广东省深圳市2024-2025学年高二年级上册1月期末考试数学试卷

20242025学年广东省广州市西关外国语教育集团九年级（上）期中

数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

2.已知二次函数।=I-,则其二次项系数a,一次项系数6,常数项c分别是()

A.a=1,A=-3,c=5B.a=1,h=3,c=5

C.J=5,b=3,c=lD,a=5,b=-3,c=l

A.(Z1)B.(2,1)C.(-2,l)D.-2,-1)

5.用配方法解方程1-9=()时，此方程可变形为()

A.i.v+4|；=7B.(.r+4|,=25C.(K+4/=9D.(.r+4T=-7

,.2024

6.点La）与点H（A2）关于原点对称，则的值为（）

A.lB.lC.2024D.2024

7.如果函数H2|+h+1是关于尤的二次函数，那么女的值是（）

A.1或2B.0或2C.2D.0

8.某商品原售价为200元，连续两次降价心。后售价为100元，下面所列方程正确的是（）

A.200（l+a%l：=100B.200（l-a°<>r=100

C.（200+a%）'=100D.100-a%I'=200

9.已知实数a,b分别满足』-6U-4=Q,-6/）+4=0,且则：的值是（）

ab

A.7B.7C.llD.ll

1OJ=/+（1-a）x+l是关于x的二次函数，当x的取值范围是I4x43时，>在x=l时取得最大值，则

实数a的取值范围是（）

A.a«-5B.a>SC.a=3D,a>3

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.已知关于x的一元二次方程「-K-3=。的两个实数根分别是m,〃，则"L〃-.

12.一元二次方程x-6）=0的两个实数根中较大的根是.

13.如图所示，在正方形ABC。中，AC,8。相交于点O,△绕点。逆时针旋转90。后与△8OF重合,

AB=2,则四边形BEOF面积是.

14.有m支球队要进行篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共比赛了10场，则，”=.

15.二次函数了=-2（X-1「+3的图象关于原点对称的图象解析式为.

16.抛物线｝="/+版+C的对称轴为直线x=-1,图象过（LO）点，部分图象如图所示，下列判断中：①

abc>0；②尸-4ac>0；③9a-3b+c=0；④若点（-05凹），（-2.打）均在抛物线上，则》>必；

⑤5a26+c<0.其中正确的序号有.

y

-1：0\/Ix

三、计算题：本大题共1小题，共4分。

17.解方程：二「+5l3=0.

四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.（本小题4分）

已知二次函数『=-2./的图象经过点（L。）,（2,7）,求此二次函数的表达式.

19.（本小题6分）

如图，Rd48c中，=90。.

（1）将△.48C绕点8逆时针旋转180。得到△.■T8C',连接.4C',CA'（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）求证：四边形4C'.4'C是菱形.

20.（本小题6分）

已知关于无的方程/+久+4-2=0.

（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数。的取值范围；

（2）当该方程的一个根为1时，求。的值及方程的另一根.

21.（本小题8分）

如图所示，抛物线M-V'+m与直线”=2v+〃相交于点A,B.

（1）直接写出实数式,"的值，并求出点A,2的坐标；

（2）若M>/，请直接写出x的取值范围.

水果店王阿姨在水果批发市场以20元/kg的价格购进一种水果，若这种水果的销售量ykg与销售单价x元/kg

的满足如图所示的一次函数关系.

（1）求y与龙之间的函数关系式.并在不亏钱的情况下直接写出自变量x的取值范围；

（2）请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？

如图所示，抛物线经过点30）,1,0）,C|0,3）,它的对称轴为直线.

（1）求△.48c的面积；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点尸是该抛物线上的一个动点，过点尸作直线的垂线，垂足为点。，点E是直线上的点，若以点P,

D,E为顶点的三角形与△.40C全等，求满足条件的点P,点E的坐标.

V

24.（本小题12分）

如图，A.-ISC中，£ACB=90°,将△」8C绕点C顺时针旋转得到△DEC,点。落在线段,"上，连

接BE.

