为10米

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理求出

DE=^AD2-AE2=V172-152=8(米)，再求出CE=CD-OE=10米，即可得出答案.

【详解】解：。于点£，

ZAED=90°,

米，/E=15米，

DE=^AD2-AE2=7172-152=8(米).

•.•CD=18米，

:.CE=CD-DE=\Q^,

N8=C£=10米，

即风筝离地面的高度N3为10米.

8.(l)W=^M-0.5

51

⑵丁

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键.

(1)根据=+结合题意即可获得答案；

(2)结合题题确定NC=/8=1.5m,AC=NB=1m,ACLMN,^AM=xm,贝l]

MC=(x-2)m,在RM/CN中，利用勾股定理解得x的值，然后求解即可.

【详解】(1)解：根据题意，可知NE=0.5m,4B=1.5m,BN=Im,

贝ijMV=-NE=4W-0.5.

故答案为：MN=AM-0.5；

答案第4页，共26页

根据题意，可知NC=23=1.5m,AC=NB=1m,AC1MN,

AM=xm,贝!|MC=7W_NC=4W_0.5-1.5=(x_2)m,

在RM/CN中，可有AC2+MC2=AM2,

753

即72+(X-2)-=X2,解得x=jn,

53

所以AM=^m,

4

所以MN=AM-Q.5=^-m,

4

答：学校旗杆儿W的高为:m.

4

9.B

【分析】本题考查了勾股定理的应用.如图，根据题意得：

N4BC=90°,AB=]2m,BC=5m,利用勾股定理即可求出结果.

12m

根据题意得：^ABC=90°,AB=\2m,BC=5m,

，/C=y]AB2+BC2=13m，

，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞13m,

故选：B.

10.13

【分析】本题考查了勾股定理，过C作CE平行地面，连接NC,由题意得CE=12米,

NE=ll-6米，由勾股定理可得/C的长，即小鸟至少要飞行的距离.

【详解】解：过C作CE平行地面，连接NC,

答案第5页，共26页

由题意得，/2=11米，/£=11-6=5米，CE=BD=12米，

由勾股定理得，AC=ylAE2+CE2=V52+122=13

故答案为：13.

11.15

【分析】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.解

题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化.先画出图形，构造出直角三角形，利用勾

股定理解答即可.

【详解】解：设8点为女孩头顶，/为正上方时飞机的位置，C为20秒后飞机的位置，如

图所示，AB=4000m,BC=5000m,

C

则AC=A/50002-40002=3000m

.•./C=3000米，

.•.3000+20=15米/秒

故答案为：15.

12.5

【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过/作/E1CD于E.则

C£=10-3=7m,AE=24m,利用勾股定理求出/C的长即可得到答案.

【详解】解：如图，由题意知/3=3m,CD=11-1=10m,5D=24m.

过/作/E1CZ）于E.贝i]C£=10-3=7m,AE=24m,

在中，由勾股定理得，C=，4£2+以2=25m，

・•・25+5=5s,

答案第6页，共26页

;它至少需要5s才能赶回巢中.

故答案为：5.

13.(1)15米；

哈米

【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键.

(1)在直角三角形中运用勾股定理即可解答；

(2)在RMADC中，根据勾股定理即可解答.

【详解】(1)由题意知(1=90。,

•••/2=20米，NC=25米.

在中

AB2+BC2=AC2

BC=」25?-20。=15米,

(2)设=x,

••,到达。点(。点在线段A8上)，此时小鸟到地面。点的距离与下降的距离相同，

AB=20

.,.则CD=/Z)=x,BD=2Q-x,

在RtABOC中，

DC1=BD-+BC1,

x2=(20-X)2+152,

解得x=竽，

o

，小鸟下降的距离为1一25米.

O

14.C

【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设折断处离地面的高度为x尺，根据勾股定

理列出方程即可.

【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，

答案第7页，共26页

由题意得，x2+92=(100-x)2,

故选：C.

15.7.5

【分析】本题考查勾股定理实际应用.根据题意设3C=x,则/8=20-x,利用勾股定理

列式计算即可得到本题答案.

【详解】解：•••旗杆顶部/点落在离旗杆底部C点10m处，

••・AC-10m,

,・,旗杆原长20m,

AB+BC—20m,

・••设=贝！J/B=20-x,

.-.x2+102=(20-x)2,解得：x=7.5,

・••旗杆在离底部7.5m的位置断裂，

故答案为：7.5.

16.24

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出斜边长，最后相加得出答案即

可.

【详解】解：如图所示：根据题意可知4c=9米，8c=12米，

根据勾股定理得AB=y]AC2+BC2=A/92+122=15.

所以树折断前有9+15=24(米).

故答案为：24.

17.4

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，

先设=可得/8=9-x,再根据勾股定理得无2+32=(9-X)2,求出解即可.

【详解】解：根据题意可知3。=3,

设=则48=9-x,根据勾股定理得

答案第8页，共26页

222

X+3=(9-X),

解得x=4.

所以折断处离地面的高度是4尺.

18.C

【分析】本题考查勾股定理的实际应用.设8C=x,则8O=A4=(x+l),由勾股定理列出

方程进行求解即可.

【详解】解：设8C=x,则2O=A4=(x+l),

由题意，得：(x+1)2=52+X2,

解得：x=12,即BC=12,

故选：C.

19.A

【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，这根芦苇的长度为(x+1)尺，利用勾股定理

列方程即可.

【详解】解：设水深为X尺，则这根芦苇的长度为(X+1)尺，

根据题意，得/+52=(X+1)2,

故答案为：A.

