广东省韶关市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（含答案解析）

2023-2024学年度第二学期全市义务教育质量学业水平监测

八年级数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的相关信息填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用25铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡各题目

指定区域的相应位置上，写在试卷上无效.

3.本卷总用时90分钟，全卷满分120分.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为r,则其面积S与r的关

系式为S=",，下列判断正确的是（）

A.r是常量B.%是常量C.S是自变量D.S,n,r都是变量

2.若二处有意义，则x可以是下面的哪个值（）

x-1

A.OB.1C.2D.3

3.已知口48。中，a、b、c分别是NA、NB、NC的对边，下列条件不能判断口43。是直角三角形的是

（）

A.NA=NC-NBB.a：b：c=4：5：6

35

C.a2=b2-c2D.a=—,b=—，c=l

44

4.已知正比例函数丁=（9加一1）%的图象上两点4（七，〉1）,3（%2，%），当花<X2时，有%<为，那么"2的

取值范围是（）

11

A.m<9B.m<—C.m>QD.m>—

99

5.如图，在。ABC。中，BE平分/ABC交A。于点E,ZA=100°,则NAEB等于（）

第1页/共6页

ED

A.30°B.40°C.50°D.60°

6.如图，在菱形ABC。中，对角线AC、BD交于点O,若NBA。=120°,若AB=6,则。4

的长为（）

B.4C.3D.2G

3

7已知直线”二一3与两坐标轴的交点分别为A、B,则口4。5的周长为（）

A.12B.10C.9D.8

8.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=履+人的图象与x轴交点为A（-3,0）,与y轴交点为2,且

4/、4

与正比例函数y=§%的图象交于点C（相,4）.观察函数图象，关于x的不等式§%＜区+6的解集为

)

A.x<4B.x>4C.x<3D.x>3

9.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图

是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）.设直角三角形较长直角边长为a,

较短直角边长为b.若。。=8,大正方形的面积为25,则图2中E尸的长为（）

第2页/共6页

AD

b

图1

c.2V2

10.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1,2）,以。为圆心，的长为半径画弧，交直线

y=gx于点耳；过点用作用轴交直线y=2x于点儿,以。为圆心，长为半径画弧，交直

线丁=3》于点层；过点为作与4〃y轴交直线丁=2%于点4，以点。为圆心，。人长为半径画弧，

交直线于点用，…，按如此规律进行下去，点与024的坐标为（）

y=2x

4

4

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

II.甲、乙两支排球队队员的平均身高都为1.82m,方差分别为S甲2=3.7,S乙2=4.2,则身高较整齐的

球队是队.

12.将直线y=-3x-5向上平移3个单位长度后，得到的直线解析式为.

13.若点A（a,0）在一次函数y=-x+2图象上，则a+匕的值是.

14.如图，在。A8CD中，对角线AC、5。相交于。，BD=2AD,E、F、G分别是。C、OD、

的中点，下列结论：①581AC；②EG=GF；③四边形是平行四边形；④E4平分

ZGEF.其中正确的是.（填序号）

第3页/共6页

AD

15.如图，矩形ABC。中，AB=10,AD=4,点P为边CD上一个动点，将△4尸。沿AP折叠得到

△APQ,点D的对应点为Q,当射线P。恰好经过的中点M时，。尸的长为

三、解答题（一）：本大题共3小题，第16小题10分，第17、18小题各7分，共24

分.

16.计算：

(1)V12+V16-V2

（2）（2024—万）。+|百—1,出+V12

17.某同学上学期的数学历次测验成绩如下表所示:

平时测验

测验类别期中测验期末测验

第1次第2次第3次

成绩100106106105110

（1）该同学上学期5次测验成绩的众数为,中位数为

（2）该同学上学期数学平时成绩的平均数为；

（3）该同学上学期的总成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照2：3：5的比

例计算所得，求该同学上学期数学学科的总评成绩（结果保留整数）.