(1)求证：DC平分乙4DE；

(2)试判断线段对与线段,48的位置关系，并说明理由；

(3)若8E；BF,请你求出二」的度数.

E

25.(本小题12分)

如图，在平面直角坐标系t。「中，抛物线E：V=-1.V-ffi|r2"，加＜01的顶点尸在抛物线尸：

।二」「上，直线X-/与抛物线E,F分别交于点A,B.

(1)求。的值；

(2)将A,8的纵坐标分别记为.匕，乂，设5=.%-1),若s的最大值为4,则根的值是多少？

(3)。是x轴的正半轴上一点，且尸。的中点M恰好在抛物线厂上.试探究：此时无论加为何负值，在y

轴的负半轴上是否存在定点G,使/PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所

以不是中心对称图形；

选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.

故选：D.

根据中心对称图形的定义逐项判断即可.

2.【答案】D

【解析】【分析】

根据二次函数的定义进行解答即可.

【解答】

解：：函数「=I-兀+是二次函数，

整理得：J=5/-3K+1,

二二次项系数a=5,一次项系数6=-3,常数项c=l.

故选D.

3.【答案】C

【解析】解：：二次函数J=.V+2.v-1=(I♦1r-2,

•••抛物线开口向上，对称轴为直线*=1,顶点为(1,-2),

故选项C符合，

故选：C.

利用二次函数的性质判断即可.

4.【答案】A

【解析】解：二次函数1=2(\-2「+1图象的顶点坐标为(2J),

故选：A.

对于二次函数J=+A(awO),其顶点坐标为据此求解即可.

5.【答案】B

【解析】解：—+8i-9=0,

移项得：广♦=9,

配方得：「♦八T6="，即㈠+4/=25.

故选B.

将方程常数项移到右边，两边都加上16,左边化为完全平方式，即可得到结果.

6.【答案】B

【解析】解：：点41Ml与点4s,2)关于原点对称，

.*./>=1,a=2,

则，。+6|=(-2+11=I.

故选：B.

直接利用关于原点对称点的性质得出。，6的值，即可求出答案.

7.【答案】D

【解析】【分析】

依据二次函数的定义可知k2^0,4:-2A♦2=2,从而可求得k的直

【解答】

解：•.•函数I="-2|+h+l是关于x的二次函数，

-2=o,1.

解得ko.

8.【答案】B

【解析】解：当商品第一次降价V。时，其售价为200200。％=200(1。％|(元).

当商品第二次降价u"。后，其售价为200("a%)-200(1-a%)a%=200(1-。％)：(元).

200(1-a%।=100.

故选：B.

9.【答案】A

【解析】【分析】

根据已知两等式得到。与6为方程厂-6i+4=0的两根，利用根与系数的关系求出与，曲的值，所

求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将。与，曲的值代入计算即

可求出值.

【解答】解：根据题意得：。与6为方程「-U+4=U的两根，

.,."6=6,ab=4,

(</+/>)-2ab36—8

贝！J原式=:="=7.

ab4

故选A.

10.【答案】B

【解析】解：第一种情况：

当二次函数的对称轴不在14x43内时，此时，对称轴一定在1<x<3的右边，函数方能在这个区域取得

最大值，

fl—1

x----23,即a27,

2

第二种情况：

当对称轴在14x43内时，对称轴一定是在区间14x43的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就

是在主=3的地方取得最大值，即：

x==,即（此处若。取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值）

综合上所述“25.

故选:B.

由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在［L3］和对称轴在［L3］内两种情况进行解答.

n.【答案】1

【解析】解：..•关于X的一元二次方程「-K-3=（I的两个实数根分别是出〃，

m*n=1,

故答案为：1.

根据一元二次方程ax-+显+c=0（。X0|的根与系数的关系$+V，=-£得出结论.

a

12.【答案】6

【解析】解：•••x=0或x6=0,

；I',r=6,

原方程较大的根为6.

故答案为6.

原方程转化为*=0或x-6=0,然后解两个一次方程即可得到原方程较大的根.