20.D

【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长

度的取值范围，即可得出答案.

【详解】解：.•・将一根长为18cm的筷子，置于底面直径为9cm,高为12cm的圆柱形水杯中，

•••在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，

•••当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，。=18-12=6(cm),

最长时等于杯子斜边长度是：V122+92=15(cm),

此时a=18-15=3(cm),

的取值范围是：3<«<6,

故选：D.

答案第9页，共26页

21.13

【分析】作于C,则/C=12,BC=5,根据勾股定理，即可求解.

【详解】解：如图所示，

依题意，AC=U,BC=5,

在RtAABC中，AB=^AC2+BC2=VF+1F=13>

即。=13,

故答案为：13.

【点睛】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键.

22.9海里/时

【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理，列出算式是关键.

先用勾股定理求出NC的长，进而即可求解.

【详解】解：由题意得：43=12x2=24（海里），BC=30海里，

ZB/C=180°-35°-55°=90°,

在RSB/C中

■■AC=^BC2-AB2=A/302-242=18（海里），

乙船的航速是18+2=9（海里/时），

答：乙船的航速是9海里/时.

23.（1）见解析

（2）37海里

【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握

相关基础性质.

（1）根据题意，作出线段的垂直平分线，交02于点C,即可；

（2）连接8C,利用第（1）题中作图，可得BC=/C,设2C为x海里，则C4也为x海里,

则OC=（72-x）海里，利用勾股定理列方程求解即可.

答案第10页，共26页

【详解】(1)解：如图所示，点。即为所求：连接作线段N5的垂直平分线，交。/于

点C,

(2)解：连接8C,设3C=x海里，则C/=x海里

•1•ZO=90°

.•.在RtAOSC中，OB2+OC2=BC2

即：122+(72-X)2=X2

解得：x=37

答：我国海监船行驶的航程8C的长为37海里.

24.(12-2V14)m

【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理.在中，利用

勾股定理计算出长，再根据题意可得C。长，然后再次利用勾股定理计算出/。长，再

利用2。=/2-/。可得8。长.

【详解】解：在中：

VZCAB=90°,8c=13m,AC=5m,

■■AB=ylBC2-AC2=V132-52=12m»

CD=9m,

•1•AD=siCD2-AC2=A/92-52=2Vsm，

.­,BD=AB-AD^(\2-2yJ14^m,

答：船向岸边移动了(12-2&W)米.

25.(1)30°

7

⑵轮船需W小时赶到。处

答案第11页，共26页

【分析】本题考查三角形的内角和定理，含30。的直角三角形的性质，勾股定理的应用.作

垂线构造直角三角形是解题关键.

(1)利用三角形的内角和定理即可求解；

(2)在Rt小职中由勾股定理求得/b=8尸=35/，在Rtz\C3尸中，利用含30。的直角三

角形的性质即可求解.

【详解】(1)解：由题意可知，/D4c=45。，NDAB=90°,ZCAB=45°

NEBC=15°,NABE=90°,

.-.ZJBC=105°,

在公ABC中，NACB=180°-/ABC-ZCAB=180。-105。-45。=30°；

(2)解：作8尸1/C于尸，

NFAB=ZFBA=45°,

AF=BF,

在RM/3尸中，48=35x2=70,由勾股定理得力笈=/尸2+吕尸2,

•••AF=BF=3572，

在Rt^CB尸中，ZACB=30°,

•••BC=2BF=7072，

...700+500=(,

轮船需(小时赶到C处.

26.14

【分析】本题考查的是勾股定理，先根据直角三角形的性质求出的长，再根据楼梯高为

8C的高=6m,楼梯的宽即为的长，再把23、8C的长相加即可.

【详解】解：8C=5痣一/笈=JU一8,=6米,

在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为+8+6=14米.

答案第12页，共26页

故答案为：14.

27.1020

【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面

积，则购买地毯的钱数可求.

【详解】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，

则长为：V132-52=12（米），宽为5米，

二地毯的长度为12+5=17（米），地毯的面积为17x2=34（平方米），

，购买这种地毯至少需要30x34=1020（元）.

故答案为：1020.

【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解决此题的关键是要注意利用平移的知识，把要求的

所有线段平移到一条直线上进行计算.

28.2+2百

【分析】地毯的竖直的线段加起来等于BC,水平的线段相加正好等于AC,即地毯的总长

度至少为（AC+BC）.

【详解】

A

在RtaABC中，zA=30°,BC=2m,zC=90°,

；.AB=2BC=4m,

••AC=NAB°-BC?=2gm,

；.AC+BC=2+2右（m）.

故答案为2+2VL

【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解此题的关键在于准确理解题中地毯的长度为水平

与竖直的线段的和.

29.需要购买19.6平方米的地毯才能铺满所有台阶.

答案第13页，共26页

【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向

左平移，得到一个长方形，进一步求出面积即可.

【详解】解：如图，由题意可得，==7=4，

利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，地毯的长为

3+4=7(m),

二地毯面积为2.8x7=19.6向),

答：需要购买19.6平方米的地毯才能铺满所有台阶.

30.这辆小汽车超速了

【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出2c的长是解题关键.

求小汽车是否超速，其实就是求2C的距离，直角三角形/8C中，有斜边的长，有直角

边/C的长，那么2c的长就很容易求得，根据小汽车用4s行驶的路程为BC,那么可求出

小汽车的速度，然后再判断是否超速了.

【详解】解：在瓦中，/C=60m,/3=100m；

根据勾股定理可得：BC=ylAB2-AC2=80(m),

・•.小汽车的速度为旷=一