18.如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为

AC=15km,与公路上另一停靠站8的距离为8C=20km,停靠站A,B之间的距离为AB=25km,

为方便运输货物现要从公路AB上的。处开凿隧道修通一条公路到C处，且.

第4页/共6页

c

（1）求证：/ACS=90。；

（2）求修建的公路CD的长.

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.观察以下等式：

第1个等式：（a+1）（2—&）=&+1

第2个等式：（及+1）（3—后）=2亚+1

第3个等式：（G+l）（4—G）=36+1

按照以上规律，解决以下问题：

（1）写出第5个等式；

（2）试用含为自然数，且的式子表示你猜想的第〃个等式，并证明其正确性.

20.如图，已知四边形ABC。中，ZA=ZB=90°,

（1）尺规作图：过点。作。E_LBC,交于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）若BC=2A。，当NC满足什么条件时，（1）中作出的四边形ABED为正方形？并证明你的结

论.

21.为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购

买A型和8型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表：

A型B型

价格（万元/辆）ab

年载客量（万人/年）60100

若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共

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需350万元.

(1)求。，Z?的值；

(2)计划购买A型和B型两种公交车共10辆，如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200

万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案？

(3)在(2)的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少?最少费用是多少万元？

五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.

22.问题情境：小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图，在正方形中，点E、尸分别在边

BC、CD上，且/，垂足为那么AE与8F相等吗？

图1图2图3

(1)请直接判断：AEBF(«"=”或“尹)；

在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题：

(2)如图，在正方形A6CD中，点及尸、G分别在边BC、CD和D4上，且GEL3R,垂足为

M.那么GE与5尸相等吗？证明你的结论；

(3)如图，在(2)的条件下，当M在正方形ABC。的对角线4c上时，连接BG,将△BMG沿着

BG翻折，点M落在点"'处.那么四边形是正方形吗？并说明理由.

23.如图，在平面直角坐标系中，直线A3交x轴于点A(-2,0),交y轴于点8(0,4),直线>=日+6

经过点2且交x轴正半轴于点C,已知AC=5.

(2)若点G为线段BC上一点，且满足S口MG=SDAOB，求点G的坐标；

(3)如图，点E为线段AB中点，点。为y轴上一动点，以。石为直角边作等腰直角口DEE,且

DE=DF，当点歹落在直线上时，求点。的坐标.

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国家义务教育质量监测结果应用整改之：

2023-2024学年度第二学期全市义务教育质量学业水平监测

八年级数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的相关信息填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用25铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡各题目

指定区域的相应位置上，写在试卷上无效.

3.本卷总用时90分钟，全卷满分120分.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为广，则其面积S与r的关

系式为S=",，下列判断正确的是（）

A.r是常量B.%是常量C.S是自变量D.S,乃，r都是变量

【答案】B

【解析】

［分析］本题主要考查函数中常量与变量的概念，根据常量（不会发生变化的量）与变量（会发生变化的量）

的定义即可求解，掌握其概念是解题的关键.

【详解】解：A、厂是自变量，故选项不符合题意；

B、%是常量，故选项符合题意；

C、S是因变量，故选项不符合题意；

D、/是常量，故选项不符合题意；

故选：B.

2.若2x有意义,则x可以是下面的哪个值（）

x-1

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

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【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握被开方数不小于零且分母不为零的条件

是解题的关键.根据被开方数不小于零且分母不为零的条件进行解题即可.

【详解】解：由题可知，

‘3-2x20

x—1w0

3

解得xW—且xwl.

2

则只有0符合.

故选：A

3.已知口43。中，a、b、c分别是NA、ZB,NC的对边，下列条件不能判断口ABC是直角三角形的是

（）

A.ZA=ZC-ZBB.a：b：c=4：5：6

35

C.a2=b2-c2D.a=—,b=-,c=1

44

【答案】B

【解析】

【分析】依据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理，即可得出结论.