13.【答案】1

【解析】解：•••△绕点。逆时针旋转90。后与△BOF重合，

AOE二△BOF,

.•54，=S工做”,

四边形8EOF面积==；S正方a”。=9x2?=1,

44

故答案为：1.

由旋转的性质可得Sum=%峥，由面积和差关系可求解.

14.【答案】5

【解析】解：依题意得：=10,

整理得：m;-20=（I,

解得：〃4=5,m,=-4（不合题意，舍去）.

故答案为：5.

根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共比赛了10场，列出一元二次方程，解之取符合题意的

值即可.

15.【答案】=21-3

【解析】解；1=-2（.「1|'+3的顶点坐标为{1,3},故变换后的抛物线为『=2（*+1广-3,

故答案为：I=2（x+l「-3.

根据关于原点对称点的特点，可得答案.

16.【答案】②③⑤

【解析】解：©vU>o,.-./）>0,

,/（-<o,/.ahc<0,故①错误.

②：抛物线与x轴有两个交点，

-4八、>0,故②正确.

③：抛物线与x轴的一个交点是（LO）,对称轴是x=1,

...抛物线与x轴的另一个交点是（3,0）,

9。3b+c=0,故③正确.

④•.•点（-0.5,y,）在抛物线上，对称轴为x=1,

15凹）也在抛物线上,

V1.5>2,且（1-5,yj（-2,心都在对称轴的左侧，

<工，故④错误.

⑤：抛物线对称轴为x=1,且经过（LO），

b

a+/)+c=0,

2a

/.h-la,c=-3a,

/.5a-2Afc=5a-4A-3a=-2a<0,

・•・⑤正确.

故正确的判断是②③⑤.

故答案为②③⑤.

①根据二次函数的图像可知：①。>0,b>o,c<0,据此判断即可；

②根据抛物线与x轴有两个不同的交点，结合一元二次方程根的判别式判断即可；

③由图象可知抛物线与x轴的一个交点是（LO）,对称轴为x=-l,进而确定另一个交点，然后判断即可;

④结合二次函数对称轴确定其增减性判断即可；

⑤根据对称轴为x=I可得=进而可得b=2a,c=3a

2«

5a-2/>-c=5a-4a-3o=-2fl<0.

17.【答案］【解答】

解：因式分解得，（.v+3i|2.r1|=0,

x+3=0或2xT=0,

、I

解得巧=_3,工=,.

【解析】【分析】

将等号左边写成两个一次因式的积，分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程，分别解这两个一元

一次方程，得到方程的解.

-2+b+c=O

18.【答案】解：依题意，得,

-8+2b+c=-7

b=-I

解得

c=3

所以二次函数表达式为J：Tr-i+3.

【解析】把两已知点的坐标代入.1'=-2¥+尿+。得到关于从C的方程组.然后解方程组求出b、C的值即

(2)证明：绕点8逆时针旋转180。得到△，8C',

/.BC=BC,BA=BA',

四边形HC'TC是平行四边形，

•///?=90。，；.工。1CC,

四边形.4CN'C是菱形.

【解析】(1)根据旋转的性质作图即可.

(2)根据旋转的性质、菱形的判定证明即可.

20.【答案】解：(1)..•方程有两个不相等的实数根，

:.△=h2-4ac=22-4x1x(。-2)=12-4。>0,

解得：〃<3.

*,•。的取值范围是《<3；

(2)设方程的另一根为I,由根与系数的关系得：

则。的值是1,该方程的另一根为3

【解析】(1)关于X的方程1+21+』-2=0有两个不相等的实数根，即判别式4=卜-加。0.即可得

到关于。的不等式，从而求得a的范围.

(2)设方程的另一根为r,根据根与系数的关系列出方程组，求出。的值和方程的另一根.

21.【答案】解：(1)..•抛物线的顶点坐标为(0,5),

m=5,

...直线与X轴的交点坐标为(0,2),

：.n=1,

C，一

v=—v+5

解方程组：.一得

y=2.v+2

.-..>111,41,8(3,4)；

(2)若V,>.V,,V的取值范围为3<x<I.