【详解】A、VZA=ZC-ZB,且NA+/B+NC=180。，.\ZC=90°,故^ABC为直角三角形.

B、；42+52彳62,.•.△ABC不是直角三角形；

C,Va2=b2-c2,.\b2=c2+a2,故4ABC为直角三角形；

35

D、*/a=—,b=—,c=l,.,.b2=c2+a2,故4ABC为直角三角形；

44

故选：B.

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用以及三角形内角和定理.判断三角形是否为直角三角形，可利

用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断.

4.已知正比例函数y=（9m-l）x的图象上两点，当苞<々时，有为<%，那么冽的

取值范围是（）

11

A.m<9B.m<—C.m>0D.m>—

99

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于了=履（左为常数，左70）,当左>0时，y=kx

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的图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当左<0时，y=&的图象经过二、四象限，y随x的增大而

减小.据此求解即可.

【详解】解：：当石<%2时，有%<%，

/.9/n-l>0,

1

m>—.

9

故选D.

5.如图，在。ABC。中，BE平分/ABC交于点E,NA=100°,则NA砂等于（）

A.30°B.40°C.50°D,60°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，由平行四边形的性质得到

ZABC=80°,角平分线的性质得到NA3E=L/A5C=40°,再根据三角形内角和定理即可求解，掌握相

2

关知识是解题的关键.

【详解】解：：四边形ABC。是平行四边形，

AB//CD,

：.ZABC+ZA=180°

：NA=100。，

AZABC=180°-ZA=80°,

,/BE平分/ABC,

：.ZABE=-ZABC=40°,

2

NAEB=180°—NA—ZABE=180°-100°-40°=40°,

故选：B.

6.如图，在菱形ABC。中，对角线AC、3。交于点。，若NBA。=120。，若AB=6,贝U

的长为（）

第3页/共24页

AD

Q

B匕----------

A.5B.4C.3D.2A/3

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了菱形的性质，由菱形的性质判定为口43。等边三角形，即得出AC=AB=6,进而根

据菱形的性质，即可求解.

【详解】解：在菱形ABC。中，对角线AC、BD交于点。，ZBAD=120°,

：.AD//BC,AB=BC,AO=-AC

2

：.ZABC=60°,

□ABC等边三角形，

AC=AB=6,AO=—AC=3,

2

故选：C.

3

7.已知直线y=—x—3与两坐标轴的交点分别为A、B,则口4。8的周长为（）

-4

A.12B.10C.9D.8

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理；先求出直线A3与两坐标轴的交点，再求

出A6的长度，即可得出答案.

【详解】解：当x=0时，y=-3,

当y=0时，x=4,AB=^32+42=5>

则口AOB的周长为3+4+5=12.

故选：A.

8.如图，在平面直角坐标系中，一次函数》=履+6的图象与x轴交点为A（-3,0）,与y轴交点为B,且

4/X4

与正比例函数y=的图象交于点C（根,4）.观察函数图象，关于x的不等式耳》<6+6的解集为

（）

第4页/共24页

y

「

匕/X

A.x<4B.x>4C.x<3D.x>3

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先得出加=3,运用数形结合思想，来解答两个函数所对

应的两直线交点，得出它们构成的不等式的解集，据此即可作答.

【详解】解：•••点。（皿4）在正比例函数y=

：.4=-m,

3

m=3,

则。（3,4）,

•••一次函数>=履+》的图象与无轴交点为A（-3,0）,与y轴交点为8,且与正比例函数y=的图象交

于点C（3,4）,

4

结合图象，关于x的不等式乙+6的解集为x<3,

故选：C.

9.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”

是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）.设直角三角形较长直角边长为m

较短直角边长为从若。。=8,大正方形的面积为25,则图2中E尸的长为（）

bBC

图1图2

A.3B.4C.2夜D.3也

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【答案】D

【解析】

【分析】由图形2可知，中间四边形的边长为（a-。）的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三

角形加中间小正方形的面积得出，x4+（a-=25,再结合。匕=8即可得出（a-。）的值，再根据勾

股定理即可求出EF的长.

【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为（。-。）的小正方形，

•.•大正方形的面积为25,

；•AB2=25，

又•.•大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积，

.\yx4+（tz-^）2=25,

/.（a-by+2ab=25,

：.（a-b）2+2x8=25,

:.a—b=3（负值已舍），

即图2中小正方形的边长为3,

EF="\/32+32=3A/2'

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键.

10.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（L2）,以。为圆心，的长为半径画弧，交直线

y=gx于点4；过点4作用4轴交直线y=2x于点4，以。为圆心，。人长为半径画弧，交直

线y=gx于点鸟；过点与作为4〃7轴交直线丁=2%于点A，以点。为圆心，长为半径画弧，

交直线于点用，…，按如此规律进行下去，点与024的坐标为（）

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1023

A.Q2°23,22°24B.Q2022

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标的变化规律以及两点之间的距离公式，解答

本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标.

根据题意可以求得点用的坐标，点儿的坐标，点鸟的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得

点§2024的坐标.

【详解】解：由题意可得，点4的坐标为(L2),

设点4的坐标为

.3=04,

解得：＜7=2,

...点4的坐标为(2,1),

同理可得，点4的坐标为(2,4),点鸟的坐标为(4,2),

点A的坐标为(4,8),点B3的坐标为(8,4),

以此类推可得，点3,的坐标为(2",2〃T)

..•点外024的坐标为(22°24,22°23),

故选：D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.甲、乙两支排球队队员的平均身高都为1.82m,方差分别为S甲2=3.7,=4.2,则身高较整齐的

球队是队.

【答案】甲

【解析】

【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离

平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平

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均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握方差的意义是解题的关键.根据方差的定义，方差越小数

据越稳定，即可得出答案.

【详解】解：,•,甲、乙两支排球队队员的平均身高都为1.82m,方差分别为S甲2=3.7,V=4.2,

S甲2<5/,

身高较整齐的球队是甲队，

故答案为：甲.

12.将直线y=-3x-5向上平移3个单位长度后，得到的直线解析式为.

【答案】y=_3x_2

【解析】

【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握“上加下减”的平移规律.

根据“上加下减”的平移规律即可得到答案.

【详解】解：将直线y=-3x-5向上平移3个单位长度后，

得到的直线解析式为y=-3x-5+3=-3x-2；

故答案为：y=-3x-2.

13.若点A（a,。）在一次函数y=-x+2图象上，则。的值是.

【答案】2

【解析】

【分析】本题主要考查代数式求值以及一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数图像上点的坐标特征是

解题的关键.

把点A（a,。）代入y=-x+2,得。+匕=2,即可求解.

【详解】解：由于点A（a,。）在一次函数y=-x+2图象上，

故将点A（a,b）代入y=-x+2中，

得。=一6+2,化简可得a+Z>=2,

故答案是2.

14.如图，在。ABC。中，对角线AC、3。相交于0,BD=2AD,E、F、G分别是。C、0D、

的中点，下列结论：①BE1AC；②EG=GF；③四边形BE户G是平行四边形；④E4平分

NGEF.其中正确的是.（填序号）

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AD

【答案】①③④

【解析】

【分析】由平行四边形的性质可得08=8。，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和

三角形中位线定理可判断②错误，由BG=EE,BG〃EE〃C。可证四边形BEPG是平行四边形，可得

③正确.由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确.

【详解】解：.••四边形ABC。是平行四边形

BO=DO=-BD,AD=BC,AB=CD,AB//BC,

2

又•：BD=2AD,

0B=BC=0D=DA,且点E是。C中点，

BELAC,

故①正确，

•：E、/分别是。C、。。的中点，

.-.EF//CD,EF=-CD,

2

.・・点G是RtAABE斜边AB上的中点，

:.GE=-AB=AG=BG,

2

EG=EF=AG=BG,无法证明GE=GF,

故②错误，

•/BG=EF,BG//EF//CD

四边形BE/G是平行四边形

故③正确，

•/EF//CD//AB,

/BAC=ZACD=ZAEF,

•••AG=GE,

NGAE=/AEG,

NAEG=NAEF,

.:AE平分NGEF,故④正确.