【解析】(1)利用抛物线的顶点的纵坐标为5确定机的值，利用直线与y轴的交点坐标确定〃的值，然后

F=-r+5

解方程组.、.得点A和点B的坐标；

y=2x+2

(2)利用函数图象，写出抛物线在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可.

22.【答案】解：⑴设所求关系式为一h+八，

165=i-25+5

由图得:

0=>40+力

k=-11

解得:

b=440

所求关系式：y=ll.v-440(20<.v<40i；

(2)设这种水果的利润为w元，

依题意：H=|X-20)(-H-<+440|=-11(.r-30|；+1100(20<.r<40),

,这种水果定价30元/kg时，可获最大利润1100元.

【解析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)由“=[x-20)(-llx+440)=-U(x-3O『+IIOO,(204x440),即可求解.

23.【答案】解:⑴；/(-3,0),8(1,0),C|0,3),

S…=；.4BOC=1X4X3,

(2)由题意得：I=o|x+3)(x-l),

贝13=a[O+3)|O-I],

解得：a=l,

则所求解析式：.r=./+2x-3；

(3):抛物线：j'=.J+2x-3,对称轴直线工=一2，

2a

.•.即直线为直线x=1,

-4(-3,O|,C|O,3),

...等腰R/40.4C中0.4=0C=3,

△POE与△40C全等；PD，直线，

PD=DE=3且点D、E在直线x=1上，

设P\A,,,yr),则七,=-l±3,

当x,,=-1+3=2时，.1',,=2*+2X2-3=5,即

.•.当入=-I-A=—时，_vP=|-4|'+2x(-4l-3=5,Bp/<(4,5|,

VPD1直线,L=5,

J'D=y,,=5，

即。L5),

•.•DE=3,点。，E在直线x=-1上，

yt=1力±3=5±3，

£；|1,2),

2.5),/<i：4,5|,E,(-l,8i,£2|1,2).

【解析】(1)由5工”「=!.4B,OC=;K4X3,即可求解；

(2)由待定系数法的即可求解；

(3)等腰R20/C中0/=0C=3,而^PDE与4A0C全等，P。，直线,得到户。=0E=3且

点。、E在直线x=1上，设/'(号,％),则七,=-1±3,进而求解.

24.【答案】(1)证明：二•将△.48C绕点C顺时针旋转得到△DEC,

AC=DC,£,4=ZCDE,：.Lk=/.CDA,：.ZCDA=ZCDE,

：.DC平分/IDE.

(2)解：BE1AB,

理由：由旋转得=/』C8=90°,

£BCE=Z.UD=90。上BCD,

-J-l180°-|=-|180°-Z^CD|,

22

VBC=EC,AC=DC,

:.ZCBE=/CEB=J180°-ZBCE\,LA=ACDA=-(180°-ZJCD),

/.ZCBE=」.」，

A=ZCS£+Z.4BC=Z.4+Z.OC=90°,

BEAB.

•：-ABE=90：,ZBDE=90；/BEF,

由⑴、Q)得N』=/CD」=/CDE=ZC8E,

ZB£F=ZBFE=-(180°-ZCfi£)=-(180°-Z/l)=90°--J-Z^,

AZfiDE=90°-(90-yZ^

VZCDA+ZCDE+/BDE=1X(1JZ.-l+ZJ+-J-ZJ=180°,

2

』的度数是72。.

【解析】(1)由旋转得.4C=0C,N/=/CD£,则=所以/CD.4=』CD£,即可证明

DC平分乙4。£；

(2)由旋转得/DCE=/ACB=90°,贝=/.ACD=90°-ZSCD,由8C=EC,AC=DC,

得ZCB£=1(180°-ZflC£),Z/l=y(180°-Z^CD),所以ZCBE=£A,则

/.ABE=/.CBE+Z.UC=L\+AABC=90°,所以8E1AB；

(3)由(1)、(2)得LA=ZCD.4=ZCD£=ZCB£,因为BE=BF,所以

ZBEF=ABFE=-(^0°-ZCBE]=9Q0--ZA,则=90。-(90°-]=，/力,于