第9页/共24页

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质等知

识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

15.如图，矩形ABC。中，AB=10,AD=4,点P为边上一个动点，将△APD沿AP折叠得到

△APQ,点。的对应点为Q,当射线P。恰好经过A3的中点M时，。尸的长为

【答案】2或8##8或2

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，分点尸在线段CD中点的左边和右边两种情

况，画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键.

【详解】解：如图1,过点P作PELA8于E,则四边形AQPE为矩形，ZPEM=90°,

图1

：•EP=AD=4,AE=DP,

由折叠可得，DP=QP,AQ=AD=4fZAQP=ZD=90°,

：.DP=QP=AE,ZAQM=90°,

•・,点M为AB的中点，

:.AM=—AB-5,

2

/.QM=4AM。-AQ2=V52-42=3，

设DP=QP=AE=a,则ME=5—。，PM=3+a,

在Rt/\PEM中，PE2+EM2=PM?，

42+（5-a）2=（3+a）2,

解得a-2,

：.DP=2；

第10页/共24页

如图2,过点M作MFLCD与歹，则四边形ADEM是矩形，NMFP=9U°,

图2

：.DF=AM=5,MF=AD=4,

由折叠可得。P=QP,AQ=AD=4,NAQP=ND=90。,

•••QM=《AM?—AQ2=V52-42=3，

设DP=QP=x,则。E=x—5,PM=x-3,

在RtDMFP中，MF-+PF?=PM2，

42+(x-5)2=(x-3)\

解得x=8,

DP=8-

综上，OP的长为2或8,

故答案为：2或8.

三、解答题(一)：本大题共3小题，第16小题10分，第17、18小题各7分，共24

分.

16.计算：

(1)^1xV12+V16^V2

(2)(2024—万了+2―1/出+V12

【答案】⑴V6+2V2

⑵373-2

【解析】

【分析】本题主要考查了二次根式混合运算、负整数指数塞、零指数幕、化简绝对值等知识，熟练掌握相关

公式和运算法则是解题关键.

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(1)首先根据二次根式乘除法法则进行运算，然后相加减即可；

(2)根据零指数累运算法则、绝对值的性质、负整数指数幕以及二次根式的性质进行运算，然后相加减即

可.

【小问1详解】

解：^1xV12+V16^V2

=76+272

【小问2详解】

解：(2024-^)°+|V3-l|-f1l+V12

=1+73-1-2+2^

=373-2

17.某同学上学期的数学历次测验成绩如下表所示:

平时测验

测验类别期中测验期末测验

第1次第2次第3次

成绩100106106105110

(1)该同学上学期5次测验成绩的众数为,中位数为

(2)该同学上学期数学壬时成绩的平均数为；

(3)该同学上学期的总成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照2：3：5的比

例计算所得，求该同学上学期数学学科的总评成绩(结果保留整数).

【答案】(1)106,106；(2)104；(3)107分.

【解析】

【详解】分析：(1)根据中位数及众数的定义，即可求解；

(2)根据平均数的计算公式计算即可；

(3)用本学期的的数学平时测验的数学成绩XO.3+期中测验XO.3+期末测验义0.4,计算即可.

详解：(1)数据排列为:100,105,106,106,110；

所以中位数为106,众数为106.

(2)平时数学平均成绩为：100+105+10-=104.

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(3)104x0.3+105x0.3+110x0.4=107分.

点睛：此题主要考查了中位数、众数、平均数、算术平均数的计算，关键是理解中位数、众数、平均数、

算术平均数的概念和公式.

18.如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为

AC=15km,与公路上另一停靠站8的距离为=20km,停靠站A,8之间的距离为AB=25km,

为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且，48.

(1)求证：ZACB=90°；

(2)求修建的公路CD的长.

【答案】(1)见解析(2)12km

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定

理是解题关键.

(1)根据勾股定理的逆定理，由AC2+JBC2=A52得到AABC是直角三角形，进而得解；

(2)利用口48。的面积公式可得，=从而求出CD的长.

【小问1详解】

解：证明：VAC=15km,BC=20km,AB=25km,152+202=252.

AC~+BC2=AB2,

：.ZACB=90°.

【小问2详解】

CDLAB,

S=-ABCD=-ACBC,

unA/IDRCC22

℃ACBC15x20\

CD=----------=----------=12(km).

AB25v'

答：修建的公路CO的长是12km.

四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.观察以下等式：

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第i个等式：（Vi+i）（2-Vi）=Vi+i

第2个等式：（逝+1）（3-收）=2行+1

第3个等式：陵+1）（4-@=3百+1

按照以上规律，解决以下问题:

（1）写出第5个等式;

（2）试用含"〃为自然数，且"21）的式子表示你猜想的第〃个等式，并证明其正确性.

【答案】⑴（A/5+1）（6->/5）=5A/5+1；

（2）++l—6）="6+1,理由见解析.

【解析】

【分析】本题考查了数字规律，二次根式的乘法，认真观察等式，找出所给规律是解题的关键.

（1）根据所给等式可得答案；

（2）首先写出第w个等式，然后再利用二次根式的乘法进行计算即可.

【小问1详解】

解：第1个等式：（&+1）（2—=&+

第2个等式：（行+1）（3-&）=2逝+1,

第3个等式：（6+1）（4-百）=3百+1,

第4个等式：（4+1）（5-4）=4翡+1,

第5个等式：心+1）（6-6）=5不+L

【小问2详解】

解:根据题意，第"个等式为：（册+1）（〃+1-6）="6+1,理由如下：

^yfn+1）1+1一册）=nG+n+yfn+1-n-Vn=nG+1,

/.+1）（〃+1一册）=njn+1.

20.如图，已知四边形ABC。中，ZA=ZB=90°,

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（1）尺规作图：过点。作。E，BC,交于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）若BC=2A。，当NC满足什么条件时，（1）中作出的四边形ABED为正方形？并证明你的结

论.

【答案】（1）作图见解析；

（2）当NC=45°时，四边形ABED为正方形，证明见解析.

【解析】

【分析】本题考查了作图-基本作图，正方形的判定，矩形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关

键.

（1）根据题意，过点作直线的垂线即可；

（2）先证明四边形ABED为矩形，再证明3E=DE,即可证得四边形ABED为正方形.

【小问1详解】

解：在的下方任取一点歹，以。为圆心，。尸的长度为半径画圆，交于点M、N,再分别以

M、N为圆心，DW的长度为半径画圆，交于点G,连接OG,交于点E,则。EL8C,。石即

为所求，如图：

解：当NC=45°时，四边形A3ED为正方形，理由如下:

DE1BC,

：.ABED=ZCED=90°,

ZA=ZB=90°,

四边形ABED为矩形，

/.AD=BE,

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BC=2AD,

BE=CE,

VZCED=9Q°,ZC=45°,

ACED为等腰直角三角形，

CE=DE,

：.BE=DE,

，四边形ABED为正方形.

21.为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购

买A型和B型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表：

A型B型

价格（万元/辆）ab

年载客量（万人/年）60100

若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共

需350万元.

（1）求。的值；

（2）计划购买A型和B型两种公交车共10辆，如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200

万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少?最少费用是多少万元？

【答案】（1）。的值为100,。的值为150；

（2）有4购买方案（3）购车总费用最少的方案是购买A型公交车9辆，购买B型公交车1辆，购车总

费用为1050万元

【解析】

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，解题的关键

是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；正确

列出函数解析式.

（1）利用总价=单价x数量，结合“购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型

公交车2辆，8型公交车1辆，共需350万元”，即可得出关于“，。的二元一次方程组，解之即可得出

结论；

（2）设购买A型公交车机辆，则购买B型公交车（10-根）辆，根据“购买A型和3型公交车的总费用不

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超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次”，即可得出关于冽

的一元一次不等式组，解之即可得出加的取值范围，结合加为整数，即可得出加的值，得出购买方案；

（3）设购车总费用为W万元，根据总费用=购买两种公交车费用之和列出函数解析式，由函数的性质得出

最值.

【小问1详解】

〃+26=400〃二100

解：依题意得：<2a+0=350,解得：'

6=150,

答：。的值为100,。的值为150；

【小问2详解】

解：设购买A型公交车〃?辆，则购买B型公交车（10-m）辆,

100m+150(10-m)<1200

依题意得:

60m+100(10-m)>640

解得：6<m<9

又为整数

••.有4购买方案；

【小问3详解】

解：设购车总费用为w万元,

贝ljw=100m+150(10-rn)=-50m+1500,(6〈加〈9且加为整数)

,/-50<0,

W随"2的增大而减小

，当加=9时，w最小，最小值为一50义9+1500=1050（元），

，购车总费用最少的方案是购买A型公交车9辆，购买B型公交车1辆，购车总费用为1050万元.

五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.

22.问题情境：小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图，在正方形ABC。中，点E、F分别在边

BC、CD上，且/，垂足为M.那么AE与3尸相等吗？

图1图2图3

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(1)请直接判断：AEB尸(填"=”或“尹)；

在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题：

(2)如图，在正方形ABC。中，点E、F、G分别在边3C、CD和ZM上，且GEL5R,垂足为

M.那么GE与B尸相等吗？证明你的结论；

(3)如图，在(2)的条件下，当M在正方形ABC。的对角线AC上时，连接BG,将△BMG沿着

BG翻折，点M落在点河'处.那么四边形是正方形吗？并说明理由.

【答案】(1)=(2)GE=BF,理由见详解

(3)是，理由见详解

【解析】

【分析】(1)证明△A3E等△3CT即可得出结论；

(2)过点A作AN〃GE,证明口ABN@2CB,由此可得AN=GE=BE；

(3)连接DM,证明口84“丝OZMM(ASA),所以NA5M==DM；由折叠可知，

AM=AM',GM=GM',由四边形内角和和平角的定义可得NMGD=NGDM,所以GM=DAf,则

AM=AM'=GM=GM'=BM，所以四边形BMGM'是菱形，再由“有一个角是直角的边形是正方形”

可得结论；

【小问1详解】

解：,/AE1BF,

ZEMB=90°,

ZFBC+ZBEM=90°,

•.•四边形ABC。是正方形，

AB=BC,ZABC=NC=90°,

ZFBC+ZBFC=90°,

NBEM=NBFC,

在□ABE和△BCE中，

ZABC=ZC

<ZBEM=ZBFC,

AB=BC

■DABE^BCF(AAS),

AE=BF,

故答案为：=；

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【小问2详解】

GE=BF,理由如下:

如图，过点A作AN/GE,交BF于点H,交BC于点、N,

ZEMB=ZNHB=90°,

NFBC+ZBNH=90°,

•..四边形ABC。是正方形,

AD//BC,AB=BC/BAD=NABC=ZC=90°,

：AD//BC,AN//GE,

：.四边形ANEG是平行四边形,

AN=EG,

ZC=90°,

ZFBC+ZBFC=9Q0,

ZBNH=4BFC,

^ABN^BCF(AAS),

AN=BF,

AN=EG,

GE=BF；

【小问3详解】

是，理由如下：

连接DM.

由（2）的结论可知：GE=BF.

•.•四边形